www.vnmath.com CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH Bài 1 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B,cạnh SA (ABC) . Từ A kẻ AD SB và AE SC . Biết AB = a, BC = b, SA = c.Tính thể tích của khối chóp S.ADE? Phân tích - tìm lời giải AD,AE là các đường cao trong tam giác SAB,SAC A B C D E S Tính đường cao: ABC vuông tại B nên AB BC Giả thiết cho : SA (ABC) SA BC BC (ABC) AD BC AD là đường cao trong tam giác SAB AD SB AD (SBC) AD SC Mặt khác : AE SC SC (ADE) Hay SE là đường cao của hình chóp S.ADE Độ dài SE: 2 2 2 2 AS.AB AS.AB a.c AD SB AS AB a c 2 2 2 2 2 2 2 AS.AC SA.AC c. a b AE SB SA AC a b c Áp dụng Pytago trong tam giác SAE có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c (a b ) SE AS AE c a b c = 2 2 2 2 c a b c Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. www.vnmath.com Diện tích tam giác ADE: DE = 2 2 AE AD = 2 2 2 2 2 2 2 c .b (a b c ).(a c ) S = 1 .AD.AE 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 c .b ac . . 2 (a b c ).(a c ) a c = 3 3 2 2 2 2 2 1 a.c .b . 2 (a b c ).(a c ) Thể tích: V = 1 1 .SE. .AD.DE 3 2 = 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 c 1 a.c .b . . 3 2 a b c (a b c ).(a c ) 2 4 2 2 2 2 2 1 a.b .c . 6 (a c )(a b c ) Xét một cách giải khác như sau: DE (SAB) BC (SAB) => DE // BC Pytago trong các tam giác vuông: SD 2 = AS 2 - AD 2 ; SE 2 = AS 2 - AE 2 SB 2 = SA 2 +AB 2 SC 2 = SA 2 +AC 2 = SA 2 + AB 2 + AC 2 Lập các tỷ số: 2 2 2 2 2 c SA AE a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 SA AD SA AE . SA AB SA SB SC 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c .a c (a b ) c c a c c a b . a c c a b 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c b .c . (a c ) (c a b ) => 3 2 2 2 2 2 SA SD SE b.c . . SA SB SC (c a b )(a c ) SADE SABC V SA SD SE . . V SA SB SC = 3 2 2 2 2 2 b.c (c a b )(a c ) => SADE V = 3 2 2 2 2 2 b.c (c a b )(a c ) . SABC V Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. www.vnmath.com = 3 2 2 2 2 2 b.c (c a b )(a c ) . 1 1 .SA. .AB.BC 3 2 = 2 4 2 2 2 2 2 1 a.b .c . 6 (c a b )(a c ) (đvtt) Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a.Cạnh SA (ABC) , góc 0 BAC 120 . Tìm th ể tích của khối chóp S.ABC? A B C D S Trình bày lời giải: Xét hai tam giác vuông SAB và SAC có: SA chung SB = SC => SAB = SAC (c.c) => AB = AC => ABC là tam giác cân Gọi D là trung điểm của BC ta có : tan CAD = CD AD => AD = CD a 2. 3 tanCAD Diện tích đáy: 2 ABC 1 a . 3 S AD.BC 2 4 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. www.vnmath.com SD là đường cao trong tam giác đều SBC cạnh a nên : SD = a 3 2 Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SAD ta có: SA 2 = SD 2 - AD 2 = 2 2 2 3.a a 2a 4 12 3 =>SA = a 2 3 Thể tích cần tính: V = ABC 1 SA.S 3 = 3 a . 