Chuyên đề bất đẳng thức hình học Luyện thi đại học

Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm www.VNMATH.com PH N I: B T Đ NG TH C HÌNH H C TRONG M T PH NG BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP KÉO THEO I Sơ lư c v phương pháp kéo theo: Xu t phát t b t đ ng th c bi t, v n d ng tính ch t c a b t đ ng th c đ suy b t đ ng th c c n ch ng minh Sau ví d : Vd S ABC 1: Cho tam giác ABC, 1 ≤ AB AC ; S ABC ≤ BM AC 2 M AC thu c Ch ng minh r ng: Gi i: B M A C H G i BH đư ng cao c a tam giác ABC ⇒ BH ≤ AB 1 S ABC = BH AC ≤ AB AC 2 1 M ∈ BC ⇒ BH ≤ BM ⇒ S ABC = BH AC ≤ BM AC 2 B t đ ng th c đư c ch ng minh xong Vd2: Cho tam giác ABC, AM trung n Ch ng minh: AM ≤ BC BAC ≥ 90o ngư c l i Gi i: B A M C D Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm www.VNMATH.com a) Gi s BAC < 90o G i D m đ i x ng c a A qua M Suy AD=2AM M trung m hai đo n th ng BC AD ⇒ AB = DC & AB / / DC ⇒ BAC + ACD = 180O mà BAC < 90o ⇒ ACD > 90O ⇒ BAC < ACD Xét tam giác ABC tam giác CDB có: AB=DC, BC c nh chung, BAC < ACD BC Do đó: BC (Vơ lí) ⇒ BAC ≥ 90o Vd 3: Cho t giác l i ABCD cho AB c t CD t i E, AD c t BC t i F, E,F,C thu c n a m t ph ng có b BD Đ t AED = α , AFB = β ; S ABCD = S Ch ng minh r ng: AB.CD.sin α + AD.BC.sin β ≤ S ≤ AB.CD + AD.BC Gi i: F β D P β C K E α α B A  ABF > α  D th y:   ACE > β   BK / / DE * Trong ∆ABD ta l y m K cho   DK / / BF 1 T ta có S ACK + S ADK ≤ S ⇒ AB.BK sin α + AD.DK sin β ≤ S 2 ⇔ AB.BK sin α + AD.DK sin β ≤ S (1) D th y DKBC hình bình hành  BK = CD (2)   BC = DK Thay (2) vào (1) ta có: AB.CD.sin α + AD.BC.sin β ≤ S (1) Chuyên đ b t đ ng th c hình h c www.VNMATH.com Nhóm  DP = BC * Trong n a m t ph ng có b BD ta l y m P cho   BP = CD D th y 1 S ABCD = S ABPD = S ADP + S ABP = AD.DP sin ADP + BA.BP.sin ABP 2 1 ≤ AD.DP + BA.BP 2 ⇔ S ≤ AB.CD + AD.BC V y AB.CD sin α + AD.BC.sin β ≤ S ≤ AB.CD + AD.BC *M t s ki n th c thư ng dùng đ gi i tóan c c tr m t ph ng: - S d ng quan h gi a đư ng vng góc đư ng xiên, hình chi u - Trong tam giác vng (có th suy bi n thành đo n th ng) có c nh góc vng AH c nh huy n AB AH ≤ AB X y d u b ng H ≡ B - Trong đo n th ng n i t m đ n đư ng th ng, đo n vng góc v i đư ng th ng đo n th ng có đ dài nh nh t - Trong đo n th ng n i m thu c hai đư ng th ng song song, đo n th ng vng góc v i hai đư ng th ng song song có đ dài ng n nh t - Trong hai đư ng xiên k t m đ n m t đư ng th ng, đư ng xiên l n ch hình chi u c a l n - M t t giác l i b ch a m t t giác khác (khơng nh t thi t l i) chu vi c a t giác b ch a s nh chu vi c a t giác ch a bên - Đ dài đo n th ng n m m t đa giác l i không l n đ dài đư ng chéo l n nh t - Trong t t c dây cung qua m t m cho trư c m t đư ng trịn dây cung có đ dài nh nh t dây cung vng góc v i đo n th ng n i tâm đư ng tròn v i m - Trong tam giác có chu vi tam giác đ u có di n tích l n nh t - M t đư ng th ng có th c t nhi u nh t hai c nh c a m t tam giác.(nguyên t c Dirichlet) * M t s ví d : Vd1: Cho đo n th ng AB có đ dài 2a V v m t phía c a AB tia Ax By vng góc v i AB Qua trung m M c a AB có đư ng th ng thay đ i ln vng góc v i c t Ax, By l n lư t t i C,D Xác đ nh v trí c a m C,D cho ∆MCD có di n tích nh nh t Tính di n tích Gi i: D H C a A M B Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm www.VNMATH.com G i K giao m c a CM DB, ∆MAC = ∆MBK ( gcg ) ⇒ MC = MK ∆DCK cân ⇒ D1 = D2 K MH ⊥ CD Do M thu c phân giác góc D nên MH=MB=a S MCD = CD.MH Do CD ≥ AB = 2a & MH = a nên: S MCD ≥ 2a.a = a ⇒ CD ⊥ Ax Các m C,D đư c xác đ nh Ax, By cho AC=BD=a CP.MH Sau ch ng minh MH không đ i, ta th y SMCD nh nh t ch CD nh nh t - N u tốn khơng cho M trung m AB ta ph i gi i quy t sao? * Trong l i gi i trên, SMCD đư c bi u th b i D C α A a M b B MC.MD, MAC = MDB = α (cùng ph BMD ) a b ⇒ MC = , MD = nên cosα sin α ab S MCD = sin α cos α Do a,b,c h ng s nên SMCD nh nh t ch sin α cosα l n nh t sin α cos α ≤ sin α + cos α = ⇒ S MCD ≥ ab S MCD = SMCD = ab ⇔ sin α = cos α ⇔ tan α = ⇔ α = 45o ⇒ Các m C,D Ax, By đư c xác đ nh cho AC=AM, BD=BM Đây đư c xem toán t ng quát Vd 2: Cho ∆ABC có B góc tù, D di đ ng BC Xác đ nh v trí c a D cho t ng kh ang cách t B t C đ n đư ng th ng AD có giá tr l n nh t Chuyên đ b t đ ng th c hình h c www.VNMATH.com Gi i: Nhóm A 1 E AH BC = BE AD + CF AD 2 2S B D ⇒ BE + CF = ABC Do H AD ( BE + CF ) max ⇔ AD AD nh nh t ch hình chi u HD nh nh t HD ≥ HB HD=HB D ≡ B Suy đpcm Ta có : S ABC = C F Vd3: Cho tam giác ABC vng có đ dài c nh góc vuông AB=6cm, AC=8cm M m di đ ng c nh huy n BC G i D E chân đư ng vng góc k t M đ n AB AC Tính di n tích l n nh t c a t giác ADME Gi i: Đ t AD = x ME = x Theo Thalet: EM CE x CE 4 = ⇒ = ⇒ CE = x ⇒ AE = − x AB CA 3 Ta có:   S ADME = AD AE = x  − x  = x − x   4 = − ( x − x ) = − ( x − x + ) + 12 = − ( x − 3) + 12 ≤ 12 3 S ADME = 12cm ⇔ x = ⇒ D trung m c a AB, M trung m BC, E trung m AC Vd4: Cho tam giác ABC, m M di chuy n c nh BC Qua M k đư ng th ng song song v i AC AB, chúng c t AB AC theo th t D E Xác đ nh v trí M cho ADME có Smax Gi i: A K D H E B C x y G i SABC=S, SBDM=S1, SEMC=S2 S1 + S S Các ∆DBM & ∆EMC đ ng d nh v i ∆ABC nên: Ta nh n th y SADME max ⇔ ( S1 + S ) ⇔ Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm www.VNMATH.com S1  BM  S2  MC  =  ; =  S  BC  S  BC  S + S BM + MC x + y ⇒ = = ≥ S BC ( x + y) Như v y max S ADME = S D u “=” x y ch x = y Khi M trung m c a BC Vd 5: Gi s C1 , B1 , A1 m tùy ý c nh AB,CA,BC c a tam giác ABC Ký hi u S , S1 , S , S3 di n tích tam giác ABC , AB1C1 , BC1 A1 , CA1 B1 CMR: S1 + S2 + S3 ≤ S Gi i: BĐT cho tương đương v i VT = S S1 S + + ≤ S S S AB1 AC1 BA1.BC1 CB1.CA1  AB1 AC1 BC1 BA1 CA1 CB1  + + ≤  + + + + + = AB AC AB.BC AC.BC  AC AB AB BC BC AC  M TS BÀI TOÁN CH N L C: 1.Cho tam giác ABC nh n D ng m t tam giác có chu vi nh nh t n i ti p tam giác ABC, t c có đ nh n m ba c nh c a tam giác ABC Gi i: A F P E M B C N Xét ∆MNP n i ti p ∆ABC m t cách tùy ý ( M ∈ AB, N ∈ BC , P ∈ AC ) V E,F cho AB trung tr c c a NE AC đư ng trung tr c c a NF Chu vi ∆MNP = MN + MP + PN = EM + MP + PF ≥ FE EAF = A1 + A2 = BAC ∆FAE tam giác cân có góc c nh bên nh nh t đ nh không đ i nên c nh đáy nh nh t ch Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm www.VNMATH.com Ta có: EF nh nh t ⇔ AE ⇔ AN ⇔ AN ⊥ BC Ta có nh n xét r ng N chân đư ng vng góc k t A M P chân đư ng cao l i c a tam giác Ch ng minh nh n xét sau: ∆HMP : AB đư ng phân giác c a EMH , AC đư ng phân giác c a FPH Ta có: AB,AC g p t i A nên AH tia phân giác c a góc c a tam giác t i H hay HA tia phân giác MHP Vì AH ⊥ HC nên HC đư ng phân giác góc ngịai c a A t i đ nh H F A P M E B H C Theo trên, AC đư ng phân giác ngòai t i đ nh P, HC g p AC t i C nên MC tia phân giác góc t i M MB MC tia phân giác c a hai góc k bù nên MB ⊥ MC , PC ⊥ PB ⇒ Chu vi ∆MNP M,N,P chân đư ng cao c a tam giác ABC Do ∆ABC nh n nên M,N,P thu c biên c a tam giác Hai anh em chia tài s n m t mi ng đ t hình tam giác ABC H mu n chia đơi di n tích mi ng đ t b ng m t b rào ng n nh t Tính đ dài m c a b rào theo di n tích S góc nh nh t α c a tam giác Gi i: B rào ph i c t hai c nh c a tam giác Gi s góc t i đ nh Â, đ dài c a b rào IK=m kh ang cách t đ nh c a góc A t i hai đ u b rào x y ⇒ IK = x + y − xy cos A (1) Đ t S AIK = S ′, S ABC = S , AI = x, AK = y , ta có: S ' = S = const xysin A mà S ′ A không đ i nên xy không đ i IK ⇔ ( x + y ) Áp d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có Do S ′ = (x + y ) ⇔ x = y Như v y xét b rào ch n góc A đ dài b rào ng n nh t ch ∆AIK cân t i A A S A IK = S ' tan Do S ' = nên IK = tan 2 Chuyên đ b t đ ng th c hình h c www.VNMATH.com V y đ dài b rào ng n nh t = m = tan α Nhóm (α = { A, B, C}) Cho ∆ABC n i ti p đư ng tròn tâm O bán kính R có a,b,c đ dài c nh ma,mb,mc trung n l n lư t tương ng v i đ nh A,B,C Các trung n c a tam giác (theo th t trên) c t đư ng tròn t i A,B,C Tìm GTLN c a: a2 + b2 b2 + c2 c2 + a + + mc ma mb Gi i: Trư c h t ta có b + c = 2ma + a2 