Tải Chuyên đề Phương trình bậc hai và Hệ thức Vi-ét - Bài tập ôn tập chương 4 Đại số lớp 9

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị[r]

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

I Tóm tắt lý thuyết

1 Cách giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = ( a 0) = b2 - 4ac

* Nếu > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =

b a   

; x2 = b

2a   

* Nếu = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = - b 2a

* Nếu < phương trình vô nghiệm

2 Chú ý : Trong trường hợp hệ số b số chẵn giải phương trình công thức nghiêm thu gọn.

 = b'2

- ac

* Nếu ' > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =

b ' ' a   

; x2 = b '

a   

* Nếu ' = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = - b'

a

* Nếu ' < phương trình vơ nghiệm

3 Hệ thức Vi - Et ứng dụng :

1 Nếu x1; x2 hai nghiệm phương trình :

2 Muốn tìm hai số u v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình : X - X.S+ P = 02

(Điều kiện để có u v S2 4 P)

3 Nếu a + b + c = phương trình có hai nghiệm :

c x = 1; x =

a

Nếu a - b + c = phương trình có hai nghiệm :

c x = 1; x =

a  

4 Các điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2

+bx+c = (a  0) có:

1 Có nghiệm (có hai nghiệm) Vơ nghiệm

3 Nghiệm (nghiệm kép, hai nghiệm nhau) Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)

5 Hai nghiệm dấu Hai nghiệm trái dấu

9 Hai nghiệm đối

10.Hai nghiệm nghịch đảo

11 Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn  a.c < S < 0

12 Hai nghiệm trái dấu nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn  a.c < S >

4 Tính giá trị biểu thức nghiệm

Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức

II Bài tập

Bài tập : Định giá trị tham số m để phương trình

x2m m( 1)x5m20 0

Có nghiệm x = - Tìm nghiệm

Bài tập : Cho phương trình

x2mx 3 0 (1)

a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm 1? Tìm nghiệm Bài tập : Cho phương trình

x2 8x m  5 (1)

a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm gấp lần nghiệm kia? Tìm nghiệm phương trình trường hợp

Bài tập : Cho phương trình

(m 4)x2 2mx m  0 (1)

a) m = ? (1) có nghiệm x = b) m = ? (1) có nghiệm kép Bài tập : Cho phương trình

x2 2(m1)x m  0 (1)

c) Giả sử x x1, 2 nghiệm phương trình (1) CMR : M =1 x x2 11 x x1 2 không

phụ thuộc m

Bài tập : Cho phương trình

x2 2(m1)x m  0 (1)

a) Chứng minh (1) có nghiệm với m

b) Đặt M =

2

1

x x

(x x1, 2 nghiệm phương trình (1)) Tìm M.

Bài tập 7: Cho phương trình

2

2

2

1 0(1); 0(2); 0(3)

x ax b x bx c x cx a

   

   

   

Chứng minh phương trình phương trình có nghiệm

Bài tập 8: Cho phương trình

x2 (a1)x a 2 a 0 (1)

a) Chứng minh (1) có hai nghiệm trái dấuvới a

b) x x1, 2 nghiệm phương trình (1) Tìm B = x12x22.

Bài tập 9: Cho phương trình

x2 2(a1)x2a 0 (1)

a) Chứng minh (1) có hai nghiệm với a

b) a = ? (1) có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn x1 1 x2.

c) a = ? (1) có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn

2

1

x x

= Bài tập 10: Cho phương trình

2x2(2m1)x m 1 0 (1)

a) m = ? (1) có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn 3x1 4x2 11.

b) Chứng minh (1) hai nghiệm dương c) Tìm hệ thức liên hệ x x1, 2không phụ thuộc m. Gợi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dương -> vơ lý

2

2

(2 ) 0(1) ( ) 0(2)

x m n x m

x m n x

   

   

Tìm m n để (1) (2) tương đương

Bài tập 12: Cho phương trình

ax2bx c 0(a0) (1)

điều kiện cần đủ để phương trình (1) có nghiệm gấp k lần nghiệm

2 ( 1)2 0( 0)

kb  k ac k 

Bài tập 13: Cho phương trình

mx22(m 4)x m  7 (1)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2thoả mãn x1 2x2 0.

c) Tìm hệ thức x x1, 2 độc lập với m.

