Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10, thông qua giải các bài toán về bất đẳng thức bằng tam thức bậc 2 định hướng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TĨNH GIA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI RÈN LUYỆN KỸ NĂNG VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 10, THƠNG QUA GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC ĐỊNH HƯỚNG Người thực hiện: Mai Tiến Linh Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Tĩnh Gia SKKN thuộc mơn : Tốn THANH HỐ NĂM 2016 Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thông qua giải toán bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng MỤC LỤC Trang A Đặt vấn đề I.Lời mở đầu II.Thực trạng nghiên cứu III Kết thực trạng .4 B Giải vấn đề I Các giải pháp thực II Các biện pháp tổ chức thực a Cơ sở lý thuyết b Nội dung đề tài C Kết luận .17 I Kết 17 II Kiểm nghiệm lại kết 17 III Đề xuất kiến nghị 19 D Phụ lục & số sách, website tham khảo 21 Trang Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thông qua giải toán bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng A Đặt vấn đề I Lời mở đầu: Bất đẳng thức hình thành sớm, từ buổi sơ khai tốn học Thật vậy, thời kỳ trước cơng ngun người phát độ dài cạnh huyền tam giác vuông lớn độ dài cạnh góc vng, hay tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn cạnh lại Nói tổng quan, lịch sử phát triển bất đẳng thức gắn liền với lịch sử hình thành phát triển tốn học Bất đẳng thức có mặt bên hầu hết lý thuyết tốn học, khơng bất đẳng thức xuất nhiều mơn khoa học khác vật lý, hóa học, thiên văn học, sinh học, kinh tế, trị, tâm lý giáo dục, Trong chương trình tốn học phổ thơng bất đẳng thức đóng vai trị quang trọng, cầu nối để phát triển hình thành tư cho học sinh, tảng để các môn học khác phát triển Tuy nhiên bất đẳng thức chuyên đề khó học sinh THPT địi hỏi phải có tảng tư lập luận vững Trong kỳ thi học sinh giỏi, thi olympic toán học khu vực quốc tế, kỳ thi THPT quốc gia , toán liên quan đến bất đẳng thức thường xuên đề cập thuộc loại khó khó.Trong nhiều chuyên đề bất đẳng thức chuyên đề sử dụng tam thức bậc hai định hướng chuyên đề hay thường xuyên sử dụng để giải toán bất đẳng thức Ta biết tam thức bậc hai chun đề đóng vai trị nịng cốt kiến thức toán bậc trung học thổ thơng Hầu hết tốn ví dụ khảo sát chương trình đại số phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức tốn cực trị chương trình giải tích lớp cuối bậc phổ thơng khảo sát hàm số gắn liền với tam thức bậc hai Những kiến thức tam thức bậc hai kiến thức mà học sinh phổ thông phải nắm vững chúng sử dụng kỳ thi THPT quốc gia, kỳ Trang Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thơng qua giải tốn bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng thi học sinh giỏi cấp tỉnh,và olympic.Trong chương trình tốn THPT số tiết dành cho chun đề bất đẳng thức mà kiến thức để giải toán bất đẳng thức cần dùng nhiều, nói đến giải tốn bất đẳng thức phần lớn em học sinh có tâm lý ngại học, khó phải kiên trì phải có khả tư trừu tượng học tốt được.Tuy nhiên tốn liên quan đến bất đẳng thức có chương trình THPT lại nội dung có mặt kỳ thi THPT quốc gia, để đạt