b2 + c2 ≤ 4R ma Theo h th c lư ng đư ng tròn: Ta s ch ng minh: MA1.MA = MB.MC ⇔ ma MA1 = a2 a2 ⇒ MA1 = 4ma Ta l i có: MA + MA1 = AA1 ≤ R ⇒ ma + a2 ≤ R ⇒ 4ma + a ≤ 8Rma 4ma a2 ≤ R.ma b2 + c2 ≤ 4R b + c ≤ Rma ⇒ ma M t cách tương t , c ng b t đ ng th c l i v theo v ta có đpcm D u “=” x y ch khi:  AA1 = R   BB1 = R ⇔ ∆ABC đ u Khi d=2R CC = R  ⇒ 2ma + G i H tr c tâm ∆ABC nh n r bán kính đư ng tròn n i ti p tam giác Cm: HA + HB + HC ≥ 6r D u b ng x y nào? Gi i: Ta th y: HA BC = S + S3 a = S2 + S3 ⇒ ax = ( S2 + S3 ) Tương t : ⇒x 10 Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm www.VNMATH.com by = ( S1 + S3 )    ax + by + cz = 2.2S ABC cz = ( S1 + S2 )   Ta c n ch ng minh: x + y + z ≥ 6r Gi s : a ≥ b ≥ c Theo quan ni m v đư ng xiên hình chi u ⇒ x ≤ y ≤ z T ta s ch ng minh ( a + b + c )( x + y + z ) ≥ ( ax + by + cz ) ( ) Th t v y: ( ) ⇒ a ( x + y + z ) − 3ax + b ( x + y + z ) − 3by + c ( x + y + z ) − 3cz ≥ ⇔ ∑ a ( y − x ) − ( x − z )  ≥   ⇔ ∑ ( y − z )( a − b ) ≥ A ( 3) x c Vì a ≥ b ≥ c , x ≤ y ≤ z nên (3) T (1) (2) a+b+c r ( a + b + c )( x + y + z ) ≥ 3.4S = 12 ⇒ x + y + z ≥ 6r D u b ng x y ch khi: a = b = c ⇔ a = b = c ⇔ ∆ABC đ u  x = y = z y H b z a B C ∆ABC có c nh BC = a khơng đ i A = α không đ i Hãy xác đ nh v trí c a A đ ∆ABC có chu vi nh nh t Gi i: D' D α A' K A α a B C Xét A n m m t n a m t ph ng b BC Ta có A di chuy n cung ch a góc α d ng BC Trên tia đ i c a tia AB l y D cho AD=AC Chu vi ∆ABC b ng AB + BC + CA = AB + BC + a Chu vi ∆ABC l n nh t ⇔ ( AB + AC ) max ⇔ BD max 11 Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Mà BDC = α Nhóm www.VNMATH.com ⇒ D di đ ng cung ch a α d ng đo n BC (có gi i h n b i ti p 2 n t i B) cung KC Do v y BD max ch BD đư ng kính c a cung ch a góc (tâm c a cung α m A′ , m gi a cung ch a góc α ) ∆ABC có chu vi l n nh t tam giác cân t i A có BC = a, A = α ch a góc Tam giác ABC , M m tam giác bên ngòai tam giác k đư ng th ng song song v i c nh, cách chúng m t kh ang b ng kh ang cách t M đ n c nh M i đư ng th ng t o v i m t c nh c a tam giác đư ng th ng ch a hai c nh m t hình thang Ch ng t r ng t ng di n tích c a ba hình thang khơng nh S ABC Gi i: G H A M C B F A2 K M2 E D A1 G i di n tích tam giác ABC , MBC , MAC , MAB hình thang l n lư t ' S , S1 , S2 , S3 , S1' , S2 , S3' Ta có: ∆ADE ∼ ∆ABC ( g.g.g )  AA   AA + MM  S ⇒ ADE =   =   S ABC  AA2   AA2  S + S1′  S1  ⇒ = 1 +  S S  ⇒ S1′ = 2S1 +   Do  MM S1  =  AA2 S S12 S Tương t ta có: 12 2 ′ S2 = 2S2 + S2 S2 ′ = S3 + ; S3 S S Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm www.VNMATH.com b) R + a + b ≥ c Gi i: ( a) G i O tâm đư ng tròn ngo i ti p, ta có: OA + OB + OC ( ) ≥0 ) ⇒ OA2 + OB + OC + OA.OB + OB.OC + OC.OA ≥ (1) V i 2OA.OB = OA2 + OB − AB = R − c Tương t 2OB.OC = R − a ; 2OC.OA = R − b Nên (1) tr thành: R − ( a + b + c ) ≥ Suy đpcm ( b)Tương t câu a, ta s khai tri n OA + OB − OC ) ≥ Vd2: Ch ng minh t di n ABCD n i ti p m t c u ( O, R ) cho trư c hình có góc tam di n đ nh A vng ch khi: AB + AC + AD − BC − CD − DB Gi i: ( Khai tri n: OB + OC + OD − OA Ta 2 2 ) ≥0 ( ) có: OB + OC + OD + OA + OB.OC + OB.OD − OBOA + ODOC − OCOA − ODOA ≥ V i 2OBOC = R − BC Khai tri n tương t th vào b t đ ng th c ta có: AB + AC + AD − BC − CD − DB ≥ −4 R Đ ng th c x y ⇔ OA = OB + OC + OD ⇔ AB + AC + AD = AO = AA′ ( A′ đ i tâm c a A m t c u ( O ) ) T c ABD ′C.DC ′A′B ′ n i ti p m t c u ( O, R ) ⇔ Góc tam di n đ nh A tam di n vuông ≤ d − kd =d 1− k ( d = m·{ AB, CD}) Vd3: T di n ABCD, tr ng tâm G, bán kính m t c u ngo i ti p n i ti p R,r, đ dài c nh a,b,c,d,e,f Ch ng minh r ng: a) a + b + c + d + e + f ≤ 16 R b) GA + GB + GC + GD ≥ a + b2 + c + d + e2 + f 4R c) R r ≥ 3V Gi i: 109 Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm www.VNMATH.com ( ) a) Khai tri n OB + OC + OD + OA ≥ (như ví d 2) ( ) b) Ta có: GA.R ≥ GAOA = GA OG + GA ⇒ GA.R ≥ GA2 + GA.OG Vi t tương t v i GB.R, GC.R, GD.R , ta suy ra: ( R ( GA + GB + GC + GD ) ≥ GA2 + GB + GC + GD + OG GA + GB + GC + GD ) (1) Mà GA + GB + GC + GD = ( ) Nên (1) ⇒ R ( GA + GB + GC + GD ) ≥ GA2 + GB + GC + GD ( 3) Bình phương v c a (2) ta suy ra: a + b2 + c + d + e2 + f 2 2 GA + GB + GC + GD = Do (3) suy đpcm c) Trong tam giác có c nh a,b,c a + b + c ≥ S C ng bđt v y ng v i m t k t h p câu a ta suy đpcm Vd 4: T di n ABCD, tr ng tâm G, bán kính m t c u ngo i ti p R Các đư ng th ng AG, BG, CG, DG l n lư t c t m t c u t i m th hai A′, B′, C ′, D′ Đ t a = DA, b = DA, c = DC , a′ = BC , b′ = CA, c′ = AB Ch ng minh: 1 1 61 1 1 1 ≤ + + + ≤  + + + + +  R GA′ GB′ GC ′ GD′  a b c a′ b′ c′  Gi i: Do: GA.GA′ = GB.GB′ = GC.GC ′ = R − OG = ⇒∑ ∑ GA = ∑ GA = GA′ R − OG ∑ GA2 Theo vd trên: ∑ GA GA2 + GB + GC + GD (1) ≤ R∑ GA nên (1) ⇒ ∑ ≥ GA′ R 362 216 1 1 1 1 + + + + +  ≥ ≥  2 a + b + c + a′2 + b′2 + c′2  a b c a′ b′ c′  ( a + b + c + a′ + b′ + c′ ) a + b + c + a′2 + b′2 + c′2 54 1 1 1  Nên ( ) ⇒  + + + + +  ≥ 2 2  a b c a′ b′ c′  GA + GB + GC + GD Cũng theo ví d ta có: = 54 ( GA2 + GB + GC + GD ) ( GA2 + GB + GC + GD ) Suy ra: 110 ∑ GA 2 ≥ = 27 ( GA + GB + GC + GD ) 2 ( GA2 + GB + GC + GD ) 1 1 1 ( GA + GB + GC + GD ) + + + + + ≥ = ∑ GA′ 2 2 a b c a′ b′ c′ ( GA + GB + GC + GD ) ( 2) Chuyên đ b t đ ng th c hình h c ⇒∑ www.VNMATH.com Nhóm 61 1 1 1 ≤  + + + + +  GA′  a b c a′ b′ c′  Vd 5: T di n ABCD n i ti p m t c u ( O, R ) G i ma , mb , mc , md đ dài tr ng n v t đ nh A,B,C,D Ch ng minh r ng: R ≥ ( ma + mb + mc + md ) 16 Gi i: G i G tr ng tâm t di n GA + GB + GC + GD = Ta có: 4R = OA2 + OB + OC + OD ( ) ( ) + (OG + GC ) + (OG + GD ) + GC + GD + 2OG ( GA + GB + GC + GD ) = OG + GA + OG + GB = 4GO + GA2 + GB 2 2 2 = 4GO + GA2 + GB + GC + GD (1) ⇒ GA2 + GB + GC + GD ≤ R 3 3 Mà GA = ma , GB = mb , GC = mc , GD = md 4 4 2 Nên (1) ⇒ R ≥ ( ma + mb + mc2 + md ) ( ) 16 Theo b t đ ng th c BCS: 2 2 ma + mb + mc2 + md ≥ ( ma + mb + mc + md ) Nên (2) suy đpcm Vd 6: T di n ABCD vuông t i A m M tuỳ ý Ch ng minh: 2MA2 ≤ MB + MC + MD Gi i: G i A′ m cho A′B + A′C + A′D − AA′ = ⇔ AB + AC + AD = AA′ A′ đ nh đ i A c a hình h p c nh AB, AC , AD (1) MB + MC + MD − 2MA2 = ( ) + ( MA′ + A′C ) + ( MA′ + A′D ) − ( MA′ + A′A) + A′B + A′C + A′D − A′A + MA′ ( A′B + A′C + A′D − A′A) = MA′ + A′B = MA′2 2 2 2 = MA′2 + A′B + A′C + A′D − A′A2 ( 2) (1) ⇒ AA′2 = ( AB + AC + AD ) = A′B + A′C + A′D Nên ( ) ⇒ MB + MC + MD − 2MA2 ≥ T 111 Chuyên đ b t đ ng th c hình h c www.VNMATH.com Vd 7: Cho t di n g n đ u ( AB = CD = a, BC = AD = b, AC = BD = c ) a) Ch ng minh v i m i m M thì: MA2 ≤ MB + MC + MD b) Ch ng minh: MA + MB + MC + MD ≥ R Gi i: a) G i A′ m cho A′B + A′C + A′D − A′A = Ta làm tương t ví d trên, ta có đpcm b) Ta có: MA.R ≥ MA.OA (O m t c u ngo i ti p) ( ) MA.R ≥ OA − OM OA = OA2 − OM OA = R − OM OA 112 Nhóm Chuyên đ b t đ ng th c hình h c www.VNMATH.com Nhóm PH N III: CÁC V N Đ NGỒI L HÌNH H C HĨA CÁC BÀI B T Đ NG TH C Đ I S Trong m t s b t đ ng th c đ i s ta có th gi i nhanh bình thư ng b ng cách hình h c hóa Tùy theo d ki n ta có th liên tư ng tìm đ c m hình h c c a nó, t có th tìm đư c cách gi i ng n g n đ c đáo Các ví d sau s cho b n th y rõ hi u qu c a phương pháp này: Vd 1: Cho < x, y, z < Ch ng minh: x(1 − y ) + y (1 − z ) + z (1 − x) < Gi i: M i tích v trái c a b t đ ng th c ta có th xem tích c a c nh c a tam giác Khơng m t tính t ng qt ta ch n tam giác đ u ABC có c nh b ng Trên c nh AB,BC,CA l n lư t l y m M,N,P cho AM = x, BN = z , CP = y Ta có b t đ ng th c di n tích: S∆AMP + S∆MBN + S∆NCP < S∆ABC 1 1 s (1 − y ) sin 60o + z (1 − x) sin 60o + y (1 − z ) sin 60o < sin 60o 2 2 V y ta có đpcm ⇔ Vd 2: Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a x,y ta đ u có: cos2 x cos y + sin ( x − y ) + 4sin x sin y + sin ( x − y ) ≥ Gi i: Nhìn th c có th liên tư ng t i gì? Đó công th c đ dài c a m t đư ng th ng Trong m t ph ng t a đ Oxy l y m M ( cos x.cos y;sin( x − y ) ) ; N ( 2s inx.sin y;sin( x − y ) ) Ta có : OM = cos x cos y + sin ( x − y ) ON = 4sin x sin y + sin ( x − y ) D ng hình bình hành ONPM Ta có: OM + ON = OM + PM ≥ OP Cũng d th y P có t a đ là: {2 ( cos x cos y + sin x sin y ) ; 2sin ( x − y )} ; Do cos2 x cos y + sin ( x − y ) + 4sin x sin y + sin ( x − y ) ≥ cos ( x − y ) + 4sin ( x − y ) = Vd 3: Ch ng minh r ng n u x + y = u + v = 1& xu + yv = thì: x + u = y + v = 1& xy + uv = 113 Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm www.VNMATH.com Gi i: Trong m t ph ng t a đ Oxy phương trình x + y = phương trình đư ng trịn có tâm O ( 0, ) bán kính b ng Nhưng đ ng nh t m t ph ng t a đ Oxy v i m t ph ng t a đ Ouv đư ng trịn có phương trình u + v = Trên đư ng trịn l y hai m M ( x, y ) , N ( u, v ) xét hai vecto OM = ( x, y ) , ON = ( u, v ) T gi thi t ta có: xu + yv = OM ON = nên OM ⊥ ON N u M thu c cung vng (I) N ho c n m cung vuông th (II) ho c n m cung vuông ( IV ) Nhưng dù n m cung vuông n a ta có: x = v & u = y Bình phương v đ ng th c ta  x2 = v2  có:  2 y = u  ⇒ x + u = y + v = 1& xy + uv = Sau m t s t p t luy n dành cho b n đ c: Cho s x,y,z dương th a xyz ( x + y + z ) = Tìm giá tr nh ( x + y )( z + x ) = G i ý: S d ng liên h gi a cơng th c tính di n tích tam giác Tìm giá tr nh nh t c a: F = 2x2 + x + + x2 + ( ) + x + + x2 − ( G i ý: S d ng m t ph ng t a đ Cho a + b + c = & ax + by + cz = tìm giá tr nh nh t c a: P = 16a + a x + 16b2 + b y + 16c + c z Tìm giá tr nh nh t c a hàm s : y = x2 − x + + x2 − 3x + 114 ) −1 x + nh t c a Chuyên đ b t đ ng th c hình h c www.VNMATH.com Nhóm BÀI TOÁN ĐẲNG CHU I Những kiến thức toán đẳng chu Giả sử mặt phẳng có miền đóng D đó, giả sử L đường biên Ta kí hiệu độ dài đường biên L gọi chu vi D Hai miền có chu chu vi gọi đẳng chu Ta k/h diện tích miền D S(D) Bây toán đẳng chu đặt sao: Trong lớp cho trước K đẳng chu, có diện tích lớn Định lý đẳng chu chính: Trong tất phẳng có chu vi cho trước, hình tròn có diện tích lớn Để chứng minh định lý trên, ta phân phép chứng minh làm phần sau: I- Tâm φ với chu vi cho trước (l) mà có diện tích lớn phải hình lồi thật vậy, không lồi phải có có dây AB có đầu mút thuộc điểm nằm ta thực phép đối xứng cung AmB qua đường thẳng AB có cung AnB Xét phẳng ApBnA Nó chu vi diện tích lại lớn cũ II- Nếu lồi φ , với chu vi cho trước, có diện tích lớn dây cung AB chia chu vi làm hai phần có độ dài AB chia thành hai phần coa diện tích Thật vậy, giả sử diện tích φ S giả sử tồn dây AB phân φ thành hai phần : AmBrA ApBrA, đồng thời AmB AoB độ dài (mỗi cung có l độ dài ) diện tích phần không Giả sử AmBrA có S diện tích lớn (vì diện tích lớn ) Ta thực phép đối xứng AmBrA qua dường thẳng AB ta thu đường thẳng AmBnA có chu vi l, lại có diện tích lớn S Do φ có diện tích lớn nhất, với chu vi l cho trước (tấm AmBnA có diện tích lớn hơn) Suy ta có điều mâu thuẫn III- Nếu lồi φ , với chu vi lồi cho, có diện tích lớn (S) đường chu vi đường tròn Thật vậy, ta dựng dây AB chia chu vi hình φ thành hai cung có độ dài S Khi phần mà dây AB chia φ có diện tích Nếu đường chu vi 115 Chun đ b t đ ng th c hình h c Nhóm www.VNMATH.com không đường tròn htì ta tìm trrên chu vi điểm APB ≠ π Cung APB gồm hai phần AmP PnB Ta dựng φ ′ sau: 1) Trước hết dựng ∆A′P′B′ cho A′P′B′ = π , P′A′ = PA, P′B′ = PB (dựng tam giác vuông theo hai cạnh góc vuông) 2) Đắp thêm phía ∆A′P′B′ hình A′m′P′A′ P′n′B′P′ tương ứng hình AmPA PnBP 3) Thực phép đối xứng ∆A′P′B′ với hình dựng cạnh góc vuông qua đường thẳng A′B′ đó, ta tạo thành φ ′ , ta so sánh diện tích hai tam giác A′P′B′ vaø APB : 1 S A′P′B′ = A′P′ ⋅ P′B′ > AP ⋅ PB sin APB = S APB 2 tức S A′P′B′ > S APB Nhưng rõ ràng diện tích hình φ ′ lớn diện tích hình φ Như φ hình tròn tồn φ ′ có chu vi có diện tích lớn IV – Từ mệnh đề I, II, III suy rằng: φ , với chu vi l cho trước, có diện tích lớn phải hình tròn (Đây chứng minh Staine) Ta có toán Crame đa giác có khớp Khi xét lớp K gồm toàn đa giác đơn (?) có độ dài thứ tự cạnh cho trước, chúng có diện tích lớn Có thể hình cách trực