Rèn luyện cho học sinh kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học giải bài tập toán giới hạn

MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Tổ tiên ta khẳng định chân lí bia văn miếu Hà Nội "những người tài giỏi yếu tố cốt tử chỉnh thể Khi yếu tố dồi đất nước phát triển mạnh mẽ phồn thịnh.Khi yếu tố quyền lực đất nước bị suy thối, người tài giỏi có học thức sức mạnh đặc biệt quan trọng đất nước " Trong đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ IV đảng, nêu rõ: "mục đích cải cách giáo dục đào tạo chất lượng tốt người lao động mới, sở đào tạo bồi dưỡng với quy mơ ngày lớn đội ngũ công nhân kĩ thuật cán quản lí, cán khoa học kĩ thuật nghiệp vụ " Thủ tướng Phạm Văn Đồng thư gửi bạn trẻ yêu toán (tháng 10/1967) rõ: "trong môn khoa học kĩ thuật, tốn học giữ vị trí bật Nó có tác dụng lớn nhiều ngành khoa học khác, kĩ thuật, sản xuất chiến đấu Nó cịn mơn thể thao trí tuệ, giúp nhiều việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải vấn đề, giúp rèn luyện trí thơng minh sáng tạo Nó cịn giúp rèn luyện nhiều đức tính quý báu khác :cần cù nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vượt khó,u thích chính xác, ham muốn chân lí Dù bạn phục vụ ngành cơng tác kiến thức phương pháp toán học cần cho bạn " Theo quan điểm giáo dục đại : việc học tập học sinh diễn hoạt động hoạt động Hình thức hoạt động tốn học chủ yếu học sinh hoạt động giải tập tốn Bài tập tốn có vai trị quan trọng mơn tốn Thơng qua giải tập tốn học sinh thực hoạt động hình thành củng cố trí thức kĩ năng, kĩ xảo khâu khác trình dạy học, kể ứng dụng tốn học vào thực tiễn Rèn luyện lực trí tuệ hoạt động tư hình thành phẩm chất trí tuệ Bồi dưỡng giới quan vật biện chứng, hình thành phẩm chất đạo đức người lao động Từ số quan điểm vừa nêu, nhận thấy : trình dạy học trường phổ thông cần trọng đến việc rèn luyện lực trí tuệ cho học sinh, đặc biệt rèn luyện thơng qua dạy họcc mơn tốn.Tốn học chặng đường, đường dài nhận thức Từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng, từ đến thực tiễn.Góp phần đào tạo nhiều mặt người lao động phát triển tồn diện Trong chương trình tốn trung học phổ thơng chủ đề giới hạn đóng vai trị quan trọng, sở kiến thức phép tính giải tích tốn học phép tính dạo hàm phép tính tích phân Đây chủ đề khó với hệ thống tập mà giải đòi hỏi học sinh phải vận dụng nhiều quy tắc, định lí, phương pháp, huy động nhiều kiến thức học Hệ thống tập chủ đề giúp học sinh củng cố kiến thức khác,vì rèn luyện kĩ phát giải giải tập toán giới hạn cần thiết Với lí tơi định chọn đề tài "Rèn luyện cho học sinh kĩ phát giải vấn đề dạy học giải tập toán giới hạn " Mục đích nghiên cứu Đưa hệ thống tập giới hạn ,góp phần nâng cao hiệu rèn luyện lực giải toán giới hạn cho học sinh Đối tượng nghiên cứu Quá trình rèn luyện kĩ phát giải vấn đề giải tập toán chủ đề giới hạn trường trung học phổ thơng Giả thiết khoa học • Có thể rèn luyện kĩ phát giải vấn đề giải