kết cao em phải làm tốn Đây khơng phải điều mà nhiều em học sinh làm Với học sinh lớp 10 việc tiếp cận làm tốn bất đẳng thức, địi hỏi em phải nắm vững bất đẳng thức bản, có nhiều phương pháp khác để tiếp cận giải toán bất đẳng thức, phải có kỹ khả tư trừu tượng tốt, điều mà nhiều học sinh chưa làm Vì vậy, em có sở vững bất đẳng thức, tạo cho em hứng thú mơn tốn học nói chung chun đề bất đẳng thức nói riêng, tơi chọn đề tài skkn "Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thơng qua giải tốn bất đẳng thức phương pháp tam thức bậc hai định hướng".Với đề tài nhằm góp phần nâng cao chất lượng học tập môn đại số, phát huy tính chủ động, tư sáng tạo cho học sinh THPT nói chung lớp 10 nói riêng, sử dụng đa dạng sáng tạo phương pháp giải toán ,giúp học sinh giải toán nhanh hiệu hơn, đồng thời qua giúp học sinh củng cố kiến thức liên quan đến đại số II Thực trạng vấn đề nghiên cứu: Qua thực tế giảng dạy học sinh THPT nói chung học sinh lớp 10 tơi thấy em thường gặp khó khăn sau + Kiến thức bất đẳng thức học sinh cịn yếu thiếu , khơng biết giải toán bất đẳng thức xuất phát đâu, học sinh thường ngại học chuyên đề Trang Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thông qua giải toán bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng + Kỹ biến đổi vận dụng kiến thức bất đẳng thức có chưa tốt + Khả tư triều tượng cịn hạn chế + Khả phân tích tổng hợp kiến thức với chưa tốt + Kỹ biến đổi, phân loại dạng toán tìm mối liên hệ tốn chưa tốt + Kỹ tính tốn cịn yếu III Kết thực trạng: Khảo sát chất lượng học sinh 10C1, 10C3, 10C5 trường THPT Tĩnh Gia cho thấy việc học tập toán dạng số học sinh lớp 10C1 làm được, em học sinh lớp lớp chọn trường, cịn lại phận học sinh khơng làm làm kết không thường điểm tập dạng này, học sinh lớp 10C3, 10C5 Từ vấn đề áp dụng sáng kiến thực tế giảng dạy bước đầu thu kết tốt năm học 2015- 2016 vừa qua B Giải vấn đề I Các giải pháp thực hiện: Hệ thống lại kiến thức học: Giúp học sinh hệ thống lại kiến thức học bất đẳng thức học thcs, toán liên quan đến bất đẳng thức, định lý dấu tam thức bậc hai toán liên quan đến dấu tam thức bậc 2 Phân loại dạng toán : Loại 1: Phương pháp vận dụng định lý dấu tam thức bậc để chứng minh bất đẳng thức Loại 2: Phương pháp tam thức bậc định hướng mở rộng cho tam thức bậc α (α > 1) II Các biện pháp tổ chức thực Để thực đề tài sử dụng tiết học khóa, ơn tập tự chọn lớp khối 10 10C1, 10C3, 10C5, qua nhằm rèn luyện kỹ giải toán phát huy khả tư sáng tạo cho học sinh Trang Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thông qua giải toán bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng a Cơ sở lý thuyết Yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức + Một số tính chất bất đẳng thức + Một số kiến thức dấu tam thức bậc + Nắm vững kiến thức tìm giá trị lớn giá trị nhỏ phương pháp khác để chứng minh bất đẳng thức 1) Một số định lý bất đẳng thức +) a > b ⇔ b < a +) a > b ⇔ a ± m> b ± m +) a + c > b ⇔ a > b − c a > c ⇒ a + c > b+ d +)  c > d   ac > bc,∀c > +) a > b ⇔   ac < bc,∀c < a > b > ⇒ ac > bd +)  c > d >  +) a > b ≥ ⇒ an > bn,∀n∈ ¢ + +) a > b ≥ ⇒ n a > n b,∀n∈ ¢ + ,n ≥ +) a2 ≥ 0,∀a∈ ¡ 2) Định lý dấu tam thức bậc • Tam thức bậc x biểu thức có dạng f (x) = ax2 + bx + c , a, b, c số, a ≠ • Định lý dấu tam thức bậc 2: Cho f (x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) , ∆ = b2 − 4ac , Nếu ∆ < f(x) ln dấu với hệ số a, với x∈ ¡ Nếu ∆ = f(x) ln dấu với hệ số a, trừ x = −b 2a Trang Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thơng qua giải tốn bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng Nếu ∆ > f(x) ln dấu với hệ số a x < x1 x > x2, trái dấu với hệ số a x1 < x < x2 Trong x1, x2 (x1 < x2) nghiệm f(x) 3) Định nghĩa giá trị lớn giá trị nhỏ Cho hàm số y = f(x) xác định D • Số M gọi giá trị lớn hàm số f(x) D  f (x) ≤ M ,∀x∈ D , ta ký hiệu giá trị lớn hàm số f(x)  ∃x0 ∈ D, f (x0) = M D : max f (x) = M D • Số m gọi giá trị nhỏ hàm số f(x) D  f (x) ≥ m,∀x∈ D , ta ký hiệu giá trị nhỏ hàm số f(x)  ∃x0 ∈ D, f (x0) = m D : f (x) = m D b) Nội dung đề tài Dạng tốn : Phương pháp vận dụng định lý dấu tam thức bậc để chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Bài toán : Cho số thực a, b, c thỏa mãn hệ thức a2 + b2 + c2 = 2, ab + bc + ca =  4 Chứng minh : a,b,c∈  − ;   3 Chứng minh Theo giả thiết ta có : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2ca = Đặt : a + b + c = t ⇒ a + b = t - c t = Trang Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thơng qua giải tốn bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng Ta có : ab + bc + ca = ⇒ ab = - (a +b)c = c2 - tc + Do a , b nghiệm phương trình bậc theo ẩn X : X2 − (t − c)X + c2 − tc + 1= Ta có : ∆ = (t − c)2 − 4(c2 − tc + 1) = −3c2 + 2tc a, b tồn nên : ∆ ≥ ⇔ −3c2 + 2tc ≥ ⇔ 2tc ≥ 3c2 ⇒ tc ≥ ⇒ tc = tc = c Do : ∆ = −3 c + c ≥ ⇔ ≤ c ≤  4 hay c∈  − ;   3 Do vai trò a, b, c nên ta hoàn toàn chứng minh  −4 4 a,b∈  ;  ⇒ đpcm  3 Bài toán : Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh : a + ab + 2abc ≤ (1) Chứng minh Từ giả thiết ta có : b = - a - c, ≤ a,b,c ≤ Khi (1) ⇔ a + a(3− a − c) + 2ac(3− a − c) ≤ ⇔ (2c + 1)a2 + (2c2 − 5c − 4)a + Đặt f(a) = (2c + 1)a2 + (2c2 − 5c − 4)a + 9 ≥ (2) Ta thấy f(a) tam thức bậc a có hệ số a2 2c + > ∆ = (2c2 − 5c − 4)2 − 18(2c + 1) = (2c − 1)2(c2 − 4c − 2) ≤ , ≤ c ≤ 3, nên theo định lý dấu tam thức bậc : f (a) ≥ hay (2) ⇒ đpcm Dấu "=" xẩy a = ,b = 1,c = 2 Bài toán : Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn 1 + + = 1+ x 1+ y 1+ z Trang Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thông qua giải toán bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng Chứng minh : x + y + z  xy yz zx  + 2 + + ÷≥ (1) x + y y + z z + x   Chứng minh Đặt a = x + y + z, b = xy + yz + zx, c = xyz Từ giả thiết ta có : + a = b +3c Khi : a a(3+ a − b) + 3b2 (1) ⇔ + ≥ 3ab + b − 3− a ⇔ 3(b + 1)a2 + 2(9 − 15b)a + 12b2 − 9b + 27 ≥ (2) Đặt f (a) = 3(b + 1)a2 + 2(9 − 15b)a + 12b2 − 9b + 27 Ta thấy f(a) tam thức bậc có hệ số a2 3(b+1) > ∆ = −36b(b − 3)2 ≤ 0, nên f(a) ≥ 0,∀a > hay (2) ⇒ đpcm Dấu "=" xẩy x = y = z = Bài toán : Cho số dương a, b, c thỏa mãn : a + b + c = Chứng minh (ab2 + bc2 + ca2)(ab + bc + ca) ≤ (1) Chứng minh Khơng tính tổng qt, giả sử a ≤ b ≤ c Khi ta có : c(b − a)(b − c) ≤ ⇔ a2b + b2c + c2a ≤ b(a2 + ac + c2 Đặt x = ac, từ giả thiết ta có a + c = - b.Từ để chứng minh (1) ta chứng minh: b(a2 + ac + c2)(ab + bc + ca) − ≤ (2) ⇔ b(a + c)2 − ac  b(a + c) + ac − ≤   ⇔ b(3− b)2 − x  b(3− b) + x − ≤   ⇔ −bx2 + (2b3 − 9b2 + 9b)x − b5 + 9b4 − 27b3 + 27b2 − ≤ Đặt f (x) = −bx2 + (2b3 − 9b2 + 9b)x − b5 + 9b4 − 27b3 + 27b2 − Vì hệ số x2 - b < (theo giả thiết) Trang Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thông qua giải toán bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng ∆ x = (2b3 − 9b2 + 9b)2 + 4b(−b5 + 9b4 − 27b3 + 27b2 − = 9b(b3 − 6b2 + 9b − 4) = 9b(b − 1)2(b − 4) ≤ Nên f(x) ≤ 0, suy (2) ⇒ đpcm Dấu "=" xẩy : a = b = c = Bài toán : Cho số thực không âm x,y,z thỏa mãn : x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức : P = 9xy + 10yz + 11zx (1) Giải Từ giả thiết ta có : z = 1- x - y, (1) ⇔ P = 9xy + 10yz + 11zx = 9xy + z(10y + 11x) ⇔ 9xy + (1− x − y)(10y + 11x) , Khai triển rút gọn ta thu P = −11x2 − 10y2 + 11x + 10y − 12xy ⇔ 11x2 + (12y − 11) + 10y2 − 10y + P = (2) Đặt f (x) = 11x2 + (12y − 11) + 10y2 − 10y + P Coi tam thức bậc ẩn x, điều kiện tồn x nên suy (2) phải có nghiệm, tức ∆ = (12y − 11)2 − 44(10y2 − 10y + P ≥ ⇔ −296y2 + 176y + 121− 44P ≥ ⇔P≤− 74 22 121  495 y − y− ≤  11  37 296 ÷  148 Vậy MaxP = 495 25 11 27 , x = , y = , z = 148 74 37 74 Nhận xét : Ý tưởng toán bắt nguồn từ việc đưa biểu thức từ biến hai biến biến, từ sử dụng điều kiện tồn nghiệm phương trình bậc để tìm giá trị lớn biểu thức Hồn tồn tương tự, ta dùng ý tưởng để chứng minh tốn có dạng : Cho số không âm x,y,z thỏa mãn x + y + z = k.Tìm giá trị lớn biểu thức P = mxy + nyz + pzx Bài toán : Cho số thực a,b,c thỏa mãn : ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a2 + 2b2 + 5c2 (1) Trang 10 Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thơng qua giải tốn bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng Giải • Xét c = ab = P = a2 + 2b2 ⇒ P ≥ 2 ab ≥ 2 ⇒ MinP = 2 (*) • Xét c ≠ 0, ta cần xét < P < 2 a  c = α a = α c ⇔ Đặt  b = β c b = β  c 2 Từ giả thiết ta có : c (αβ + β + α ) = 1⇒ c = αβ + β + α 2 α + β +5 Từ (1) ⇔ P = c (α + 2β + 5) = αβ + α + β 2 ⇔ α − P (β + 1)α + 2β − P β + = (2) , để tồn α phương trình (2) phải có nghiệm, tức : ∆ = P 2(β + 1)2 − 4(2β − P β + 5) ≥ ⇔ β 2(P − 8) + 2(P + 2P )β + P − 20 ≥ (3) Vì < P < 2 nên P − < , để (3) ∆ 'β ≥ ⇔ (P + 2P )2 − (P − 8)(P − 20) ≥ ⇔ P + 4P + 4P − P + 28P − 160 ≥ ⇒ minP = (**) ⇔ 4P + 32P − 160 ≥ ⇔ 4(P − 2)(P + 10P + 20) ≥ ⇔ P ≥ 2(0 < P < 2) Từ (*) (**) suy MinP = Dấu "=" xẩy : β = hay a = ± 11 ,b = ± P + 2P P2 − 11 ,c = ± = 2,α = P (β + 1) =3 11 Trang 11 Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thơng qua giải tốn bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng Dạng toán : Phương pháp tam thức bậc định hướng Trước hết ta xây dựng tam thức bậc α từ tam thức bậc Xuất phát từ bất đẳng thức Cauchy dạng sơ đẳng x2 + 1≥ 2x,∀x∈ ¡ (*) ⇔ x2 − 2x + 1≥ 0,∀x∈ ¡ Đặt : f (x) = x2 − 2x + (1), Khi (1) tam thức bậc 2, f(x) = x = Từ ta dễ dàng mở rộng cho tam thức bậc α ( α > 1) để có bất đẳng thức tương tự (*) cách thay số số α Thật vậy, ta thiết lập bất đẳng thức dạng : xα + (?) ≥ α x, ∀x∈ ¡ + (2) cho dấu đẳng thức xẩy x = Thay x = vào (2) ta nhận : (?) = α -1, tức (2) có dạng xα + α − 1≥ α