Bài tập 14: Cho phương trình

x2 (2m3)x m 23m 2 (1)

a) Chứng minh phương trình có nghiệm với m b) Tìm m để phưong trình có hai nghiệm đối

c) Tìm hệ thức x x1, 2 độc lập với m.

Bài tập 15: Cho phương trình

(m 2)x22(m 4)x(m 4)(m2) 0 (1)

a) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm kép

b) Giả sử phương trình có hai nghiệm x x1, 2 Tìm hệ thức x x1, 2 độc lập

với m

c) Tính theo m biểu thức

1

1

A

x x

 

 

; d) Tìm m để A =

Bài tập 16: Cho phương trình

x2 mx 0 (1)

b) Tìm giá trị lớn biểu thức

1

2

1

2(x x )

A

x x

  



c) Tìm giá trị m cho hai nghiệm phương trình nghiệm nguyên Bài tập 17: Với giá trị k phương trình x2kx 7 có hai nghiệm đơn vị

Bài tập 18: Cho phương trình

x2 (m2)x m  1 (1)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

c) Tìm m để phương trình có nghiệm âm

Bài tập 19: Cho phương trình

x2 (m1)x m 0 (1)

a) CMR phương rình (1) ln có nghiệm phân biệt với m

b) Gọi x x1, 2là hai nghiệm phương trình Tính

2

1

x x

theo m

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn

2

1

x x

= Bài tập 20: Cho phương trình

x2(2m1)x m 23m0 (1)

a) Giải phương trình (1) với m = -3

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm tích hai nghiệm Tìm hai nghiệm

Bài tập 21: Cho phương trình

x212x m 0 (1)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 toả mãn

2

2

x x

Bài tập 22: Cho phương trình

(m 2)x2  2mx 1 (1)

a) Giải phương trình với m =

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn 1 2 x1 1 2 x2 1.

Bài tập 23: Cho phương trình

x2 2(m1)x m  0 (1)

a) Giải phương trình với m =

b) CMR phương trình (1) ln có hai nghiêm phân biệt với m

c)Tính A = 13 23

1

x x theo m.

d) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đối Bài tập 24: Cho phương trình

(m 2)x2 2mx m  0 (1)

a) Tìm m để phương trình (1) phương trình bậc hai

b) Giải phương trình m = 2.

c)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm Bài tập 25: Cho phương trình

x2px q 0 (1)

a) Giải phương trình p =  3 3 ; q = 3

b) Tìm p , q để phương trình (1) có hai nghiệm : x1 2,x2 1

c) CMR : (1) có hai nghiệm dương x x1, 2thì phương trình qx2px 1 0 có hai

nghiệm dương x x3,

d) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm 3x va x1 2 ; 12

1

x 2

1

x ;

1

2

x x

2

1

x x

Bài tập 26: Cho phương trình

x2 (2m1)x m 0 (1)

a) CMR phương trình (1) ln có hai nghiêm phân biệt với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn : x1 x2 1;

c)Tìm m để x12x22 6x x1 2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 27: Cho phương trình

x2 2(m1)x2m10 0 (1)

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 Tìm GTNN biểu thức

2

1 10

A x x  x x

Bài tập 28: Cho phương trình

(m1)x2 (2m 3)x m  2 (1)

a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu

b) Tìm m để (1) có hai nghiệm x x1, 2 Hãy tính nghiệm theo nghiệm kia.

Bài tập 29: Cho phương trình

x2 2(m 2)x(m22m 3) 0 (1)

Tìm m để (1) có hai nghiệm x x1, 2 phân biệt thoả mãn

1

1

1

5

x x x x



 

Bài tập 30: Cho phương trình

x2mx n 0 có 3m2= 16n

CMR hai nghiệm phương trình , có nghiệm gấp ba lần nghiệm

Bài tập 31 : Gọi x x1, 2 nghiệm phương trình 2x2 3x 0 Khơng giải phương

trình , tính : a)

1

x x ; b)

1

(x  x )

; c) x13x32 d) x1 x2

Bài tập 32 : Lập phương trình bậc hai có nghiệm :

a) ; b) - +

Bài tập 33 : CMR tồn phương trình có hệ số hữu tỷ nhận nghiệm :

a) 5



 ; b)

2 3



 ; c) 2

Bài tập 33 : Lập phương trình bậc hai có nghiệm :

a) Bình phương nghiệm phương trình x2 2x1 0 ; b) Nghịch đảo nghiệm phương trình x2mx 0