tập toán giới hạn, trường trung học phổ thông hay không ? cách ? • Trên sở chương trình sách giáo khoa rèn luyện cho học sinh kĩ nào, chủ đề giải tập toán giới hạn ? • Nêu phương thức có để rèn luyện kĩ phát giải vấn đề giải tập toán giới hạn Nhiệm vụ nghiên cứu 5.1 hệ thống hố sở lí luận, phân tích chất hình thức tổ chức rèn luyện kĩ phát giải toán 5.2 nghiên cứu số phương pháp rèn luyện kĩ giải dạng tập toán, chủ đề giới hạn cho học sinh trung học phổ thông 5.3 thực nghiệm sư phạm, kiểm tra tính khả thi hiệu kĩ rèn luyện phát giải giải tập toán chủ đề giới hạn Phạm vi nghiên cứu Chủ đề nghiên cứu phạm vi sử dụng phương pháp rèn luyện kĩ phát giải vấn đề, giải tập toán vào chủ đề cụ thể chương trình trung học phổ thơng Ỹ nghĩa việc nghiên cứu Việc đề xuất phương pháp giải tập giới hạn có hướng dẫn hợp lí góp phần rèn luyện kĩ giải tốn cho học sinh, nâng cao kết học tập cho học sinh Cấu trúc đề tài Chương I : Cơ sở lí luận thực tiễn 1.1 Quan điểm hoạt động trí tuệ giải tập tốn 1.2 Năng lực tốn học 1.3 Vị trí chủ đề giới hạn thực trạng chủ đề Chương II : Rèn luyện kĩ giải số dạng tập toán chủ đề giới hạn cho học sinh 2.1 Rèn luyện kĩ giải tập toán giới hạn dãy số 2.2 Rèn luyện kĩ giải tập toán giới hạn hàm số Chương III : Thực nghiệm sư phạm 3.1 Mục đích thựcc nghiệm 3.2 Nội dung thực nghiệm 3.3 Tổ chức thực nghiệm 3.4 nhận xét đánh giá trình thực nghiệm 3.5 Kết luận chung thực nghiệm CHƯƠNG I : CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 QUAN ĐIỂM HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ TRONG GIẢI BÀI TẬP TỐN Trong dạy học giảỉ tốn, kĩ tìm kiếm lời giải kĩ quan trọng nhất, mà việc rèn luyện thao tác tư thành phần thiếu dạy học giải tốn Trong tác phẩm G.Pơlia ơng đưa bước để đến lời giải toán 1) Hiểu rõ toán Để giải toán trước hết phải hiểu tốn cịn phải có hứng thú để giải tốn Vì điều giáo viên cần ý hướng dẫn học sinh giải tốn khêu gợi trí tị mị, lịng ham muốn giải tốn em, giúp em hiểu toán phải giải Muốn cần phải phân tích giả thiết kết luận toán, đâu ẩn đâu kiện? đâu điều kiện Điều kiện, kiện liên quan tới điều ?có thể biểu diễn tốn hình thức khác khơng ? vậy, bước " hiểu rõ toán " ta thấy vai trò thao tác tư việc định hướng lời giải 2) xây dựng chương trình giải Trong bước thứ này, ta lại thấy vai trò thao tác tư thể rõ nét hơn, qua việc phân tích tốn cho thành nhiều toán đơn giản hơn, biến đổi tốn cho, mị mẫn dự đốn thơng qua xét trường hợp đặc biệt, xét toán tương tự hay khái quát …thông qua kĩ sau cách đặt câu hỏi - Huy động kiến thức có liên quan : • Em gặp toán hay toán dạng khác lần chưa ? em ccó biết tốn liên quan khơng ? định lí dùng khơng ? • Thử nhớ lại tốn quen thuộc có ẩn hay ẩn số tương tự ? • Có thể sử dụng tốn mà em có lần giải sử dụng kết khơng ? - Dự đốn kết phải tìm • Em nghĩ toán liên quan mà dễ khơng ? tốn tổng qt ? trường hợp riêng ? toán tương tự ? em có rhể giải phần tốn ? • Em sử dụng kiện chưa ? sử