2 36 (đvtt) Tổng quát hóa ta có bài toán sau: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, góc 0 BAC (0 90 ) . Biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a và ? Một cách hoàn toàn tương tự ta có lời giải như sau: AD = AD a 2.tan tanCAD Diện tích tam giác: 2 ABC 1 1 a a S AD.BC a 2 2 2.tan 4.tan SD là đường cao trong tam giác đều SBC nên SD = a 3 2 Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SAD ta có: SA 2 = SD 2 - AD 2 = 2 2 2 3.a a 2a 4 12 3 =>SA = a 2 3 Thể tích cần tìm: ABC 1 V SA.S 3 = 1 1 1 .B.h .SA. .AD.BC 3 3 2 = 3 a 2 12 3.tan (đvtt) Bài 3 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. AC cắt BD tại gốc tọa độ O . Điểm A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2 2 ). Gọi M là trung điểm của SC và mặt phẳng (ABCD) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích của khối chóp S.ABMN? Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. www.vnmath.com A B C S M N D O Lời giải Ta nhận thấy mặt phẳng (SBN) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối chóp S.ABN và S.MBN Theo định nghĩa về thể tích ta có: S.ABMN V = S.ABN V + S.MBN V S.ABN S.ABD V SN 1 V SO 2 => S.ABN V = 1 2 S.ABD V = 1 4 S.ABCD V Tương tự ta có: S.MBN S.BCD V SM SN 1 . V SC SD 4 => S.MBN V = 1 4 S.BCD V = 1 8 S.ABCD V Do vậy: S.ABMN V = 1 4 S.ABCD V + 1 8 S.ABCD V = 8 3 S.ABCD V Thể tích khối chóp S.ABCD V = ABCD 1 1 .SO.S .SO.AC.BD 3 6 = 8 3 2 Thể tích cần tính: S.ABMN V = 2 (đvtt) Nghiên cứu lời giải Gọi V 1 là thể tích khối đa diện nằm dưới (ABMN): V 1 = S.ABMN V Khi đó: Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. www.vnmath.com S.ABCD V = S.ABMN V + ABCMN V hay V = V 1 + S.ABMN V Ta có :V 1 = N.ABD V + B.CDMN V N.ABD V = S.ABD 1 V 2 = V 4 A B C S M N D O Hai hình chóp B.SCD và B.DCMN có chung đỉnh và mặt phẳng chứa đáy nên: DCMN SDC 3 S .S 4 Thể tích của chóp S.ABCD là: V = ABCD 1 1 .SO.S .SO.AC.BD 3 6 = 8 3 2 Thể tích cần tính: Bài 4 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. www.vnmath.com Cho hình vuông ABCD có cạnh a, các nửa đường thẳng Ax và Cy vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ở cùng một phía so với mặt phẳng đáy. Lấy điểm M A trên Ax, lấy N C trên Cy. Đặt AM = m ; BN = n. Tính thể tích của khối chóp B.AMNC theo a, m, n? Trình bày lời giải Theo giả thiết ta có: CN (ABCD) CN CB , O là tâm đáy nên OB AC OB (ACMN) hay OB là đường cao Độ dài OB = AC 2 = a 2 2 . Mặt khác MA AC NC AC MA // NC nên tứ giác ACMN là hình thang ACMN S MA NC 2 AC a(m n) 2 2 Thể tích khối chóp: 2 ACMN 1 a V OB.S (m n) 3 6 ( đvtt ) Nghiên cứu lời giải Nhận thấy do AM AB , AM AD , AB AD nên ta đưa vào hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A(0;0;0), B(a;0;0), M(0;0;m), D(0;a;0) từ đó ta xác định được tọa độ đỉnh C(a;a;0) sau đó áp dụng công thức tính thể tích của khối hộp: 1 V AB,AC AM 6 = 2 a (m n) 6 (đvtt) Bài 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh SA (ABC) , SA = 2a. Gọi M, N là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC. Tính thể tích của khối chóp ABCMN? Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. www.vnmath.com A B C S M N Trình bày lời giải Xét SAB và SAC có AB = AC, SA chung, A = 0 90 SAB = SAC SB =SC mặt bên SBC là tam giác cân. Áp dụng định lý đường cao trong các tam giác SAB và SAC ta có: 2 2 AB.AS AM AB AS = 2a 5 2 2 AC.AS AN AC AS = 2a 5 Áp dung định lý Pytago: SM = 2 2 4a SA AM 5 2 2 4a SN SA AN 5 Ta có các tỷ số: SM SB = SN SC = 4 5 S.AMN S.ABC V V = 16 25 S.AMN V = 16 25 S.ABC V = 3 8a 3 75 Thể tích : ABCNM V = S.ABC V - S.AMN V = 3 a 3 6 - 3 8a 3 75 = 3 3a 