Bài tập 35: Cho phương trình

x2 2mx(m1)30 (1)

a) Giải phương trình (1) m = -1

b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt , nghiệm bình phuơng nghiệm cịn lại

Bài tập 36: Cho phương trình

2x2 5x 1 (1)

Tính x x1 x2 x1 ( Với x x1, 2là hai nghiệm phương trình)

Bài tập 37: Cho phương trình

(2m1)x2 2mx 1 (1)

a) Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( -1; )

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn

2

1

x  x 

Bài tập 38 : Cho phương trình x2 - (2k - 1)x +2k -2 = (k tham số) Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm

Bài tập 39:

Tìm giá rị a để ptrình :

(a2− a− 3)x2+ (a+2) x − a2=0

Nhận x=2 nghiệm Tìm nghiệm cịn lại ptrình ?

Bài tập 40 Xác định giá trị m phương trình bậc hai : x2 8x m 0

để + nghiệm phương trình Với m vừa tìm , phương trình cho cịn nghiệm Tìm nghiệm cịn lại ấy?

Bài tập 41: Cho phương trình : x2 2(m1)x m  0 (1) , (m tham số) 1) Giải phương trình (1) với m = -5

3) Tìm m để x1 x2 đạt giá trị nhỏ (x x1, 2 hai nghiệm phương trình (1) nói

trong phần 2/ )

Bài tập 42:

Cho phương trình

Giải phương trình b= -3 c=2

Tìm b,c để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt tích chúng

Bài tập 43:

Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + = với m tham số x ẩn số

a) Giải phương trình với m =

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2

c) Với điều kiện câu b tìm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ

Bài tập 44:

Cho phương trình ( ẩn x) : x4 - 2mx2 + m2– =

1) Giải phương trình với m = √3

2) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt

Bài tập 45: Cho phương trình ( ẩn x) : x2 - 2mx + m2– 12 = (1)

1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm nghiệm ptrình có giá trị tuyệt đối

2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm nghiệm số đo cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền

Bài tập 46: Lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là:

x1=

4

3+√5 x2= 3 −√5

1) Tính : P = (3+4

√5)

4

+( 3−√5)

4

Bài tập 47: Tìm m để phương trình : x2−2 x −|x − 1|

Bài tập 48: Cho hai phương trình sau :

2

2

(2 3)

2

x m x

x x m

   

    ( x ẩn , m tham số )

Tìm m để hai phương trình cho có nghiệm chung

Bài tập 49:

Cho phương trình : x2 2(m1)x m 21 0 với x ẩn , m tham số cho trước

1) Giải phương trình cho kho m =

2) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm dương x x1, 2 phân biệt thoả

mãn điều kiện x12 x22 4

Bài tập 50: Cho phương trình :

   

2

2

m x   m x m  

( x ẩn ; m tham số )

1) Giải phương trình m = -

2) CMR phương trình cho có nghiệm với m

3) Tìm tất giá trị m cho phương trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp ba lần nghiệm

Bài tập 52: Cho phương trình x2 + x – =

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Gọi x1 nghiệm âm phương trình Hãy tính giá trị biểu thức :

1 10 13

P x  x  x

Bài tập 53: Cho phương trình với ẩn số thực x: x2 - 2(m – ) x + m - =0 (1)

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép Tính nghiệm kép

Bài tập 54:

Cho phương trình : x2 + 2(m-1) x +2m - =0 (1)

a) CMR phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt với m

b) Tìm m để nghiệm x x1, 2 (1) thoả mãn :

2

1 14

Bài tập 55:

a) Cho a = 11 , b 11 2 CMR a, ,b hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số nguyên

b) Cho c3 10, d36 10 CMR c d2, 2là hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số nguyên

Bài tập 56: Cho phương trình bậc hai :

x22(m1)x m 2m 1 (x ẩn, m tham số)

1) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt âm

2) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có nghiệm x x1, 2 thoả mãn :

1

x  x 

3) Tìm tất giá trị tham số m để tập giá trị hàm số y =

2 2( 1) 1

x  m x m m chứa đoạn 2;3.