x,∀x∈ ¡ + (3) (3) bất đẳng thức Bernoulli quen biết Để chứng minh (3) ta sử dụng đạo hàm để chứng minh, thậy ta xét hàm số : f (x) = xα + α − 1− α x,∀x∈ ¡ + Ta có f(1) = f'(x) = α xα −1 − α = α (xα −1 − 1) , f'(x) = x = 1, x = cực tiểu hàm số f(x) ¡ +, nên f (x) ≥ f (1) = ⇒ xα + α − 1≥ α x ⇒ đpcm Nhận xét : • Trong áp dụng đặc biệt dạng toán xác định giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, bất đẳng thức bernoulli dạng (3) sử dụng trường hợp dấu đẳng thức xẩy x = • Trong trường hợp, dấu đẳng thức xẩy x=x0> Ta có x = x0 ⇔ x x = 1, ta thay x (3) ta có x0 x0 Trang 12 Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thơng qua giải tốn bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng α  x  x + ( α − 1) ≥ α  ÷  ÷ ÷ ÷  x0   x0  ⇔ xα + x0α (α − 1) ≥ α x.x0α −1 ⇔ xα ≥ x0α + α x0α −1(x − x0) , dấu "=" xẩy x = x0 (*) • Với α = x0 = y, ta có bất đẳng thức : x2 ≥ y2 + 2y(x − y),∀x, y∈ ¡ (**) , dấu "=" xẩy x = y • Với α > 1, x > 0, y > 0, x0 = y, ta có bất đẳng thức xα ≥ yα + α yα −1(x − y) (***), dấu "=" xẩy x = y Một số tập vận dụng a ≥  Bài toán : Cho a + b ≥ , Chứng minh : a2 + b2 + c2 ≥ 29 a + b + c =  Chứng minh Áp dụng (**) ta có a2 ≥ 42 + 2.4(a − 4),∀a  2 2 b ≥ + 2.3(b − 3),∀b ⇒ a + b + c ≥ 29 + 24(a − 4) + 3(b − 3) + 2(c − 2  2 c ≥ + 2.2(c − 2),∀c ⇒ a2 + b2 + c2 ≥ 29 + 22(a − + b − 3+ c − 2) + 1(a − + b − 3) + 1(a − 4) (1) 2(a − + b − 3+ c − 2) ≥  Theo giả thiết ta có : a − + b − ≥ a − ≥  Vậy từ (1) suy ⇒ a2 + b2 + c2 ≥ 29 ⇒ đpcm Dấu "=" xẩy : a = 4, b = 3, c = Nhận xét : Bài toán mở rộng với biến x, y, z thành toán tổng quát sau : Trang 13 Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thông qua giải toán bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng Bài toán 2: Cho số thực dương thỏa mãn a ≥ b ≥ c x ≥ a   x + y ≥ a + b Chứng minh x2 + y2 + z2 ≥ a2 + b2 + c2 x + y+ z = a + b+ c  Chứng minh  x2 ≥ a2 + 2.a(x − a)  2 Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có  y ≥ b + 2.b(x − b) , cộng bất đẳng thức  2  z ≥ c + 2.c(x − c) vế theo vế ta : x2 + y2 + z2 ≥ a2 + b2 + c2 + 2a(x − a) + 2b(y − b) + 2c(z − c) ⇔ x2 + y2 + z2 ≥ a2 + b2 + c2 + 2(a − c)(x − a) + (b − c)(y − b) + c(x + y + z − a − b − c) ⇔ x2 + y2 + z2 ≥ a2 + b2 + c2 + 2(a − c)(x − a) + (b − c)(y − b) ⇔ x2 + y2 + z2 ≥ a2 + b2 + c2 + 2(a − b)(x − a) + (b − c)(x + y − a − b) 4 4 44 4 4 4 ≥0 ⇔ x2 + y2 + z2 ≥ a2 + b2 + c2 ⇒ đpcm, dấu "=" xẩy : x = a, y = b, z = c a ≥  Bài toán : Cho a, b, c ≥ 0, thỏa mãn điều kiện a + b ≥ a + b + c =  Chứng minh : a3 + b3 + c3 ≥ 99 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức (***) với α = ta có a3 ≥ 43 + 3.42(a − 4)  3 b ≥ + 3.3 (b − 3) , cộng bất đẳng thức vế theo vế ta :  3 c ≥ + 3.2 (c − 2) a3 + b3 + c3 ≥ 99 + 316(a − 4) + 9(b − 3) + 4(c − 2) Trang 14 Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thông qua giải toán bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng ≥ 99 + 3 4(a + b + c − 9) + 5(a + b − 7) + 7(a − 4) 4 4 4 4 4 4 43 ≥0 ( Theo giả thiết) ≥ 99 ⇒ đpcm, dấu "=" xẩy a = 4, b = 3, c = Nhận xét : Bài tốn mở rộng với biến x, y, z thành toán tổng quát sau : Bài toán : Cho số thực dương thỏa mãn a ≥ b ≥ c x ≥ a   x + y ≥ a + b Chứng minh x3 + y3 + z3 ≥ a3 + b3 + c3 x + y+ z = a + b+ c  Lưu ý : Chứng minh toán hồn tồn tương tự tốn tổng qt x ≥ Bài toán : Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện  Chứng minh x+ y = : x4 + y4 ≥ 82 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức (***) với α = ta có  x4 ≥ 34 + 4.33(x − 3) , cộng bất đẳng thức vế theo vế ta :  4  y ≥ + 4.1 (y − 1) x4 + y4 ≥ 34 + 14 + 4.33(x − 3) + 4.14(y − 1) ⇔ x4 + y4 ≥ 82 + 428(x − 3) + (x + y − 4) ⇔ x4 + y4 ≥ 82 ⇒ đpcm, dấu "=" xẩy x = 3, y = Nhận xét : Bài tốn mở rộng với biến x, y, z thành toán tổng quát sau : Bài toán : Cho số thực dương thỏa mãn a ≥ b ≥ c Trang 15 Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thông qua giải toán bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng x ≥ a   x + y ≥ a + b Chứng minh x4 + y4 + z4 ≥ a4 + b4 + c4 x + y+ z = a + b+ c  Lưu ý : Chứng minh tốn hồn tồn tương tự tốn tổng quát Nhận xét : Từ bất đẳng thức ta khái qt hóa thành tốn tổng qt sau Bài tốn : Cho k,n∈ ¥ ,k > 1,n > 1,a1 ≥ a2 ≥ ≥ ak > 0, thỏa mãn điều  x1 ≥ a1   x1 + x2 ≥ a1 + a2 kiện sau :    x + x + + x = a + a + a k k  Chứng minh : x1n + x2n + + xkn ≥ a1n + a2n + + akn Bài toán : Cho a, b, c > Chứng minh 3 2  a   b  c   a   b  c   ÷ +  ÷ +  ÷ ≥  ÷ +  ÷ +  ÷ (1)  b  c   a   b  c   a  Chứng minh Đặt a2 = x, b2 = y, c2 = z, x2 y2 a = x2 ,b3 = 3 y2 ,c = z2 Khi bất đẳng thức (1) z 2   x y z trở thành :  + + ≥ + +  ÷  ÷  ÷ y z x  y  z  x Theo bất đẳng thức (***) ta có Trang 16 Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thơng qua giải tốn bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng 3   2       x x x 3x    + 12 ≥ − ≥ +  − 1÷  ÷  ÷  y ÷  y   y  2y      3    y  2  y   y  3y   ÷ ≥ +  − 1÷ ⇔  ÷ ≥ 1+  − 1÷ , cộng bất đẳng thức vế z  2z   z   z    3  z  3  z   z  3z   ÷ ≥ 12 + 12. − 1÷  ÷ ≥ 1+  − 1÷  x   x  2x   x    x2 y2 z 2    x y z  1 x y z  với vế ta có :   ÷ +  ÷ +  ÷ ≥  + + ÷+  + + − 3÷  y  z  x  y z x  2 y z x  x y z Mặt khác + + − ≥ , nên suy y z x 3  x2  y  z 2 x y z  ÷ + ÷ + ÷ ≥ + + y z x  y  z  x ⇒ đpcm, dấu xẩy a = b = c Bài toán : Cho a, b, c > abc = Chứng minh a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3 (1) Chứng minh Đặt a3 = x, b3 = y, thức (1) trở thành x3 4 c3 = z ⇒ a4 = x3 , b4 = y3 , c4 = z3 , bất đẳng + y3 + z3 ≥ x + y + z (2) , theo bđt (***) với α = ta có  4   x3 ≥ 13 + ( x − 1)  x3 ≥ 1+ 4( x − 1) 3    4  4  3   y ≥ + ( y − 1) ⇔  y3 ≥ 1+ ( y − 1) , cộng bất đẳng thức vế với vế ta có 3   4   4 3  z ≥ + z( x − 1)  z3 ≥ 1+ ( z − 1) 3     Trang 17 Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thông qua giải toán bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng x3 + y3 + z3 4 4 ≥ 3+ ( x + y + z − 3) ⇔ x3 + y3 + z3 ≥ x + y + z + ( x + y + z) − 3 Mặt khác tai lại có : x + y + z ≥ ⇒ x3 + y3 + z3 ≥ x + y+ z ⇒ đpcm Dấu "=" xẩy a = b= c =1 Một số tập đề nghị Bài tập : Cho a, b, c ≥ Chứng minh a2 + b2 + c2 + 2abc + 1≥ 2(ab + bc + ca) Bài tập : Cho số thực a,b,c,d thỏa mãn a2 + b2 = c + d = Chứng minh : ac + bd + cd ≤ + Bài tập : Cho dãy số thực a1,a2, an ∈  0;1 Chứng minh ( 1+ a1 + a2 + an ) ( ≥ a12 + a22 + + an2 ) x ≥  Bài toán : Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện  x + y ≥ x + y+ z =  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = x3 + y3 + z3 x ≥  Bài toán : Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện  x + y ≥ 2x + 2y + z =  Chứng minh : 8x3 + 8y3 + z3 ≥ 73 C Kết luận I Kết quả: Sau năm học 2015-2016 qua việc áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 10của trương THPT Tĩnh Gia 4, kết thu sau: Lớp SL Loại giỏi SL % Loại SL % Loại TB SL % Loại yếu SL % Trang 18 Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thơng qua giải tốn bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng 10C1 10C3 10C5 43 41 42 12 10 27,9 24,3 11,7 23 15 10 53,4 36,5 23,8 12 21 18,7 29,2 50,0 4,6 10 14,5 II Kiểm nghiệm lại kết quả: Kết biện pháp mới: Ban đầu học sinh chưa làm quen phương pháp mới, em nhút nhát, thụ động, đợi đến giáo viên gọi em phát biểu ý kiến Và em khơng tự phân tích giải mà phải có gợi ý giáo viên nên kết tiết dạy không cao Dần sau học sinh hoạt động tích cực có tính tự giác, em mạnh dạn đứng lên phân tích tự trình bày giải cách logíc, có khoa học Phạm vi tác dụng sáng kiến kinh nghiệm: a Đối với thân: - Giáo viên phải nghiên cứu sâu, kỹ kiến thức chuyên môn kiến thức liên quan đến dạy Nên từ xố tính chủ quan giáo viên, dần theo thời gian giáo viên tự bồi dưỡng cho kiến thức chun mơn vững vàng - Những cách giải vấn đề khác học sinh làm cho giáo viên có nhiều kinh nghiệm dự đốn tình xử lý tình b Đối với học sinh: - Đa số em biết vận dụng lý thuyết vào giải toán tương tự qua sáng tác lớp tốn, từ hình thành kỹ giải toán khả tư toán học Nhiều em giải tốn khó, tìm nhiều cách giải khác độc đáo từ toán giải - Học sinh học chuyên đề bất đẳng thức khơng cịn e ngại, gị bó theo khn mẫu, mà em phát huy tính tích cực, độc lập, sáng tạo học tập - Các em học sinh học, từ bước vững đầu tiên, dẫn đến đam mê, em hiển nhiên trở thành học sinh giỏi tốn c Đối với đồng nghiệp, tổ nhóm chun mơn: Trang 19 Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thông qua giải toán bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng Đây phương pháp khơng khó, giáo viên thực Và đặc biệt áp dụng tất đối tượng học sinh Nên đem phổ biến tổ, anh em tổ có nhiều góp ý q báu mạnh dạn áp dụng phương pháp vào lớp phụ trách bước đầu mang lại thành công Nguyên nhân thành công tồn tại: a Nguyên nhân thành công: - Sử dụng phương pháp tam thức bậc định hướng trải nghiệm mẻ, trường thpt phương pháp có đề cập song cịn q khó vận dụng để giải tốn, qua rèn luyện cho em học sinh tìm lời giải tốn rèn luyện việc giải tốn - Bản thân, có đam mê mơn tốn học từ cịn ngồi ghế nhà trường phổ thơng, say sưa nghiêm cứu tìm phương pháp giảng dạy - Được giúp đỡ, đóng góp ý kiến nhiệt tình đồng nghiệp tổ chuyên môn - Lớp phụ trách phần lớn học sinh có tinh thần vượt khó, tự giác học tập b Tồn tại: - Các tốn có liên quan đến bất đẳng thức, phần lớn em khơng có nhiều hứng thú khó khơng có định hướng trước để giải - Các tốn liên quan đến nhiều kiến thức khác đòi hỏi em phải có kiến thức vững vàng liên quan đến đại số kỹ biến đổi toán học Bài học kinh nghiệm: Đối với toán địi hỏi cần phải có tư dạng tốn trên, học sinh đơi lúc phân tích hướng giải khơng