Rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung cho học sinh thông qua dạy học các bài toán về bất đẳng thức

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh là một trong những mục tiêu cơbản của nhà trường phổ thông, trong đó việc rèn luyện các hoạt động trí tuệchung như khả năng ph

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh là một trong những mục tiêu cơbản của nhà trường phổ thông, trong đó việc rèn luyện các hoạt động trí tuệchung như khả năng phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hoá, đặcbiệt hoá, trừu tượng hóa giữ một vai trò quan trọng đối với việc phát triển trítuệ cho học sinh Các hoạt động trí tuệ chung giúp con người tư duy, hành độngtốt hơn trong học tập, nghiên cứu khoa học, hình thành các phẩm chất trí tuệnhư tính độc lập, tính linh hoạt, tính sáng tạo từ đó giúp con người có thể thamgia vào các lĩnh vực khác nhau của cuộc sống với hiệu quả cao

Tuy nhiên, việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ và các hoạt động trí tuệchung nói riêng ở các trường phổ thông không được thể hiện tường minh Do

đó người giáo viên cần tìm những cơ hội, những nội dung kiến thức phù hợp đểrèn luyện các hoạt động trí tuệ này cho học sinh

Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức hay và khó nhưng lại

có nhiều tiềm năng rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh Chính vì

những lý do trên nên chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung cho học sinh thông qua dạy học các bài toán về bất đẳng thức”

2 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

2.1 Mục đích nghiên cứu

Tạo ra hệ thống các bài toán về bất đẳng thức theo chủ đề nhằm rènluyện các hoạt động trí tuệ cơ bản và phát triển tư duy cho học sinh, góp phầnnâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường phổ thông

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu:

2.2.1 Nghiên cứu lý luận: Các hoạt động trí tuệ nói chung và các hoạt động trí

tuệ cơ bản nói riêng, vấn đề rèn luyện các hoạt động trí tuệ và phát triển tư duy

2.2.2 Nghiên cứu thực trạng rèn luyện các hoạt động trí tuệ của học sinh trong

dạy học chứng minh các bất đẳng thức, các biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh

2.2.3 Bước đầu thử nghiệm sư phạm về tính khả thi và tính hiệu quả qua dạy

học một số chủ đề được trình bày trong luận văn.

3 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu học sinh được rèn luyện một cách có hệ thống về các hoạt động trítuệ chung thông qua dạy học các bài toán về bất đẳng thức có thể giúp học sinhphát triển năng lực tư duy, tăng cường khả năng giải toán, sáng tạo toán học vàhình thành các phẩm chất tốt đẹp của người lao động

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

4.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách báo, tư liệu, các công trình có liên

quan đến đề tài

4.2 Điều tra – Quan sát: Dự giờ, quan sát việc giảng dạy của giáo viên và việc

học tập của học sinh trong quá trình chứng minh, khai thác các bài toán bấtđẳng thức nhằm rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh

4.3 Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết những kinh nghiệm rút ra từ thực tế

giảng dạy và quá trình nghiên cứu của bản thân qua trao đổi với những đồngnghiệm có kinh nghiệm ở các trường phổ thông

4.4 Phương pháp thử nghiệm sư phạm: Dạy thử nghiệm cho học sinh khối

10, khối 11 để bước đầu kiểm tra tính khả thi, hiệu quả của đề tài

5 CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Ngoài phần mở đầu, mục lục , kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm

ba chương

Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương II: Rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung cho học sinh thông quaviệc dạy học các bài toán về bất đẳng thức

Chương III: Thử nghiệm sư phạm

CHƯƠNG I

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

I.1.DẠY HỌC MÔN TOÁN VÀ YÊU CẦU PHÁT TRIỂN TRÍ TUỆ CHOHỌC SINH

I.1.1 Các mục tiêu chung trong dạng học môn toán ở trường phổ thông

+) Trang bị cho học sinh những tri thức, kỹ năng toán học và kỹ năngvận dụng toán học vào thực tiễn

+) Phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh

+) Giáo dục chính trị, tư tưởng, phẩm chất đạo đức thẩm mỹ và phongcách lao động khoa học

+) Bảo đảm chất lượng phổ cập đồng thời chú trọng phát hiện và bồidưỡng năng khiếu về toán

+) Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học tập đi vào cuộc sống lao động.Trong các nhiệm vụ trên, nhiệm vụ rèn luyện cho học sinh các kỹ năngtoán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn, khả năng tư duy sáng tạo

có vị trí rất quan trọng Nếu có kỹ năng, kỹ xảo cùng với tư duy sáng tạo thìcông việc sẽ được giải quyết một cách nhanh chóng và hiệu quả

Tuy nhiên để có tri thức và kỹ năng học sinh cần tiến hành các hoạt độngtrí tuệ do đó, nhiệm vụ phát triển trí tuệ cho học sinh qua môn toán vừa là mộtmục đích, lại vừa là phương tiện để đạt được mục đích về tri thức và kỹ năngtoán học Đồng thời mục đích phát triển trí tuệ gắn liền với mục đích giáo dụcphẩm chất nhân cách cho học sinh

I.1.2 Vấn đề phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh

Môn toán có một vị trí quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ,hình thành khả năng suy luận cho học sinh Mục tiêu này cần được thực hiệnmột cách có ý thức, có hệ thống, có kế hoạch chứ không phải là sự tự phát.Muốn vậy người giáo viên cần phải có ý thức đầy đủ về các mặt sau đây:

 Thứ nhất là rèn luyện tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác.

Do đặc điểm của khoa học toán học, môn toán có tiềm năng quan trọng

có thể khai thác để rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh Nhưng tư duy khôngtách dời ngôn ngữ, nó phải được trình bày bằng ngôn ngữ, được hoàn thiệntrong sự trao đổi và giao tiếp bằng ngôn ngữ của con người và ngược lại, ngônngữ được hình thành nhờ có tư duy Vì vậy, việc phát triển tư duy lôgic gắnliền với việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác

Việc phát triển tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác ở học sinh qua môntoán cần được thực hiện theo 3 hướng liên quan chặt chẽ với nhau

+) Làm cho học sinh nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liênkết lôgic: và, hoặc, nếu, thì, phủ định, những lượng tồn tại, khái quát, các kýhiệu chuẩn có tính quốc gia và quốc tế…

+) Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với các định nghĩa

+) Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độclập tiến hành chứng minh

 Thứ hai là phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng Đây là mộttrong những năng lực trí tuệ quan trọng, muốn khai thác khả năng nàyngười thầy giáo cần lưu ý:

+) Làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụng quy tắc suy đoán như xéttương tự, khái quát hoá, quy lạ về quen… những suy đoán có thể rất táo bạo,nhưng phải có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm nhất định chứkhông phải là đoán mò, làm liều

+) Tập luyện cho học sinh khả năng những đối tượng, quan hệ khônggian và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời hay những hìnhphẳng, từ những biểu tượng của những đối tượng đã biết có thể hình thành,sáng tạo ra hình ảnh của những đối tượng chưa biết hoặc không có trong đờisống thực tại

 Thứ ba là rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản cho học sinh như:phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừutượng hoá… Để học tốt các môn học đặc biệt là môn toán thì đòi hỏi họcsinh phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ này.