Bài tập 57:Cho phương trình : x2 - 2(m-1) x +2m - =0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu

b) Tìm m để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm Bài tập 58: Cho phương trình : x26x6a a 0

1) Với giá trị a phương trình có nghiệm

2) Giả sử x x1, 2 nghiệm phương trình Hãy tìm giá trị a cho

2

x x  x

Bài tập 59: Cho phương trình :

mx2 -5x – ( m + 5) = (1) m tham số, x ẩn

a) Giải phương trình m =

b) Chứng tỏ phương trình (1) ln có nghiệm với m

c) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 , tính theo

m giá trị biểu thức B = 10x x1 2 3(x12x22) Tìm m để B = 0.

Bài tập 60:

a) Cho phương trình :x2 2mx m 21 0 ( m tham số ,x ẩn số) Tìm tất giá trị nguyên m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn điều kiện

1

2000x x 2007

2

2

2

2

2 0;

2 0;

2 0;

2 0;

ax bx c bx cx d cx dx a dx ax b

  

  

  

  

Bài tập 61:

1) Cho a, b , c, số dương thoả mãn đẳng thức a2b2  ab c CMR phương trình x2 2x(a c b c )(  ) 0 có hai nghiệm phân biệt

2) Cho phương trình x2 x p 0 có hai nghiệm dương x x1, 2 Xác định giá trị p

khi x14x24 x15 x25 đạt giá trị lớn nhất.

Bài tập 62: Cho phương trình : (m + ) x2– ( 2m + ) x +2 = , với m tham số a) Giải phương trình với m =

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cho nghiệm gấp lần nghiệm

Bài tập 63: Cho phương trình : x2 3y22xy 2x10y 4 (1)

1) Tìm nghiệm ( x ; y ) phương trình ( ) thoả mãn x2y2 10 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình (1)

Bài tập 64: Giả sử hai phương trình bậc hai ẩn x :

a x1 2b x c1  0 a x2 2b x c2  0

Có nghiệm chung CMR :      

2

1 2 1 2 1 2

a c  a c  a b  a b b c  b c

Bài tập 65: Cho phương trình bậc hai ẩn x :

x2 2(m1)x2m2 3m 1

a) Chứng minh phương trình có nghiệm 0m1

b) Gọi x x1, 2 nghiệm phương trình , chứng minh : 2

9

x x x x 

Bài tập 66: Cho phương trình bậc hai ẩn x :

2x22mx m  0

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm

b) Gọi x x1, 2 nghiệm phương trình , tìm giá trị lớn biểu thức :

1 2

2

Bài tập 67: Cho phương trình bậc hai ẩn x :

(m1)x2 2(m1)x m  0 với m 1 (1) a) CMR (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m

b) Gọi x x1, 2 nghiệm phương trình (1) , tìm m để x x 1 0 x12x2

Bài tập 68: Cho a , b , c đọ dài cạnh tam giác CMR phương trình

x2(a b c x ab bc ac  )    0 vô nghiệm Bài tập 69: Cho phương trình bậc hai ẩn x :

2

2

0(1); 0(2)

ax bx c cx dx a

  

  

Biết (1) có nghiệm m n, (2) có nghiệm p q CMR :

2 2 4

m n p q  .

Bài tập 70: Cho phương trình bậc hai ẩn x :

x2bx c 0 có nghiệm x x1, 2; phương trình x2 b x bc2  0 có nghiệm 3,

x x

Biết x3 x1 x4  x2 1 Xác định b, c.

Bài tập 71 : Giải phương trình sau a) 3x4

- 5x2

+2 = b) x6 -7x2 +6 =

c) (x2 +x +2)2 -12 (x2 +x +2) +35 = d) (x2 + 3x +2)(x2+7x +12)=24

e) 3x2+ 3x = √x2

+x +1

f) (x + 1x ) - ( √x+

√x¿ +6 =0

g) √1− x2=x − 1 h) √4 x −20= x −20 i)

¿

x2

3+ 48

x2=10¿ x

3−

x¿

Bài tập 72 giải phương trình sau a) x2

- √5 x - =0 b) - √5 x2

c) ( - √¿ ¿x2

−(√3+1)+√3=0 d)5x4 - 7x2 +2 = e) (x2

+2x +1)2

-12 (x2

+2x +1) +35 = f) (x2

-4x +3)(x2

-12x +35)=-16 g) 2x2+ 2x = √x2+x +1

Bài tập 73.Cho phương trình bậc hai 4x2-5x+1=0 (*) có hai nghiệm x ❑1 , x ❑2

1/ khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức sau:

