chuyên đề bất đẳng thức hình học

Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 3 PHẦN I: BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG. BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP KÉO THEO I . Sơ lược về phương pháp kéo theo: Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết, vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Sau đây là các ví dụ: Vd 1: Cho tam giác ABC, M thuộc AC. Chứng minh rằng: 1 1 . ; . 2 2 ABC ABC S AB AC S BM AC ≤ ≤ Gi ả i: G ọ i BH là đườ ng cao c ủ a tam giác ABC BH AB ⇒ ≤ 1 1 . . 2 2 1 1 . . 2 2 ABC ABC S BH AC AB AC M BC BH BM S BH AC BM AC = ≤ ∈ ⇒ ≤ ⇒ = ≤ B ất đẳng thức được chứng minh xong. Vd2: Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Chứng minh: 2 BC AM ≤ thì  90 o BAC ≥ và ngược lại. Giải: M A C B H M A C B D Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 4 a) Giả sử  90 o BAC < . Gọi D là điểm đối xứng của A qua M. Suy ra AD=2AM. M là trung điểm hai đoạn thẳng BC và AD.   & / / 180 O AB DC AB DC BAC ACD⇒ = ⇒ + = mà  90 o BAC <    90 O ACD BAC ACD ⇒ > ⇒ < Xét tam giác ABC và tam giác CDB có: AB=DC, BC là cạnh chung,   BAC ACD < Do đó: BC<AD 2 BC AM ⇒ > (Vô lí).  90 o BAC ⇒ ≥ Vd 3: Cho t ứ giác lồi ABCD sao cho AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F, và E,F,C cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ BD. Đặt   ,AED AFB α β = = ; và ABCD S S = . Chứng minh rằng: . .sin . .sin 2 . . AB CD AD BC S AB CD AD BC α β + ≤ ≤ + . Giải: D ễ thấy:   ABF ACE α β  >   >   * Trong ABD ∆ ta lấy điểm K sao cho / / / / BK DE DK BF    T ừ đó ta có 1 1 . .sin . .sin 2 2 ACK ADK S S S AB BK AD DK S α β + ≤ ⇒ + ≤ . .sin . .sin 2 (1) AB BK AD DK S α β ⇔ + ≤ D ễ thấy DKBC là hình bình hành. (2) BK CD BC DK =   =  Thay (2) vào (1) ta có: . .sin . .sin 2 (1) AB CD AD BC S α β + ≤ β αα β K E F B A D C P Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 5 * Trong nửa mặt phẳng có bờ là BD ta lấy điểm P sao cho DP BC BP CD =   =  . Dễ thấy   1 1 . sin . .sin 2 2 1 1 . . 2 2 ABCD ABPD ADP ABP S S S S AD DP ADP BA BP ABP AD DP BA BP = = + = + ≤ + 2 . . S AB CD AD BC ⇔ ≤ + V ậy . sin . .sin 2 . . AB CD AD BC S AB CD AD BC α β + ≤ ≤ + *Một số kiến thức thường dùng để giải tóan cực trị trong mặt phẳng: - Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, hình chiếu. - Trong các tam giác vuông (có thể suy biến thành đoạn thẳng) có cạnh góc vuông AH và cạnh huyền AB thì AH AB ≤ . Xảy ra dấu bằng khi H B ≡ . - Trong các đoạn thẳng nối từ điểm đến đường thẳng, đoạn nào vuông góc với đường thẳng là đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. - Trong các đoạn thẳng nối 2 điểm thuộc hai đường thẳng song song, đoạn thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song có độ dài ngắn nhất. - Trong hai đường xiên kẻ từ 1 điểm đến cùng một đường thẳng, đường xiên lớn hơn khi và chỉ khi hình chiếu của