dụng hết điều kiện chưa ? để ý đến khái niệm chủ yếu tốn chưa ? • Hãy giữ lại phần điều kiện, bỏ qua phần kia, ẩn xác định đến chừng mực biến đổi ? - Sử dụng phép phân tích lên phép phân tích xuống để tìm kiếm hướng giải vấn đề Trong trình dạy học giáo viên khai thác triệt để gợi ý hình thành phát triển học sinh kĩ tìm lời giải cho tốn Tuy nhiên để đạt điều giáo viên phải thực kiên trì tất dạy tốn Đồng thời học sinh phải tự áp dụng vào hoạt động giải tốn 3) Thực chương trình giải Khi thực chương trình giải, kiểm tra lại bước Em thấy rõ ràng bước chưa ? chứng minh khơng ? 4) Kiểm tra nghiên cứu lời giải Học sinh phổ thơng thường có thói quen tìm lời giải tốn thoả mãn, sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu xót khơng ? quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải trình dạy học, giáo viên cần ý cho học sinh thường xuyên thực yêu cầu sau: • Kiểm tra lại kết qủa, kiểm tra lại suy luận • Xem xét đầy đủ trường hợp xảy tốn • Tìm cách giải khác cuủa toán : toán thường có nhiều giải, học sinh thường có suy nghĩ khác trước toán, nhiều độc đáo sáng tạo Vì giáo viên cần lưu ý để phát huy tính sáng tạo học sinh việc tìm lời giải gọn , hay tốn Tuy nhiên khơng nên q thiên lời giải hay, làm cho học sinh trung bình chán nản Tìm sử dụng kết hay phương pháp giải toán cho tốn khác Đề xuất tốn mới, u cầu cao học sinh yếu Nhưng có thể coi phương hướng bồi dưỡng học sinh giỏi Tuy nhiên số trường hợp đơn giản, dễ hiểu, giáo viên cho học sinh toàn lớp thấy việc phân tích lời giải tốn để áp dụng vào toán khác đề xuất toán Ví dụ : Tính tổng A= 1 1 + + + + 2.3 3.4 9.10 Đứng trước toán học sinh quan niệm tính tổng số hạng, học sinh giải toán cách lấy giá trị số hạng cộng lại với để tính tổng Tuy nhiên vấn đề đặt tổng số mà nhiều số cách quan niệm khơng giải tốn B= 1 1 + + + + 2.3 3.4 n(n + 1) Đến cần phải quan niệm toán theo chiều hướng khác Nếu ta nhận thấy : 1 = − n(n + 1) n n + Thì tốn giải dễ dàng 1 n B = (1 − ) + ( − ) + + ( − 1 n ) =1− = n +1 n +1 n +1 Như quan niệm toán theo hướng khác, ta giải tốn trường hợp tổng quát dĩ nhiên quan niệm theo cách có lợi nhiều Hai thao tác " bổ sung " " nhóm lại " thường hỗ trợ lẫn hoạt động trí tuệ giải tốn cịn thể thơng qua hành động " tách biệt " " kết hợp ".tách biệt tách chi tiết, phận cụ thể khỏi tồn thể bao quanh nó, tập trung ý vào chi tiết phận Các phận gợi ý tồn thể, dẫn tới thiết lập tồn thể Hành động trí tuệ " tách biệt " khơng thể diễn bên ngồi thao tác đối lập với Hành động trí tuệ " kết hợp " sau nghiên cứu loại chi tiết, phận hành động kết hợp liên kết, chi tiết, phận xem xét lại với toàn thể Cái toàn thể phản ánh đầy đủ trước, tính hài hồ tính thống rõ nét Hành động " tách biệt " dẫn đến hành động " kết hợp ",hành động " kết hợp "lại dẫn tới hành động " tách biệt " Tách biệt chi tiết mới, phận tiến trình suy nghĩ làm cho người giải hiểu toán giải tốn Ví dụ : Gọi G trọng tâm VABC A1 , B1 , C1 hình