Chuyên đề Khoảng cách trong hình học không gian

CHUYÊN ĐỀ: KHOẢNG CÁCH ________________________________________ MỤC LỤC A.Mục tiêu dạy học.................................................................................................................... B. Nội dung dạy học................................................................................................................... Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian............................................. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng......................................................................... Khoảng cách từ đường thẳng đến đường thẳng............................................................ Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng............................................................... Khoảng cách từ mặt phẳng đến mặt phẳng................................................................... C. Hình thức, kế hoạch dạy học.................................................................................................... D. Kiểm tra, đánh giá...................................................................................................................   A. MỤC TIÊU DẠY HỌC. Căn cứ: Chuẩn KT – KN. Yêu cầu của nhà trường Khả năng, mong muốn của HS… Mục tiêu dạy học: Về kiến thức: Học sinh hiểu, biết tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian, từ điểm đến mặt phẳng trong không gian, từ đường thẳng đến đường thẳng trong không gian, từ đường thẳng đến mặt phẳng trong không gian và từ mặt phẳng đến mặt phẳng. Về kĩ năng: Học sinh tính được khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, từ điểm đến mặt phẳng, từ đường thẳng đến đường thẳng, từ đường thẳng đến mặt phẳng và từ mật phẳng đến mặt phẳng Học sinh biết sử dụng thành thạo các công thức tính khoảng cách để áp dụng làm bài tập. B. NỘI DUNG BÀI HỌC. I.Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian. Nhắc lại kiến thức cũ. Kiến thức hình học phẳng về tính khoảng cách. Tam giác ABC có đường cao AH thì . Tam giác ABC vuông tai A, đường cao AH thì . Công thức Pi-ta-go trong tam giác ABC vuông tại A: . Định nghĩa Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng bằng khoảng cách từ điểm đó tới hình chiếu vuông góc của nó lên đường thẳng. Phương pháp chung. Xét bài toán: Cho điểm M và đường thẳng d, (M không thuộc d). Tính khoảng cách từ M đến d. Phương pháp: Hạ MH "⊥" d tại H, ta gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d. Và độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ M đến d. Kí hiệu:d(a,d) = MH. Tính MH. Ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC. Giải Gọi D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC, H là chân đường vuông góc hạ từ A đến SD. Ta có: SA (ABC) BC SA. Lại có: BC AD (Cách dựng) Lại có: (Cách dựng) . Chú ý: MN⫽∆ . Trường hợp đặc biệt: I là trung điểm của MN . Bài tập củng cố. Bài 1: Cho hình chóp S ABC, có đáy là tam giác vuông cân tại B và AC a  2 . SA có độ dài bằng a và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC. Giải Ta có: Từ giả thiết ta có, Khi đó khoảng cách từ S tới BC chính là đoạn thẳng SB. Có : . Vậy