nó lớn hơn. - Một tứ giác lồi bị chứa trong một tứ giác khác (không nhất thiết là lồi) thì chu vi của tứ giác bị chứa sẽ nhỏ hơn chu vi của tứ giác chứa nó bên trong. - Độ dài đoạn thẳng nằm trong một đa giác lồi không lớn hơn độ dài đường chéo lớn nhất - Trong tất cả các dây cung qua một điểm cho trước trong một đường tròn thì dây cung có độ dài nhỏ nhất là dây cung vuông góc với đoạn thẳng nối tâm đường tròn với điểm đó. - Trong các tam giác có cùng chu vi thì tam giác đều có diện tích lớn nhất. - Một đường thẳng có thể cắt nhiều nhất hai cạnh của một tam giác.(nguyên tắc Dirichlet). * Một số ví dụ: Vd1: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a. Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Qua trung điểm M của AB có 2 đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By lần lượt tại C,D. Xác định vị trí của các điểm C,D sao cho MCD ∆ có diện tích nhỏ nhất. Tính diện tích đó. Giải: a 2 1 H D MA B C Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 6 Gọi K là giao điểm của CM và DB, ( ) MAC MBK gcg MC MK ∆ = ∆ ⇒ = DCK ∆ cân   1 2 D D ⇒ = K ẻ MH CD ⊥ Do M thuộc phân giác góc D nên MH=MB=a. 1 . 2 MCD S CD MH = . Do 2 & CD AB a MH a ≥ = = nên: 2 1 2 . 2 MCD S a a a CD Ax ≥ = ⇒ ⊥ . Các điểm C,D được xác định trên Ax, By sao cho AC=BD=a * Trong l ời giải trên, S MCD được biểu thị bởi 1 . 2 CP MH . Sau khi chứng minh MH không đổi, ta thấy S MCD nhỏ nhất khi và chỉ khi CD nhỏ nhất. - Nếu bài toán trên không cho M là trung điểm AB thì ta phải giải quyết ra sao?   1 . , 2 MCD S MC MD MAC MDB α = = = (cùng phụ  BMD ) , cos sin a b MC MD α α ⇒ = = nên 1 2 sin cos MCD ab S α α = Do a,b,c là h ằng số nên S MCD nhỏ nhất khi và chỉ khi 2sin os c α α lớn nhất. 2 2 2sin cos sin cos 1 MCD S ab α α α α ≤ + = ⇒ ≥ min sin cos tan 1 45 MCD o S ab α α α α = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇒ Các đ i ể m C,D trên Ax, By đượ c xác đị nh sao cho AC=AM, BD=BM Đ ây đượ c xem là bài toán t ổ ng quát. Vd 2: Cho ABC ∆ có  B là góc tù, D di độ ng trên BC. Xác đị nh v ị trí c ủ a D sao cho t ổ ng các kh ỏ ang cách t ừ B và t ừ C đế n đườ ng th ẳ ng AD có giá tr ị l ớ n nh ấ t. b a α D A BM C Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 7 Gi ả i: Ta có : 1 1 1 . . . 2 2 2 ABC S AH BC BE AD CF AD = = + 2 ABC S BE CF AD ⇒ + = . Do đ ó ( ) max min BE CF AD + ⇔ AD nh ỏ nh ấ t khi và ch ỉ khi hình chi ế u HD nh ỏ nh ấ t. HD HB ≥ và HD=HB khi D B ≡ Suy ra đ pcm. Vd3: Cho tam giác ABC vuông có độ dài c ạ nh góc vuông AB=6cm, AC=8cm. M là đ i ể m di độ ng trên c ạ nh huy ề n BC. G ọ i D và E là chân các đườ ng vuông góc k ẻ t ừ M đế n AB và AC. Tính di ệ n tích l ớ n nh ấ t c ủ a t ứ giác ADME. Gi ả i: Đặ t AD x = thì ME x = . Theo Thalet: 4 4 8 6 8 3 3 EM CE x CE CE x AE x AB CA = ⇒ = ⇒ = ⇒ = − Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 . 