Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
I Tóm tắt lý thuyết
1 Cách giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = ( a 0) = b2 - 4ac
* Nếu > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =
b a
; x2 = b
2a
* Nếu = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = - b 2a
* Nếu < phương trình vô nghiệm
2 Chú ý : Trong trường hợp hệ số b số chẵn giải phương trình công thức nghiêm thu gọn.
= b'2
- ac
* Nếu ' > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =
b ' ' a
; x2 = b '
a
* Nếu ' = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = - b'
a
* Nếu ' < phương trình vơ nghiệm
3 Hệ thức Vi - Et ứng dụng :
1 Nếu x1; x2 hai nghiệm phương trình :
2 Muốn tìm hai số u v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình : X - X.S+ P = 02
(Điều kiện để có u v S2 4 P)
3 Nếu a + b + c = phương trình có hai nghiệm :
c x = 1; x =
a
Nếu a - b + c = phương trình có hai nghiệm :
c x = 1; x =
a
4 Các điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2
+bx+c = (a 0) có:
1 Có nghiệm (có hai nghiệm) Vơ nghiệm
3 Nghiệm (nghiệm kép, hai nghiệm nhau) Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)
5 Hai nghiệm dấu Hai nghiệm trái dấu
(2)9 Hai nghiệm đối
10.Hai nghiệm nghịch đảo
11 Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn a.c < S < 0
12 Hai nghiệm trái dấu nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn a.c < S >
4 Tính giá trị biểu thức nghiệm
Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức
II Bài tập
Bài tập : Định giá trị tham số m để phương trình
x2m m( 1)x5m20 0
Có nghiệm x = - Tìm nghiệm
Bài tập : Cho phương trình
x2mx 3 0 (1)
a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm 1? Tìm nghiệm Bài tập : Cho phương trình
x2 8x m 5 (1)
a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm gấp lần nghiệm kia? Tìm nghiệm phương trình trường hợp
Bài tập : Cho phương trình
(m 4)x2 2mx m 0 (1)
a) m = ? (1) có nghiệm x = b) m = ? (1) có nghiệm kép Bài tập : Cho phương trình
x2 2(m1)x m 0 (1)
(3)c) Giả sử x x1, 2 nghiệm phương trình (1) CMR : M =1 x x2 11 x x1 2 không
phụ thuộc m
Bài tập : Cho phương trình
x2 2(m1)x m 0 (1)
a) Chứng minh (1) có nghiệm với m
b) Đặt M =
2
1
x x
(x x1, 2 nghiệm phương trình (1)) Tìm M.
Bài tập 7: Cho phương trình
2
2
2
1 0(1); 0(2); 0(3)
x ax b x bx c x cx a
Chứng minh phương trình phương trình có nghiệm
Bài tập 8: Cho phương trình
x2 (a1)x a 2 a 0 (1)
a) Chứng minh (1) có hai nghiệm trái dấuvới a
b) x x1, 2 nghiệm phương trình (1) Tìm B = x12x22.
Bài tập 9: Cho phương trình
x2 2(a1)x2a 0 (1)
a) Chứng minh (1) có hai nghiệm với a
b) a = ? (1) có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn x1 1 x2.
c) a = ? (1) có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn
2
1
x x
= Bài tập 10: Cho phương trình
2x2(2m1)x m 1 0 (1)
a) m = ? (1) có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn 3x1 4x2 11.
b) Chứng minh (1) hai nghiệm dương c) Tìm hệ thức liên hệ x x1, 2không phụ thuộc m. Gợi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dương -> vơ lý
(4)
2
2
(2 ) 0(1) ( ) 0(2)
x m n x m
x m n x
Tìm m n để (1) (2) tương đương
Bài tập 12: Cho phương trình
ax2bx c 0(a0) (1)
điều kiện cần đủ để phương trình (1) có nghiệm gấp k lần nghiệm
2 ( 1)2 0( 0)
kb k ac k
Bài tập 13: Cho phương trình
mx22(m 4)x m 7 (1)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2thoả mãn x1 2x2 0.
c) Tìm hệ thức x x1, 2 độc lập với m.
Bài tập 14: Cho phương trình
x2 (2m3)x m 23m 2 (1)
a) Chứng minh phương trình có nghiệm với m b) Tìm m để phưong trình có hai nghiệm đối
c) Tìm hệ thức x x1, 2 độc lập với m.