CHUYÊN ĐỀ: KHOẢNG CÁCH MỤC LỤC A Mục tiêu dạy học B Nội dung dạy học I II III IV V Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng không gian Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ đường thẳng đến đường thẳng Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng Khoảng cách từ mặt phẳng đến mặt phẳng C Hình thức, kế hoạch dạy học D Kiểm tra, đánh giá A MỤC TIÊU DẠY HỌC • Căn cứ: - Chuẩn KT – KN - Yêu cầu nhà trường - Khả năng, mong muốn HS… • Mục tiêu dạy học:  Về kiến thức: - Học sinh hiểu, biết tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng không gian, từ điểm đến mặt phẳng không gian, từ đường thẳng đến đường thẳng không gian, từ đường thẳng đến mặt phẳng không gian từ mặt phẳng đến mặt phẳng  Về kĩ năng: - Học sinh tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, từ điểm đến mặt phẳng, từ đường thẳng đến đường thẳng, từ đường thẳng đến mặt phẳng từ mật phẳng đến - mặt phẳng Học sinh biết sử dụng thành thạo cơng thức tính khoảng cách để áp dụng làm tập B NỘI DUNG BÀI HỌC I.Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng không gian Nhắc lại kiến thức cũ Kiến thức hình học phẳng tính khoảng cách AH = - Tam giác ABC có đường cao AH S ABC BC - Tam giác ABC vng tai A, đường cao AH 1 = + 2 AH AB AC BC = AB + AC 2 - Công thức Pi-ta-go tam giác ABC vuông A: Định nghĩa - Khoảng cách từ điểm đếnđường thẳng khoảng cách từ điểm tới hình chiếu vng góc lên đường thẳng Phương pháp chung - Xét toán: Cho điểm M đường thẳng d, (M khơng thuộc d) Tính khoảng cách từ M đến d - Phương pháp:  Hạ MH d H, ta gọi H hình chiếu vng góc M lên d Và độ dài đoạn thẳng MH gọi khoảng cách từ M đến d Kí hiệu:d(a,d) = MH  Tính MH Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC Giải Gọi D chân đường vng góc hạ từ A xuống BC, H chân đường vng góc hạ từ A đến SD ⇒ ⊥ ⊥ Ta có: SA (ABC) BC SA ⊥ Lại có: BC AD (Cách dựng) ⇒ BC ⊥ (SAD) ⇒ AH ⊥ BC AH ⊥ SD Lại có: (Cách dựng) ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ d(A, (SBC)) = AH  Chú ý: ⇒ d (M, ∆) = d(N, ∆) d (M, ∆) d (N, ∆) MN ∩ ∆ = I ⇒ = MI NI ⇒ d (M, ∆) = d(N, ∆) Trường hợp đặc biệt: I trung điểm MN Bài tập củng cố Bài 1: Cho hình chóp S ABC, có đáy tam giác vng cân B AC a = SA có độ dài a vng góc với đáy Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC Giải SA ⊥ (ABC) ⇒ BC ⊥ SA Ta có: Từ giả thiết ta có, BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ SB ⊥ BC Khi khoảng cách từ S tới BC đoạn thẳng SB AB = BC =a 2 Có : ⇒ SB = SA2 + AB = a + 2a = a d (S, BC) = SB = a Vậy Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC tam giác vng cân B, cạnh góc vng a Cạnh bên SA = a vng góc với mặt đáy Tính khoảng cách từ A đến SC Giải: Gọi K hình chiếu vng góc A SC Vì a ∆ABC vng cân B có cạnh góc vng Suy ra: AC = a = SA ⇒ ∆SAC vuông cân A Suy ra: AK vừa đường cao vừa trung tuyến thuộc cạnh huyền AK = Khi đó: 1 SC = a 2 Bài 3: Cho hình chóp tam giác S.ABC, có cạnh đáy a, tất mặt bên tạo với đáy góc Gọi I trung điểm đoạn BC Tính khoảng cách từ I đến SA Giải: Vì S.ABC hình chóp đều, O tâm đáy Ta dễ thấy O trọng tâm tam giác ABC Mà I lại trung điểm đoạn BC A, O, I thẳng hàng Suy Từ (1) (2) suy Từ (2) (3) suy góc mặt bên (SBC) mặt đáy suy Đồng thời SO đường cao hình chóp SO ⊥ AI = AI, Xét tam giác vng SOI có: SO = OI tan 30o = 1 a a AI tan 30o = = 3 Gọi h khoảng cách từ I đến SA SA.h = SO.AI = 2.S AIS ⇒ h = Xét tam giác SAI có: HD : Có SO, AI, tính SA Dễ tính h SO AI SA ˆ = 30o SIO a Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, tất cạnh bên 2a 3 a) Tính độ dài đương cao SH b) Gọi I trung điểm BC, tính khoảng cách từ I đến SA Hướng dẫn SH ⊥ (ABC) ⇒ a) H tâm tam giác ABC Tam giác vng SHA Khi ta dễ tính SH dựa vào định lý Pi-ta-go tam giác vuông IK ⊥ SA b) Vẽ IK SA = SH AI = 2S AIS ∆SAI Xét có: Suy tính IK II Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phương pháp giải Để tính khoảng cách từ điểm Bước 1: Dựng • • • OH Lấy đường thẳng với H O ( P) đến mặt phẳng hình chiếu a O , ta thực theo bước sau: ( P) lên , ta làm sau: ( P) nằm (Q) ( P) O Dựng mặt phẳng qua vuông góc với mặt phẳng (Q ) OH ⊥ b H Trong , hạ OH Bước 2: khoảng cách từ O ( P) đến Chú ý: MN / /( P) ⇒ d (M; (P)) = d(N; (P)) 2.1 Tính độ dài đoạn OH khoảng cách từ O ( P) đến  M ; N ∈ (Q ) ⇒ d ( M ;( P )) = d ( N ;( P ))   (Q) / /(P) 2.2 MN ∩ ( P) = I ⇒ d (M;(P)) MI = d ( N ;( P)) NI 2.3 2.4 Sử dụng thể tích để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: d ( S ;( A1 A2 An )) = S A1 A2 An 3VS A1 A2 An S A1 A2 An Cho hình chóp Ta có khoảng cách 2.5 Sử dụng tính chất trục đường tròn: A, B, C O VABC M • Nếu tâm đường trọn ngoại tiếp điểm cách điểm đường thẳng MO trục đường tròn ngoại tiếp VABC Khi MO ⊥VABC MO = d ( M , ( ABC )) • Nếu MA = MB = MC đường thẳng MN NA = NB = NC A, B, C điểm khơng thẳng hàng MN ⊥ ( ABC ) A, B, C trục đường tròn qua điểm Khi tâm O A, B, C đường tròn qua điểm Ví dụ minh họa 3.1 Ví dụ 1: (A-2013) Cho hình chóp cạnh a mặt bên khối chóp ( SAB ) Giải: S ABC S ABC SBC o A ·ABC = 30 SBC có đáy tam giác vng , , tam giác vng góc với đáy Tính theo khoảng cách từ điểm C a thể tích đên mặt phẳng Gọi H trung điểm cạnh BC ⇒ SH ⊥ BC ( SBC ) ⊥ ( ABC ) Mà theo giao tuyến Ta có: BC = a ⇒ VS ABC = VABC Mà Gọi a ⇒ SH = BC SH ⊥ ( ABC ) nên AC = BC.sin 30o = ; a a AB = BC.cos 30o = 2 ; a3 SH AB AC = 16 vuông A H trung điểm cạnh BC nên HA = HB SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SA = SB = a I trung điểm SI = SB − AB ⇒ SI ⊥ AB AB a 13 = 4 ⇒ d (C, (SAB)) = 3VS ABC 6VS ABC a 39 = = SVSAB SI AB 13 3.2 Ví dụ 2: ( Trích đề A-2014) Cho hình chóp vng góc S SABCD mặt phẳng AB ( SBD) Giải: ABCD hình vng cạnh ( ABCD ) trung điểm cạnh đến mặt phẳng có đáy Tính khoảng cách từ A a SD = , 3a , hình chiếu HK ⊥ BD; EH ⊥ SK Kẻ  BD ⊥ HK ⇒ BD ⊥ ( SHK )   BD ⊥ SH ⇒ BD ⊥ HE Ta có: EH ⊥ SK ⇒ HE ⊥ ( SBD) Mà a · HK = HB,sin KBH = Ta có ⇒ HE = HS H HS + HK = a d ( A, (SBD) = d(H, (SBD)) = HE = Do d ( A, (SBD) = Vậy 2a 2a Bài tập áp dụng Bài 1: ( Trích đề D-2013) SABCD Cho hình chóp có đáy hình thoi cạnh a , cạnh bên SA vng góc với đáy, · · BC a BAD = 120o M SMA = 45o D , trung điểm cạnh Tính theo khoảng cách từ điểm ( SBC ) đến mặt phẳng Bài 2: ( Trích đề D-2012) Cho hình hộp đứng A 'C = a Bài 3: ABCD A ' B ' C 'D' Tính khoảng cách từ điểm A có đáy hình vng Tam giác ( BCD ') đến mặt phẳng theo a A 'AC vng cân Cho hình chóp SA AD = 2a AB = 4a SD = 5a có đáy hình chữ nhật, , , Cạnh bên vng góc với đáy a) Tính khoảng cách từ b) Gọi N SABCD M A ( SBC ) đến mặt phẳng trung điểm cạnh BC N SB nằm cạnh cho ( SMD) đến mặt phẳng Hướng dẫn: Bài 1: AD / / BC Do Kẻ d ( D,( SBC )) = d ( A, (SBC)) nên AH ⊥ SM Ta có  AM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAM )   SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC )) = AH AH = Mà AM a = d ( A, ( SBC )) = Vậy a Bài 2: Gọi H chân đường cao kẻ từ A VA ' AB SN = SB Tính khoảng cách từ Ta có:  AH ⊥ A ' B ⇒ AH ⊥ ( A ' BC )   AH ⊥ BC AH ⊥ ( BCD ') hay AH = d (A, (BCD')) Do VA ' AB Xét ⇒ AH = có: 1 = + = 2 2 AH AB A' A a a 6 d (A, (BCD')) = Vậy a 6 Bài 3: a) Trong mặt phẳng (SAB), kẻ Ta có: AI ⊥ SB  SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAB)   AB ⊥ BC ⇒ BC ⊥ AI mà AI ⊥ SB ⇒ AI ⊥ ( SBC ) ⇒ AI = d ( A, ( SBC )) SA = SD − AD = a 21 SAD Áp dụng định lí Pi-ta-go cho tam giác vuông 1 1 37 ⇒ AI = a 21 = + = + = 37 AI SA2 AB 21a 16a 336a SAB Trong tam giác ⇒ d ( A,( SBC )) = có: có: a 21 37 +  EM P B′C ⇒ B′C P( AME )   EM ⊂ ( AME ) Ta thấy: nên d ( AM , B′C ) = d ( B′C , ( AME ) ) = d ( C , ( AME ) ) d ( C , ( AME ) ) = d ( B, ( AME ) ) = h Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đơi vng góc nên suy đường cao 1 1 a = + + ⇒h= 2 2 h BE BA BM d ( AM , B′C ) = Vậy a 7 Cách 2: - Dựng mặt phẳng (α) ⊥ a (α ) ∩b = I O, b′ - Dựng hình chiếu vng góc b - Trong (α) dựng OH ⊥ b′ (α) H - Qua H dựng đường thẳng vng góc với (α) , cắt b B - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a A Đoạn AB đoạn vng góc chung a, b Ví dụ: Cho chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, góc SC ( ABCD ) 30o d ( BD, SC ) Tính Lời giải: + Ta có :  BD ⊥ SA   BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ ( SAC )  SA I AC ≡ A  BD ∩ ( SAC ) ≡ O + OI ⊥ SC ⇒ + Kẻ OI đường vng góc chung BD SC ⇒ d ( BD, SC ) = OI SC ∩ ( ABCD ) ≡ C + Ta có: , A hình chiếu vng góc S xuống (ABCD) nên AC