CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 1 LỜI NÓI ĐẦU: Các bài toán về tìm giá trị nhỏ nhất ( GTNN ) và giá trị lớn nhất ( GTLN ) của một biểu thức được gọi chung là các bài toán về cực trị. Rất nhiều bài toán dạng này được giải quyết bằng công cụ bất đẳng thức ( BĐT ). Trong chuyên đề này tôi giới thiệu lời giải một số bài toán sử dụng BĐT Cô-si , BĐT Bunhiacốpxki và một số BĐT đơn giản khác. Các bài toán về cực trị ngoài cách sử dụng BĐT còn có một số bài sử dụng phương tiện đạo hàm. NỘI DUNG: Để chứng minh các BĐT ta có thể sử dụng một số BĐT cơ bản hoặc dùng phương pháp đánh giá. I.Sử dụng một số BĐT cơ bản: Các BĐT cơ bản ở đây là BĐT Cô-si: Với n số không âm bất kì: 12 ; ; ( 2) n a a a n  ta luôn có: 12 12 ( ) n n n a a a a a a I n     ; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 12 n a a a   . BĐT Bunhiacôpxki: Với hai bộ số thực bất kì 1 2 1 2 ( ; ; ),( ; ; ) nn a a a b b b ta luôn có: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( )( )( ) n n n n a b a b a b a a a b b b II          ; dấu bằng xảy ra khi và chỉ Khi: 12 12 n n a aa b b b    . BĐT: 2 2 2 ()a b c ab bc ca III     ; dấu bằng xảy ra khi .abc BĐT: 2 1 2 1 2 1 1 1 ( ) nn n IV a a a a a a        ; trong đó 12 , , n a a a là các số dương; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các số này bằng nhau. Bài 1: Cho 0ab . Chứng minh: 22 1 4 1 / 3; / 3; / 2 2. ( ) ( )( 1) ( ) a a b a c a b a b a b b b a b           Giải: a/ Theo BĐT (I) ta có: 3 11 ( ) 3 .( ). 3 ( ) ( ) b a b b a b b a b b a b        (đpcm).Dấu bằng xảy ra khi 1; 2.ba SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 2 b/ Theo BĐT (I) ta có: 2 4 22 1 1 4 1 4 ( ) 4 ( ) 4 2 2 ( )( 1) 2 ( )( 1) b b b a b a b a b b a b b                  từ đó suy ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi 1; 2.ba c/ Theo BĐT (I) ta có: 2 4 22 1 1 4 4 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 a b a b a b bb b a b b a b              (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi 3 2 2 ;. 22 ab Bài 2: Cho 0xy . Chứng minh: 2 32 25 ( )(2 3) x x y y   . Giải: Ta có: 4 2 64.4 4 4 (2 3) (2 3) 6 4 64.4 6 16 6 10 (4 4 )(2 3) x y y y x y y              Từ đó suy ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi: 4 4 2 3 4 3/2; 1/2x y y x y       . Bài 3: Cho a > 1; b > 1. Chứng minh: 1 1 .a b b a ab    Giải: Theo BĐT (I) ta có: ( 1) 1 1 ( 1).1 . 22 b ab a b a b a       ; tương tự ta cũng có: 1 2 ab ba . Cộng các vế của các BĐT này lại ta sẽ được đpcm. Dấu bằng xảy ra khi a = b = 2. Bài 4: a,b,c là ba số không âm có tổng bằng 1. Chứng minh: 8/27ab bc ca abc    . Giải: Theo BĐT (I) ta có: 3 (1 ) (1 ) (1 ) 2 (1 )(1 )(1 ) 33 abc abc           1 8/27a b c ab bc ca abc ab bc ca abc             (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =1/3. Bài 5: Cho ba số không âm a,b,c. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ca c ab     . Giải: Theo BĐT (I) ta có:   4 3 3 3 3 3 3 2 6 4 6 6a b c a b c a bc    ; tương tự ta cũng có: 3 3 3 2 3 3 3 2 4 6 ;4 6b c a b ca c a b c ab      cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 3 Bài 6: Cho ba số dương x,y,z. Chứng minh: 6 2 3 ( ) / 432x y z xy z   . Giải: Theo BĐT (I) ta có: 23 6 6 23 () 2. 3. 