A= x12

+

x22 ;

B=¿ 4 − x1

x12

+4 − x2

x22 ;

C=x15+x25 ; D=x17+x27

2/ lập phương trình bậc hai có nghiệm bằng:

a) u = 2x1- 3, v = 2x2-3

b) u = x

1−1 , v =

1

x2−1

Bài tập 74 Cho hai phương trình : x2- mx +3 = x2- x +m+2= a) Tìm m để phương trình có nghiệm chung

b) Tìm m để hai phương trình tương đương Bài tập 75 Cho phương trình (a-3)x2- 2(a-1)x +a-5 =

a) tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2

b) Tìm a cho x1

1 +

1

x2 <3

c) Tìm hệ thức độc lập x1, x2

Bài tập 76 Cho phương trình bậc hai: x2 +(m+2)x +m= a) Giải phương trình với m =- √2

b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2

c) Tìm giá trị nhỏ C=x12+x22

Bài tập 77:

Cho phương trình mx2 – 2( m + 1) x + (m- 4) = (1)

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để PT(1) có hai nghiệm trái dấu Khi hai nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn ?

c) Xác định m để nghiệm x1 ; x2 PT (1) có hai nghiệm thoả mãn x1 + 4x2 =

3

Bài tập 78: Cho phương trình mx2 – 2( m -2) x + (m – 3) = Tìm giá trị m để nghiệm x1 ;x2 PT thoả mãn điều kiện x1

2

+ x2

=

Bài tập 79: Xác định giá trị m để PT sau có hai nghiệm phân biệt trái đấu (m – 1)x2 – 2x + =

Bài tập 80 Cho PT : x2 – 2(m-2) x + ( m2 + m – 3) =

Tìm GT m để PT có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn :

1

1

1

5

x x x x



 

Bài tập 81 Cho PT : x2 – (m+2) x + ( 2m – 1) = có nghiệm x1; x2 Lập hệ thức liên hệ

giữa x1; x2 độc lập với m

Bài tập 82Cho PT x2 – 2(a – 1) x + 2a – = (1) a) Chứng minh (1) có nghiệm với a

b) Với giá trị a (1) có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x1 < < x2

c) Với GT a (1) có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x12 + x22 =

Bài tập 83: Cho PT : x2 – 10x – m2 = (1)

mx2 + 10x – = (2) ( m khác không )

1) Chứng minh nghiệm PT (1) nghịch đảo nghiệm PT hai

2) Với GT m PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều kiện 6x1 + x2 =

5

Bài tập 84: Cho Phương trình x2 – 2(m+1) x – 3m2 – 2m – = (1) 1) C/mr với m PT ln có hai nghiệm trái dấu 2) Tìm GT m để PT (1) có nghiệm x = -1

3) Tìm GT m để PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 + 3x2 =

4) Tìm GT m để PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x12 + x22 = m2 – 2m +

Bài tập 85: Cho PT : x2 – (a- 1) x + a =

a) Tìm GT a cho tổng lập phương nghiệm b) Với GT a tổng bình phương nghiệm có GTNN

Bài 14: Cho PT x2 – 5x + = (1) Không giải PT lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 ; y2

Bài tập 87 Cho Phương trình x2 – (m – 1) x – m2 +m – = a) Giải PT m =

b) C/mr phgương trình cho có hai nghiệm trái dấu với GT m c) Gọi hai nghiệm cảu PT cho x1 ; x2 Tìm m để hai nghiệm thoả mãn

3

1

2

x x

x x

        

    đạt GTLN

Bài tập 88: Cho Phương trình : x2 – mx – m – = (*)

a) C/mr PT (*) có nghiệm x1 ; x2 với GT m ; tính nghiệm kép ( có )

của PT GT m tương ướng b) Đặt A = x12 + x22 – 6x1.x2

1) Chứng minh A = m2 -8m + 2) Tìm m cho A=

3) Tìm GTNN a GT m tương ứng Bài tập 89: Cho phương trình x2 – 2(a- 1) x + 2a – = (1)

a) C/mr PT(1) có nghiệm với a

b) Với giá trị a (1) có nghiệm x1 ,x2 thoả mãn x1 < < x2

c) Với giá trị a phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn

x12 + x22 =6

Bài tập 90: Cho phương trình : x2 – 2(m+1)x + m – = ( *) a) Chứng minh (*) có hai nghiệm với m

b) Tìm giá trị m để PT (*) có hai nghiệm trái dáu c) Giả sử x1 ; x2 nghiệm PT (*)