hình chiếu vng góc SC xuống (ABCD) Trong tam giác vng ACD có: OC = Xét AC = ¼ = 30o ⇒ (¼ SC , ( ABCD ) ) = SCA AD + DC = a AC a = 2 ∆COI OI = OC ×sin 300 = vng I ta có: a a ⇒ d ( BD,SC ) = 4 Bài tập: Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD, ABEF khơng thuộc măt phẳng a AB = a , AD=AF= d ( AC , BF ) , AC vng góc với BF Tính Bài 2: Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D ′ AB CD Tìm khoảng cách A′C cạnh a Gọi M, N trung điểm MN Bài 3: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm AB AD, H giao điểm CN DM SH vng góc (ABCD) khoảng cách DM SC SH = a Tính Bài 4: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC tam giác vuông cân B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB), (SAC) vng góc với mặt đáy Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) cách hai đường thẳng AB SN theo a Lời giải: Bài 1: Kẻ + AK ⊥ BF , từ K kẻ KH ⊥ AC (1)  AK ⊥ BF   AC ⊥ BF ⇒ BF ⊥ ( AKC ) ⇒ BF ⊥ KH  AK ∩ AC ≡ A  (2) Từ (1) (2) suy HK đường vng góc chung AC BF + + + + ⇒ AK = ∆ABF vuông A AB.AF a = BF  AC ⊥ BF   AC ⊥ HK ⇒ AC ⊥ ( BHK ) ⇒ AC ⊥ BH  BF ∩ HK ≡ K  ∆ABC ⇒ AB = AH AC ⇒ AH = vuôngtại B ∆AHK Bài 2: a ⇒ HK = vuông H AK − AH = a = d ( AC , BF ) 60o Tính khoảng Ta có: +  BC PMN ⇒ MN P( A′BC ) ⇒ d ( MN , A′C ) = d ( MN , ( A′BC ) ) = d ( M , ( A′BC ) )   BC ⊂ ( A′BC )  AI ⊥ A′B ( A′B ∩ AB′ ≡ I )   BC ⊥ ( ABB′A′) ⇒ BC ⊥ AI ⇒ AI ⊥ ( A′BC )  ′  A B ∩ BC ≡ B Kẻ MH P AI ( H ∈ A′B ) ⇒ MH ⊥ ( A′BC ) ⇒ d ( M , ( A′BC ) ) = MH MH = AI a a = ⇒ d ( MN , A′C ) = 4 Bài 3: ∆CDN = ∆DAM ( c.g c ) ⇒ CN ⊥ DM Ta có  CN ⊥ DM   SH ⊥ DM ⇒ DM ⊥ ( SCN ) ⇒ DM ⊥ SC CN ∩ SH ≡ H  HK ⊥ SC ⇒ HK ⊥ DM ⇒ d ( HK , DM ) = HK Kẻ S ∆CMD = S ∆ABCD − S ∆ADM − S ∆CMB Ta có S ∆CDM = a2 = CH DM 2a ⇒ CH = Mặt khác ∆SHC 1 2a = + ⇒ HK = = d ( DM , SC ) 2 HK CH SH 19 vuông H ta có: Bài 4: ⇒ SA ⊥ ( ABC ) Do (SAB) (SAC) vng góc với (ABC)  SA ⊥ BC   AB ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB  SA ∩ AB ≡ A  ¼ ⇒ SBA góc mặt phẳng (SBC) (ABC) ¼ = 60o ⇒ SA = AB tan 60o = 2a ⇒ SBA ⇒ MN P BC SM P BC Mặt phẳng qua ⇒ MN = cắt AC N N trung điểm BC BC =a (α) V Kẻ đường thẳng qua N song song với AB, gọi mặt phẳng chứa SN ⇒ AB P( α ) ⇒ d ( AB, SN ) = d ( A, ( α ) ) AD ⊥V≡ D ⇒ ( SAD ) ⊥ ( α ) Kẻ Kẻ AH ⊥ SD ⇒ AH ⊥ ( α ) ⇒ d ( A, ( α ) ) = AH AD = MN = a ⇒ 1 2a = 2+ ⇒ AH = = d ( AB, SN ) 2 AH SA AD 13 Ta có IV Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng Lý thuyết: V  TH1: Đường thẳng mặt phẳng có điểm chung khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng  TH2: Đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với a khoảng từ điểm thuộc a đến mặt phẳng (P)  Kí hiệu: d(a,(P))  Lưu ý: d(a,(P)) = d((P),a) = d(A,(P)) =d(B,(P)) A ∈ a, B ∈ a • Khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng (P) song song với a khơng phụ vào vị trí điểm A A thay đổi a  Phương pháp + Nếu đường thẳng mặt phẳng có điểm