8 8 3 3 4 4 4 6 6 9 12 3 12 12 3 3 3 ADME S AD AE x x x x x x x x x   = = − = −     = − − = − − + + = − − + ≤ 2 12 3 ADME S cm x D = ⇔ = ⇒ là trung đ i ể m c ủ a AB, M là trung đ i ể m BC, E là trung đ i ể m AC. Vd4: Cho tam giác ABC, đ i ể m M di chuy ể n trên c ạ nh BC. Qua M k ẻ các đườ ng th ẳ ng song song v ớ i AC và AB, chúng c ắ t AB và AC theo th ứ t ự D và E. Xác đị nh v ị trí M sao cho ADME có S max . Gi ả i: G ọ i S ABC =S, S BDM =S 1 , S EMC =S 2 . Ta nh ậ n th ấ y ( ) 1 2 ADME 1 2 S max min min S S S S S + ⇔ + ⇔ Các & DBM EMC ∆ ∆ đồ ng d ạ nh v ớ i ABC ∆ nên: E F H C A B D yx 2 1 K EH D B C A Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 8 ( ) 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 ; 1 2 S SBM MC S BC S BC S S BM MC x y S BC x y     = =         + + + ⇒ = = ≥ + Nh ư v ậ y 1 max 2 ADME S S = . D ấ u “=” x ả y ra khi và ch ỉ khi x y = . Khi đ ó M là trung đ i ể m c ủ a BC. Vd 5: Gi ả s ử 1 1 1 , , C B A là các đ i ể m tùy ý trên các c ạ nh AB,CA,BC c ủ a tam giác ABC .Ký hi ệ u 1 2 3 , , , S S S S là di ệ n tích các tam giác 1 1 1 1 1 1 , , , ABC AB C BC A CA B CMR: 1 2 3 3 2 S S S S + + ≤ Gi ả i: B Đ T đ ã cho t ươ ng đươ ng v ớ i 3 1 2 3 2 S S S S S S + + ≤ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . 1 3 . . . 2 2 AB AC BA BC CB CA AB AC BC BA CA CB VT AB AC AB BC AC BC AC AB AB BC BC AC   = + + ≤ + + + + + =     MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC: 1.Cho tam giác ABC nh ọ n. D ự ng m ộ t tam giác có chu vi nh ỏ nh ấ t n ộ i ti ế p tam giác ABC, t ứ c là có 3 đỉ nh n ằ m trên ba c ạ nh c ủ a tam giác ABC. Gi ả i: Xét MNP ∆ n ộ i ti ế p ABC ∆ m ộ t cách tùy ý. ( ) , , M AB N BC P AC ∈ ∈ ∈ . V ẽ E,F sao cho AB là trung tr ự c c ủ a NE và AC là đườ ng trung tr ự c c ủ a NF. Chu vi MNP MN MP PN EM MP PF FE ∆ = + + = + + ≥     1 2 2 2 2 EAF A A BAC = + = FAE ∆ là tam giác cân có góc ở đỉ nh không đổ i nên c ạ nh đ áy nh ỏ nh ấ t khi và ch ỉ khi c ạ nh bên nh ỏ nh ấ t. 2 1 B C A N M P E F Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 9 Ta có: EF nh ỏ nh ấ t min min AE AN AN BC ⇔ ⇔ ⇔ ⊥ Ta có nh ậ n xét r ằ ng khi N là chân đườ ng vuông góc k ẻ t ừ A thì M và P c ũ ng là chân 2 đườ ng cao còn l ạ i c ủ a tam giác. Ch ứ ng minh nh ậ n xét trên nh ư sau: HMP ∆ : AB là đườ ng phân giác c ủ a  EMH , AC là đườ ng phân giác c ủ a  FPH . Ta có: AB,AC g ặ p nhau t ạ i A nên AH là tia phân giác c ủ a góc trong c ủ a tam giác t ạ i H hay HA là tia phân giác  MHP . Vì AH HC ⊥ nên HC là đườ ng phân giác góc ngòai c ủ a A t ạ i đỉ nh H. Theo trên, AC là đườ ng phân giác ngòai t ạ i đỉ nh P, HC g ặ p AC t ạ i C nên MC là tia phân giác góc trong t ạ i M. MB và MC là các tia phân giác c ủ a hai góc k ề bù nên , MB MC PC PB ⊥ ⊥ . ⇒ Chu vi MNP ∆ min khi M,N,P là chân 3 đườ ng cao c ủ a tam giác ABC. Do ABC ∆ nh ọ n nên M,N,P thu ộ c biên c ủ a tam giác. 2. Hai anh em chia tài s ả n là