Đang tải... (xem toàn văn)
Phần lớn các bài toán về bất đẳng thức hình học đều có thể giải bằng cả hai phương pháp nêu trên. Thông thường khi giải bài toán bất đẳng thức hình học người ta thường dùng phương pháp[r]
(1)Các toán bất đắng thức hình học phẳng thường giải theo phương pháp sau :
1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Xuất phát từ bất đẳng thức biết, vận dụng tính chất bất đẳng thức để suy bất đẳng thức cần chứng minh
2 BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài (lớp 8)
Cho M điểm nằm tam giác ABC Chứng minh : MB + MC < AB + AC Từ suy MA + MB +MC < AB + AC + BC
LỜI GIẢI: BM cắt cạnh AC D
BD < AB + AD
MB + MD < AB + AD (1) Xét MDC có :
MC < MD + DC (2) Từ (1) (2) suy :
MB + MC + MD < AB + AD + DC + MD MB + MC < AB + AC
Chứng minh tương tự ta có : MA + MC < AB + BC : MA + MB < AC + BC Do : 2(MA + MB + MC) < 2(AB + AC + BC)
MA + MB + MC < AB + AC + BC Chú ý: Từ lời giải tốn ta có điều sau:
(2)Cho tam giác ABC có ; AM trung tuyến D điểm đoạn thẳng AM
Chứng minh DB < DC
LỜI GIẢI Xét ABC có B C AC > AB Xét ABMvà ACMcó :
BM = MC (gt) ; AM ( cạnh chung) ; AB < AC
Suy AMB AMC. Xét DBM DCMcó : BM = MC (gt) ;
DM (cạnh chung) ;
DMB DMC
Suy DB < DC
Bài (lớp 8)
a) Cho tam giác ABC M điểm thuộc AC Chứng minh SABC
1
AB.AC
; SABC
1
BM.AC
b) Cho tứ giác ABCD
Chứng minh SABCD
AC.BD
LỜI GIẢI a) Gọi BH đường cao ABC Ta có BH AB .
SABC
1
BH.AC AB.AC
2
(3)
SABC
1
BH.AC BM.AC
2
b) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD; BH DK hai đường cao ABC DAC.
BHAC BH BO DK AC DK OD Suy BH + DK BO + OD = BD
Do : SABCD = SABC + SDAC =
BH.AC DK.AC
2
=
AC AC.BD
(BH DK)
2
Bài (lớp 9)
Cho tam giác ABC có BD CE hai đường cao Chứng minh DE < BC
LỜI GIẢI o
BEC BDC 90 (gt)
bốn điểm B, E , D , C thuộc đường trịn đường kính BC
DE dây cung khác đường kính đường trịn đường kính BC
(đường kính cung lớn đường trịn) DE < BC
Bài (lớp 9)
Cho đường tròn (O), hai dây cung AB CD ( AB > CD) Hai đường thẳng AB CD cắt M Gọi H K hai hình chiếu vng góc O hai đường thẳng AB CD Chứng minh rằng: MH > MK
LỜI GIẢI Cách :
(4)HOM
có H 90 o theo định lí Pitago ta có OH2+ MH2 = OM2
KOM
có K 90 o theo định lí Pitago ta có OK2+ MK2 = OK2
Do OH2+ MH2 = OK2+ MK2 OH < OK nên OH2 < OK2
Suy MH2 > MK2 Suy MH > MK Cách :
Vẽ đường tròn (O;OM) Các tia MA; MC cắt (O;OM) E; F (E,F M ) Xét (O;OA) có AB > CD
OH < OK
( định lí dây cung khoảng cách đến tâm) Xét (O;OM) có OH < OK
ME > MF
( định lí dây cung khoảng cách đến tâm) Xét (O;OM) có OHME OKMF Suy
ME MF
MH ;MK
2
(định lí đường kính dây cung) Từ suy MH > MK
Cách :
Vẽ đường trịn đường kính OM Tâm I trung điểm OM Vẽ IEMA, IF MD (E MA,F MD )
(5)Do IE đường trung bình HOM
1
IE OH
2
Tương tự
1
IF OK
2
Xét (O;OA) có AB > CD OH < OK (định lí dây cung khoảng cách đến tâm) IE < IF
Xét (I;IM) có IE < IF MH > MK (định lí dây cung khoảng cách đến tâm)
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh sai, từ lập luận để dẫn đến điều vơ lí ( vơ lí trái với giả thiết dẫn đến điều mâu thuẫn trái với kiến thức học) Vậy điều giả sử sai
Kết luận bất đẳng thức chứng minh 1 BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài (lớp 8)
Cho tam giác ABC có BD CE hai đường cao Chứng minh DE < BC
LỜI GIẢI
Giả sử DE BC Gọi M trung điểm BC; BDC vng D có DM là trung tuyến
1
DM BC
2
Chứng minh tương tự ta có:
1
ME BC
2
Ta có DM + ME = BC
(6)Cho tam giác ABC, AM trung tuyến Chứng minh rằng: AB + AC > 2.AM
LỜI GIẢI Giả sử AB + AC 2.AM
Gọi D điểm đối xứng A qua M
M trung điểm chung hai đoạn thẳng BC AD ABCD hình bình hành.
AB = DC AD = 2.AM
Do ADC có DC + AC AD Điều vơ lí !
Vậy AB + AC 2.AM sai. AB + AC > 2.AM
Bài (lớp 8)
Cho tam giác ABC, AM trung tuyến Chứng minh : a) Nếu AM
BC
BAC 90 o b) Nếu BAC 90 o AM
BC
LỜI GIẢI a) Giả sử BAC 90 o
Gọi D điểm đối xứng A qua M, ta có AD = 2AM M trung điểm chung hai đoạn thẳng BC AD
(7)AB // DC BAC ACD 180 o mà BAC 90 o.
Do ACD 90 o suy BAC ACD.
Xét ABC CDBcó AB = DC (cạnh chung), BAC ACD. Do BC < AD AM
BC
Trái với giả thiết
BC
Vậy BAC 90 o sai Do BAC 90 o (đpcm).
b) Giả sử AM
BC
BC < 2AM
Gọi D điểm đối xứng A qua M, ta có AD = 2AM Suy BC < AD
Chứng minh tương tự câu a) ta có AB = DC, BAC ACD 180 o.
Xét ABC CDBcó AB = DC, BC (cạnh chung), BC < AD. Do BAC ACD
BAC BAC BAC ACD BAC 180 o
BAC < 90o
Trái với giả thiết BAC 90 o Vậy AM
BC
sai Do AM
BC
(đpcm) Bài (lớp 9)
Cho đường tròn (O), M điểm bên (O) ( M khác O) Qua M vẽ hai dây AB, CD (O), AB vng góc với OM CD khơng vng góc với OM Chứng minh AB < CD
(8)Vẽ OH CD (H CD ) rõ ràng M H OH < OM CD > AB (2) (định lí dây cung khoảng cách đến tâm) (1) (2) mâu thuẫn !
Vậy AB CD sai Do AB < CD
Bài (lớp 9)
Cho tứ giác ABCD cóA Ctù Chứng minh AC < BD. LỜI GIẢI
Giả sử AB CD
Vẽ đường trịn đường kính BD Vì A 90 o , C 90o Do A C bên đường trịn đường kính BD
Do AB CD vơ lí đường kính dây cung lớn đường trịn Ta có : AB CD sai
Vậy AC < BD Chú ý :
1 Phần lớn tốn bất đẳng thức hình học giải hai phương pháp nêu