3 50 (đvtt) Nghiên cứu lời giải Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp tọa độ bằng việc đưa vào hệ trục tọa độ Oxyz trong đó A(0;0;0), B(a;0;0), S(0;0;2a). Ta xác định được tọa độ của C, M, N, sau đó sử dụng công thức sau: Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. www.vnmath.com 0 S.AMN 1 V AM,AN AS 60 BAC 6 S.AMN 1 V AM,AN AS 6 ABCNM V = S.ABC V - S.AMN V = 3 3a 3 50 (đvtt) Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.DEF có BE = a, góc giữa đường thẳng BE với mặt phẳng (ABC) bằng 0 60 . Tam giác ABC vuông tại C, góc 0 60 BAC , hình chiếu vuông góc của E lên (ABc) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích của tứ diện D.ABC? A B C D E F M G Trình bày lời giải Ta có: EG (ABC) nên EG là đường cao của chóp Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông EGB ta có: EG = EBsinB = asin 0 60 = a 3 2 Áp dụng pytago: 2 2 BG BE EG = a 2 mà BG = 2 3 BM BM = 3 2 BG = 3a 4 Áp dung Pytago trong tam giác BMC: Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. www.vnmath.com MC = MBsin 0 15 = 3a 4 sin 0 15 , AC = 2MC = 3a 2 sin 0 15 , BC = ACtan 0 60 = 3a 2 sin 0 15 3 Thể tích của khối chóp: V = 3 ABC 1 3 EG.S a . 3 4 2 0 sin 15 (đvtt) Bài 7: Cho tứ diện ABCD gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD, là góc giữa hai đường thẳng đó. Tính thể tích của tứ diện ABCD? A B C D E Trình bày lời giải Dụng hình bình hành ABDE, do AE // (BCD) nên ABCD E.BCD B.ECD V V V = ECD 1 S .d(B,CDE) 3 = 1 1 1 CE.CD.sinECD AB.CD.d.sin 3 2 6 (đvtt) Nghiên cứu lời giải Ta xét một cách giải khác như sau: Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. [...]... Tính OA, OB,OC theo a, b, c để thể tích khối tứ diện là nhỏ nhất? 5 Chứng minh hệ thức hình học Để chứng minh các hệ thức trong khối đa diện ta có thể sử dụng các kiến thức về thể tích để giải như sau: Gắn bài toán cần chứng minh vào một hệ thức nào đó về thể tích, các hệ thức này thường là: Thể tích của một khối nào đó có thể biểu diễn thành tổng hoặc hiệu các thể tích của khối đa diện cơ bản (... G của cạnh BC Tính thể tích của khối chóp G.ABC? 2 Thể tích của khối lăng trụ Trong mục này ta sử dụng định lý sau: Thể tích của hình lăng trụ bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao V B.h trong đó : B là diện tích đáy h là chiều cao Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only www.vnmath.com Bài 1 Cho hình tứ giác đều ABCD.EFGH có khoảng... Bài tập đề nghị Bài 1 Cho lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH có đáy là hình thoi có độ dài cạnh bằng a Góc BAD = 600 , AF BH Tính thể tích của khối lăng trụ đó? Bài 2 Cho lăng trụ ABC.DEF có đáy là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a M là trung điểm của AD, góc BMC = Tính thể tích của lăng trụ đó? 3 Thể tích của khối hộp chữ nhật Trong mục này ta sẽ sử dụng định lý sau: thể tích của khối hộp bằng tích độ... định một hình hộp: 1) Chứng minh hình hộp nói trên là hình hộp chữ nhật? 2) CMR Vhhcn 3VABCD 3) Gọi IJ, EF, MN là các dường trung bình của tứ diện 1 CMR: VABCD IJ.MN.EF 3 Bài 3 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH, M là trung điểm của AD, mặt phẳng (ABM) cắt đường chéo