6 2 3 2 3 y z y z x y z x y z x x xy z                      6 23 6 432 23  (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi x = y/2 =z/3. Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức 9 3 6 ( ) /P x y x y trong đó x,y là các số dương Giải: Theo BĐT (I) ta có: 36 9 9 9 9 3 6 3 6 6 ( ) 9 3 3. 6. 9. 3 6 3 6 3 6 2 x y x y x y x y P xy                      Vậy GTNN của P bằng 96 3 /2 khi y = 2x. Bài 8: Ba số thực a,b,c thỏa mãn hệ thức: 6 6 6 3abc   . Hãy tìm GTLN của biểu thức 2 2 2 S a b c   Giải: Theo BĐT (I) ta có: 6 2 6 2 6 2 1 1 3 ; 1 1 3 ; 1 1 3 9 3 3a a b b c c S S             Vậy GTLN của S bằng 3 khi a = b = c = 1. Bài 9: x,y là các số thực thỏa mãn các điều kiện: 0 3;0 4xy    . Tìm GTLN của biểu thức: (3 )(4 )(2 3 )A x y x y    . Giải: Theo BĐT (I) ta có: 3 (6 2 ) (12 3 ) (2 3 ) 2(3 ).3(4 ).(2 3 ) 6 3 x y x y x y x y           3 6 6 36AA    . Vậy GTLN của A bằng 36 khi x = 0 và y = 2. Bài 10: x,y,z là các số không âm có tổng bằng 1. Tìm GTLN của biểu thức: ( )( )( )P xyz x y y z z x    . Giải: Theo BĐT (I) ta có: 6 4( ) 2 2 .2 .2 .( ).( ).( ) 63 x y z x y z x y y z z x       6 3 6 8 (2/3) 2 /3 8/729PP     . Vậy MaxP = 8/729 khi x = y = z = 1/3. Bài 11: a,b,c là các số dương. Chứng minh: * ( , ) m n m n m n n n n m m m abc a b c m n N b c a          SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 4 Giải: Theo BĐT (I) ta có: ( ) ( ) ( ) n m n m n n n m n mn mm aa n mb m n b m n a bb           . Tương tự ta cũng có: ( ) ; ( ) m n m n n n n n mm bc n mc m n b n ma m n c ca        . Cộng các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Chú ý: Nếu 1mn thì ta có BĐT : 2 2 2 . abc abc b c a      Bài 12: Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh: 3 3 3 . ( ) ( ) ( ) 2 a b c a b c b c a c a b a b c        Giải: Theo BĐT (I) ta có: 33 3 3 3 ( ) 2 4 ( ) 2 4 2 a b c a a b c a a b c a b c a       . Tương tự ta cũng có: 33 33 ; ( ) 2 4 2 ( ) 2 4 2 b c a b b c a b c c c a b a b c         . Cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Bài 13: Các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 6x y z   . Tìm GTNN của biểu thức: 3 3 3 xyz S y z x z y x       . Giải: Theo BĐT (I) ta có: 3 3 3 2 3 ; 2 3 ; 2 3 2 2 2 x y z y x z z x y x y z y z x z x y              6 3( ) 2( ) 6 6S x y x x y z S x y z              . Vậy MinS = 6 khi x = y = z = 2. Bài 14: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: 6abc   . Tìm GTNN của biểu thức: 3 3 3 1 1 1 (1 )(1 )(1 )P abc     . Giải: Theo BĐT (I) ta có: 9 3 3 8 3 3 8 1 1 1 1 9 1 8. 9. 0 88 2 a a a a       . Tương tự ta cũng có: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 5 33 33 88 1 9 1 9 1 0;1 0 22 bc bc        3 3 3 3 8 3 1 1 1 9 729 (1 )(1 )(1 ) 512 2 P abc abc       . (Do 3 2 2 abc abc   ). Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 2. Bài 15: Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn hệ thức: 0x y z   . Chứng minh: 3 4 3 4 3 4 6 x y z S        Giải: Theo BĐT (I) ta có: 4 /4 3 4 1 1 1 4 4 4 2.2 x x x x        . Tương tự ta cũng có: 3 /4 /4 /4 /4 /4 ( )/4 3 4 2.2 ; 3 4 2.2 2(2 2 2 ) 2.3 2 6 y y z z x y z x y z S            (đpcm) Dấu bằng xảy ra khi 0x y z   . Bài 15’: Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện: x + y = 1. Tìm GTNN của S = 1/x + 4/y Giải:  = 1+3 (1) =  2(1+3)  .  2(1) 2  2  2.  