m ộ t mi ế ng đấ t hình tam giác ABC. H ọ mu ố n chia đ ôi di ệ n tích mi ế ng đấ t b ằ ng m ộ t b ờ rào ng ắ n nh ấ t. Tính độ dài m c ủ a b ờ rào này theo di ệ n tích S và góc nh ỏ nh ấ t α c ủ a tam giác. Gi ả i: B ờ rào ph ả i c ắ t hai c ạ nh c ủ a tam giác. Gi ả s ử góc t ạ i đỉ nh đ ó là Â, độ dài c ủ a b ờ rào là IK=m và kh ỏ ang cách t ừ đỉ nh c ủ a góc  A t ớ i hai đầ u b ờ rào là x và y. ( ) 2 2 2 2 cos 1 IK x y xy A⇒ = + − Đặ t , , , AIK ABC S S S S AI x AK y ′ = = = = , ta có: ' 2 S S const = = . Do 1 ysin 2 S x A ′ = mà S ′ và  A không đổ i nên xy không đổ i. ( ) 2 2 min min IK x y⇔ + . Áp d ụ ng b ấ t đẳ ng th ứ c AM-GM, ta có ( ) 2 2 min x y x y + ⇔ = Nh ư v ậ y xét b ờ rào ch ắ n góc A thì độ dài b ờ rào ng ắ n nh ấ t khi và ch ỉ khi AIK ∆ cân t ạ i A. 2 'tan . ' 2 2 A S IK S Do S = = nên 2tan 2 A IK = . P M B C A H F E Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 10 V ậ y độ dài b ờ rào ng ắ n nh ấ t    { } ( ) 2tan min , , 2 m A B C α α = = = 3. Cho ABC ∆ n ộ i ti ế p đườ ng tròn tâm O bán kính R có a,b,c là độ dài 3 c ạ nh và m a ,m b ,m c là trung tuy ế n l ầ n l ượ t t ươ ng ứ ng v ớ i 3 đỉ nh A,B,C. Các trung tuy ế n c ủ a tam giác (theo th ứ t ự trên) c ắ t đườ ng tròn t ạ i A,B,C. Tìm GTLN c ủ a: 2 2 2 2 2 2 c a b a b b c c a m m m + + + + + Gi ả i: Tr ướ c h ế t ta có 2 2 2 2 2 2 a a b c m+ = + Ta s ẽ ch ứ ng minh: 2 2 4 a b c R m + ≤ Theo h ệ th ứ c l ượ ng đườ ng tròn: 2 2 1 1 1 . . 4 4 a a a a MA MA MB MC m MA MA m = ⇔ = ⇒ = Ta l ạ i có: 1 1 2 MA MA AA R + = ≤ 2 2 2 2 2 4 8 4 2 4 . 2 a a a a a a a m R m a Rm m a m R m ⇒ + ≤ ⇒ + ≤ ⇒ + ≤ 2 2 2 2 4 4 a a b c b c Rm R m + + ≤ ⇒ ≤ . M ộ t cách t ươ ng t ự , và c ộ ng các b ấ t đẳ ng th ứ c l ạ i v ế theo v ế ta có đ pcm. D ấ u “=” x ả y ra khi và ch ỉ khi: 1 1 1 2 2 2 AA R BB R ABC CC R =   = ⇔ ∆   =  đề u. Khi đ ó d=2R. 4. G ọ i H là tr ự c tâm ABC ∆ nh ọ n và r là bán kính đườ ng tròn n ộ i ti ế p tam giác. Cm: 6 HA HB HC r + + ≥ . D ấ u b ằ ng x ả y ra khi nào? Gi ả i: Ta th ấ y: 2 3 . 2 BC HA S S = + ( ) 2 3 2 3 2 2 a x S S ax S S ⇒ = + ⇒ = + T ươ ng t ự : Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 11 ( ) ( ) 1 3 1 2 2 ax 2.2 2 ABC by S S by cz S cz S S = +   + + =  = +   Ta c ầ n ch ứ ng minh: x y z 6 r + + ≥ Gi ả s ử : a b c ≥ ≥ . Theo quan ni ệ m v ề đườ ng xiên và hình chi ế u x y z ⇒ ≤ ≤ T ừ đ ây ta s ẽ ch ứ ng minh ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ax 2 a b c x y z by cz+ + + + ≥ + + Th ậ t v ậ y: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 3ax 3 3 0 0 0 3 a x y z b x y z by c x y z cz a y x x z y z a b ⇒ + + − + + + − + + + − ≥ ⇔ − − − ≥    ⇔ − − ≥ ∑ ∑ Vì a b c ≥ ≥ , x y z ≤ ≤ nên (3) đ úng. T ừ (1) và (2) ( )( ) 3.4 12 2 6 a b c a b c x y z S r x y z r + + + + + + ≥ = ⇒ + + ≥ D ấ u b ằ ng x ả y ra khi và ch ỉ khi: a b c a b c ABC x y z = =  ⇔ = = ⇔ ∆  = =  đề u. 