Chứn minh : M = (1 – x1) x2 + (1 – x2)x1

Bài tập 91: Cho phương trình : x2 – (1- 2n) x + n – = a) Giải PT m =

b) Chứng minh PT có nghiệm với giá trị n c) Gọi x1; x2 hai nghiệm cảu PT cho

Chứng minh biểu thức : x1(1 + x2) + x2(1 +x1)

Bài tập 92: Các nghiệm phương trình x2 + ax + b + = (b khác -1) số nguyên Chứng minh a2 + b2 hợp số

Bài tập 94: Cho phương trình ax2 + bx + c = ( a.c 0) cx2

+ dx + a = có nghiệm x1; x2 y1 ; y2 tương ướng C/m x12 + x22 + y12 + y22 4

Bài tập 95: Cho phương trình x2+ bx +c =0 (1) x2 +cx +b = (2)

Trong 1b+1

c=

1

Bài tập 96: Cho p,q hai số dương Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình

px2

+ x +q = x3 ; x4 nghiệm phương trình qx2 + x + p =

C/m : x x1  x x3 2

Bài tập 97: Cho a,b,c ba số thực Chứng minh ba phương trình sau có nghiệm :

x2ax b 1 0; x2bx c 1 0; x2cx a 1 0

Bài tập 98: Cho phương trình bậc hai :x2 + (m+2) x + 2m = (1) a) C/m phương trình ln ln có nnghiệm

b) Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để 2(x12 + x22 ) = 5x1x2

Bài tập 99: Cho phương trình x2 + a1x + b1 = (1) ; x2 + a2x + b2 = (2)

Có hệ số thoả mãn a a1 22b1b2.Cmr hai phương trình

trên có nghiệm

Bài tập 100: Chứng minh phương trình :  

2 2 2 0

a x  b a  c x b 

Vô nghiệm

Nếu a + b > c a b c

Bài tập 101: Cho hai phương trình :

x2 + mx + = (1) x2 + x + m = (2)

a) Tìm m để hai phương trình có nghiệm chung b) Tìm m để hai phương trình tương đương

Bài tập 102: Cho phương trình: x2 – 2( a + b +c) x + 3( ab + bc+ ca) = (1) a) C/mr phương trình (1) ln có nghiệm

Bài tập 103: Chứng minh phương trình :x2 + ax + b = x2 + cx + d = có nghiệm chung : (b – d)2 + (a- c)(ad – bc) =

Bài tập 104: Cho phương trình ax2

+ bx + c = C/mr b > a + c phương trình ln có nghiệm phân biệt

Bài tập 105: G/s x1 , x2 hai nghiệm hai phương trình x2 + ax + bc = x2 , x3 hai

nghiệm phương trình x2 + bx + ac = ( với bc khác ac ) Chứng minh x1, x3 nghiệm

của phương trình x2 + cx + ab =

Bài tập 106: Cho phương trình x2 + px + q = (1) Tìm p,q nghiệm phương trình (1) biết thêm vào nghiệm chúng chở thành nghiệm phương trình : x2 – p2x + pq =

Bài tập 107: Chứng minh phương trình : (x- a) (x- b) + (x-c) (x- b) + (x-c) (x- a) = 0 Ln có nghiệm với a,b,c

Bài tập 108: Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình : 2x2 + 2(m +1) x + m2 +4m + =

Tìm GTLN biểu thức A = x x1 2 2x1 2x2

Bài tập 109: Cho a 0 G/s x1 ; x2 nghiệm phương trình

2

2

1

x ax a

  

Chứng minh : x41x24  2

Bài tập 110 Cho phương trình

2

2

1

x ax a

  

Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình

Tìm GTNN E = x14x24

Bài tập 111: Cho phương trình x2 + 2(a + 3) x + 4( a + 3) =

a) Với giá trị a phương trình có nghiệm kép b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm lớn – Bài tập 112.Cho phương trình : x2

– 2mx – m2

– = 0(1)

a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm x1 ; x2 với m

b) Tìm hệ thức liên hệ x1 ; x2 không phụ thuộc vào m

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn :

1

2

5

x x x x