quan hình ảnh sau: cần phải truyền cho đa giác có khớp, cấu tạo cứng, hình dạng cho choán diện tích lớn Kết toán là, đa giác xét, đa giác có diện tích lớn đa giác ngoại tiếp đường tròn Ngoài ta có số mệnh đề nhỏ sau đây: Mệnh đề 1: Trong tất hình bình hành có chu vi cho trước hình vuông hình có diện tích lớn Mệnh đề 2: Trong tất hình bình hành có chu vi chiều dài đường chéo cho trước hình thoi hình có diện tích lớn Mệnh đề tương đương với mệnh đề sau 116 Chun đ b t đ ng th c hình h c www.VNMATH.com Nhóm Mệnh đề 2’: tất tam giác có chu vi chiều dài cạnh cho trước tam giác cân hình có diện tích lớn Mệnh đề 3: Trong tất tam giác có chu vi cho trước tam giác hình có diện tích lớn Các mệnh đề 1-3 lời giải toán: Trong số hình có hình dạng xác định chu vi cho trước tìm hình có diện tích lớn Mệnh đề 3là trường hợp đặc biệt mệnh đề tổng quát hơn: Trong tất hình N cạnh có chu vi cho trước hình N cạnh hình có diện tích lớn Những toán tương tự với toán đẳng chu đặt trng không gian Đây toán quan trọng nhất: Trong tất thể có diện tích bề mặt cho trước, chọn hình tích lớn Ta tiên đoán đáp án hình cầu Bây ta không giải toán lơnd mà giải toán không gian khái quát lên tứ toán 1-3, hình bình nành thay hình hộp, tam giác thay tứ diện Bài toán 1: Trong tất hình hộp có tổng chiều dài cạnh cho trước, tìm hình hộp tích lớn Bài toán 2: Trong tất hình hộp có tổng chiều dài cạnh chiều dài đường chéo cho trước, tìm hình hộp tích lớn Ta thống số định nghóa Tứ giác ghềnh: Một đường gấp khúc kín gồm cạnh mà đỉnh không nằm mặt phẳng gọi tứ giác ghềnh Nếu đỉnh tứ diện trùng với đỉnh tứ giác ghềnh ta nói trương tứ giác Ta có: thể tích tứ diện trương tứ giác ghềnh mà cạnh đường chéo ba cạnh kề liên tiếp hình hộp thể tích hình hộp (dễ thấy) Vì vậy, toán tương đương với toán sau: Bài toán 2’: Trong tất tứ giác ghềnh có chu vi cho trước 2p chiều dài cạnh cho trước h, tìm tứ giác ghềnh cho tứ diện trương tích lớn Bài toán 3: Trong tất tam giác ghềnh có chu vi cho trước 2p, tìm tứ cho hình tứ diện trương tích lớn 117 Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm www.VNMATH.com Giải toán Giả sử hình hộp cho có ba kích thước a, b, c ứng với ba cạnh xuất phát từ đỉnh AB, AD, AA′ Gọi góc AB AD α , góc AA′ (ABD) β Ta tích hình hộp 3  a+b+c  p  V = AB ⋅ AD ⋅ sin α ⋅ AA′ ⋅ sin β = abc sin α ⋅ sin β ≤ abc ≤   ≤    6  a=b=c  Dấu đẳng thức xảy  π hay hình hộp phải tìm hình lập α = β =  phương Từ ta có định lý: Định lý 1: Trong tất hình có tổng cạnh cho trước hình lập phương hình tích lớn Giải toán 2’: Để giải toán này, ta dùng bổ đề sau Gọi P mặt phẳng vuông góc với cạnh AB tứ giác ghềnh ABCD Chiếu vuông góc ABCD lên mặt phẳng P, ta ∆BEF Bổ đề Thể tích V tứ diện trương tứ giác ABCD tính công thức V = hS (1) Trong h chiều dài AB, S diện tích ∆BEF Chứng minh:  S ABC = S ABE = AB ⋅ BE  Ta coù  d ( D, ( ABEC ) ) = d ( F , ( ABEC ) )  DF / / ( ABEC ) ⇒ VABCD = VABEF = hS Công thức (1) gợi ý cho ta cách giải toán 2’: Cần xác định đôï dài và vị trí cạnh BC, CD AD cho diện tích ∆BEF lớn Để đạt điều đó, trước cần cho chu vi có giá trị lớn Ta trải mặt ABFD, FDCE CEB lên mặt phẳng Trên hình phẳng mà ta thu được, chiều dài cạnh B1B2 chu vi tam giác BEF, từ ta thấy chu vi lớn A, D, C B2 thẳng hàng mặt phẳng trãi phẳng, hay 118 Chuyên đ b t đ ng th c hình h c www.VNMATH.com Nhóm h mà (2) Do 2p−h tứ giác ghềnh có cạnh AB = h chu vi 2p cho ∆BEF có chu vi lớn dựng theo cách sau đây: Gấp hình chữ nhật có cạnh AB1 = h đường chéo AB2 = p − h thành mặt xung đoạn AD, DC CB tạo với cạnh AB góc α = arccos quanh lăng trụ đáy tam giác cho điểm B1 đến trung với điểm B2 đoạn AB1 cạnh bên Khi đó, đường B1 ADCB2 trở thành tứ giác ghềnh mà ta muốn có Bằng cách đó, toán đưa toán đẳng chu ∆BEF Như biết, với chu vi cho trước, tam giac có diện tích lớn BF = FE = EB , tứ giác ghềnh ABCD đáp ứng yêu cầu toán 2’, phải có cạnh AD, DC CB Với điều kiện điều kiện (2), tứ giác ghềnh ABCD xác định cách