chiếu G lên BC , AC , AB cmr: uuur uuur uuuu r r a GA1 + b GB1 + c GC1 = Để giải toán ta sử dụng kết sau : điểm VABC, gọi S1 , S2 , S3 diện tích tam giác : OBC ,OAC , OAB Khi uuu r uuu r uuur r S1 OA + S OB + S3 OC = Vấn đề đặt làm người giải đốn rằng, giải tốn cần sử dụng kết Sau lúc nghiên cứu người giải phát đẳng thức cần chứng minh có liên quan đến kết nhìn thấy G nằm V A1 B1C1 người giải tách phận ra, tập trung ý vào bắt đầu tìm mối liên hệ với kết Nhận thấy G nằm V A1 B1C1 ta có : uuur uuur uuuu r r S1 GA1 + S GB1 + S3 GC1 = S1 = SVGB1C1 ; S2 = SVGC1 A1 ; S3 = SVGA1B1 · GB = GC GB sin A = 2SVGAB SVGAC sin A Tacó: S1 = SVGB1C1 = GC1 GB1 sin C 1 1 2 AB AC 1 2 a 2.(abc)2 a 2a3bc .SVABC SVABC = = = 2SVGAB SVGAC = S sin A = sin A 9bc R 9bc.(4 R) 2 R 144 R c.b b.c 2ab3c 2abc3 Tương tự : S2 = ; S3 = 144 R 144 R uuur uuur uuuur r 2a 3bc uuur 2ab3c uuur 2abc3 uuuur r 2 ⇒ ⇔ GA + GB + GC = a GA + b GB + c GC 1 1 1 =0 144 R 144 R3 144 R3 C1 A B1 G B A1 C 1.2 NĂNG LỰC TOÁN HỌC 1.2.1 CÁC VẤN ĐỀ CHUNG VỀ NĂNG LỰC TOÁN HỌC VÀ NĂNG LỰC TỐN HỌC Ở HỌC SINH Có nhiều quan điểm khác lực Những quan điểm đứng lập trường tính tiền định sinh vật tính di truyền trực tiếp lực cho : não người có bứu đặc biệt tương ứng với tài khác Người có bứu tốn có tài tốn học, quan niệm Ga Ltơng nhằm củng cố đặc quyền cho giai cấp thống trị Một cơng trình nghiên cứu đầy đủ lực tốn học cơng trình "tâm lí lực tốn học học sinh " VA.Gucchetxiki Theo ơng vấn đề lực vấn đề khác biệt cá nhân, cá nhân có lực nhiều mặt có lực ột mặt khác Năng lực không bẩm sinh mà phát triển đừi sống Trong hoạt động lực thành bất biến mà hình thành phát triển trình học tập, luyện tập để nắm hoạt động tương ứng Do lực tốn tồn hoạt động toán học cở phân tích tốn học thấy biểu lực toán học Ở học sinh có lực tốn học khác Trong điều kiện giảng dạy học tập có em học nhanh, học giỏi, có em Có em đạt thành tích cao mà khơng cần nhiều cơng sức lắm, có em dù cố gắng mà thành tích đạt khơng bao, giáo viên cần nghiên cứu để nắm bắt học sinh yếu để giúp em nâng cao dần lực mặt giúp em có lực phát huy hết khả Nhà trường nơi cung cấp cho học sinh sở tốn học Khơng khác thầy giáo người vun xới cho mần mống khiếu toán học học sinh thui chột chúng Chính vậy, việc phát triển lực toán học học sinh nhiệm vụ đặc biệt quan trọng người thầy giáo 1.2.2 NĂNG LỰC GIẢI BÀI TẬP TỐN Nói đến nănng lực giải tốn, nói đến khả vận dụng kiến thức để giải toán Năng lực giải toán thể qua mặt sau : Tìm liên hệ kiến thức đầu vào kiện đầu khả vận dụng phương pháp toán học khác để giải toán Nhìn nhận tốn nhiều khía cạnh khác Từ vận dụng kiến thức để giải tốn Khả chuyển từ tốn khó thành toán đơn giản hơn, huy động kiến thức liên quan đến khái niệm, khái niệm đó, lựa chọn yn = π ⇒ yn → n → ∞ ta có + 2nπ π n→∞ f ( yn ) = sin( + 2nπ )  →1 Vậy lim sin x →0 không tồn x tập đề nghị Chứng minh giới hạn sau không tồn a) lim sin x −1 b) lim cos x x →1 x →0 sin x c) lim