3  .2  2/3  3 = 9   = 9   = 1 3 & = 2 3 . Bài 16: a,b,c,A,B,C là 6 số thực dương sao cho mỗi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 22 0(1); 0(2)ax bx c Ax Bx C      . Lấy     1 2 3 4 ; , ;t x x T x x với 12 ,xx là nghiệm của (1) còn 34 ,xx là nghiệm của (2). Chứng minh: 2 () 2 c C B b at AT tT                 . Giải: Theo giả thiết suy ra: 22 1 2 3 4 , , , 0 , 0& 0; 0x x x x t T at bt c AT BT C         / ; / / / 2 ( )( / / )at c t b AT C T T B b at AT c t C T at AT c t C T              Bài 17: Cho hai số thực dương x,y có tổng bằng 1.Tìm GTNN của biểu thức: 11 xy S xy   . Giải: Dễ thấy S dương. Theo BĐT (I) ta có: 22 2 22 xy S x y xy xy yx        22 2 3 3 3. 3. 3( ) 2 2 xy xy xy x y S S yx        . Vậy 2MinS  khi x = y = ½. Bài 18: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: 3abc . Tìm GTNN của biểu thức: a b c S b c a    . SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 6 Giải: Dễ thấy S dương. Theo BĐT (I) ta có: 22 2 S ( 2 ) ( 2 ) a b b c a b c a c b a b c c a           2 ( 2 ) 4( ) ca c b a b c ab       2 3( ) 9 3S a b c S      . Vậy 3MinS  khi 1abc   . Bài 19: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: 2 2 2 1.abc   Chứng minh: 3 ab bc ca S c a b     . Giải: Dễ thấy S dương. Theo BĐT (I) ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) a b b c c a a b S b a c a b c       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 ( ) 3( ) 6( ) 6 3 3 a c b c c a b c a b c S S ba               (đpcm) Dấu bằng xảy ra khi 3/3abc   . Bài 20: Cho 3 số dương x,y,z có tổng bằng 1. Chứng minh BĐT: 3 2 xy yz zx xy z yz x zx y       . Giải: Do ( ) ( )( )xy z xy z x y z x z y z        nên theo BĐT (I) ta có: 1 . 2 xy x y x y xy z x z y z x z y z            . Tương tự ta cũng có: 1 2 yz y z yz x x y x z        ; 1 2 xz x z xz y x y y z        Cộng các BĐT trên ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi 1/3x y z   . Bài 21: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện: 6xy . Tìm GTNN của biểu thức: 68 32P x y xy     . Giải: Theo BĐT (I) ta có: 3 6 8 3 3 3 6 8 3 2. . 2. . .6 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y P x y x y          6 4 9 19    . Vậy MinP = 19 khi x = 2 và y = 4. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 7 Bài 22: Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 21xy xz . Tìm GTNN của biểu thức: 3 4 5yz xz xy S x y z    . Giải: Theo BĐT (I) ta có: 2 3 2 4 6 yz xz yz xy xy xz S z y x x y x z z y                          2( ) 4( ) 4 8 4x z x y xz xy      . Vậy MinS = 4 khi x = y = z = 1/3. Bài 23: Cho hai số thực không âm x,y thỏa mãn các điều kiện: 4;3 6x y x y    . Tìm GTLN của biểu thức: 3 9. 4P x y . Giải: Theo BĐT (I) ta có: 3 22 3.3 .1.1 .2 .3 3( 2) ( 3) 33 P x y x y      2 3 3 9 2 3 ( ) (3 ) 6 2 3 4 6 6 2 3 4. 6. 