 Thứ tư là hình thành những phẩm chất trí tuệ Việc luyện cho học sinhnhững phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa to lớn đối với việc học tập, công táctrong cuộc sống Có thể nêu lên một số phẩm chất trí tuệ quan trọng đó là:

+) Tính linh hoạt đó là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự

của hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệmkhác; định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo

ra sự vật mới trong những quan hệ cũ

Tính linh hoạt của tư duy còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái độ

đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người Có thể thấy tính linh hoạt của

tư duy có những đặc trưng sau:

- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, giải phápnày sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại

- Suy nghĩ không rập khuôn máy móc những kinh nghiệm, kiến thức đã cóvào hoàn cảnh mới, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinhnghiệm, những phương pháp, cách nghĩ đã có từ trước

- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mớicủa đối tượng quen biết, nhìn sự vật một cách động chứ không phải bất biến

+) Tính độc lập: tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình

phát hiện vấn đề, tự mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tựmình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được Tính độc lập liên hệ mật thiết vớitính phê phán của tư duy, điều này thể hiện ở khả năng đánh giá những nghiêncứu, ý nghĩ và tư tưởng của người khác và của chính bản thân mình, có tinhthần hoài nghi khoa học biết đặt ra những câu hỏi như "tại sao?", "như thế

+) Tính sáng tạo: tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những

điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét

ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kếtquả mới, khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoàitưởng như không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biếtnhững giải pháp khác

Như vậy việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh có ý nghĩa hếtsức quan trọng trong việc hình thành năng lực tư duy của học sinh và đây cũng

là một trong những mục tiêu quan trọng của dạy học toán Do những đặc trưngcủa môn toán nói chung và vấn đề bất đẳng thức và các bài toán cực trị nóiriêng mà muốn nhận thức được và có kỹ năng thì học sinh cần phải thườngxuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như: phân tích, tổng hợp… Do

đó có thể nói quá trình dạy học toán đặt ra yêu cầu và chứa đựng nhiều tiềmnăng lớn để phát triển năng lực tư duy cho học sinh Do vấn đề rộng lớn của tưduy nên trong phạm vi nghiên cứu của đề tài chúng tôi chỉ khai thác, tìm hiểu

và rèn luyện cho học sinh những hoạt động trí tuệ cơ bản

I.2 CÁC HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CƠ BẢN VÀ MỐI QUAN HỆ GIỮACHÚNG

I.2.1 Các hoạt động trí tuệ cơ bản

a) Phân tích và tổng hợp

* Phân tích là đi sâu tìm hiểu các chi tiết, bộ phận của một tổng thể, tìm

ra những đặc điểm của các chi tiết, bộ phận đó [6 - tr 177]

Phép phân tích là phương pháp suy luận đi từ cái chưa biết đến cái đã biết ,

từ điều cần tìm đến điều đã cho [ 17 , tr.493] Có hai dạng phân tích đó là

+) phép phân tích đi lên( suy ngược lùi)

Muốn chứng minh A thì ta cần chứng minh A1 , nghĩa là A1  A muốnchứng minh A1 thì cần chứng minh A2 , …, cuối cùng muốn chứng minh An-1

thì cần chứng minh An Khi An là điều đã biết(Định lý , định nghĩa ,tiên đề, giả

thiết ,…) thì dừng lại Như vậy ta có sơ đồ A n  A n-1 … A 2 A 1 A

Phép phân tích đi lên thường được dùng để tìm lời giải bài toán Phép phântích đi lên đã được loài người biết đến từ 300 năm trước công nguyên bắt đầu

từ Hy Lạp, từ phát biểu của Pappus throng cuốn “nghệ thuật giải toán “ ,Pappus nói “ Ta muốn đạt được kết quả mong muốn thì phải đi từ kết quả đó ,rồi muốn đạt được kết quả này thì phải đi từ kết quả nào trước nữa,…, cho đếncuối cùng ta tìm được một điều đã biết hay đã công nhận là đúng.” Ta gọi đó làphép phân tích đi lên hay suy ngược lùi

Ví dụ1 : Cho tứ diện ABCD có các cạnh đối diện bằng nhau Gọi I,K lần lượt

là trung điểm các cạnh AB và CD Chứng minh rằng : IK là đường vuông gócchung của AB và CD

Gợi ý phân tích tìm lời giải

+) phép phân tích đi xuống (hay suy ngược tiến)

AI

C

K

Tứ diện ABCD có các cạnh đối diện bằng nhau

A  A 1 A 2 … A n-1 A n Khi gặp An là phán đoán sai thì dừng lại, vì từđây ta suy ra A sai Còn nếu An đúng thì chưa thể kết luận gì về A vì A có thểđúng ,có thể sai

* Tổng hợp là nhìn bao quát nhiều sự việc, hiện tượng, lý thuyết riêng lẻ, cố

tìm ra mặt giống nhau giữa những cái riêng lẻ đó, hi vọng tìm ra một nội dungchung bao trùm lên tất cả cái riêng lẻ đó

Ví dụ2: Ta dùng phân tích đi sâu vào số e, hàm ex, ứng dụng của hàm ekx

để giải phương trình vi phân trong đó có phương trình y'' + y = 0 (1) và ta tìmđược hai nghiệm của phương trình này đó là eix và e-ix do đó nghiệm tổng quátcủa phương trình vi phân (1) là y = c1eix + c2 e-ix

Nhưng ta lại nhận thấy y = sinx và y = cosx cũng là 2 nghiệm độc lậpcủa phương trình (1) Từ đó ta rút ra eix = cosx + isinx Như vậy nhờ phân tích

đi sâu mà ta phát hiện ra chỗ giống nhau trong hai lĩnh vực trước đó được coi làkhác nhau xa :hàm số mũ và hàm lượng giác Từ đó có cái nhìn tổng quát baotrùm lên cả hai loại hàm số, sau đó ta lại có thêm công cụ để đi sâu vào từnglĩnh vực

Như vậy phân tích tạo điều kiện cho tổng hợp vì nếu không đi sâu vàocác sự kiện riêng lẻ thì cũng khó thấy được những mặt giống nhau giữa các sựkiện riêng lẻ đó Tổng hợp lại tạo thêm điều kiện cho sự phân tích tiếp nhờ có

sự tổng hợp đó mà ta có thể dùng kết quả nghiên cứu được trong sự kiện riêng

lẻ này phục vụ cho việc nghiên cứu đi sâu vào các sự kiện riêng lẻ khác

b) So sánh và tương tự

* So sánh đó là sự phát hiện những đặc điểm chung và những đặc điểm

khác nhau ở một số các đối tượng

Từ việc nghiên cứu lời giải và kết quả của hai bài toán sau:

Ví dụ3: Cho a, b, c  0 Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 ≥ ab4 + bc4 + ca4

Hướng dẫn lời giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:

a5 + b5 + b5 + b5 + b5 ≥ 5ab4

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh.