Bài tập 15: Cho phương trình
(m 2)x22(m 4)x(m 4)(m2) 0 (1)
a) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm kép
b) Giả sử phương trình có hai nghiệm x x1, 2 Tìm hệ thức x x1, 2 độc lập
với m
c) Tính theo m biểu thức
1
1
A
x x
; d) Tìm m để A =
Bài tập 16: Cho phương trình
x2 mx 0 (1)
(5)b) Tìm giá trị lớn biểu thức
1
2
1
2(x x )
A
x x
c) Tìm giá trị m cho hai nghiệm phương trình nghiệm nguyên Bài tập 17: Với giá trị k phương trình x2kx 7 có hai nghiệm đơn vị
Bài tập 18: Cho phương trình
x2 (m2)x m 1 (1)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
c) Tìm m để phương trình có nghiệm âm
Bài tập 19: Cho phương trình
x2 (m1)x m 0 (1)
a) CMR phương rình (1) ln có nghiệm phân biệt với m
b) Gọi x x1, 2là hai nghiệm phương trình Tính
2
1
x x
theo m
c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn
2
1
x x
= Bài tập 20: Cho phương trình
x2(2m1)x m 23m0 (1)
a) Giải phương trình (1) với m = -3
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm tích hai nghiệm Tìm hai nghiệm
Bài tập 21: Cho phương trình
x212x m 0 (1)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 toả mãn
2
2
x x
Bài tập 22: Cho phương trình
(m 2)x2 2mx 1 (1)
a) Giải phương trình với m =
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
(6)d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn 1 2 x1 1 2 x2 1.
Bài tập 23: Cho phương trình
x2 2(m1)x m 0 (1)
a) Giải phương trình với m =
b) CMR phương trình (1) ln có hai nghiêm phân biệt với m
c)Tính A = 13 23
1
x x theo m.
d) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đối Bài tập 24: Cho phương trình
(m 2)x2 2mx m 0 (1)
a) Tìm m để phương trình (1) phương trình bậc hai
b) Giải phương trình m = 2.
c)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm Bài tập 25: Cho phương trình
x2px q 0 (1)
a) Giải phương trình p = 3 3 ; q = 3
b) Tìm p , q để phương trình (1) có hai nghiệm : x1 2,x2 1
c) CMR : (1) có hai nghiệm dương x x1, 2thì phương trình qx2px 1 0 có hai
nghiệm dương x x3,
d) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm 3x va x1 2 ; 12
1
x 2
1
x ;
1
2
x x
2
1
x x
Bài tập 26: Cho phương trình
x2 (2m1)x m 0 (1)
a) CMR phương trình (1) ln có hai nghiêm phân biệt với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn : x1 x2 1;
c)Tìm m để x12x22 6x x1 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 27: Cho phương trình
x2 2(m1)x2m10 0 (1)
(7)b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 Tìm GTNN biểu thức
2
1 10
A x x x x
Bài tập 28: Cho phương trình
(m1)x2 (2m 3)x m 2 (1)
a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu
b) Tìm m để (1) có hai nghiệm x x1, 2 Hãy tính nghiệm theo nghiệm kia.
Bài tập 29: Cho phương trình
x2 2(m 2)x(m22m 3) 0 (1)
Tìm m để (1) có hai nghiệm x x1, 2 phân biệt thoả mãn
1
1
1
5
x x x x
Bài tập 30: Cho phương trình
x2mx n 0 có 3m2= 16n
CMR hai nghiệm phương trình , có nghiệm gấp ba lần nghiệm
Bài tập 31 : Gọi x x1, 2 nghiệm phương trình 2x2 3x 0 Khơng giải phương
trình , tính : a)
1
x x ; b)
1
(x x )
; c) x13x32 d) x1 x2
Bài tập 32 : Lập phương trình bậc hai có nghiệm :
a) ; b) - +
Bài tập 33 : CMR tồn phương trình có hệ số hữu tỷ nhận nghiệm :
a) 5
; b)
2 3
; c) 2
Bài tập 33 : Lập phương trình bậc hai có nghiệm :
a) Bình phương nghiệm phương trình x2 2x1 0 ; b) Nghịch đảo nghiệm phương trình x2mx 0
(8)Bài tập 35: Cho phương trình
x2 2mx(m1)30 (1)
a) Giải phương trình (1) m = -1
b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt , nghiệm bình phuơng nghiệm cịn lại
Bài tập 36: Cho phương trình
2x2 5x 1 (1)
Tính x x1 x2 x1 ( Với x x1, 2là hai nghiệm phương trình)
Bài tập 37: Cho phương trình
(2m1)x2 2mx 1 (1)
a) Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( -1; )
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn
2
1
x x
Bài tập 38 : Cho phương trình x2 - (2k - 1)x +2k -2 = (k tham số) Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm
Bài tập 39:
Tìm giá rị a để ptrình :
(a2− a− 3)x2+ (a+2) x − a2=0
Nhận x=2 nghiệm Tìm nghiệm cịn lại ptrình ?