6 2 3 26 a x y b x y a b                9 4 3 . ( Do 3 3& 2/ 3 (2 3 3)/2& (9 2 3)/6a b a b a b         ). Vậy 9 4 3MaxP  khi 1& 3xy . Bài 23’: Cho 3 số dương x,y,x có tích bằng 1. CM BĐT:  = (1 +  + ) 1 + (1 +  + ) 1 + (1 +  + ) 1  1 (1) Giải: Đặt  =  + ,  =  + ,  =  +    1   2 +  +  +     2( +  + )   2 + 2  +  2  +  2  +  2  +  2   2  . Theo BĐT (I) ta có:  2 + 2  + 1  3   4  3 = 3;  2  +  2  + 1  3   4  3 = 3;  2  +  2  + 1  3   4  3 = 3   2 + 2  +  2  +  2  +  2  +  2   3   +  +    3  2   +  +   + 3   3  3 = 2   +  +    . Bài 24: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh BĐT: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4a b c a b c a b c a b c               . Giải: Theo BĐT (IV) ưng với n =2 ta có: 1 1 1 1 1 2 ( ) ( ) 4a b c a b a c a b a c              1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 4 4 4 16a b a c a b c                             . Tương tự ta cũng có: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 8 1 2a b c 1 1 2 1 16 abc       ; 1 2a b c 1 1 1 2 16 a b c       .Cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi .abc Bài 25: Cho hai số dương a,b có tổng bằng 1. Chứng minh các BĐT sau: 2 2 2 2 1 1 2 3 / 6; / 14.ab ab a b ab a b      Giải: a/ Theo BĐT (IV) ứng với n =2 ta có: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 22ab a b ab ab a b       2 2 2 24 2 4 6 ( ) 2a b ab a b        (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi 1/2.ab b/ Theo BĐT (IV) ứng với n =2 ta có: 2 2 2 2 2 3 1 3 3 22ab a b ab ab a b       2 2 2 24 3. 2 3.4 14 ( ) 2a b ab a b        (đpcm) . Dấu bằng xảy ra khi 1/2.ab Bài 26: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: 3/2.abc Chứng minh: 1/ 1/ 1/ 15/2.a b c a b c      Giải: Theo BĐT (IV) và BĐT (I) ta có: 1/ 1/ 1/ 9/( )a b c a b c a b c a b c            ( ) 9/4( ) 27/4( ) 2. 9/4 27/(4.3/2) 3 9/2 15/2a b c a b c a b c             (đpcm).Dấu bằng xảy ra khi 1/2.abc   Bài 27: Ba số dương x,y,z có tích bằng 1. Chứng minh: 2 2 2 x y z x y z     . Giải: Áp dụng BĐT (II) và (I) ứng với n = 3 ta có: 2 2 2 2 () ( ). 3 x y z x y z x y z        3 ( ). 3 x y z x y z xyz x y z        (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi 1x y z   . Chú ý: Từ BĐT trên ta suy ra BĐT: 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a      với a,b,c là các số dương. Bài 28: Cho 0; 0a c b c    . Chứng minh: ( ) ( )c b c c a c ab    . Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số ( ; )&( ; )c a c b c c ta được: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 9 2 ( ( ) ( )) ( )( )c b c c a c c a c b c c ab         từ đó suy ra BĐT ccm. Dấu bằng xảy ra khi ()ab c a b Bài 29: Cho 4 số dương x,y,a,b thỏa man các điều kiện: ;a x a b x y    . Chứng minh: 2 2 2 ()x a x a x y a b x y a b        . Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số ; &( ; ) x a x x y a b x y x y a b x y              ta được: 22 2 () ( ) ( ) x a x x y a b x y x a x x y a b x y                  từ đó suy ra BĐT ccm. Dấu bằng xảy ra khi bx = ay. Bài 30: Bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn hệ thức: 2 2 2 2 1a b c d    ; x là số thực bất kì. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) (2 1)x ax b x cx d x       . Giải: Áp dụng BĐT (II) ứng với n = 3 ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 1 )( );x ax b x x x a b       2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 1 )( )x cx d x x x c d        2 2 2 2 ( ) ( )x ax b x cx d      2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 1)( ) (2 1)x x a b x c d x        (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi b=d=1&x=a=c. Bài 31: Cho 5 số dương x,y,z,p,q bất kì. Chứng minh: 3xyz py qz pz qx px qy p q        . Giải: Theo BĐT (III) ta có: ( ) ( ) ( ) ( )( )x py qz y pz qx z px qy p q xy yz zx          2 ( )( ) /3p q x y z   (*). Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số ;; xyz py qz pz qx px qy       và ( ( ); ( ); ( ))x py qz y pz qx z px qy   ta được:   2 ( ) ( ) ( ) ( ) xyz x py qz y pz qx z px qy x y z py qz pz qx px qy                 Kết hợp với BĐT (*) ta sẽ được BĐT ccm. Dấu bằng xảy ra khi; py qz pz qx px qy     . Bằng cách giải tương tự ta sẽ chứng minh được các BĐT sau: 1/ 3 2 a b c b c a c b a       với a,b,c là các số dương bất kì. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 10 2/ 2 a b c d b c d c d a a b      với a,b,c,d là các số dương bất kì. 3/ 2 2 2 2 a b c a b c b c a c b a        với a,b,c là các số dương bất kì. 4/ 2 2 2 a b c abc b c a a c b b a c            với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. 5/ 3 a b c b c a a c b b a c          với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Bài 32: Cho các số thực x,y,u,v thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 2 1x y u v    . Chứng minh: ( ) ( ) 2u x y v x y    Giải: Theo BĐT (II) :   2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) 2u x y v x y u v x y x y x y              Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi ( ) ( ).u x y v x y   Bài 33: Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 1.abc Chứng minh: 3 3 3 1 2 a b c b c a c b a       Giải: Theo BĐT (II) ta có:   3 3 3 ( ) ( ) ( ) a b c a b c b a c c b a b c a c b a               2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )a b c a b c ab bc ca        . Từ đó ta suy ra BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi 3/3abc   . Bài 34: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: ( 1) ( 1) ( 1) 4/3.x x y y z z      Chứng minh: 14x y z     . Giải: Từ điều kiện ta suy ra: 2 2 2 ( 1/2) ( 1/2) ( 1/2) 25/12x y z      . Áp dụng BĐT (II) ta được:   2 2 2 2 1.( 1/2) 1.( 1/2) 1.( 1/2) 3 ( 1/2) ( 1/2) ( 1/2) 25/ 4x y z x y z               3/2 5/2 5/2 3/2 5/2 1 4x y z x y z x y z                  (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi 4/3x y z   . Bài 35: Hai số a,b thỏa mãn điều kiện: 22 16 8 6a b a b    . Chứng minh: [...]... giá: Bài 38: Cho 3 số dương a,b,c Chứng minh các BĐT sau: DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 11 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 1 1 1 1  3  3 3  ; a 3  b3  abc c  b3  abc a  c  abc abc 1 1 1 abc b/ 2  2  2  a  bc b  ac c  ab 2abc a/ Giải:a/Ta có: a3  b3  abc  (a  b)(a 2  ab  b2 )  abc  (a  b)ab  abc  ab(a  b  c)  0  1 1 c   Tương tự ta cũng có các. .. có: S        a  b b  c c  a 4(a  b) 4(c  b) 4(a  c) Bài 40: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 2 Chứng minh: S  DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 12 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ abc  1 (đpcm) Dấu bằng xảy ra khi a  b  c  2/ 3 2 1 1 1    x y z  Bài 41: Cho x, y, z  1;2 Tìm GTLN của biểu thức: P  ( x  y  z )  Giải: Giả sử:  x  y y  z x z x... 27  4 DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI 4 4 Page 13 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ x4  y 4  z 4 3  4 1 1 1/ 27 3 xyz BĐT (I) ta được: S    x  y4  z4  4    xyz   4 4 4 3  4.27 4 4 3 1   xyz  xyz  xyz  0 Vậy MinS  0 khi x  y  z  1/ 3 4.27 Bài 45: Cho 3 số dương x,y,z bất kì.Tìm GTNN của biểu thức: x2 y2 z2 S 2   x  2 yz y 2  2 yx z 2  2 yx x2 y2 z2 Giải:... KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ  MaxP  1945.292 (a  b  29; c  1945) Bài 50: Cho a, b, c, x, y, z  0 & xyz  ax  by  cz Chứng minh: x y  z  ab  bc  ca Giải: Ta có: x ax b c b c a c a b b c a c a b     ; y   ;z    x  y  z    yz z y z y z x y x x y z  2( x  y  z )  bc ac a b  x  y  z  2 b  c  2 c  a  2 a  b  đpcm x y z Bài 51: Biết phương... (đpcm) Dấu bằng xảy ra khi x  y  z  1/ 3 hay a  b  c  3 Bài 53: Cho 3 số thực dương x,y,z có tích bằng 1 Chứng minh BĐT: S 1 1 1 3  3  3  x3 ( y  z ) y ( x  z ) z ( y  x) 2 DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 15 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: abc  1 và BĐT trở thành: a2 b2 c2 3 (a  b  c) 2 a  b  c 3 S ... 2 MaxA  Maxf ( x)  f (3)  f (3)  20  4;3 MinA  Minf ( x)  f (1)  12  4;3 DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 16 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Bài 57: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: x  y  1 Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 S  ( x  1)(1  1/ y)  ( y  1)(1  1/ x) Giải: Ta có: S  x  y  ( x  y  1) / xy Đặt t  x  y  t 2  1  2 xy  1;2  t  1; 2 ... 2  z 2 x2  y 2  z 2 Bài 46: Cho 3 số dương x,y,z bất kì Chứng minh: S 2x 2y 2z 1 1 1  4  4  4  4  4 y 4  x6 z  y 6 x  z 6 x y z Giải: Theo BĐT (I) và BĐT (III) ta có: S   2x 2y 2z 1 1 1  3 2 3 2  2 2 2 2 2 2 2 x3 y 2 2 y z 2z x x y z y x z 1 1 1  4  4 (đpcm) Dấu bằng xảy ra khi x  y  z  1 x4 y z Bài 47: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức S  x  y biết x và y thỏa mãn phương trình:... 1 và y = 0 Bài 59: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: x  y  5/ 4 Tìm GTNN của biểu thức: S  4/ x  1/ 4 y Giải: Thay y  5/ 4  x vào S ta được: S  (20  15x) /(5x  4 x 2 )  f ( x) f '( x)  20(3x2  8x  5) /(5x  4 x 2 )2 Ta có BBT như bên ta suy ra: MinS  f (1)  5 x f’(x) 0 5/3  1  0 5/4 +  0 f(x) 5 Bài 60: Cho hai số không âm x,y có tổng bằng 1 Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: ...SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ a /10  4a  3b  40; b / 7b  24a 2 2 Giải: a/ Từ điều kiện ta suy ra: (a  4)  (b  3)  9 Áp dụng BĐT (II) ta được:  4(a  4)  3(b  3)  (a  4) 2  (b  3) 2  (42  32 )  9.25... (1)  5 x f’(x) 0 5/3  1  0 5/4 +  0 f(x) 5 Bài 60: Cho hai số không âm x,y có tổng bằng 1 Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 17 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ S  1  x 2008  1  y 2008 Giải: Ta có: 1004 x 2007 1004(1  x) 2007 2008 2008 S  f ( x)  1  x  1  (1  x) f '( x)   2008 1 x 1  (1  x)2008 f '( x)  0  x 2007 1  (1  x)2008 . NGHIỆM ***** BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI Page 1 LỜI NÓI ĐẦU: Các bài toán về tìm giá trị nhỏ nhất ( GTNN ) và giá trị lớn nhất ( GTLN ) của một biểu thức được. được gọi chung là các bài toán về cực trị. Rất nhiều bài toán dạng này được giải quyết bằng công cụ bất đẳng thức ( BĐT ). Trong chuyên đề này tôi giới thiệu lời giải một số bài toán sử dụng BĐT. , BĐT Bunhiacốpxki và một số BĐT đơn giản khác. Các bài toán về cực trị ngoài cách sử dụng BĐT còn có một số bài sử dụng phương tiện đạo hàm. NỘI DUNG: Để chứng minh các BĐT ta có thể sử