So sánh lời giải hai bài toán trên ta thấy ở bài toán thứ nhất ta áp dụng bấtđẳng thức côsi cho một số a5 và 4 số b5 và làm tương tự ta sẽ có kết quả, còn ởbài toán 2 ta lại áp dụng côsi cho 2 số a5 và 3 số b5 Tương tự các cặp khác rồicộng lại ta có điều phải chứng minh Như vậy quan sát bậc của vế phải và vếtrái của bài toán 1 và bài toán 2 đều bằng nhau và bằng 5 nhưng ở vế phải củabài toán 1 thì bậc của mỗi số hạng được tạo ra từ tích của bậc nhất và bậc 4 còn

ở các số hạng của vế phải của bất đẳng thức 2 thì bậc mỗi số hạng là tích củabậc 2 và bậc 3 Từ việc so sánh hai bài toán này ta rút ra được đặc điểm chungcủa các bài toán là bậc ở hai vế là bằng nhau còn sự khác nhau đó là cấu tạobậc ở vế phải được tạo thành do sự đối xứng vòng quanh của 3 biến a, b, c vớibậc mỗi số hạng được kết hợp với tích bậc nhất và bậc 4 với tích của bậc hai vàbậc ba Từ việc so sánh hai bài toán trên ta có thể đề xuất bài toán tổng quát là:

Cho a, b, c ≥ 0 Chứng minh rằng: an + bn + cn ≥ akbn-k + bkcn-k + ckan-k

n ≥ 1, 0 ≤ k ≤ n

*Tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ

của những đối tượng toán học khác nhau [17; tr 625 ]

Theo G Pôlya: "Hai hệ được gọi là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau

Ta có thể mô tả sự tương tự như sau:

A có tính chất a, b, c, d

B có tính chất a, b, cThế thì B có thể có tính chất d Người ta thường xét sự tương tự trongtoán học trên các khía cạnh sau:

 Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối phương pháp chứngminh là giống nhau

 Hai hình là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau hoặc vaitrò của chúng giống nhau trong vấn đề nào đó, hoặc giữa các phần tửtương ứng của chúng có quan hệ giống nhau

 Hai tính chất là tương tự nếu chúng biểu diễn các yếu tố hoặc các thuộctính của hai hình tương tự

Ví dụ 5: Hình cầu trong không gian tương tự với hình tròn trong mặt phẳng,

được thể hiện qua một số tính chất sau:

 Mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu tương tự với tiếp tuyến của đườngtròn

 Qua một đường thẳng không cắt mặt cầu dựng được 2 mặt phẳng tiếpxúc với mặt cầu, còn với đường tròn thì qua một điểm nằm ngoàiđường tròn kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với đường tròn

- Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB trong không gian tương tự vớiđường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB trong mặt phẳng

 Hai tính chất là tương tự nếu chúng được biểu diễn bởi các yếu tố hoặccác thuộc tính của hai hình tương tự, đôi khi trong quá trình ta mở rộngcác kết quả các thuộc tính của tập hợp hình này Từ đó ta có thể suy đoáncác tính chất này sang tập hợp khác có tính tương tự với tập hợp ban đầu

Ví dụ 6: Tam giác trong hình học phẳng được xem là tương tự với tứ diện

trong hình học không gian, ta có bảng sau:

Đỉnh Đỉnh

Diện tích tam giác Thể tích tứ diện

Ví dụ7: Tương tự có thể vận dụng trong quá trình hình thành khái niệm

mới Chẳng hạn khi chúng ta dạy về khái niệm cấp số cộng thì ta nghiên cứuđịnh nghĩa , các tính chất

a) Định nghĩa : Dãy số (Un) được gọi là một cấp số cộng nếu mỗi số hạng

kể từ số hạng thứ hai đều bằng số hạng đứng liền trước nó cộng vớihằng số d gọi là công sai Nếu ta thay cụm từ cấp số cộng bởi cấp sốnhân, phép toán cộng bởi phép toán nhân, công sai d bởi công bội q thì

ta được dịnh nghĩa của cấp số nhân

sử dụng trong việc giảng dạy toán học Tuy nhiên giáo viên cũng cần lưu ý chohọc sinh là : cũng giống như phương pháp quy nạp không hoàn toàn, tương tự

có thể dẫn đến kết quả sai Ví dụ như: trong tam giác thì 3 đương cao luôn đồng

quy tại trực tâm Tương tự, trong không gian các đường cao của tứ diện đồngquy Kết quả này là sai vì nó chỉ đúng khi tứ diện có các cặp cạnh đối diện làvuông góc với nhau Điều đó có nghĩa là tính chất 3 đường cao trong tam giácđồng quy chuyển qua không gian chỉ đúng khi tứ diện là tứ diện trực tâm.

c)Khái quát hoá và đặc biệt hoá

* Khái quát hoá

Theo G Polya," Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp

đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập lớn hơn bao gồm cả tập hợp banđầu"

Trong "phương pháp dạy học môn toán " tác giả Nguyễn Bá Kim dã nêurõ" Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơnchứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung củacác phần tử của tập hợp xuát phát"

Chẳng hạn ta khái quát hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu bất đẳng thứCauchy cho 2 số sang việc nghiên cứu bất đẳng thức Cauchy cho n số Chúng

ta khái quát hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu những hàm số lượng giác củagóc nhọn sang việc nghiên cứu những hàm số lượng giác của một góc tuỳ ý

Trong 2 ví dụ trên khái quát hoá được thực hiện theo hai hướng có tínhchất khác nhau Ở ví dụ thứ nhất khái quát hoá được thực hiện bằng thay hằng

số 2 bởi một số tự nhiên tổng quát n Ở ví dụ thứ hai khi chuyển từ góc nhọnsang góc tuỳ ý α chúng ta dã vất bỏ điều kiện hạn chế 0o<α<90α<α<90900

Như vậy những dạng khái quát hoá thường gặp trong toán học có thểđược biểu diẽn theo sơ đồ sau:

Khái quát hoá

Như vậy có hai con đường khái quát hoá :

- Thứ nhất : trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ

- Thứ hai: không dụa trên sự so sánh mà dụa trên sự phân tích chỉmột hiện tượng trong hàng loạt các hiện tượng giống nhau

Ví dụ 8: Cho a, b,c là các số không âm Chứng minh rằng:

Bên cạnh đó còn có dạng khái quát hoá đi đến kiến thức đã biết Dạngnày được thể hiện khi giả các bài tập chứnh minh toán học, trong đó khái quáthoá thể hiện ở việc liên hệ những tình huống cụ thể của bài toán với những tiên