Bài tập 40 Xác định giá trị m phương trình bậc hai : x2 8x m 0
để + nghiệm phương trình Với m vừa tìm , phương trình cho cịn nghiệm Tìm nghiệm cịn lại ấy?
Bài tập 41: Cho phương trình : x2 2(m1)x m 0 (1) , (m tham số) 1) Giải phương trình (1) với m = -5
(9)3) Tìm m để x1 x2 đạt giá trị nhỏ (x x1, 2 hai nghiệm phương trình (1) nói
trong phần 2/ )
Bài tập 42:
Cho phương trình
Giải phương trình b= -3 c=2
Tìm b,c để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt tích chúng
Bài tập 43:
Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + = với m tham số x ẩn số
a) Giải phương trình với m =
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2
c) Với điều kiện câu b tìm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ
Bài tập 44:
Cho phương trình ( ẩn x) : x4 - 2mx2 + m2– =
1) Giải phương trình với m = √3
2) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt
Bài tập 45: Cho phương trình ( ẩn x) : x2 - 2mx + m2– 12 = (1)
1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm nghiệm ptrình có giá trị tuyệt đối
2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm nghiệm số đo cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền
Bài tập 46: Lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là:
x1=
4
3+√5 x2= 3 −√5
1) Tính : P = (3+4
√5)
4
+( 3−√5)
4
Bài tập 47: Tìm m để phương trình : x2−2 x −|x − 1|
(10)Bài tập 48: Cho hai phương trình sau :
2
2
(2 3)
2
x m x
x x m
( x ẩn , m tham số )
Tìm m để hai phương trình cho có nghiệm chung
Bài tập 49:
Cho phương trình : x2 2(m1)x m 21 0 với x ẩn , m tham số cho trước
1) Giải phương trình cho kho m =
2) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm dương x x1, 2 phân biệt thoả
mãn điều kiện x12 x22 4
Bài tập 50: Cho phương trình :
2
2
m x m x m
( x ẩn ; m tham số )
1) Giải phương trình m = -
2) CMR phương trình cho có nghiệm với m
3) Tìm tất giá trị m cho phương trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp ba lần nghiệm
Bài tập 52: Cho phương trình x2 + x – =
a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm trái dấu
b) Gọi x1 nghiệm âm phương trình Hãy tính giá trị biểu thức :
1 10 13
P x x x
Bài tập 53: Cho phương trình với ẩn số thực x: x2 - 2(m – ) x + m - =0 (1)
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép Tính nghiệm kép
Bài tập 54:
Cho phương trình : x2 + 2(m-1) x +2m - =0 (1)
a) CMR phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt với m
b) Tìm m để nghiệm x x1, 2 (1) thoả mãn :
2
1 14
(11)Bài tập 55:
a) Cho a = 11 , b 11 2 CMR a, ,b hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số nguyên
b) Cho c3 10, d36 10 CMR c d2, 2là hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số nguyên
Bài tập 56: Cho phương trình bậc hai :
x22(m1)x m 2m 1 (x ẩn, m tham số)
1) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt âm
2) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có nghiệm x x1, 2 thoả mãn :
1
x x
3) Tìm tất giá trị tham số m để tập giá trị hàm số y =
2 2( 1) 1
x m x m m chứa đoạn 2;3.