Và ta chứng minh xong ta có định lí: Định lí: Trong tất tứ diện trương tứ giác ghềnh ABCD có chu vi cho trước 2p chiều dài cạnh AB cho trước h tứ diện tích lớn tứ diện trương tứ giác mà cạnh AD, DC CB làm thành với cạnh AB góc Ta có cách dựng trương tứ diện lớn nhất: ta lấy hình chữ nhật có cạnh h đường chéo p − h gấp thành xung quanh hình lăng trụ Ta để ý với kích thước ba cạnh tứ giác ghềnh tương ứng với ba kích thước hình hộp hình hộp có mặt hình thoi Nên đáp án hình hộp có mặt hình thoi Giải toán 3: Ta tính thể tích cực đại nói tới định lí Từ hình 5, ta thấy chu vi ∆BEF (2 p − h ) − h 2 = p ( p − h)  p ( p − h)  p ( p − h)  nghóa diện tích cực đại  = 3     cuối cùng, thể tích lớn hình tứ diện trương, theo công thức (1) bằng: p ( p − h ) ph ( p − h ) V = h⋅ = (3) 3 Để giải toán này, cần lấy giá trị h toán cho vế phải công thức (3) có giá trị lớn Giá trị h xác định từ bất đẳng thức AM-GM:  h + ( p − h)  p2 h ( p − h) ≤  =    119 Chuyên đ b t đ ng th c hình h c dấu đẳng thức xảy h = www.VNMATH.com Nhóm p Từ ta suy lời giải toán 3: Định lí 3: Trong tất tứ diện trương tứ giác ghềnh có chu vi cho trước tứ diện tích lớn tứ diện trương tứ giác cạnh góc cặp cạnh p p Thật vậy, h = chiều dài cạnh lại ; chứng minh 2 p góc cách trực tiếp (vì h = nên tất góc arccos ); nhiên cách đơn giản hơn, ý tứ diện mà ta xét tất cạnh có vai trò 120 Chun đ b t đ ng th c hình h c www.VNMATH.com Nhóm POLYTOPE CHI U Polytope gì? Polytope tên g i t ng quát c a t t c đa di n l i không gian n chi u, n ≥ −1 Ví d khơng gian chi u Polytope đa giác, không gian chi u đa di n chi u Ngày khái ni m Polytope đ ơc hi u thành convex polytope t c đa di n l i Trong tòan b ch đ t ch nói đ n đa di n l i Đ nh nghĩa c th c a m t Polytope b t kỳ sau: a) M t Polytope P thu c R n m t bao l i c a m t s h u h n m không gian n  n  R n T c P = conv( S ) = ∑ xi | ∑ , ≥ 0, ∀i, n ≥ 1 v i S ⊂ R nd Cách đ nh nghĩa i =1  i =1  g i V-description, Polytope đ ơc đ nh nghĩa theo ki u đ ơc g i V-Polytope Cách dư i m t cách đ nh nghĩa khác cho P, g i H-description: b) P = P ( A, z ) = { x ⊂ R n | Ax ≤ z} v i A ⊂ R nm Gi i nghĩa cho d hi u th cách đ nh nghĩa V-polytope nói r ng: m t bao l i chi u c a m t t p h p S m t hình đa giác, s m c a S đ nh, s l i n m bên đa giác t o b i đ nh Các đ nh ph n t c a bao l i c a S, vi t conv(S) Còn cách đ nh nghĩa H-Polytope nói r ng: m t polytope chi u ph n giao c a nh t n a m t ph ng cho hình đư c t o m t đa giác Ví d hình vng đơn v có trung m tâm g c t a đ (0,0) ph n giao c a n a m t ph ng −1 ≤ x, y ≤ Th m t m t (face) c a m t Polytope: Đ nh nghĩa t ng quát c a Polytope d n đ n m t v n đ đơn gi n: v i đa di n chi u g i thành ph n c a : đ nh, c nh, m t V y v i đa di n chi u g i thành ph n c a đ nh, c nh, m t, thành ph n chi u c a g i gì? Ngư i ta g i m t chi u, t ng h p l i cách g i thành ph n c a m t đa di n n chi u sau: Các đ nh g i m t chi u- hay 0-faces, c nh m t chi u- t c 1-faces , cho t i (n-1)-faces Đ ký hi u cho g n, ngư i ta g i chúng l n lư t f 0, f 1, f 2, , fn − (hay g i f- vectors c a m t Polytope n chi u) H th c Euler cho đa di n chi u: D - C + M = Trong D s đ nh, C s c nh, M s m t c a đa di n chi u Ho c n u bi u di n theo cách g i t ng quát, có : f − f + f = Chúng ta bi t công th c Euler cho đa di n chi u Leonhard Euler tìm cơng th c vào năm 1750, ch ng minh c a ông y b m khuy t Mãi cho đ n năm 1794- Legendre m i đưa đ ơc m t ch ng minh hòan ch nh đ u tiên Sau đó, n u t khơng nh m, Cauchy ngư i đưa ch ng minh đ ơc dùng ph bi n hi n nay- dùng Duality Cho t i hi n nay, t đ ơc bi t có kh ang g n 20 ch ng minh cho cơng th c Trong đó, ch ng minh gây chóang nh t có l c a William Thurston (The Guru of Geometry ) Các b n mu n tìm hi u k có th vào đ nghiên c u cách ch ng minh (http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/) 121 Chuyên đ b t đ ng th c hình h c www.VNMATH.com Nhóm H th c Euler-Poincare cho đa di n n chi u: m t i-faces