Lời giải một số bài toán về bất đẳng thức và cực trị

LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ.. Tương tự cho các số hạng khác; từ đó suy ra:

1 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 1/ Cho x, y, z > và x + y + z = Tìm GTNN BT: 𝒙𝟐 (𝒚 + 𝒛) 𝒚𝟐 (𝒙 + 𝒛) 𝒛𝟐 (𝒚 + 𝒙) 𝑷= + + 𝒚𝒛 𝒙𝒛 𝒚𝒙 Giải: Theo BĐT Cô-si ta có: 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒚𝟐 + + ≥ 𝟑𝒙 → 𝟑𝑷 ≥ 𝟑 𝒙 + 𝒚 + 𝒙 + 𝒛 + 𝒛 + 𝒚 = 𝟔 → 𝑷 ≥ 𝟐 𝒚 𝒚 𝒙 2/ Cho số thực dương x, y, z Tìm GTLN BT: 𝑺= 𝒙 𝒙+ 𝒙 + 𝒚 (𝒙 + 𝒛) + 𝒚 𝒚+ 𝒙 + 𝒚 (𝒚 + 𝒛) + 𝒛 𝒛+ 𝒛 + 𝒚 (𝒙 + 𝒛) Giải: Ta có: 𝒙 𝒙+ 𝒙 + 𝒚 (𝒙 + 𝒛) = 𝒙 𝒙 + 𝒚 (𝒙 + 𝒛) − 𝑥 𝒙 𝒙 + (𝒚 + 𝒛) 𝟐 − 𝒙 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 ≤ = 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑧 − 𝒙𝟐 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 2(𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧) Tương tự cho các số hạng khác; từ đó suy ra: 𝑆≤ 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 𝑧𝑦 + 𝑥𝑧 + + =1 2(𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧) 2(𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧) 2(𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧) 3/ Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn đk: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟑 Tìm GTLN BT: 𝑨 = 𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 + 𝒛𝒙 + 𝟓 (𝒙 + 𝒚 + 𝒛) Giải: Ta có: 𝟑 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 ≥ 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 𝟐 ≥ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 ≥ 𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 + 𝒛𝒙 ≥ 𝟎 →𝟑 ≥𝒕 =𝒙+𝒚+𝒛≥ 𝟑→𝑨≤ 𝒙+𝒚+𝒛 𝟐 𝟑 + 𝟓 (𝒙 + 𝒚 + 𝒛) = 𝒕𝟐 𝟑 + 𝟓 𝒕 = 𝒇(𝒕) → 𝒇 𝒕 ≤ 𝒇 𝟑 = 𝟏𝟒 𝟑 4/ Cho tg ABC có độ dài các cạnh là a, b, c CMR: 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 + 𝟑𝒂𝒃𝒄 ≥ 𝒂 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 + 𝒃 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 + 𝒄(𝒃𝟐 + 𝒂𝟐 ) Giải: BĐT cần chứng minh tương đương với: Lop12.net DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 − 𝒂𝒃 𝒂 + 𝒃 + 𝒄𝟑 + 𝒃𝟑 − 𝒄𝒃 𝒄 + 𝒃 + 𝒂𝟑 + 𝒄𝟑 − 𝒂𝒄 𝒂 + 𝒄 ≥ 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 − 𝟑𝒂𝒃𝒄 ↔ 𝒂+𝒃 𝒂−𝒃 𝟐 + 𝒄+𝒃 𝒄−𝒃 𝟐 + (𝒂 + 𝒄)(𝒂 − 𝒄)𝟐 ≥ × (𝒂 + 𝒃 + 𝒄) 𝟐 ↔ (𝒂 + 𝒃 − 𝒄) 𝒂 − 𝒃 𝟐 𝒂−𝒃 + 𝒄+𝒃−𝒂 𝒄−𝒃 𝟐 𝟐 + 𝒄−𝒃 𝟐 + (𝒂 − 𝒄)𝟐 + (𝒂 + 𝒄 − 𝒃)(𝒂 − 𝒄)𝟐 ≥ 𝟎 5/ Cho 𝒂, 𝒃, 𝒄 > 0&𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝟑 𝟒 Tìm GTNN BT: 𝑷=𝟏 Giải: Ta có 𝑷 = 𝟏 𝟑 𝟑 𝒂 + 𝟑𝒃 + 𝟏 𝒂 + 𝟑𝒃 𝟏 𝟏 + 𝟏 𝟑 𝟑 𝒃 + 𝟑𝒄 + 𝟏 𝒃 + 𝟑𝒄 𝟏 𝟏 + 𝟏 𝟑 𝒄 + 𝟑𝒂 𝟑 𝒄 + 𝟑𝒂 𝟏 𝟏 ≥ 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑×𝟗 𝟐𝟕 + + ≥ = =𝟑 𝒂 + 𝟑𝒃 + 𝟐 𝒃 + 𝟑𝒄 + 𝟐 𝒄 + 𝟑𝒂 + 𝟐 𝟒 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝟔 𝟗 6/ Cho số dương x, y, z thỏa mãn đk: 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 ≤ Chứng minh BĐT: 3𝑥𝑦 625𝒛𝟒 + + 15𝑦𝑧 𝒙𝟒 + + 5𝑧𝑥 81𝒙𝟐 + ≥ 45 5𝑥𝑦𝑧 Giải: Đặt 𝑥 = 𝒂𝟓 ; 3𝑦 = 𝒃𝟓 ; 5𝑧 = 𝒄𝟓 𝑡𝑕ì 𝑡ừ 𝐺𝑇 𝑡𝑎 𝑐ó: 𝒂𝟓 + 𝒃𝟓 + 𝒄𝟓 ≤ Theo BĐT Cô-si ta có: 3𝒂𝟓 + ≥ 5𝒂𝟑 → 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 ≤ Cũng theo BĐT Cô-si ta có: 3𝑥𝑦 625𝒛𝟒 + = 𝒂𝟓 𝒃𝟓 𝒄𝟐𝟎 + ≥ 𝒂𝟓 𝒃𝟓 5𝒄𝟒 = 5𝒂𝟓 𝒃𝟓 𝒄𝟐 → 𝑉𝑇 ≥ 5𝒂𝟓 𝒃𝟓 𝒄𝟓 × 𝒂−𝟑 + 𝒃−𝟑 + 𝒄−𝟑 ≥ 5𝒂𝟓 𝒃𝟓 𝒄𝟓 × 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 ≥ 𝒂𝟓 𝒃𝟓 𝒄𝟓 → đ𝑝𝑐𝑚 7/ Cho a, b, c > và thỏa mãn đk a + b + c = Tìm GTNN BT: 𝒂𝟑 𝒃𝟑 𝒄𝟑 𝑆= + + (𝟏 − 𝒂)2 (𝟏 − 𝒃)2 (𝟏 − 𝒄)2 Giải: Theo BĐT Cô-si ta có: 𝒂𝟑 − 𝑎 − 𝑎 3𝑎 + + ≥ 𝑇ươ𝑛𝑔 𝑡ự 𝑡𝑎 𝑐ũ𝑛𝑔 𝑐ó 𝑐á𝑐 𝐵Đ𝑇 𝑘𝑕á𝑐; 𝑡ừ đó 𝑠𝑢𝑦 𝑟𝑎: (𝟏 − 𝒂)2 8 𝑆+ − 𝑎 + − 𝑏 + − 𝑐 3(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) ≥ → 𝑆 ≥ − = → 𝑀𝑖𝑛𝑆 = 0,25 4 4 Lop12.net DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN 3x   y 8/ Cho x, y > TMĐK 𝑥 + 𝑦 ≥ 𝑇ì𝑚 𝐺𝑇𝑁𝑁 𝑐ủ𝑎 𝐵𝑇: P   4x y2 Giải: Theo BĐT Cô-si ta có: P  3x   y x  y x y y           1,5  4,5 4x y2 x y 4 9/ Cho số thực x, y TMĐK 𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝒚2 = Tìm GTNN và GTLN BT: 𝑃 = (𝑥 𝟒 + 𝒚𝟒 + 1) (𝑥 + 𝒚2 + 1) Giải:Từ GT ta suy ra: (𝑥 − 𝒚)2 = − 𝑥𝑦 ≥ 0; (𝑥 + 𝒚)2 = + 3𝑥𝑦 ≥ → ≥ 𝑡 = 𝑥𝑦 ≥ − t  2t   f (t ) Do PT f’(t) = có nghiệm t    (1/ 3;1) nên Ta có: P  t2 𝑀𝑎𝑥𝑃 = 𝑓 − = − ; 𝑀𝑖𝑛𝑃 = 𝑓 = 10/ Cho số thực x, y TMĐK 𝟐(𝑥 + 𝒚2 ) = 𝑥𝑦 + Tìm GTNN và GTLN BT: 𝑃 = (𝑥 𝟒 + 𝒚𝟒 ) (2𝑥𝑦 + 1) Giải:Từ GT ta suy ra: (𝑥 − 𝒚)2 = 0,5 − 1,5𝑥𝑦 ≥ 0; (𝑥 + 𝒚)2 = 0,5 + 2,5𝑥𝑦 ≥ 1 −7𝒕2 + 2𝑡 + → − ≤ 𝑡 = 𝑥𝑦 ≤ 𝑣à 𝑃 = = 𝑓 𝑡 𝐷𝑜 𝑓 ′ 4(2𝑡 + 1) 𝑡 = 𝑘𝑕𝑖 𝑡 = 𝑛ê𝑛 𝑀𝑎𝑥𝑃 = 𝑓 = ; 𝑀𝑖𝑛𝑃 = 𝑓(− 5) = 𝑓 = 15 11/ Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn đk 𝒂2 + 𝒃2 = 𝑣à 𝑐 − 𝑑 = CMR: 𝐹 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 − 𝑐𝑑 ≤ (9 + 2) Giải:Từ GT ta suy ra: c = d + và theo BĐT Bunhiacốpxki ta có: 𝐹≤ 𝒂2 + 𝒃2 𝒄2 + 𝒅2 − 𝑑 + 𝑑 = (𝒅 + 𝟑)2 + 𝒅2 − 𝒅2 + 3𝑑 = 𝑡 − 0,5(𝒕2 − 9) = (−𝒕2 + 2𝑡 + 9) = 𝑓 𝑡 𝑇𝑎 𝑐ó: 𝒕2 = 2(𝒅 + 𝟏, 𝟓)2 + 4,5 ≥ 4,5 → 𝑡 ≥ 𝐷𝑜 𝑓 ′ 𝑡 = − 𝑡 > 𝑣ớ𝑖 𝑡 ≤ − 𝑡 ≤ −3 𝑣ớ𝑖 𝑡 ≥ → 𝑓 𝑡 ≤ 𝑓 −3 (1) ; 𝑓 ′ 𝑡 = − 𝑡 < 𝑣ớ𝑖 𝑡 ≥ (2) Từ (1) và (2) ta suy đpcm Lop12.net 2 = (9 − 2) 𝑣ớ𝑖 2→𝑓 𝑡 ≤𝑓 = (9 + 2) DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN Lop12.net