x →∞ 2.2.3 Giới hạn phía  f1 ( x)khi, x < x0  f ( x)khi, x ≥ x0 Cho hàm số f ( x) =  Để tính giới hạn xác định giá trị tham số để làm số có giới hạn xn → x0 ta thực bước sau f ( x) = lim− f1 ( x ) = L1 Bước : tính xlim → xo − x → x0 f ( x) = lim+ f ( x) = L2 Bước : tính xlim → x0 + x → x0 Bước : f ( x) = lim− f ( x) = L Nếu xlim → x0 + x → x0 f ( x) = L ⇔ xlim → x0 Để hàm số có giới hạn xn → x0 điều kiện L1 = L2 ⇒ giá trị hàm số Bài tập áp dụng : cho hàm số  x + akhi, x < f ( x) =   x + 1khi, x ≥ Tìm a để hàm số có giới hạn x → f ( x) = lim− ( x + a) = a Giải : ta có xlim →o − x →0 lim+ f ( x) = lim+ ( x + 1) = x →0 x →0 f ( x) = lim− f ( x) ⇔ a=1 Hàm số có giới hạn x → ⇔ xlim → x0 + x → x0 f ( x) = Vậy, với a=1 ta có lim x→0 2.2.4 tính giới hạn hàm số dạng 0 (*) giới hạn hàm số cho dạng phân thức đại số Dạng : xlim →x f ( x) g ( x) Trong g ( x); h( x ) hàm đa thức nhận x = x0 làm nghiệm lim x → x0 ( x − x0 ) f1 ( x) f ( x) f k ( x0 ) f ( x) f ( x) = lim = lim = = lim k = x → x0 g ( x ) g ( x) x →x0 ( x − x0 ) g1 ( x) x →x0 g1 ( x) g k ( x0 ) k Với điều kiện : f k ( x0 ) + g k ( x0 ) > x2 −1 Bài 1: tính giới hạn lim x →1 x − x2 − ( x − 1)( x + 1) Giải : lim = lim = lim( x + 1) = x →1 x − x→1 x→1 x −1 − sin x + cos x x→0 + sin x + cos x Bài : tính giới hạn lim Giải : − sin x + cos x (1 + cos x) − sin x = lim x→0 + sin x + cos x x→0 (1 + cos x ) + sin x lim 2cos x − 2sin x.cos x cos x − sin x = lim = lim =1 x→0 2cos x + 2sin x.cos x x→0 cos x + sin x (*) giới hạn hàm số cho dạng phân thức đại số,chứa thức bậc hai Dạng : lim x→ x0 f ( x) − a , đố g ( x) Khi ta thực phép liên hợp f ( x0 ) = a g ( x0 ) = f ( x) + a ta f ( x) − a ( x − x0 ) f1 ( x ) f ( x) − a = lim = lim x → x0 g ( x) g ( x)  f ( x) + a  x →x0  f ( x ) + a  ( x − x0 ) g1 ( x ) lim x → x0 f (x ) f1 ( x) = x→ x0  2ag1 ( x0 )   f ( x) + a  g1 ( x) = lim Bài tìm giới hạn lim x →1 x +8 −3 x2 + x − Giải : lim x →1 x +8 −3 x −1 = lim x + x − x→1 ( x − 1)( x + 3)( x + + 3) 1 = = x →1 ( x + 3)( x + + 3) 4(3 + 3) 24 = lim Bài : tìm giới hạn lim x→2 x + − 2x x −1 − − x Giải : lim x→2 x + − 2x − x x −1 + − x 1+1 = lim =− =− 2+2 x − − − x x →2 x − x + + x (*) giới hạn hàm số cho dạng phân thức đại số có chứa bậc ba Dạng : lim x→ x0 f ( x) − a g ( x) f ( x0 ) = a, g ( x0 ) = Khi đó, thực phép nhân liên hợp f ( x) + f ( x).a + a ta : f ( x) − a f ( x) − a lim = lim x → x0 x → x0 g ( x) g ( x)  f ( x) + f ( x ).a + a    ( x − x0 ) f1 ( x) f1 ( x0 ) f (x ) = lim = = 21 2 x→ x0 ( x − x0 ) g1 ( x )  f ( x) + f ( x).a + a  g1 ( x)(2a + a ) 3a g1 ( x0 )   phương pháp áp dụng cho giới hạn hàm số cho dạng sau +) lim x→ x +) lim f ( x) ± a g ( x) ± b f ( x) ± a g ( x) − b x→ x +) lim f ( x0 ) = ± a; g ( x0 ) = ±b ,trong f ( x0 ) = ± a; g ( x0 ) = b f1 ( x ) ± f ( x) , f1 ( x0 ) = ± f ( x0 ); +) lim x→x 3 g ( x ) − g ( x) x→ x ,trong g1 ( x0 ) = g ( x0 ) f1 ( x ) ± f ( x) g ( x) ± g ( x) ,trong f1 ( x0 ) = ± f ( x0 ); g1 ( x0 ) = ± g ( x0 ); Ta thực phép liên hợp tử mẫu Bài : tính giới hạn lim x→2 Giải : 4x − x−2 4x − 4x − = lim x→2 x →2 x−2 ( x − 2)  16 x + x +    4 = lim =3 = = x →2 16.4 + 4.2 + 4 + + 16 x + x + lim x −1 + x + Bài 2: tính giới hạn lim x →0 2x +1 − x + Giải : x −1 + x + ( x − + x + 1)( x − + x + 1) lim = lim x →0 x + − x + x→0 (2 x + − x − 1)  ( x − 1) − x − + ( x + 1)    2( x + + x + 1) = lim x →0 ( x − 1) − x − + ( x + 1) = 2(1 + 1) = 1+1+1 (*) giới hạn hàm hàm số cho dạng phân thức đại số chứa thức bậc cao Dạng : lim x → x0 lim x → x0 n n + ax − , cách đặt ẩn phụ t = n + ax ta x + ax − t −1 a a = lim n = lim n−1 n−2 = x → x0 t − x → x0 t x + t + + n a Bài : tìm giới hạn lim x →0 + 5x −1 x Giải : t5 −1 Đặt t= + 5x ⇒ x= ta 5 t −1 = lim =1 + x − lim t → t → = t − t + t + t + t + lim x →0 x 5 (*)sử dụng giới hạn đặc biệt sin x sin kx = 1;lim =1 x →0 x →0 x kx Dạng : lim ex −1 e kx − Dạng : lim = 1;lim =1 x →0 x →0 x kx ln( x + 1) ln(kx + 1) = 1;lim =1 x →0 x →0 x kx Dạng 3: lim sin 3x x→0 sin x Bài : tính giới hạn lim Giải : sin 3x sin x 3 = lim = x→0 sin x x →0 3x 2 lim x e −1 Bài : tính giới hạn lim x→0 sin x Giải : ex −1 ex −1 ex −1 x lim = lim = lim x x→0 sin x x →0 x →0 x sin x sin x( e + 1) 1 1 = lim = = x→0 sin x 2 2x ln(3 x + 1) x →0 sin x Bài 3: tính giới hạn lim Giải : ln(3 x + 1) 3  ln(1 + 3x) 3x  = lim  = lim = x →0 x →0 sin x sin x  x →0 sin x 2  3x 2x lim (*) tính giới hạn Dạng : xlim →x 0 phương pháp thêm bớt f1 ( x ) − f ( x ) f1 ( x0 ) = f ( x0 ); g ( x0 ) = g ( x) Cách1 : thêm bớt vào tử số số c ta lim x → x0 f1 ( x ) − c − f ( x ) + c f ( x) − c f ( x) − c = lim − lim x →x0 x → x0 g ( x) g ( x) g ( x) Cách : thêm bớt vào tử số biểu thức ta lim x → x0 f1 ( x) − f ( x) − f ( x) + f ( x) f ( x ) − f ( x) f ( x) − f ( x) = lim − lim x → x0 x → x0 g ( x) g ( x) g ( x) Bài : tính giới hạn lim + x − cosx x x →0 Giải : cách 1 + x − cosx + x2 −1 cos x − lim = lim − lim 2 x →0 x →0 x →0 x x x2 x 2.sin 1 = lim + lim 2 = + = x →0 2 + x + x→0 x 4 Cách 2: + x − cosx + x − cos x lim = lim x →0 x →0 x2 x ( + x + cos x)  sin x  1 sin x + x = lim = lim  + 1÷ = (1 + 1) = x →0 x2 x →0  x  (*) tính giới hạn quy tắc Lôpitan Dựa kết : Nếu f(x) , g (x) khả vi lân cận x0 , f ' ( x) f ( x0 ) = g ( x0 ) = g ( x0 ) ≠ lân cận x0 đồng thời lim ' =A x→ x0 g ( x ) Thì : xlim →x f ( x) =A g ( x) a+x − n a Bài : tính giới hạn lim (a>0) x →0 x n Giải : −1  1 a+x − n a lim = lim  ( x + a) n  = n n −1 x →0 x→0 n x   n a n 2.2.5 tính giới hạn hàm số dạng ∞ ∞ Để tính giới hạn hàm số dạng ta có cách sau : Cách : sử dụng cho phân thức đai số ta chia tử mẫu cho luỹ thừa bậc cao x có mặt phân thức Cách : sử dụng nguyên lí kẹp thực bước sau • Chọn hàm số g(x),h(x) cho : g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) • f ( x) = lim h( x) = L Khẳng định lim x →∞ x→∞ • f ( x) = L Kết luận lim x →∞ • Sử dụng qui tắc Lơpitan Bài : cho hàm số f ( x) = Tính giới hạn x x2 + x