5. ABC ∆ có c ạ nh BC a = không đổ i và  A α = không đổ i. Hãy xác đị nh v ị trí c ủ a A để ABC ∆ có chu vi nh ỏ nh ấ t. Gi ả i: Xét A n ằ m trên m ộ t n ữ a m ặ t ph ẳ ng b ờ BC. Ta có A di chuy ể n trên cung ch ứ a góc α d ự ng trên BC. Trên tia đố i c ủ a tia AB l ấ y D sao cho AD=AC. Chu vi ABC ∆ b ằ ng AB BC CA AB BC a + + = + + Chu vi ABC ∆ l ớ n nh ấ t ( ) max max AB AC BD⇔ + ⇔ . a c b x y z 3 2 1 B C A H a α 2 α D' K A' B C A D Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm 5 12 Mà  2 BDC D α = ⇒ di độ ng trên cung ch ứ a 2 α d ự ng trên đ o ạ n BC (có gi ớ i h ạ n b ở i ti ế p tuy ế n t ạ i B) đ ó là cung KC. Do v ậ y BD max khi và ch ỉ khi BD là đườ ng kính c ủ a cung ch ứ a góc trên (tâm c ủ a cung ch ứ a góc 2 α đ ó chính là đ i ể m A ′ , đ i ể m chính gi ữ a cung ch ứ a góc α ) ABC ∆ có chu vi l ớ n nh ấ t khi nó là tam giác cân t ạ i A có  ,BC a A α = = 6. Tam giác , ABC M là đ i ể m ở trong tam giác. Ở bên ngòai tam giác k ẻ các đườ ng th ẳ ng song song v ớ i các c ạ nh, cách chúng m ộ t kh ỏ ang b ằ ng kh ỏ ang cách t ừ M đế n c ạ nh đ ó. M ỗ i đườ ng th ẳ ng đ ó t ạ o v ớ i m ộ t c ạ nh c ủ a tam giác và các đườ ng th ẳ ng ch ứ a hai c ạ nh kia m ộ t hình thang. Ch ứ ng t ỏ r ằ ng t ổ ng di ệ n tích c ủ a ba hình thang đ ó không nh ỏ h ơ n 7 3 ABC S . Gi ả i: G ọ i di ệ n tích các tam giác , , , ABC MBC MAC MAB và các hình thang l ầ n l ượ t là ' ' ' 1 2 3 1 2 3 , , , , , , S S S S S S S . Ta có: ( ) . . ADE ABC g g g ∆ ∆ ∼ 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 ADE ABC S AA AA MM S AA AA S S S MM S Do S S AA S S S S S     + ⇒ = =           ′ +   ⇒ = + =         ′ ⇒ = + T ươ ng t ự ta có: 2 2 3 2 2 2 3 3 2 ; 2 S S S S S S S S ′ ′ = + = + B C A M A 2 M 2 H G D E F K A 1 [...]... t đ ng th c hình h c, h th c lư ng II M t s ví d : 17 Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm 5 Vd 1: Cho ∆ABC , t đi m F trên AC v các đo n th ng EG//AB, và EF//AC (F,G thu c 2 đo n AB và AC) Cm S ABC ≥ 16 S BEF SCEG Gi i: A c1 b2 F G c2 b1 C B a2 E a1 Qua đ bài ta d nh n th y r ng đ ch ng minh b t đ ng th c trên ta s dùng b t đ ng th c AM-GM và công th Herong là phù h p D th y AFEG là hình bình hành... trên có di n tích l n nh t thì có đi u ki n 2 c nh này song song Ta xét di n tích hình thang đó K BE//AD Khi đó ABED là hình thoi ∆BEC là tam giác cân t i B Đ t ADE = α ta có: EBC = π − 2α Ta có: 1 S ABCD = S ABED + S BCE = a 2 sin α + a 2 sin (π − 2α ) 2 1   = a 2  sin α + sin 2α  (1) 2   20 Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm 5 1 S = sin α + sin 2α = sin α + sin α cos α = sin α (1 + cos α )... ý: s d ng bài toán đã xét ph n lý thuy t, các phép bi n đ i, các h th c lư ng, đi m đ t c a M và các b t đ ng th c c đi n 27 Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm 5 BÀI 3: PHƯƠNG PHÁP NG D NG TÍCH VÔ HƯ NG Nhi u bài b t đ ng th c tam giác có kh i