chung khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng + Nếu đường thẳng a mặt phẳng (P) song song ta lấy điểm A thuộc a tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P) → quay trở tốn tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  Chú ý lấy điểm A ta nên chọn điểm mà dễ dàng tìm hình chiếu trến mặt phẳng (P)  Tổng qt: - Tìm mặt phẳng (Q) vng góc với (P) - Tìm điểm chung A (Q) a (nếu a song song với (Q) đổi (Q) thành (Q ) ' chứa a song song song với (Q)) - Tìm giao tuyến (P) (Q) ⊥ ⊥ - Trong (Q) kẻ AH (Q) Khi MH (P) d(a,(P)) = d(A,(P)) = AH Ví dụ: 2.1 Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên 2a, cạnh đáy a tính khoảng cách AB mặt phẳng (SCD) Giải: Vì chóp S.ABCD hình chóp ⇒ ABCD hình vng Lấy I trung điểm AB Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt CD K Klà trung điểm DC Mặt khác ta có Ta có IK Ta kẻ IH ⇒ ⇒ IH ⊥ ⊥ ⊥ CD SK ⊥ CD ⇒ ⇒ ⊥ SK (SCD) CD ⊥ (SIK) ⊥ ∈ SK IH (SIK) nên CD IH (SCD) SKD vuông K Ta có cosSIK= ⇒ cân S d(AB,(SCD))=d(I,(SCD))=IH ∆ ⇒ ∆SCD HK IK = ⇒ SK = HK a a 15 15 = a 15 HK= a2 − a2 15 IK= d(AB,(SCD)) = Bài tập CC1 = c A1B1C1D1 3.1 Bài tập 1: Hình hộp chữ nhật ABCD AA1 BDB1D1 a) Tính d( ,( )) Giải: A1 B1C1 D1 ABCD hình hộp chữ nhật ⇒ AA1 ⊥ ( ABCD) ⇒ AA1 ⊥ BD AB=a, BC=b, ⇒ IK ⊥ DC Trong (ABD) kẻ AI ⊥ BD ⇒ ⊥ AA1 I BD ( ) A1 K ⊥ D1 B1 ⇒ A1K P AI P AA1 KI Ta kẻ ⇒ BD ⊥ ( AIKA1 ) suy ta có AI ⇒ ⊥ BDB1D1 AI ( ) ⇒ AA1 BDB1 D1 ) AI = d( ,( ) ⊥ KI Tính AI VABI Ta có đồng dạng với V DBA AI AB = ⇒ DA BD ab ⇒ AI= a + b2 ⇒ ab AA1 BDB1D1 a + b2 d( ,( )) = 3.2 Bài 2:Cho hình chóp SABCD ABCD hình vng cạnh a SA=2a SA vng góc với đáy M, N trung điểm AB AD Chứng minh MN song song với (SBD) tính d(MN,(SBD)) Giải Ta có M, N trung điểm AB AD nên MN đường trung bình tam giác ABD MN song song với BD Ta có SA ⊥ (ABCD) ⇒ ⇒ Lấy I trung điểm BD BD ⊥ MN song song với (SBD) SA ⇒ ⊥ AI BD ⊥ BDTa suy (SAI) Trong (SAI) kẻ AK ⊥ SI ⇒ BD ⊥ AK ⇒ Vì AK ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ SI BD AK AK (SBD) AK= d(A, (SBD)) Ta có AI ⊥ BD AI cắt MN Tại H ⊥ Từ H kẻ HP SI ⇒ HP= d(MN,(SBD)) Tính HP a Ta có AI = V V Mặt khác HPI đồng dạng với AKI HP IH = ⇒ AK AI ⇒ Mà AK= 3a ⇒ 3a 2 HP= 3a 2 d(MN,(SBD)) = V Khoảng cách từ mặt phẳng đến mặt phẳng Kiến thức d ((α ),( β )) (α ),( β ) Khoảng cách hai mặt phẳng ký hiệu Vị trí tương đối mặt phẳng khơng gian d ((α ),( β )) +Hai mặt phẳng trùng ta suy +Hai mặt phẳng cắt d ((α ),( β )) Suy =0 =0 d ((α ),( β )) +Hai mặt phẳng vng góc có =0 +Hai mặt phẳng song song (P) / /(P') Mặt phẳng M (P’) , M thuộc (P) H hình chiếu d ((α ),( β )) Vậy =MH Bài tập: Bài : Cho chóp S.ABC có SA vng góc với đáy , SA ⊥ ( ABC ), AI ⊥ BC,AH ⊥ SI kẻ (AHB) với (SBC) Tính khoảng cách Giải: AH ⊥ SI (1) BC ⊥ AI  BC ⊥ (SAI)  ⇒  ⇒ BC ⊥ AH (2) BC ⊥ SA  AH ⊂ (SAI)  (1),(2) ⇒ AH ⊥ (SBC)   ⇒ (AHB) ⊥ (SBC) AH ∈ (AHB)  Vậy d((AHB),(SBC))=0 Bài 2: Cho chóp tam