AG tại I, tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện được tạo bởi mặt phẳng (EBM) cắt hộp? 4 Bài toán cực trị thể tích Bài 1 Cho hình chóp... OM = x Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có 7 cạnh bằng 1, cạnh bên SC = x Tinh sthể tích của khối chóp, với giá trị nào của x thì thể tích là lớn nhất? S D H A O C B Trình bày lời giải SH là đường cao trong tam giác ÁC nên ta có: SA.SC x SH.AC = SA.SC SH = AC x2 1 3 x2 (3 x 2 ) nên OB = (0 x 3 ) 4 2 1 Diện tích đáy SABCD = AC.OB = 3 x2 x2 1 2 1 1 1 x = x 3 x2 Thể tích V = SABCD SH... a( 2 1) 3 Bài tập đề nghị Bài 1 Cho hình chóp S.ABC trong đó SA (ABC) , ABC là tam giác vuông cân tại C Giả sử SC = a Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp là lớn nhất, tìm giá giá trị lớn nhất đó? Bài 2 ( Đề số 21- Chuyên đề luyện thi vào ĐH - Trần Văn Hạo) Cho ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một Xét tam diện Oxyz Điểm M cố định nằm trong góc tam diện... M N D Dựng hình hộp chữ nhật AEBF.MDNC ngoại tiếp tứ diện ABCD , AB (ABEF) , CD (CDMN) Vì (ABEF) // (CDMN) nên chiều cao của hộp bằng d Thể tích cần tính: 1 1 1 1 1 VABCD Vhôp SMDNCd = MN.CD.d.sin = AB.CD.d.sin 3 3 3 2 6 Bài 8: Trong không gian cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có đỉnh A trùng với gốc tọa độ, điểm B(a;0;0), D(0;a;0), E(0;0;b), M là trung điểm của CG.tính thể tích của khối... tổng khoảng cách từ một điểm nằm trong tứ diện đến các mặt đối diện của nó không phụ thuộc vào vị trí của điểm nằm trong tứ diện đó? O K F G H B A C Giả sử M là điểm tùy ý thuộc miền trong của tứ diện đều ABCD Gọi d1 ,d 2 ,d 3 ,d 4 là khoảng cách từ điểm M đến các mặt (BCD), (ACD), (ABD), (ABC) Gọi V1 , V2 ,V3 , V4 là thể tích của 4 khối tứ diện chung đỉnh M, V là thể tích của tứ diện ABCD ta có: V V... a, mặt bên SAD là tam giác đều, (SAD) (ABCD) , gọi M, N, P là trung điểm của SB,BC,CD Tính thể tích của khối chóp CMNP theo a? Bài 2 ( Khối A - 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600 , gọi I là trung điểm AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SDI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD... giác đều OAB có AB = a, trên đường thẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng(OAB) lấy điểm M, đặt OM = x,Gọi E, F lần lượt là các hình chiếu vuông góc của A lên MB và OB.Đường thẳng EF cắt d tại N Xác định x để thể tích khối chóp ABMN là nhỏ nhất? M E B A F O N Trình bày lời giải Gọi V là thể tích khối tứ diện ABMN ta có 1 1 1 V = VM.OAB VN.OAB = OM.SOAB ON.SOAB = (OM ON).SOAB 3 3 3 Do đó thể . G của cạnh BC. Tính thể tích của khối chóp G.ABC? 2. Thể tích của khối lăng trụ Trong mục này ta sử dụng định lý sau: Thể tích của hình lăng trụ bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều. . Tính thể tích của lăng trụ đó? 3. Thể tích của khối hộp chữ nhật Trong mục này ta sẽ sử dụng định lý sau: thể tích của khối hộp bằng tích độ dài ba kích thước V = a.b.c = B.h trong đó:. www.vnmath.com CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH Bài 1 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B,cạnh SA (ABC) . Từ A kẻ AD SB và AE SC . Biết AB = a, BC = b, SA = c.Tính thể tích của