đề, định nghĩa, địng lý thích hợp, ở việc nhận biết cái tổng quát đã biết trong

Khái quát hoá tư cái riêng lẻ

đến cái tổng quát

Khái quát hoá đến cái tổng

quát đã biết

Khái quát hoá đến cái tổng

quát chưa biếtKhái quát hoá từ cái tổng quátđến cái tổng quát hơn

Ví dụ 9: Khái quát hoá trọng tâm của hệ n điểm

- Với 2 điểm A1, A2; GA1 + GB2 = 0 thì G là trung điểm A1A2

- Với ba điểm: A1,A2,A3;GA1 +GA2 +GA3 =0thì G là trọng tâm tam giác

A1A2A3

- Khái quát hoá thành hệ n điểm A1, A2, …An; 



n i i

GA

1 = 0 thì G được gọi làtrọng tâm của hệ n điểm A1, A2 … An Từ khái niệm trọng tâm khái quát hoáthành khái niệm tâm tỷ cự của hệ n điểm A1, A2 … An với các hệ số  1… n

i

1

  0.Khi α1 = α2 = … = αn thì khái niệm tâm tỷ

cự trở về khái niệm trọng tâm của hệ n điểm đã cho

Như vậy khái quát hoá là thao tác tư duy nhằm phát hiện những quy luậtphổ biến của một lớp các đối tượng hoặc hiện tượng từ một hoặc một số cáctrường hợp riêng lẻ Hoạt động khái quát hoá trong toán học có liên quan đếncác hoạt động khác như phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, đặc biệt hoá vàkhái quát hoá được sử dụng trong việc hình thành các khái niệm, chứng minhđịnh lý, phát hiện và đề xuất vấn đề mới

Trong hai ví dụ trên, ĐBH được thực hiện theo hai hướng có tính chấtkhác nhau Ở ví dụ thứ nhất, từ đa giác đến đa giác đều chúng ta đã nghiên cứumột đối tượng chỉ có các cạnh và các góc bằng nhau Ở ví dụ thứ hai, chúng tathay đổi đối tượng biến thiên bằng đối tượng cụ thể, thay số tự nhiên n bằng số 3

Ví dụ 10 : Ta xét một trường hợp ĐBH đi từ bất đẳng thức Bunhiacopxki cho

- Từ (2) ta lại đặc biệt hoá bằng cách:

Chọn a = x + y; b = y + z; c = z + x ta được bất đẳng thức:

(x + y + z) (x 1 y + 1

y z + z 1x) 

2 9



z y

Từ đó nếu ta chọn a = x3 + 3yz(y + z) + 2xyz; b = y3 + 3xz(x + z); c = z3

+ 3xy(x + y) + 2xyz và x + y + z = 1 thì ta có bài toán:

xyz z

y yz

Ví dụ11 : Cho tam giác đều ABC, cạnh M là điểm nằm trong miền tam giác.

chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến các cạnh của ∆ABC là mộthằng số A

Gợi ý tìm lời giải:

Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ M đến các

cạnh BC, CA, AB Khi đó ta cần chứng minh tổng

x + y + z = k không đổi Để làm được số k trước hết

giáo viên cho học sinh đặc biệt hoá như sau:

a với mọi vị trí M Thật vậy ta có

SMBC + SMCA + SMAB = SABC 

ta có điều phải chứng minh

Như vậy xuất phát từ một bài toán đơn giản giáo viên có thể hướng dẫnhọc sinh đặc biệt hoá để tìm những hình thức khác nhau của bài toán, kĩ thuậtđặc biệt hoá càng phức tạp thì bài toán thu được có độ khó càng cao, bằng cáchnày học sinh có the tự tạo ra các bài toán và giáo viên cũng nhờ đó mà tạo các

đề toán hay và khó cho học sinh

Có thể nói đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược với khái quát hoá vàchúng ta thường tiến hành đặc biệt hoá khi chuyển từ một lớp đối tượng đếnmột đối tượng của lớp đó Đặc biệt hoá thường sử dụng trong việc trình bày cáckhái niệm, chứng minh định lý, bác bỏ một mệnh đề,… Trong giải toán quỹtích, tìm điểm cố định, đặc biệt hoá thường sử dụng để mò mẫm, dự đoán trên

cơ sở đó hình thành phương pháp giải cho toàn bộ bài toán

d) Trừu tượng hoá

Trừu tượng hoá là thao tác tách ra từ một đối tượng toán học một tínhchất (về quan hệ số lượng hoặc hình dạng lôgic của thế giới khách quan) đểnghiên cứu riêng tính chất đó [17, tr 617]

Trừu tượng hoá là sự nêu bật và tách những đặc điểm bản chất ra khỏinhững đặc điểm không bản chất Như vậy trừu tượng hoá là điều kiện ắt cónhưng chưa đủ để khái quát hoá

M

M2

M3 z yx

Ví dụ, để khái quát mệnh đề "Tích của hai số âm luôn là một số dương"thành mệnh đề "tích của một số chẵn lần các số âm luôn là một số dương" Họcsinh phải tách đặc điểm số mũ chẵn khỏi đặc điểm số mũ bằng 2.

Sự trừu tượng hoá trong toán học không dừng lại ở mức độ nhất định màtiến dần từ mức này sang mức khác Để hình thành các đối tượng toán học có 3phương thức trừu tượng hoá cơ bản:

+) Trừu tượng hoá đồng nhất: Tính chất hay quan hệ chung của nhữngđối tượng nghiên cứu được tách ra xem như là thuộc tính của lớp đối tượng đó(cũng còn gọi là trừu tượng hoá khái quát)

+) Trừu tượng hoá lý tưởng hoá: Từ đối tượng sự vật thành đối tượngthuần khiết, tồn tại trong tư duy Ví dụ như khái niệm điểm, mặt phẳng, đườngthẳng Trong phương thức này có dạng trừu tượng tiềm năng khả hiện nhằm

mở rộng giới hạn kiến thiết trong không gian và thời gian Ví dụ như đườngthẳng dài vô hạn, mặt phẳng mở rộng vô hạn…

+) Trừu tượng hoá giả định: Mở rộng giới hạn thực tế của việc xây dựngcác đối tượng toán học với điều kiện xác định theo giả định cho trước Ví dụ,

mở rộng không gian 3 chiều sang không gian n chiều (hữu hạn và vô hạn)

Trừu tượng hoá có liên hệ mật thiết với khái quát hoá, nhờ trừu tượnghoá ta có thể khái quát hoá rộng và sâu hơn Trừu tượng hoá và khái quát hoá lànguồn gốc của sự hình thành các khái niệm toán học

I.2.2 Mối quan hệ giữa các hoạt động trí tuệ cơ bản

Trong mối quan hệ giữa các hoạt động trí tuệ cơ bản có nhiều mối liên hệđan chéo nhưng ở đây trong đề tài nghiên cứu chúng tôi chỉ trình bày một sốmối liên hệ nổi bật và thường xuyên được sử dụng khi rèn luyện các hoạt độngtrí tuệ cơ bản

a) Mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp với các hoạt động trí tuệ khác

