CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỤC LỤC A.Mục tiêu dạy học…………………………………………………………………… .…… B.Nội dung học………………………………………………………………………… .…2 I) Phương trình bậc hai……………………………………………………………… ……….2 Giải biện luận phương trình bậc hai……………………………… ……… Nghiệm nguyên nghiệm hữu tỉ…………………………………… ……… II) Hệ thức Vi-ét ứng dụng hệ thức Vi-ét …… …………………………… 10 Hệ thức Vi-ét thuận ứng dụng 10 1.1 Tính giá trị biểu thức nghiệm 10 1.2 Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số .13 1.3 Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm cho 15 1.4 Xác định dấu nhiệm phương trình bậc hai 20 1.5 Tìm gia trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm 22 Hệ thức Vi-ét đảo ứng dụng 25 2.1 Lập phương trình bậc hai .25 2.2 Tìm hai số biết tổng tích 28 III) Ứng dụng phương trình bậc hai để giải phương trình khác…………………… …… 30 Sử dụng phương trình bậc hai giải biện luận phương trình bậc ba…… … 30 Sử dụng phương trình bậc hai giải biện luận phương trình bậc bốn…… 37 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối quy phương trình bậc hai……… .42 Phương trình chứa ẩn mẫu quy phương trình bậc hai………………… …49 C Hình thức, kế hoạch dạy học 51 D Kiểm tra, đánh giá…………………………………………………………… ………… 52 A MỤC TIÊU DẠY HỌC • Căn cứ: Chuẩn KT-KN Yêu cầu nhà trường Khả năng, mong muốn HS… • Mục tiêu dạy học: ➢ Về kiến thức: HS hiểu, biết cách giải biện luận phương trình bậc HS hiểu, nhận dạng được, biết giải phương trình quy phương trình bậc 2: phương trình có ẩn mẫu số, phương trình trùng phương, phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối…… HS hiểu, biết vận dụng định lý Vi-ét thuận đảo vào giải tập ➢ Về kĩ năng: HS giải biện luận thành thạo phương trình bậc HS giải phương trình quy phương trình bậc 2: phương trình có ẩn mẫu số, phương trình chứa ăn đơn giản, phương trình đưa phương trình tích…… HS vận dụng thành thạo hệ thức Vi-ét thuận đảo để giải tập B NỘI DUNG BÀI HỌC I: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Nhắc lại kiến thức cũ a b c Khái niệm phương trình bậc 2: có dạng tổng quát : ax  bx  c  (𝑎 ≠ 0) Khái niệm Delta: ∆= b2 − 4ac ( b  2b , ta tính '  (b)2  ac ) Hệ số a,b,c Giải biện luận phương trình bậc hai: ax  bx  c  1 1.1 Phương pháp chung ▪ Trường hợp 1: a = Phương trình trở phương trình bậc bx  c   bx  c   a Nếu b = Phương trình (2) tương đương  c  c  Nếu c = 0, phương trình nghiệm với x ∈ R Nếu c ≠ 0, phương trình vơ nghiệm Nếu b ≠ b Phương trình    x  ▪ c Phương trình có nghiệm b Trương hợp 2: a ≠ Ta tính biệt thức ∆= b2 − 4ac ( b = 2b′ , ta tính ∆′ = (b′)2 − ac) Nếu ∆< (hoặc ∆′ < 0) a Phương trình (1) vơ nghiệm Nếu ∆= (hoặc ∆′ = ) b Phương trình (1) có nghiệm kép x  x1  x   b' b (hoặc x   ) a 2a Nếu ∆> (hoặc ∆′ > 0) c Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,  b  2a (hoặc x1,2   b'  a ' ) Kết luận: - Với a = b = c, phương trình nghiệm với x Với a = b = c ≠ 0, phương trình vơ nghiệm - Với a = b ≠ 0, phương trình có nghiệm x  - Với a ≠ c b *∆< 0, 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑣ơ 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 *∆= (hoặc ∆′ = ), phương trình có nghiệm kép x   b b' (hoặc x   ) 2a a *∆> (hoặc ∆′ > 0), phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,  b  2a (hoặc x1,2  Ví dụ: Giải biện luận phương trình (m tham số): mx   m   x  m   Giải (1)  b'  a ' ) Trường hợp m = Phương trình có dạng: 4x    x  Trường hợp m ≠ 0, ta tính biệt thức ∆′ = − m Nếu '    m   m  𝑃ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ (1)vơ nghiệm Nếu '   m  Phương trình (1)có nghiệm kép x  Nếu '   m  𝑃ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ (1)có hai nghiệm phân biệt: x1,2  m2 4m m Kết luận - m = Phương trình có nghiệm nhất: x  - m = Phương trình có nghiệm kép x  - m > 𝑃ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑣ơ 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 - ≠ m < 𝑃ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑐ó ℎ𝑎𝑖 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑝ℎâ𝑛 𝑏𝑖ệ𝑡: x1,2  m2 4m m 1.2.Bài tập vận dụng Bài Giải biện luận phương trình sau theo tham số m a) mx   m  3 x  m   b)  4m  1 x  4mx  m   c) 2mx  m  x  m  d) x  m 1 x 1   Giải Trường hợp m = Phương trình có dạng: 6x    x  a Trường hợp m ≠ 0, ta tính biệt thức ∆′ = 5m + Nếu '   5m    m  9 Phương trình (1)vơ nghiệm Nếu ' 0 m 2 9 Phương trình (1)có nghiệm kép x  Nếu '  0 m  m   5m  9 Phương trình (1)có hai nghiệm phân biệt: x1,2  m Kết luận - m = Phương trình có nghiệm nhất: x  - m = Phương trình có nghiệm kép : x  - m > 𝑃ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑣ơ 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 - ≠ m < 𝑃ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑐ó ℎ𝑎𝑖 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑝ℎâ𝑛 𝑏𝑖ệ𝑡: x1,2  2 m   5m  m b), c), d) làm tương tự theo phương pháp chung e) Ta cần xét mẫu khác sau làm tương tự Bài Tìm m để phương trình mx + 2(m − 1)x − = có nghiệm Giải Xét hai trường hợp m Trường hợp m = Phương trình có dạng : − 2x − = 〈=〉 x = −1 Trường hợp m ≠ Phương trình cho có nghiệm 〈=〉∆′ = 〈=〉(m − 1)2 + 2m = 〈=〉m2 + = (vơ nghiệm) Vậy với m = phương trình có nghiệm Bài Cho phương trình bậc hai : x − 2(m − 1)x + m2 − 4m + = a) b) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Xác định giá trị m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép Giải a) Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt ∆′ > 〈=〉(m − 1)2 − (m2 − 4m + 7) > 〈=〉 2m − > 〈=〉 m > Vậy với m > phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Phương trình cho có nghiệm kép ∆′ = 〈=〉 2m − = 〈=〉 m = Khi nghiệm kép : x = 2(3−1) = Bài Với giá trị m phương trình(m − 3)x − 2(3m − 4)x + 7m − = 0có hai nghiệm Giải Phương trình cho có hai nghiệm m≠3 m≠3 m − ≠ 0〈=〉 〈=〉 { { { (3m − 4)2 − (m − 3)(7m − 6) = 2m + 3m − = ∆′ = m≠3 m = −2 〈=〉 { 〈=〉 [ m= m = −2 m = 2 Vậy với m = −2 m = phương trình cho có hai nghiệm Bài Cho phương trình : 𝑥 − (2𝑚 − 1)𝑥 + 𝑚2 − 2𝑚 = Tìm giá trị m để : a, Phương trinh có nghiệm b, Phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép Giải a, Phương trình có nghiệm ∆≥ 〈=〉(2𝑚 − 1)2 − 4(𝑚2 − 2𝑚) ≥ 〈=〉 4𝑚 + ≥ 〈=〉 𝑚 ≥ −1 b, Phương trình có nghiệm kép kh ∆= 〈=〉(2𝑚 − 1)2 − 4(𝑚2 − 2𝑚) = 〈=〉 4𝑚 + = 〈=〉 𝑚 = 𝑏 −1 Và nghiệm kép 𝑥 = − 2𝑎 = Bài Cho phương trình 2𝑥 − (2𝑚 − 7)𝑥 − 2𝑚 + = Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm trái dấu, đồng thời nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương Giải Phương trình có hai nghiệm trái dấu −2𝑚+6 < 〈=〉 − 2𝑚 + < 〈=〉 𝑚 > (1) Khi có tổng hai nghiệm −𝑏 𝑎 = 2𝑚−7 Nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương 2𝑚 − 7 < 〈=〉 2𝑚 − < 〈=〉 𝑚 < (2) 2 Kết hợp (1) (2) ta < 𝑚 < Bài Tìm điểm cố định mà parabol (P) : 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑥 + 𝑚 qua m thay đổi (m≠ 0) Giải Hàm số 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑥 − 𝑚 𝑐ó 𝑡ℎể 𝑣𝑖ế𝑡 𝑑ướ𝑖 𝑑ạ𝑛𝑔 (𝑥 − 1)𝑚 + 𝑥 − 𝑦 = (1) Xem (1) phương trình ẩn m Cần tìm x, y để (1) nghiệm với 𝑚 ≠ 0, điều xảy 𝑥 = ±1 𝑥2 − = 〈=〉 { { 𝑦=𝑥 𝑥−𝑦 =0 Vậy có hai điểm cố định cần tìm A(1 ; 1) B(-1 ; -1) Bài Cho hai phương trình : 𝑥 − 𝑥 + 𝑚 = (1)𝑣à 𝑥 − 3𝑥 + 𝑚 = 0(2) Với giá trị m phương trình (2) có nghiệm khác lớn gấp hai lần nghiệm phương trình (1) Giải Giả sử 𝑥0 ≠ 𝑙à 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 (1)𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛 đề 𝑏à𝑖, 𝑘ℎ𝑖 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑡ươ𝑛𝑔 ứ𝑛𝑔 𝑐ủ𝑎 (2)𝑠ẽ 𝑙à 2𝑥0 Thay vào hai phương trình ta có: 𝑥02 − 𝑥0 + 𝑚 = (3)𝑣à 4𝑥02 − 6𝑥0 + 𝑚 = 0(4) Trừ vế (4) (3) được: 3𝑥02 − 5𝑥0 = 〈=〉𝑥0 = (𝑙𝑜ạ𝑖), 𝑥0 = Thay 𝑥0 = 𝑣à𝑜 (3)𝑡𝑎 đượ𝑐 𝑚 = Đảo lại: Nếu 𝑚 = −10 −10 10 9 , hai phương trình cho có dạng 𝑥 − 𝑥 − Phương trình (5) có hai nghiệm 𝑥1 = Rõ ràng 𝑥3 = 2𝑥2 Vậy 𝑚 = − 10 −2 , 𝑥2 = Phương trình (6) có hai nghiệm 𝑥3 = giá trị cần tìm Bài Cho parabol (P) : y = x − 3x + đường thẳng d : y = −x + m 10 = (5), 𝑥 − 3𝑥 − = (6) 10 −1 3 , 𝑥4 = a, Hãy biện luận số giao điểm d (P) b, Trong trường hợp đường thẳng d cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A, B, tìm giá trị m để A B hai phía trục Oy Giải a, Hoành độ giao điểm d (P) nghiệm phương trình : x − 3x + = −x + m 〈=〉x − 2x + − m = (1) Vậy số giao điểm d (P) số nghiệm (1) Ta có ∆′ = m − Nếu ∆′ < 〈=〉 m < 𝑡ℎì 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ (1) vơ nghiệm nên d không cắt (P) Nếu ∆′ = 〈=〉 m = (1)có nghiệm kép nên d cắt (P)tại điểm Nếu ∆′ > 0〈=〉m > 𝑡ℎì (1)có hai nghiệm phân biệt nên d cắt (P)tại hai điểm phân biệt A, B b, Vì hồnh độ giao điểm A, B d (P) nghiệm phương trình (1) nên A B hai phía Oy phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu Muốn − m < 〈=〉 m > 2 Nghiệm nguyên nghiệm hữu tỉ 2.1 Phương pháp chung Với a,b,c số nguyên, xét phương trình ax + bx + c = Ta xét tốn tìm điều kiện để phương trình có nghiệm nguyên hay nghiệm hữu tỉ Khi ta sử dụng kết hai định lý sau: Định lý 1: Điều kiện cần đủ để phương