lim f ( x); lim f ( x) từ cho biết tồn x →+∞ x→−∞ f ( x) giới hạn lim x→∞ Giải : lim h( x) = lim x →+∞ x →+∞ lim f ( x) = lim x →−∞ x →−∞ x x +x x x +x x = lim x →+∞ x 1+ x = lim x →−∞ x −x 1+ x = lim x →+∞ 1+ = − lim x →−∞ x 1+ f ( x) ≠ lim f ( x) nên không tồn lim f ( x) Vì xlim →−∞ x →+∞ x→∞ ln x x→+∞ x Bài : tính giới hạn lim =1 x = −1 Giải : ln x lim = lim x = lim = x →+∞ x x →+∞ x x →+∞ x 2.2.6 tính giới hạn ∞ − ∞ Để tính giới hạn trước tiên ta nhân liên hợp đưa dạng ∞ ∞ sau phương pháp tính giới hạn Bài : tính giới hạn L = lim x→∞ ( x3 + − x ) Giải : L = lim x→∞ ( x + 5) + x x3 + + x Bài : tính giới hạn lim x→∞ ( = lim x →∞ x2 + x + − x x2 5  1+ + x + +  ÷ x  x  ) Giải : lim x →∞ ( ) x +1 x + x + − x = lim x2 + x + x →∞ x +1 x →∞ 1 x + + + x x x = lim 1 x = lim = x→∞ 1 1+ + +1 x x 1+ 2.2.7 tính giới hạn dạng 1∞ ,0.∞, ∞ +) dạng 1∞ ta sử dụng giới hạn x  1 lim(1 + x) = e ; lim 1 + ÷ = e x→∞ x →0  x x +) giới hạn 0.∞, ∞ ta có cách sau = =0 Cách : sử dụng giới hạn Cách : sử dụng nguyên lí kẹp Bài : tính giới hạn lim(1 + sin x) x x →0 Giải : x (1 + sin x) = (1 + sin x) sin x sin x x = (1 + sin x) 1 ⇒ lim(1 + sin x) x = lim(1 + sin x) sin x x →0 x →0 x Bài : tính giới hạn lim( x sin ) x →0 Giải : ∀x ≠ thuộc lân cận ta có x.sin 1 ≤ x ⇔ - x ≤ x.sin ≤ x x x lim(− x ) = lim x = x →0 x →0 x Theo nguyên lí kẹp suy lim( x sin ) x →0 Bài tập đề nghị Bài : tìm giới hạn sau x +1  x+2 a) lim  ÷ x→∞ x +   π  lim tg b) π  − x ÷tg x x→ 4  ( c) lim + e x →0 x ) x : tìm giới hạn sau a) lim( tgx)1−sin x π x→ sin x 2x sin x sin x x sin x b) lim  + tgx ÷ x→0 + sinx   CHƯƠNG III : THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1 MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Mục đích thực nghiệm sư phạm, kiểm tra tính khả thi hiệu phương án triển khai, rèn luyện giải tập toán chủ đề giới hạn, bậc trung học phổ thông theo định hướng phát giải vấn đề 3.2 NỘI DUNG THỰC NGHIỆM Thực nghiệm dạy học rèn luyện kĩ giải tập toán chủ đề chương IV : giới hạn Trong chương trình đại số giải tích lớp 11 THPT theo chương trình hành giáo duc đào tạo 3.3 TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM Lớp thực nghiệm tiến hành với học sinh lớp 11 trường THPT Dân Tộc nội trú huyện Con Cuông +) lớp thực nghiệm :11A1 +) lớp đối chứng : 11A2 Trình độ lớp tương đối đồng (*) tiến trình thực nghiệm Tiến hành giảng dạy buổi Buổi buổi : số phương phháp giải toán giới hạn Phương pháp : xem xét dãy số có giới hạn hay khơng : Phương pháp : khử dạng vô định Buổi : cho lớp thực nghiệm lớp đối chứng làm kiểm tra 45’ Nội dung kiểm tra Bài : xét xem dãy số sau có giới hạn hay khơng ? có tính giới hạn a) un = + b) un = 1 + + − n ,n=1,2,3… n n nπ cos n +1 : tính giới hạn dãy số x + − x2 + x + lim x →0 x Bài : tính giới hạn sau − cos 2 x a) lim x →0 x sin x sin(π x m ) b) lim m,n∈Z m ,n >0 x →1 sin(π x n ) kiểm tra thực với mục đích, kiểm tra khả vận dụng phươnng pháp biết để tính giới