Bài tập 57:Cho phương trình : x2 - 2(m-1) x +2m - =0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu
b) Tìm m để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm Bài tập 58: Cho phương trình : x26x6a a 0
1) Với giá trị a phương trình có nghiệm
2) Giả sử x x1, 2 nghiệm phương trình Hãy tìm giá trị a cho
2
x x x
Bài tập 59: Cho phương trình :
mx2 -5x – ( m + 5) = (1) m tham số, x ẩn
a) Giải phương trình m =
b) Chứng tỏ phương trình (1) ln có nghiệm với m
c) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 , tính theo
m giá trị biểu thức B = 10x x1 2 3(x12x22) Tìm m để B = 0.
Bài tập 60:
a) Cho phương trình :x2 2mx m 21 0 ( m tham số ,x ẩn số) Tìm tất giá trị nguyên m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn điều kiện
1
2000x x 2007
(12)
2
2
2
2
2 0;
2 0;
2 0;
2 0;
ax bx c bx cx d cx dx a dx ax b
Bài tập 61:
1) Cho a, b , c, số dương thoả mãn đẳng thức a2b2 ab c CMR phương trình x2 2x(a c b c )( ) 0 có hai nghiệm phân biệt
2) Cho phương trình x2 x p 0 có hai nghiệm dương x x1, 2 Xác định giá trị p
khi x14x24 x15 x25 đạt giá trị lớn nhất.
Bài tập 62: Cho phương trình : (m + ) x2– ( 2m + ) x +2 = , với m tham số a) Giải phương trình với m =
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cho nghiệm gấp lần nghiệm
Bài tập 63: Cho phương trình : x2 3y22xy 2x10y 4 (1)
1) Tìm nghiệm ( x ; y ) phương trình ( ) thoả mãn x2y2 10 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình (1)
Bài tập 64: Giả sử hai phương trình bậc hai ẩn x :
a x1 2b x c1 0 a x2 2b x c2 0
Có nghiệm chung CMR :
2
1 2 1 2 1 2
a c a c a b a b b c b c
Bài tập 65: Cho phương trình bậc hai ẩn x :
x2 2(m1)x2m2 3m 1
a) Chứng minh phương trình có nghiệm 0m1
b) Gọi x x1, 2 nghiệm phương trình , chứng minh : 2
9
x x x x
Bài tập 66: Cho phương trình bậc hai ẩn x :
2x22mx m 0
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm
b) Gọi x x1, 2 nghiệm phương trình , tìm giá trị lớn biểu thức :
1 2
2
(13)Bài tập 67: Cho phương trình bậc hai ẩn x :
(m1)x2 2(m1)x m 0 với m 1 (1) a) CMR (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m
b) Gọi x x1, 2 nghiệm phương trình (1) , tìm m để x x 1 0 x12x2
Bài tập 68: Cho a , b , c đọ dài cạnh tam giác CMR phương trình
x2(a b c x ab bc ac ) 0 vô nghiệm Bài tập 69: Cho phương trình bậc hai ẩn x :
2
2
0(1); 0(2)
ax bx c cx dx a
Biết (1) có nghiệm m n, (2) có nghiệm p q CMR :
2 2 4
m n p q .
Bài tập 70: Cho phương trình bậc hai ẩn x :
x2bx c 0 có nghiệm x x1, 2; phương trình x2 b x bc2 0 có nghiệm 3,
x x
Biết x3 x1 x4 x2 1 Xác định b, c.
Bài tập 71 : Giải phương trình sau a) 3x4
- 5x2
+2 = b) x6 -7x2 +6 =
c) (x2 +x +2)2 -12 (x2 +x +2) +35 = d) (x2 + 3x +2)(x2+7x +12)=24
e) 3x2+ 3x = √x2
+x +1
f) (x + 1x ) - ( √x+
√x¿ +6 =0
g) √1− x2=x − 1 h) √4 x −20= x −20 i)
¿
x2
3+ 48
x2=10¿ x
3−
x¿
Bài tập 72 giải phương trình sau a) x2
- √5 x - =0 b) - √5 x2
(14)c) ( - √¿ ¿x2
−(√3+1)+√3=0 d)5x4 - 7x2 +2 = e) (x2
+2x +1)2
-12 (x2
+2x +1) +35 = f) (x2
-4x +3)(x2
-12x +35)=-16 g) 2x2+ 2x = √x2+x +1
Bài tập 73.Cho phương trình bậc hai 4x2-5x+1=0 (*) có hai nghiệm x ❑1 , x ❑2
1/ khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức sau:
A= x12
+
x22 ;
B=¿ 4 − x1
x12
+4 − x2
x22 ;
C=x15+x25 ; D=x17+x27
2/ lập phương trình bậc hai có nghiệm bằng:
a) u = 2x1- 3, v = 2x2-3
b) u = x
1−1 , v =
1
x2−1
Bài tập 74 Cho hai phương trình : x2- mx +3 = x2- x +m+2= a) Tìm m để phương trình có nghiệm chung
b) Tìm m để hai phương trình tương đương Bài tập 75 Cho phương trình (a-3)x2- 2(a-1)x +a-5 =
a) tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2
b) Tìm a cho x1
1 +
1
x2 <3
c) Tìm hệ thức độc lập x1, x2
Bài tập 76 Cho phương trình bậc hai: x2 +(m+2)x +m= a) Giải phương trình với m =- √2
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2
c) Tìm giá trị nhỏ C=x12+x22
Bài tập 77:
Cho phương trình mx2 – 2( m + 1) x + (m- 4) = (1)
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
b) Tìm m để PT(1) có hai nghiệm trái dấu Khi hai nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn ?