Phân tích và tổng hợp là bản chất của hoạt động tư duy nói chung, của

chỉ là những dạng xuất hiện của phân tích và tổng hợp vì vậy, khi rèn luyện cáchoạt động trí tuệ cơ bản cho học sinh chúng ta cần ý thức rèn luyện cho họ khảnăng phân tích và tổng hợp, coi đó là cơ sở để thực hiện các hoạt động trí tuệ.Nếu học sinh gặp khó khăn khi tiến hành một hoạt động nào đó thì cần quay lại

cơ sở của hoạt động đó là phân tích và tổng hợp Chẳng hạn khi hướng dẫn họcsinh khái quát hoá một ví dụ cụ thể để tìm ra quy luật, nếu học sinh gặp khókhăn trong việc phát hiện đặc điểm chung thì yêu cầu họ trước hết hãy mô tảđặc điểm của từng ví dụ, nghĩa là ta thực hiện thao tác phân tích rồi đối chiếuvới nhau để tìm ra đặc điểm chung (tổng hợp) Nếu học sinh vẫn gặp khó khăntrong việc phân biệt đặc điểm bản chất với đặc điểm không bản chất thì ta cóthể gợi cho học sinh những đặc điểm nào đó ảnh hưởng tới sự kiện sẽ là đặcđiểm, bản chất, đặc điểm nào không ảnh hưởng tới sự kiện là đặc điểm khôngbản chất

b) Mối quan hệ giữa so sánh và khái quát hoá

So sánh là sự phát hiện những đặc điểm chung và những đặc điểm khácnhau ở một số đối tượng, thành phần thứ nhất thường diễn ra trong quá trìnhkhái quát hoá Từ đó ta thấy so sánh chỉ được thực hiện khi có hai đối tượng trởlên mà ta không khái quát hoá được

Ví dụ12: Khi ta tính đạo hàm cấp n của hàm số y = 2 1 1



x ta bắt đầutính đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp 3 của y

y' = ( 2 1 ) 2

! 1 2

! 2 2



3

) 1 2 (

! 3 2

x

n

,n 1Như vậy so sánh là một con đường để khái quát hoá nhưng không phải làcon đường duy nhất Bên cạnh con đường này (con đường của số đông họcsinh) còn tồn tại một con đường khác (con đường của một số học sinh có nhiềukhả năng), không dựa trên sự so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiệntượng trong hàng loạt các hiện tượng giống nhau Việc nhận dạng và phát hiệncách giải một số dạng toán cụ thể như là đại diện của một lớp dạng toán cùngkiểu thuộc về dạng khái quát này Ví dụ như khi ta khái quát hoá tìm phươngpháp giải các dạng toán như hệ phương trình đối xứng (lớp 10), phương trìnhđối xứng đối với sinx và cosx (lớp 11)… Vì vậy ta coi trọng đúng mức khôngnên quá cường điệu vai trò của so sánh với khái quát hoá Từ đó khi cho họcsinh tập luyện khái quát hoá trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ cầntập luyện cả những hình thức khái quát hoá khác nữa mà không liên hệ với sosánh, chẳng hạn khái quát hoá dựa trên sự tương tự, dựa trên sự phân tích

c) Mối quan hệ giữa tương tự với khái quát hoá

Tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất, quan hệcủa những đối tượng toán học khác nhau, do đó các biểu hiện của tương tự rất

đa dạng Vì thế ở đây ta chỉ xét những phép tương tự theo nghĩa là chuyển từmột trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng khác của cùng một cáitổng quát Chẳng hạn ta xét các bài toán sau với tam giác ABC là tam giácnhọn Chứng minh rằng:

a) tgA + tgB + tgC  3 3

b) tg2A + tg2B + tg2C  9c) tg3A + tg3B + tg3C  9 3

d) tgnA + tgnB + tgnC  3( 3)n

Việc chuyển từ (a) sang (b), từ (b) sang (c) hoặc ngược lại là phép tương

tự còn từ (a), (b), (c), sang (d) là khái quát hoá phép tương tự ở đây rất gần vớikhái quát hoá, phép tương tự có thể coi là tiền thân của khái quát hoá, bởi vìviệc chuyển từ một trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng khác củacùng một cái tổng quát, là một bước để đi tới một trường hợp riêng bất kỳ củacái tổng quát đó Nhiều khi học sinh đã có một sự hình dung nhất định về cáichung nhưng chưa hiểu nó một cách đầy đủ, chỉ có thể đưa ra những cái riêng

lẻ coi như đại biểu của cái chung Vì thế trong những trường hợp nhất định ta

có thể coi sự thực hiện phép tương tự như là biểu hiện của khái quát hoá Ở ví

dụ trên thì tương tự được thể hiện cả ở nội dung bất đẳng thức và phương phápchứng minh nó Do đó khi khai thác mối liên hệ giữa phép tương tự với kháiquát hoá trong nhiều trường hợp ta nên khuyến khích học sinh thực hiện nhữngphép tương tự coi như tiền thân của khái quát hoá, đó là sự biểu hiện của kháiquát hoá cho tới khi họ nhận ra được cái tổng quát đầy đủ

d) Mối liên hệ giữa trừu tượng hoá và khái quát hoá

Trừu tượng hoá có quan hệ mật thiết với khái quát hoá Trừu tượng hoá

là sự nêu bật và tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bảnchất, trừu tượng hoá là điều kiện cần nhưng chưa đủ để khái quát hoá Khaithác mối quan hệ này giáo viên có thể tạo điều kiện cho học sinh tập luyện trừutượng hoá cùng với khái quát hoá trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ

và bố trí các trường hợp riêng lẻ mang một số đặc điểm chung nổi bật Chẳnghạn ta lấy một ví dụ về phát triển khả năng trừu tượng hoá để đi tới khái quáthoá ở các lớp tiểu học như sau:

a) Hãy tính các tích sau đây và so sánh mỗi tích với từng thừa số: 0,3 0,5

= ?; 1,1.1,2 = ?

b) Hãy đưa ra 3 ví dụ về tích của 2 số sao cho tích của chúng nhỏ hơnmỗi thừa số Hãy đưa ra ví dụ về tích 2 thừa số sao cho tích đó lớn hơn mỗithừa số.

c) Với điều kiện nào thì tích của hai thừa số sẽ nhỏ hơn mỗi số đó, vớiđiều kiện nào thì tích của 2 số sẽ lớn hơn mỗi số đó

Trong bài tập này 3 ví dụ đầu ở câu a) có các đặc điểm sau: cả hai thừa

số đều là phân số thường, đều nhỏ hơn đơn vị, đều khác không, tích nhỏ hơnmỗi thừa số Câu b) được đưa ra với dụng ý để học sinh tiến hành phép tương

tự coi như biểu hiện của khái quát hoá

Trong khi tìm điều kiện tổng quát cho câu c) học sinh phải tách các đặcđiểm bản chất (ba đặc điểm cuối) khỏi đặc điểm không bản chất (đặc điểm đàu)tức là học sinh đã tiến hành hoạt động trừu tượng hoá Quá trình tư duy cũngdiễn ra tương tự cho 3 ví dụ cuối Như vậy việc trừu tượng hoá là điều kiện và

là cơ sở để ta đi tới mệnh đề tổng quát Ở bài toán trên để tách được các đặcđiểm bản chất và không bản chất thì học sinh phải thực hiện tất cả các thao tác

tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự từ đó mới đưa ra được điềukiện tổng quát

e) Mối quan hệ giữa đặc biệt hoá với khái quát hoá

Khái quát hoá và đặc biệt hoá là hai hoạt động trái ngược nhau, khai thácmối quan hệ giữa hai hoạt động trên trong tập luyện cho học sinh khái quát hoá,yêu cầu học sinh đi từ những cái riêng lẻ đến cái chung (khái quát hoá) Khi đãtìm được cái chung lại cho học sinh đi từ cái chung đến cái riêng (đặc biệt hoá)

để làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa cái đạt được và cái xuất phát Ví dụ khihọc sinh giải bài toán sau:

Ví dụ 13: Tính các tổng sau:

S1(n)= 1+2+…+n

S2(n) = 12 + 22 + …+ n2

Ta có hằng đẳng thức: (k+ 1)3 - k3 = 3k2 + 3k + 1 áp dụng cho k nhận các giátrị từ 1 cho đến n rồi cộng lại ta được:

(n + 1)3 - 1 = 3S2 (n) + 3S1 (n) + n S2 (n) = n(n1)(62n1)

Phân tích đặc điểm của các phần tử trong tổng S1(n) và S2(n) ta thấyrằng 1, 2, …, n lập thành một cấp số cộng Do đó ta nghĩ tới một bài toán tổngquát hơn đó là bài toán sau:

I.3.1 Dạy học giải bài toán

a) Vai trò của bài toán

*Theo G Pôlya: “ Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm hiểu một cách có ýthức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưngkhông thể đạt được ngay”

Rubinstein viết: “ Một vấn đề hoặc một tình huống có vấn đề được xácđịnh trước hết ở chỗ trong nó có cái chưa biết, cũng là lỗ hổng cần được lấpđầy,có cái X nào đó cần được thay bởi giá trị tương ứng Như vậy một tìnhhuống có vấn đề luôn luôn chứa cái gì đó còn là ẩn trong quan hệ với cái đã chocần xác định dưới dạng hiện” Ông cũng viết: “ Bài toán là sự phát biểu vấn đềbằng lời”

- Theo G Pôlya bài toán được phân chia làm hai loại: bài toán tìm tòi và bàitoán chứng minh

+ Bài toán tìm tòi với mục đích là tìm ra một đối tượng nhất định, tìm ra ẩncủa bài toán thoả mãn điều kiện ràng buộc ẩn với các dữ liệu của bài toán đó

Ẩn có thể thuộc những phạm vi hết súc khác nhau Trong các bài toán dựnhhình thì ẩn là hình cần dựng, khi giải phương trình thì ẩn là một số ( nghiệmcủa phương trình đó).Bài toán tìm tòi thường được mô tả bởi các động từ như

“tìm”, “ xác định” hay “dựng”

+Bài toán chứng minh thường ở dạng một mệnh đề toán học phát biểu dướihình thức: Phần thứ nhất bắt đầu bằng từ “nếu”( điều kiện, giả thiết), phần thứhai bắt đầu bằng từ “thì” ( kết luận) và đây cũng là phần chính của bài toán

Từ nhữnh hình thức của bài toán ta thấy rằng bài toán có vai trò quantrọng trong việc củng cố lý thuyết, giải quyết những vấn đề trong thực tế cuộcsống và trong nội bộ khoa học, nó còn giúp học sinh rèn luyện, phát triển cáchoạt động trí tuệ

b) Dạy học tìm lời giải bài toán:

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý của G Pôlya(1975) về cách thức giải bài tập và thực hiện dạy học có thể nêu nên những

ư ớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Bài toán nói gì? Cái gì là giữ liệu? cái gì phải tìm? Có thể phát biểu bằnghình thức khác? Có bài toán nào tưong tự như vậy chưa? dạng bài toán nào?( chứng minh hay tìm tòi), kiến thức cơ bản cần có là gì?

Bứoc 2: Xây dựng chương trình giải

Ở bước này GV cần lưu ý cho HS phân tích bài toán đã cho thành nhiều bàitoán nhỏ đơn giản hơn, huy động kiến thức (định nghĩa , định lý , quy tắc ) , cóliên quan đến khái niệm , những quan hệ trong bài toán ,rồi lựa chọn trong số

đó những kiến thức phù hợp với dữ kiện của bài toán Xét trong từng trườnghợp riêng , nghiên cứu bài toán tổng quát rồi quay trở lại áp dụng Tìm cáccách giải khác ,so sánh chúng để chọn cách giải hợp lý nhất

B

ư ớc 3: Thực hiện chương trình giải

Từ cách giải đã được phát hiện , sắp xếp các việc phải làm thành một chươngtrình gồm các bước theo một trật tự thích hợp và thực hiện các bước đó

B

ư ớc 4: Kiểm tra và nghiên cứu các lời giải

- Xem xét có sai lầm gì không

- Có phải biện luận kết quả tìm được không?

- Nếu là bài toán thực tiễn thì kết quả tìm được có phù hợp với thực tiễnkhông?

- Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng

L

ư u ý: Trong khi tìm hiểu nội dung bài toán phải phân tích được nguồn gốc

hình thành các giả thiết, các điều kiện đã cho trong bài toán và có khi cả kếtquả của bài toán; phải phát hiện cho được mối liên hệ có tính chất giữa giả thiết

và kết luận hay giữa những điều đã cho và những điều bài toán đòi hỏi Qua đóđoán nhận đựoc quá trình hình thành bài toán của tác giả và người giải toán sẽ

có một sự hiểu biết sâu sắc về bài toán đó Làm tốt những điều đó sẽ giúp íchrất nhiều cho việc sáng tạo các bài toán mới

Ví dụ15: Cho dãy số (Un) xác định bởi: U1= 10 Un+1 =

B

ư ớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán:

Phân tích để chứng minh( Vn) là một cấp số nhân ta phải chỉ ra rằng có số qsao cho Vn+1 = q.Vn, nhưng Vn chưa biết từ đó ta phải tính Vn và điều này dẫnđến phải tìm Un

từ đó ta sẽ chứng minh (*) bằng quy nạp

G.V: Biểu thức U ncó đặc biệt gì? Ta có thể xác định được công thức tổng quát của U nkhông?

ư ớc 3: Thực hiện chương trình giải

G.V: Từ việc phân tích trên, hãy trình bày lại lời giải vào vở

HS: Trình bày lại lời giải vào vở

B ư ớc 4: Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

G.V: cho học sinh đặc biệt hoá để kiểm tra Un tính có đúng không

HS: Nghiên cứu cách giải khác

Theo hướng trên ta đi tính Un rồi tính Vn (Vn )có lập thành cấp số nhânkhông?