hạn kĩ vận dụng phương pháp tối ưu để giải toán (*) kết kiểm tra Điểm Lớp TN Lớp.11A1 10 Số 0 16 11 2 44 13 1 47 ĐC Lớp.11A2 +) lớp thực nghiệm có 42/44 (95,45%) đạt trung bình trở lên,trong 31/44 (70,45%) đạt giỏi +)lớp đối chứng : 33/47 (70,21%) đạt trung bình trở lên,trong 12/47 (25,53%) đạt giỏi 3.4 Nhận xét đánh giá trình thực nghiệm Sau chấm tỉ mỉ làm học sinh, nhận thấy phần lớn em biết cách giải toán lựa chọn phương pháp hữu hiệu 3.5 kết luận chung thực nghiệm Qua kiểm tra đưa đưa số kết luận sau: Nếu học sinh rèn luyện kĩ giải giúp em có kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo giải toán giới hạn với kết cao Thực nghiệm cho thấy lớp thực nghiệm có kết cao hẳn so với lớp đối chứng, mục đích thực nghiệm sư phạm kiểm nghiệm giả thiết khoa học nêu DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [ 1] Trần Văn Hạo-Can Duy Lễ-Ngô Thúc Lanh-Ngô Xuân Sơn-Vũ Tuấn,Đại số Giải tích 11,NXB Giáo dục,2000 [ 2] Phan Huy Khải ,Toán nâng cao Đại số THPT,NXB Hà Nội,2006 [ 3] Nguyễn Bá Kim -Vũ Dương Thụy,Phương pháp dạy hocj mơn tốn.NXB Giáo dục,2001 [ 4] Phan Văn Danh-Nguyễn Định-Lê Văn Hạp-Nguyễn Hồng,bài tập tốn cao cấp-tập II,N XB,2000 [ 5] Nội,2001 Nguyễn Quang Uẩn, Tâm lí học đại cương,NXB đại học quốc gia Hà MỤC LỤC Mở đầu…………………………………………………………… 1.Lí chọn đề tài………………………………………………… 2.Mục đích nghiên cứu…………………………………………… 3.Đối tượng nghiên cứu…………………………………………… 4.Giả thiết khoa học……………………………………………… 5.Nhiệm vụ nghiên cứu…………………………………………… 6.Phạm vi nghiên cứu…………………………………………… Ý nghĩa việc nghiên cứu…………………………………… 8.cấu trúc đề tài………………………………………………… Chương I : Cơ sở lí luận thực tiễn……………………………… 1.1 quan điểm hoạt động trí tuệ giải tập tốn…………… 1.2 lực tốn học……………………………………… …… 1.3 vị trí chủ giới hạn thực trạng chủ đề .11 Chương II : Rèn luyện kĩ giải số dạng tập toán chủ đề giới hạn cho học sinh………………………………………… 13 2.1 Rèn luyện kĩ giải tập toán giới hạn dãy số…… .13 2.2 Rèn luyện kĩ giải tập toán giới hạn hàm số…… 28 Chương III : Thực nghiệm sư phạm…………………………… 42 3.1 mục đích thực nghhiệm…………………………………… 42 3.2 nội dung thực nghiệm………………………………………… 42 3.3 tổ chức thực nghiệm………………………………………… 42 3.4 nhận xét đánh giá trình thực nghiệm………………… .43 3.5 kết luận chung thực nghiệm……………………………… .44 ... tuệ giải tập toán 1.2 Năng lực toán học 1.3 Vị trí chủ đề giới hạn thực trạng chủ đề Chương II : Rèn luyện kĩ giải số dạng tập toán chủ đề giới hạn cho học sinh 2.1 Rèn luyện kĩ giải tập toán giới. .. chủ đề .11 Chương II : Rèn luyện kĩ giải số dạng tập toán chủ đề giới hạn cho học sinh? ??……………………………………… 13 2.1 Rèn luyện kĩ giải tập toán giới hạn dãy số…… .13 2.2 Rèn luyện kĩ giải tập toán giới. .. dụng để giải lớp tập CHƯƠNG II : RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TOÁN CHỦ ĐỀ GIIỚI HẠN CHO HỌC SINH 2.1 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TẬP TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ 2.1.1 tồn giới hạn dãy