với ý đồ giáo viên Khi giáo viên phải tơn trọng phân tích theo hướng giải em, sau rõ ưu khuyết điểm hướng giải mà em đưa Theo phương pháp làm cho học sinh tiếp thu học cách tích cực giải vấn đề cách sáng tạo có khoa học Kết thu góp Trang 20 Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thông qua giải toán bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng phần không nhỏ để đáp ứng nhu cầu đổi phương pháp dạy học mà ngành giáo dục đề III Đề xuất kiến nghị: Kevin P.Lee nhà khoa học nói " Suy cho cùng, toán học ý tưởng Ý tưởng, tốn học Một trang tính tốn khơng có chữ viết diễn giải chứa phi tốn" Cịn G.Polya (1887 - 1985) nhà toán học sư phạm tiếng Mỹ nói "Dạy học khơng phải khoa học mà nghệ thuật".Do thầy giáo giỏi có phương pháp riêng, thầy giáo giỏi khác thầy giáo giỏi khác phương pháp đo ́.Chính lẽ việc nâng cao chất lượng giảng dạy môn học nhiệm vụ, trách nhiệm lương tâm thầy, cô giáo Với tinh thần tơi mong muốn góp phần nhỏ trí tuệ giảng dạy với cc đồng nghiệp, mong tất thầy, giáo có nhiều SKKN hay góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy nói chung mơn Tốn nói riêng Tơi xin chân thành cảm ơn XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh hóa, ngày 25 tháng năm 2016 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Mai Tiến Linh Trang 21 Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thông qua giải toán bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng PHỤ LỤC MỘT SỐ SÁCH VÀ WEBSITE ĐÃ THAM KHẢO TT Tên sách website Tác giả website Bất đẳng thức định lý áp dụng Nguyễn Văn Mậu Rèn luyện tư qua việc giải tập toán Nguyễn Thái Hịe Phương pháp giải tốn bất đẳng thức Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học tuổi trẻ Võ Đại Mau 1,2,3,4,5,6 - Nhà xuất giáo dục Những viên kim cương bất đẳng thức Nhiều tác giả Trần Phương Trang 22 Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thông qua giải toán bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng Lý thuyết sở hàm lồi bđt cổ điển Nguyễn Minh Tuấn www.vnmath.com Trang web toán học http://violet.vn Thư viện, tư liệu http://tailieu.vn Thư viện, tư liệu 10 www.mathvn.com Trang toán học 11 Trang web toán học http://www.vietmaths.com 12 http://ebooktoan.com Trang web toán học 13 http://mathblog.org Trang web toán học 14 http://www.toanangiang.net Trang web toán học 15 http://www.mathvn.com Trang web toán học 16 http://www.vnmath.com/ Trang web toán học 17 www.moet.gov.vn Trang web giáo dục 18 http://vi.wikipedia.org Trang web bách khoa toàn thư mở Trang 23 ... rèn luyện kỹ giải toán phát huy khả tư sáng tạo cho học sinh Trang Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thông qua giải toán bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng a... giải toán bất đẳng thức xuất phát đâu, học sinh thường ngại học chuyên đề Trang Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thông qua giải toán bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc. .. Skkn : Rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh lớp 10 thông qua giải toán bất đẳng thức, phương pháp tam thức bậc định hướng ∆ x = (2b3 − 9b2 + 9b )2 + 4b(−b5 + 9b4 − 27 b3 + 27 b2 − = 9b(b3 − 6b2 +