Ví d : - cho m t đa di n b t kỳ không gian chi u, có h th c: (hình l p u chi u xu ng không gian chi u s d ng k thu t bi u đ Schlegel) - cho m t đa di n b t kỳ không gian 199.999.999 (đa di n m t trăm chín chín tri u chín trăm chín mươi chín ngàn chín trăm chín mươi chín chi u ) chi u có: f − f + f − f + / − + f 199999998 = ( zero oops two oops zero oops oops oops ) = T c tóm l i- k t qu c a hi u s t ng "s ch m t ch n" tr t ng c a "s ch m t l " c a m t polytope b ng ho c N u polytope có s chi u l , hi u s b ng 0, n u polytope có s chi u ch n, hi u s Th lý thuy t đa di n nhi u chi u đ ơc vi c gì? Vi c nghiên c u tốn linear optimization - ngành tóan ng d ng đ c bi t quan tr ng kinh t k thu t (ngư i ta cho r ng ngành tóan phát tri n m nh m quan tr ng nh t th k 20)- d n đ n vi c ngư i ta quan tâm đ n Simplex algorithm c a George Dantzig polytopes Vì h b t phương trình c a LP ch ng qua polytopes, hay nói ngư c l i, polytopes có th bi u di n b ng b t phương trình Bài tóan traveling salesman v i s l ơng thành ph 10 ch ng h n- tương ng v i m t polytopes c a không gian chi u, th , ngư i ta có th nghiên c u polytopes chi u đ tìm gi i pháp t i ưu cho v n đ Traveling Salesman nhi u tóan khác V m t "không" ng d ng th c ti n - hình h c, nh t d ng đa di n ln có m t v đ p nh t đ nh đó- m c dù nhìn có v "khơ c ng, thơ sơ, l nh lùng, vô c m đơn u" v.v.v Ngày xưa Platon ngư i mê tóan h c, c th hình h c Trư c c a phịng ơng y có câu th này: "Ai khơng bi t hình h c, đ ng bư c vào!" Nhưng th i c a Platon, ngư i ta m i ch bi t đa di n chi u cùng, ch khơng có cách nhìn th y, hay tư ng t ng đ ơc nhi u v đa di n nhi u chi u Ngày nay, có m t s k thu t cho phép nhìn hình nhi u chi u n n không gian chi u- có th g i pseudo-high-dimensition đư c Chúng ta có th "nhìn" đ ơc nh ng hình chi unh ng th ch t n t i hình h c, tư ng tư ng mà không t n t i th gi i th c, c nh ng polytopes mà th c không t n t i c hình h c khơng th tư ng t ơng chúng đa di n đư c!! Ví d Correlation Polytopes 122 Chuyên đ b t đ ng th c hình h c (hình l p u chi u xu ng chi u s d ng k thu t bi u đ Schlegel) (Hình l p u chi u xu ng www.VNMATH.com không gian chi u s Schlegel) Nhóm d ng bi u đ Th t mà nói m t ph n l n lý thuy t đa di n nhìn chung có th qui v đ i s n tính tóan t h p elementary, ch khơng ph c t p ngành hình h c đ i s , topo đ i s - nh ng ngành mà lý thuy t r t phát tri n đ ơc xây d ng ch ng chéo lên su t trăm năm b i r t nhi u ngư i Có l có m t ngun nhân quan tr ng làm cho khơng đ ơc phát tri n m nh kho ng gi a th k 19gi a th k 20 vào th i m Felix Klein đưa "Erlangen Programm", tóan liên quan đ n tính ch t t h p c a đa di n l i nhi u chi u đư c g i "hopeless hard", ch có tính ch t đ i s nghiên c u đ ơc- lúc nh p vào analytic geometry linear algebra Cùng v i trào lưu m i hình h c vi phân - m t th m i toanh, có nhi u vi c đ làm, lý thuy t đa di n vào qn lãng, khơng cịn thu c vào mainline c a tóan h c v n mainline c a tóan h c su t g n m y ngàn năm (t Platon, Pytagore cho t i Kopernicus) Đ n đ u th k 20, th c ch t có nh ng cơng trình đ t phá v lý thuy t đa di n, ví d Steinitz, Schlegel, Poincare v.v Steinitz t ng h p, phân l p t t c đa di n chi u, Schlegel đưa k thu t chi u hình nhi u chi u v không gian chi u, Poincare t ng h p h th c Euler cho không gian n chi u Nhưng lúc có ngư i theo h ơng này, 123 ... + AD.DK sin β ≤ S (1) D th y DKBC hình bình hành  BK = CD (2)   BC = DK Thay (2) vào (1) ta có: AB.CD.sin α + AD.BC.sin β ≤ S (1) Chuyên đ b t đ ng th c hình h c www.VNMATH.com Nhóm  DP =... có giá tr l n nh t Chuyên đ b t đ ng th c hình h c www.VNMATH.com Gi i: Nhóm A 1 E AH BC = BE AD + CF AD 2 2S B D ⇒ BE + CF = ABC Do H AD ( BE + CF ) max ⇔ AD AD nh nh t ch hình chi u HD nh nh... ng ch a hai c nh m t hình thang Ch ng t r ng t ng di n tích c a ba hình thang không nh S ABC Gi i: G H A M C B F A2 K M2 E D A1 G i di n tích tam giác ABC , MBC , MAC , MAB hình thang l n lư t