c) Xác định m để nghiệm x1 ; x2 PT (1) có hai nghiệm thoả mãn x1 + 4x2 =
3
(15)Bài tập 78: Cho phương trình mx2 – 2( m -2) x + (m – 3) = Tìm giá trị m để nghiệm x1 ;x2 PT thoả mãn điều kiện x1
2
+ x2
=
Bài tập 79: Xác định giá trị m để PT sau có hai nghiệm phân biệt trái đấu (m – 1)x2 – 2x + =
Bài tập 80 Cho PT : x2 – 2(m-2) x + ( m2 + m – 3) =
Tìm GT m để PT có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn :
1
1
1
5
x x x x
Bài tập 81 Cho PT : x2 – (m+2) x + ( 2m – 1) = có nghiệm x1; x2 Lập hệ thức liên hệ
giữa x1; x2 độc lập với m
Bài tập 82Cho PT x2 – 2(a – 1) x + 2a – = (1) a) Chứng minh (1) có nghiệm với a
b) Với giá trị a (1) có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x1 < < x2
c) Với GT a (1) có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x12 + x22 =
Bài tập 83: Cho PT : x2 – 10x – m2 = (1)
mx2 + 10x – = (2) ( m khác không )
1) Chứng minh nghiệm PT (1) nghịch đảo nghiệm PT hai
2) Với GT m PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều kiện 6x1 + x2 =
5
Bài tập 84: Cho Phương trình x2 – 2(m+1) x – 3m2 – 2m – = (1) 1) C/mr với m PT ln có hai nghiệm trái dấu 2) Tìm GT m để PT (1) có nghiệm x = -1
3) Tìm GT m để PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 + 3x2 =
4) Tìm GT m để PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x12 + x22 = m2 – 2m +
Bài tập 85: Cho PT : x2 – (a- 1) x + a =
a) Tìm GT a cho tổng lập phương nghiệm b) Với GT a tổng bình phương nghiệm có GTNN
Bài 14: Cho PT x2 – 5x + = (1) Không giải PT lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 ; y2
(16)Bài tập 87 Cho Phương trình x2 – (m – 1) x – m2 +m – = a) Giải PT m =
b) C/mr phgương trình cho có hai nghiệm trái dấu với GT m c) Gọi hai nghiệm cảu PT cho x1 ; x2 Tìm m để hai nghiệm thoả mãn
3
1
2
x x
x x
đạt GTLN
Bài tập 88: Cho Phương trình : x2 – mx – m – = (*)
a) C/mr PT (*) có nghiệm x1 ; x2 với GT m ; tính nghiệm kép ( có )
của PT GT m tương ướng b) Đặt A = x12 + x22 – 6x1.x2
1) Chứng minh A = m2 -8m + 2) Tìm m cho A=
3) Tìm GTNN a GT m tương ứng Bài tập 89: Cho phương trình x2 – 2(a- 1) x + 2a – = (1)
a) C/mr PT(1) có nghiệm với a
b) Với giá trị a (1) có nghiệm x1 ,x2 thoả mãn x1 < < x2
c) Với giá trị a phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn
x12 + x22 =6
Bài tập 90: Cho phương trình : x2 – 2(m+1)x + m – = ( *) a) Chứng minh (*) có hai nghiệm với m
b) Tìm giá trị m để PT (*) có hai nghiệm trái dáu c) Giả sử x1 ; x2 nghiệm PT (*)
Chứn minh : M = (1 – x1) x2 + (1 – x2)x1
Bài tập 91: Cho phương trình : x2 – (1- 2n) x + n – = a) Giải PT m =
b) Chứng minh PT có nghiệm với giá trị n c) Gọi x1; x2 hai nghiệm cảu PT cho
Chứng minh biểu thức : x1(1 + x2) + x2(1 +x1)