giác ABC.A’B’C’ đáy tam giác cạnh a Hình chiếu A A’B’C’ trùng với trung điểm M B’C’ Góc AA’ với mặt phẳng đáy A’B’C’ 60 độ Tín khoảng cách đáy chóp Giải: AM ⊥ ( A ' B ' C ') Theo giả thiết ta suy Suy tam giác AMA’ vng M Hình chiếu AA’ A’B’C’ A’M.Vậy góc 60 độ a Có AM=A’M.tan60= = AA’M a Kết luận d((ABC),(A’B’C’))=d(A,(A’B’C’))=AM= a C HÌNH THỨC, KẾ HOẠCH DẠY HỌC Kế hoạch dạy học: Nội dung Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng không gian Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ đường thẳng đến đường thẳng Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng Khoảng cách từ mặt phẳng đến mặt phẳng D.KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ KIỂM TRA (Thời gian:45p ) Tiết 3 3 a Bài 1:Cho chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật , AB=a, AD= điểm AD.Tính khoảng cách (SMB) (SAC) .SA ⊥ đáy, M trung Câu 2: Cho hình chóp S.ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên (ABC) H nằm AB cho AH=2HB Góc SC (ABC) đường thẳng SA BC theo a 60o Tính khoảng cách hai Câu 3:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA=3a, BC=4a; mặt phẳng 2a (SBC) cng góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB= điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Lời giải: Câu 1: AB a = = AM a 2 BC a = = BA a suy VABM : VBCA ∠ABM = ∠ACB, ⇒ BM ⊥ AC BM ⊥ SA, BM ⊥ AC ⇒ ( SBM ) ⊥ ( SAC ) Và Vậy khoảng cách hai mặt phẳng cần tìm Câu 2: Ta có ¼ SCH góc SC (ABC) ¼ = 60o ⇒ SCH ∠SBC = 300 Tính khoảng cách từ Xét ∆ACH CH = AH + AC − AH AC.cos 60o = ta có: SH = CH tan 60o = 7a a ⇒ CH = a 21 Qua A kẻ đường thẳng ∆ (α) song songvới BC, gọi mặt phẳng chứa SA ⇒ BC P( α ) ⇒ d ( SA, BC ) = d ( B, ( α ) ) = d ( H , ( α ) ) = HK HI = AH sin 60o = a 1 a ⇒ = + ⇒ HK = 2 HK SH HI Ta có ⇒ d ( H ,( α ) ) = a ⇒ d ( SA, BC ) = 3a ⇒ d ( B, ( α ) ) = 3a 6 Câu 3: SH ⊥ BC (H ∈ BC) Hạ ; (SBC) ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ (ABC);SH = SB.sinSBC = a HD ⊥ AC (D ∈ AC), HK ⊥ SD(K ∈ SD) Hạ ⇒ HK ⊥ (SAC) ⇒ HK = d(H,(SAC)) BH = SB.cosSBC=3a ⇒ BC=4HC ⇒ d (B,(SAC)) = 4d(H,(SAC)) ∆ AC = BA + BC = 5a; HC = BC − BH = a 2 Ta có HK = SH HD SH + HD 2 = 3a 14 d ( B, ( SAC ) ) = 4.HK = Vậy 6a 7 ⇒ HD = BA HC 3a = AC ... SMD )) = 4a 21 421 Vậy III Khoảng cách hai đường thẳng: Khoảng cách đường thẳng song song: - Khoảng cách đường thẳng song song khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách đường thẳng chéo nhau:... Nội dung Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng không gian Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ đường thẳng đến đường thẳng Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng Khoảng cách từ mặt... điểm chung khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng + Nếu đường thẳng a mặt phẳng (P) song song ta lấy điểm A thuộc a tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P) → quay trở tốn tìm khoảng cách từ