trình có nghiệm hữu tỷ biệt số ∆ số phương p Định lý 2: Nếu x0 = với (p, q) = nghiệm hữu tỷ phương trình q ước a p ước q c Ví dụ: Tìm số ngun a để phương trình 𝑥 − (3 + 2𝑎)𝑥 + 40 − 𝑎 = có nghiệm nguyên Giải Phương trình có nghiệm ngun ∆= 4𝑎2 + 16𝑎 − 151 số phương 〈=〉 4𝑎2 + 16𝑎 − 151 = 𝑘 𝑣ớ𝑖 𝑘 ∈ 𝑍 〈=〉(2𝑎 + 4)2 − 𝑘 = 167 𝑣ớ𝑖 𝑘 ∈ 𝑍 〈=〉(2𝑎 + + 𝑘)(2𝑎 + − 𝑘) = 167 𝑣ớ𝑖 𝑘 ∈ 𝑍 Vì 167 số nguyên tố nên: 2a + + k = 〈=〉 x=0 { 4a + = 168 〈=〉a = 40 =⟩ [ x = 83 2a + − k = 167 [ 2a + + k = −1 〈=〉 x = −1 { 4a + = −168 〈=〉 a = −44=⟩ [ 2a + − k = −167 x = −84 Vậy tồn hai giá trị a=40 a=−44 để phương trình có nghiệm ngun 2.2 Bài tập ứng dụng Bài Chứng minh phương trình ax + bx + c = 0, với a,b số ngun, có nghiệm hữu tỷ, nghiệm số nguyên Giải: Nghiệm phương trình cho là: x1,2 = −a±√a2 −4b Do nghiệm hữu tỷ nên a2 − 4b phải số phương suy a2 − 4b = k , k ∈ Z Xét hai khả xảy đói với a Giả sử a số lẻ suy k số lẻ Giả sử a chẵn suy k chẵn Vậy a, k tính chẵn, lẻ Suy −a ± √a2 − 4b số chẵn, tức x1,2 số nguyên Bài CMR phương trình 𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑣ớ𝑖 𝑎, 𝑏 𝑙à 𝑐á𝑐 𝑠ố 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛, 𝑐ó 𝑐á𝑐 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 ℎữ𝑢 𝑡ỷ, 𝑡ℎì 𝑐á𝑐 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑙à 𝑛ℎữ𝑛𝑔 𝑠ố 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 Giải Nghiệm phương trình cho là: 𝑥1,2 = −𝑎±√𝑎2 −4𝑏 Do nghiệm hữu tỷ nên 𝑎2 − 4𝑏 𝑝ℎả𝑖 𝑙à 𝑠ố 𝑐ℎí𝑛ℎ 𝑝ℎươ𝑛𝑔 〈=〉𝑎2 − 4𝑏 = 𝑘 , 𝑘 ∈ 𝑍 (1) Xét hai khả xảy a Giả sử a số lẻ, từ (1) suy k lẻ Giả sử a số chẵn, từ (1) suy k chẵn Vậy a, k tính chẵn, lẻ Suy −𝑎 ± √𝑎2 − 4𝑏 số chẵn, tức 𝑥1,2 số nguyên II: HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT 1.Hệ thức Vi-ét thuận ứng dụng Cho phương trình: ax2  bx  c   a  0 có hai nghiệm x1 ; x2 b   S  x1  x2  a Theo định lý vi-ét thuận ta có:   Pxx  c  a 1.1 Dạng 1: Tính giá trị biểu thức nghiệm Đối với toán điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng S tích P để áp dụng hệ thức vi-ét tính giá trị biểu thức 1.1.1: Biến đổi biểu thức để xuất hiện: x1  x2 x1 x2 Ví dụ 1: Biến đổi biểu thức dạng tổng S tích P a) b) c)   x12  x22  x12  x1 x2  x2  x1 x2   x1  x2   x1 x2 2 x13  x23   x1  x2   x12  x1 x2  x22    x1  x2   x1  x2   3x1x2    1 x1  x2   x1 x2 x1 x2 Bài tập: Biến đổi biểu thức để xuất hiện: x1  x2 x1 x2 a) x12  x2 b) x13  x23 c) 1  x1  x2  d) x1  x2 Hướng dẫn: a) x12  x22   x1  x2  x1  x2  b) x13  x23   x1  x2   x1  x2   x1 x2    10 ...  3 x  x 12  x 22   2  1 x 12  1  27  x 12  x 22  x 12  x 22  x 12 x 22   25 Ta có: x 12  x2   x1  x2   x1 x2   2m   2m   2m   m  25  m  2m  10  m   m  2m  10 ... x1 x2 x1 x x  x2  x1  x2  x1  x2   x1  x2  x1 x2 11     b Ta có: x2  x1  x1  x2  x1 x2  12  x1  1 x2  1 c 2 17 x14  x2   x 12  x2   x 12 x2   x1  x2   x1 x2 ...  x2 x1 x2 Ví dụ 1: Biến đổi biểu thức dạng tổng S tích P a) b) c)   x 12  x 22  x 12  x1 x2  x2  x1 x2   x1  x2   x1 x2 2 x13  x23   x1  x2   x 12  x1 x2  x 22    x1  x2 