Bài tập 92: Các nghiệm phương trình x2 + ax + b + = (b khác -1) số nguyên Chứng minh a2 + b2 hợp số
(17)Bài tập 94: Cho phương trình ax2 + bx + c = ( a.c 0) cx2
+ dx + a = có nghiệm x1; x2 y1 ; y2 tương ướng C/m x12 + x22 + y12 + y22 4
Bài tập 95: Cho phương trình x2+ bx +c =0 (1) x2 +cx +b = (2)
Trong 1b+1
c=
1
Bài tập 96: Cho p,q hai số dương Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình
px2
+ x +q = x3 ; x4 nghiệm phương trình qx2 + x + p =
C/m : x x1 x x3 2
Bài tập 97: Cho a,b,c ba số thực Chứng minh ba phương trình sau có nghiệm :
x2ax b 1 0; x2bx c 1 0; x2cx a 1 0
Bài tập 98: Cho phương trình bậc hai :x2 + (m+2) x + 2m = (1) a) C/m phương trình ln ln có nnghiệm
b) Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để 2(x12 + x22 ) = 5x1x2
Bài tập 99: Cho phương trình x2 + a1x + b1 = (1) ; x2 + a2x + b2 = (2)
Có hệ số thoả mãn a a1 22b1b2.Cmr hai phương trình
trên có nghiệm
Bài tập 100: Chứng minh phương trình :
2 2 2 0
a x b a c x b
Vô nghiệm
Nếu a + b > c a b c
Bài tập 101: Cho hai phương trình :
x2 + mx + = (1) x2 + x + m = (2)
a) Tìm m để hai phương trình có nghiệm chung b) Tìm m để hai phương trình tương đương
Bài tập 102: Cho phương trình: x2 – 2( a + b +c) x + 3( ab + bc+ ca) = (1) a) C/mr phương trình (1) ln có nghiệm
(18)Bài tập 103: Chứng minh phương trình :x2 + ax + b = x2 + cx + d = có nghiệm chung : (b – d)2 + (a- c)(ad – bc) =
Bài tập 104: Cho phương trình ax2
+ bx + c = C/mr b > a + c phương trình ln có nghiệm phân biệt
Bài tập 105: G/s x1 , x2 hai nghiệm hai phương trình x2 + ax + bc = x2 , x3 hai
nghiệm phương trình x2 + bx + ac = ( với bc khác ac ) Chứng minh x1, x3 nghiệm
của phương trình x2 + cx + ab =
Bài tập 106: Cho phương trình x2 + px + q = (1) Tìm p,q nghiệm phương trình (1) biết thêm vào nghiệm chúng chở thành nghiệm phương trình : x2 – p2x + pq =
Bài tập 107: Chứng minh phương trình : (x- a) (x- b) + (x-c) (x- b) + (x-c) (x- a) = 0 Ln có nghiệm với a,b,c
Bài tập 108: Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình : 2x2 + 2(m +1) x + m2 +4m + =
Tìm GTLN biểu thức A = x x1 2 2x1 2x2
Bài tập 109: Cho a 0 G/s x1 ; x2 nghiệm phương trình
2
2
1
x ax a
Chứng minh : x41x24 2
Bài tập 110 Cho phương trình
2
2
1
x ax a
Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình
Tìm GTNN E = x14x24
Bài tập 111: Cho phương trình x2 + 2(a + 3) x + 4( a + 3) =
a) Với giá trị a phương trình có nghiệm kép b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm lớn – Bài tập 112.Cho phương trình : x2
– 2mx – m2
– = 0(1)
a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm x1 ; x2 với m
b) Tìm hệ thức liên hệ x1 ; x2 không phụ thuộc vào m
c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn :
1
2
5
x x x x
(19)