lư ng tính toán kh ng l ho c khó hình dung các con s hay hư ng xác đ nh khi b t đ u bài toán v i m t cách bình thư ng V i phương pháp ng d ng tích vô hư ng,... h p tam giác ABC cân thì ta đưa v bài 3 ⇒ 35 Chuyên đ b t đ ng th c hình h c BÀI 5: S Nhóm 5 D NG CÁC Đ NH LÍ, Đ NH NGHĨA V CÁC ĐƯ NG TH NG, ĐƯ NG TRÒN I Sơ lư c v phương pháp: Có th nói, t c p hai chúng ta đã đư c tham kh o nhi u sách vi t v các đ nh lí l n, các đư ng tròn, đư ng th ng, các h th c,… đư c s d ng r ng rãi trong vi c ch ng minh các bài toán hình h c 1 Đ nh lí Menelaus: Cho tam giác ABC,... lý Ptolemy v tính ch t c a t giác n i ti p là m t trong nh ng k t qu kinh đi n và đ p c a hình h c sơ c p Có th nói, b t đ ng th c Ptolemy và đ nh lý Ptolemy đ p t các cách ch ng minh đa d ng đ n nh ng ng d ng phong phú trong các bài toán ch ng minh, trong tính toán hình h c và trong các bài toán b t đ ng th c hình h c B t đ ng th c Ptolemy là h qu c a b t đ ng th c tam giác? Ai cũng bi t b t đ ng th.. .Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm 5 2 Mà: 3 ( S12 + S 2 + S32 ) = ( S1 + S2 + S3 ) + ( S1 − S 2 ) + ( S2 − S3 ) + ( S3 − S1 ) ≥ ( S1 + S2 + S3 ) 2 2 ⇒ S12 + S2 + S32 ≥ S2 3 ( Do ′ ′ Do đó: S1′ + S2 + S3 ≥ 2S +... a góc BCH Ch ng minh r ng ABC ≥ 2 + 1 SCEF A Gi i: Đ t AB = c; BC = a; CA = b S AB Ta có: ABC = SCEF EF E H F Ta có: CBF = ACH ⇒ ACF = FCB + FBC = CFA ⇒ ∆ACF cân t i A ⇒ AC = AF = b 18 C B Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm 5 Tương t : tam giác BCE cân t i B suy ra BC=BE=a ⇒ EF = BE + AF − AB = a + b − c Đ ch ng minh: AB ≥ 2 + 1 ⇔ c 2 − 1 ≥ EF EF ( ⇔c ( ) ) 2 − 1 ≥ a + b − c ⇔ c 2 ≥ a + b (1) Ta...  = kS ABC  +  ≥ 2kS ABC  AB AC  = 2kS ABC A α N M G F E C B AE AF AB AC S AGE S AGF AE AF cos α S AEF = 2kS ABC ≥ 2kS ABC AB AC.cos α S ABC S ABC ⇔ S AGE + S AGF ≥ 2k 2 S ABC (đpcm) 19 Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm 5  EF / / BC  D u “=” x y ra G ∈ EF S  AGE = S AGF Vd 4: Trong t t c các t giác có 3 c nh là a G i S là di n tích các t giác đó CM: a2 3 3 S≤ 4 Gi i: a A B a a D A' ) ( )... AB AC  1 AE AF 2 S ⇒ S1 + S2 ≥ S 2 = S AEF 3 AB AC 3 S S + S2 2 S 1 S 3 4 ⇔ S1 + S 2 ≥ S (2) 9 ⇒ S1 + S2 ≥ T (1) và (2) suy ra S BEGF + SCFGE ≥ 4 S 9  S = S2 D u “=” x y ra  1 G ∈ EF 13 Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm 5 8.Cho đư ng tròn tâm O, đư ng kính AB và bán kính R Đi m M n m trên AO và AM = k > 1 T M k dây CD b t kì Tìm max S ABCD MO Gi i: S ABCD S ACD + S BCD AM BM AB 2 AO = = + =... * N u 180o > α + β ≥ 90o ⇒ γ < 90o ⇒ sin (α + β ) ≤ sin 2α 1 3 3 ⇒ T ≤ sin α + sin 2α ≤ 2 4 D u “=” x y ra   AB = CE = BC = 1  ⇔ α = β  π α = 3  T c là ABCD là n a l c giác đ u 21 D Chuyên đ b t đ ng th c hình h c Nhóm 5 Vd 6: Cho l c giác ABCDEF n i ti p trong ( O; R ) và AB = BC ; CD = DE; EF = FA Ch ng minh: S ACE ≤ S BDF B Gi i: Ta đ t: CAE = α A  α  CEA = β   ACE = γ  Khi đó: O