Ngược lại nếu ta chứng minh (Vn) là cấp số nhân thì ta tính được Vn và

Suy ra (vn) lập thành một cấp số nhân , với V1 =U1-15 25

4  4 và công bội

15

4

n

U

 

 Khái quát hoá bài toán

Cho dãy số (Un) xác định bởi 1

*Nghiên cứu các bài toán tương tự:

Cho ABC đều cạnh a, A1B1C1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh ABC,

A2B2C2 có các đỉnh là trung điểm các cạnh A1B1C1,…. An+1Bn+1Cn+1 có cácđỉnh là trung điểm các cạnh AnBnCn Gọi P1P2 ,Pn và S1S2 ,Sn theo th ứtự làchu vi , diện tích của các tam giác A1B1C1, A2B2C2, …., AnBnCn

a) CMR: (Pn),(Sn) là các cấp số nhân

b) Tính lim Sn ; limPn ; các tổng P P1 2  P n và S1 S2  S n

Khi gặp một bài toán thì việc nghiên cứu các đặc điểm về dạng của bài toán

là phần hình thức của bài toán đó Do sự thống nhất giữa nội dung và hình thứcnên việc nghiên cứu phần hình thức của bài toán về thực chất là việc khám phácác đặc điểm trong nôi dung bài toán Chính vì thế nhiều bài toán có được lờigiải hay là nhờ vào việc khai thác đúng đắn các đặc điểm về dạng của bài toán

đó Mặt khác do tính phong phú của hình thức nên các đặc điểm vè dạng biểuhiện muôn hình muôn vẻ , đòi hỏi người giải toán phải biết cách nhìn bài toán đómột cách tinh tế mới phát hiện được những mối liên hệ được ẩn kín bên trong.

I.3.2 Vai trò của các hoạt động trí tuệ cơ bản trong việc tìm lời giải và khai thác bài toán

a) Vai trò của các hoạt động trí tuệ cơ bản trong việc tìm lời giải bài toán Bài tập toán nói chung và các bài toán chứng minh bất đẳng thức nói riêng

thường không có thuật toán nào cố định để giải mà phải dựa trên cơ sở phântích , tổng hợp, đặc biệt hoá, so sánh , tương tự để nhận dạng bài toán, tìm vàliên hệ xem có bài toán nào tương tự và tìm nguồn gốc của bài toán từ đó đưa

ra lời giải tốt nhất Các hoạt động trí tuệ cơ bản giúp chúng ta suy nghĩ, mòmẫm , dự đoán tìm lời giải bài toán

Ta xét bài toán sau:

Ví dụ16: Cho a,b,c là các số thực trong khoảng  2; và thoả mãn

là bao nhiêu?

Thứ hai: Do vai trò của a, b, c là như nhau trong bất đẳng thức nên dấu bằngxảy ra khi a = b = c Kết hợp với điều kiện a + b +c = 6  a= b =c = 2 do đó sốthứ hai là 2 + 2 = 4

Thứ ba : GV cho HS thực hiện đặc biệt hoá bằng cách chọn x = a+2 ; y = 4

Dấu bằng xảy ra khi a= b=c =2

Tuy nhiên nếu học sinh suy nghĩ theo hướng vận dụng bất đẳng thứcBunhiacôpxky thì ta có thể làm như sau:

Thoạt tiên, hoạt động phân tích : GV hướng dẫn HS biến đổi

 a   2 b   2 c   2 6 (đpcm) Dấu bằng xảy ra khi a= b=c =2

Ví du17 : Cho dãy số ( )a n n 0

 xác định bởi a0  2;a1  3 và

a n2 3a n1  2 a n n N Tính a2008

Gợi ý tìm lời giải

Trước hết GV hướng dẫn HS thực hiện hoạt động phân tích bằng một số câu

hỏi gợi ý: Để tính a2008 ta phải làm thế nào ? Đã có công thức tính chưa ? Giảthiết cho ta biết những gì?

HS Để tính a2008 ta phải dựa vào công thức truy hồi

a n2 3a n1  2 ,a n  n N

Thứ hai GV cho HS thực hiện hoạt động đặc biệt hoá để tính giá trị của một

vài số hạng đầu của dãy

HS u2 3u1  2u0 3.3 2.2 5 

u3 3u2  2u1 3.5 2.3 9 

u4 3u3  2u2 3.9 2.5 17  , …

Việc chuyển từ tính u2 sang u3 ; từ u3 sang u4 là một sự tương tự.

GV như vậy theo cách này để tính được a2008 ta phải tính được các số hạng nào ?

HS ta phải tính được a2 , a3 , …, a2007 và từ đó HS sẽ thấy công việc nàykhông phải dễ điều đó nảy sinh yêu cầu phải tìm được công thức tổng quát của

an đây là hoạt động khái quát hoá , để làm được việc này GV hướng dẫn HSphân tích đặc điểm của một số số hạng đầu của dãy để tìm ra quy luật

Từ đó GV yêu cầu HS thực hiện hoạt động so sánh cách biểu diễn của các

số hạng đầu nhằm phát hiện mối quan hệ giữa mỗi số hạng với công thức tính

của nó Từ đó dự đoán được công thức : an+1 = 2n + 1, với mọi n là số tự nhiên

Việc khái quát hoá này có được là nhờ sự trừu tượng hoá trên cơ sở nêu bật

đặc điểm bản chất là “ Thứ tự một số hạng luôn hơn số mũ ở cơ số 2 một đơn

vị “, và tách chúng khỏi các đặc điểm không bản chất đó là giá trị mỗi số hạng

3, 5, 9, 17,… Từ đó trên cơ sở tổng hợp để chứng minh 1 2n 1,

b)Vai trò của các hoạt động trí tuệ cơ bản trong việc khai thác bài toán

Xuất phát từ bài toán gốc:

Ví dụ16: Cho a,b,c là các số thực trong khoảng  2; và thoả mãn

a + b + c=6.CMR: a2 b2 c2 6

* Khai thác bài toán bằng tương tự

khi tăng số mũ của căn ta thu được bài toán;

Ví dụ18: Cho a,b,c là các số thực trong khoảng  2; và thoả mãn

a + b + c=6.CMR: 3 a2 3 b2 3 c2 3 4 3

Hướng dẫn lời giải

Bằng phân tích tương tự lời giải Ví dụ16 ta có nhận xét: Ở Ví dụ16 thì ta có thể

sử dụng cả bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxky nhưng ở Ví dụ18 thì việc sử

dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky là không thể Vì vậy ta có lời giải bài toánnhư sau:

*Khai thác bài toán bằng khái quát hoá

Sau khi HS giải được ví dụ và ví dụ GV cho HS thực hiện hoạt động sosánh hình thức và lời giải của hai bài toán này từ đó thực hiện khái quát hoá tathu được bài toán :

Ví dụ19: Cho a,b,c là các số thực trong khoảng  2; và thoả mãn

a + b + c=6.CMR: n a 2 n b 2 n c 2 3 4n

*Khai thác bài toán bằng đặc biệt hoá

Từ bài toán gốc GV cho HS thực hiện đặc biệt hoá bằng cách chọn

Ví dụ20: Trong tam giác ABC chứng minh rằng :

1 3tanAtan 1 3tan tanB 1 3tan tanC 3 2

Ngoài ra các hoạt động trí tuệ cơ bản còn có vai trò trong việc xây dựngcác khái niệm , định lý , các tri thức lý thuyết và hình thành các phẩm chất trí tuệ I.4 BẤT ĐẲNG THỨC Ở CÁC TRƯỜNG THPT

- hoặc a lớn hơn b ký hiệu a> b

- hoặc a nhỏ hơn b ký hiệu a<α<90b

* Bất đẳng thức:

+) Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số (A, B có thể là những số) Mệnh đề “Alớn hơn B” ký hiệu là “A > B” được gọi là một bất đẳng thức A, B được gọi làcác vế của bất đẳng thức ấy.Người ta cũng viết bất đẳng thức ấy dưới dạng “A<α<90 B”

đó là mệnh đề A nhỏ hơn B tương đương với mệnh đề trên Từ định nghĩa tathấy một bất đẳng thức có thể nhận giá trị đúng hoặc sai

+) Bất đẳng thức suy rộng:

Khi so sánh hai biểu thức A và B nhiều khi người ta chưa thể kết luậnngay được A bằng B, A lớn hơn B hay A nhỏ hơn B mà chỉ đưa ra một kết luậnmềm dẻo hơn Chẳng hạn A lớn hơn hoặc bằng B ký hiệu “A B  ” , hoặc A nhỏhơn hoặc bằng B ký hiệu “A B ” Các mệnh đề “A B  ”,“A B ” cũng được gọi

là các bất đẳng thức ( hay rõ hơn là các bất đẳng thức suy rộng) Chứng minhmột bất đẳng thức là chỉ ra bất đẳng thức đó đúng

.Nếu hai dãy a a1  2 an và b1b2   b n ta có:

* Phương pháp biến đổi tương đương

* Phương pháp tam thức bậc hai

* Phương pháp hình học

* Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức cơ bản Cauchy và Bunhiacopxky

* Phương pháp quy nạp toán học

* Phương pháp phản chứng

* Phương pháp hàm số

* Phương pháp làm trội

e) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số một biến

Định nghĩa 1 : Cho hàm số yf x  xác định trên D Giá trị M được gọi làgiá trị lớn nhất của hàm số yf x  trên D nếu thoả mãn f x M, x D;0

  sao cho f x 0 M

Định nghĩa 2: Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số yf x  trên

D nếu thoả mãn f x  m x D,  ;  x0 D sao cho f x 0 m

b) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số nhiều biến:

Cho hàm số y=f(x1,…,xn) xác định trên 

Định nghĩa 3: M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x1,…,xn) trên nêú thoả mãn: * f(x1,…,xn)M,x x1 n 

I.4.2 Tình hình dạy học bất đẳng thức và việc rèn luyện các hoạt động trí

tuệ ở trường trung học phổ thông

a) Chương trình sách giáo khoa trung học phổ thông

Kể từ năm 2006, 2007 ngành giáo dục bắt đầu thực hiện giảng dạy theochương trình sách giáo khoa mới Đi kèm với việc đổi mới chương trình sáchgiáo khoa là đổi mới về phương pháp dạy học và đổi mới công tác kiểm trađánh giá kết quả học tập của học sinh So sánh với chương trình toán trung họcphổ thông trước năm 2000 thì sách giáo khoa mới có những điểm nổi bật đó là: Sách giáo khoa mới kể từ năm 2006 giảm bớt các phần lý thuyết , tăng cáchoạt động ,các yếu tố thực hành

Bất đẳng thức được trình bày ở phần đại số lớp 10 nâng cao với 4 tiết trong

đó có 2 tiết lý thuyết , 2 tiết bài tập gồm các phần sau:

1 Ôn tập và bổ sung các tính chất về bất đẳng thức

2 Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

3 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân đối với hai số

và ba số không âm

4 Bài đọc thêm về bất đẳng thức Bunhiacôpxky

Ngoài ra bất đẳng thức còn được cài đặt trong các nội dung khác như : Lượnggiác, dãy số, giới hạn, đạo hàm, hình học, tích phân,…, ở lớp 11 và lớp 12

b) Vai trò của dạy học các bài toán về bất đẳng thức trong việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản cho học sinh

Bất đẳng thức là một trong những phần quan trọng của chương trình toán ởtrường phổ thông Bất đẳng thức có trong hầu hết ở các chủ đề của toán sơ cấpnhư các bài toán cực trị, giải phương trình, hệ phương trình, hàm số, bấtphương trình, tích phân, tổ hợp, hình học,… Có những bài toán việc sử dụngbất đẳng thức như một khâu trung gian đóng vai trò quyết định cho lời giải bàitoán Khi chứng minh các bài toán bất đẳng thức,học sinh phải thực hiện một sốhoạt động nhất định như: nhận dạng, thể hiện định lý, định nghĩa, qui tắc hayphương pháp, những hoạt động trí tuệ phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổbiến trong toán học, hoạt động ngôn ngữ, các hoạt động trí tuệ chung như phântích, tổng hợp, khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự

Như vậy, việc chứng minh các bài toán bất đẳng thức cò nhiều tiềm năng

để rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh, nhất là các hoạt động trí tuệchung cho học sinh

c) Thực trạng dạy học bất đẳng thức ở các trường THPT

Bất đẳng thức là một trong những vấn đề cổ điển của toán học sơ cấp, và

nó cũng là một trong những phần toán sơ cấp đẹp và thú vị nhất Vì thế luôncuốn hút rất nhiều bạn đọc quan tâm bởi tính đặc thù của bất đẳng thức Đó làtính đa dạng và tính phổ dụng của nó nhất là có rất nhiều bài toán khó ở lĩnhvực này, thậm chí có những bài toán rất khó làm cho học sinh cũng như giáoviên phải e ngại Nó chỉ thực sự gây hứng thú đối với những học sinh yêu thíchmôn toán, đam mê sự sáng tạo, tìm tòi Hơn thế nữa với số tiết ít ỏi trong phânphối chương trình là 4 tiết cả lý thuyết và bài tập, vì vậy hầu hết các giáo viênchỉ dạy lướt qua và học sinh cũng không có nhiều ấn tượng về bất đẳng thức vàtìm hiểu ứng dụng của nó trong các nội dung khác Hơn nữa, việc rèn luyện cáchoạt động trí tuệ cho học sinh ở các trường phổ thông cũng mờ nhạt, ít đượcchú ý gọt rũa Có chăng chỉ một số ít đối tượng như các học sinh giỏi toán được

ôn luyện một cách tỉ mỉ, công phu của giáo viên và tổ bộ môn, còn các học sinh

trung bình và trung bình khá thì hầu như không được chú ý để rèn luyện cáchoạt động trí tuệ, mà lẽ ra điều đó rất tốt đối với việc phát triển trí tuệ

5 KẾT LUẬN CHƯƠNG I

Trên đây là một số vấn đề lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện các hoạtđộng trí tuệ cơ bản cho học sinh Trong chương này chúng tôi chú trọng đếncác vấn đề như:

- Dạy học môn toán với yêu cầu phát triển trí tuệ cho học sinh

- Nghiên cứu các hoạt động trí tuệ cơ bản và quan hệ giữa chúng

- Dạy học giải bài tập toán và vai trò của các hoạt động trí tuệ cơ bản

- Các vấn đề bất đẳng thức ở trường THPT và tình hình rèn luyện các hoạtđộng trí tuệ chung qua nội dung bất đẳng thức

- Đó là những cơ sở để chúng tôi đề ra các định hướng trong chứng minh

và khai thác nội dung này qua một số chủ đề ở chương 2