c Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của pt không phụ thuộc vào m... Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1; x2 phân biệt b.. Tìm m để phương trình có một nghiệm là -3 b.. Tìm
Trang 1"Cácthầytoáncóthểlàm video vềtoán 10 nângcaophầnlượnggiác dc ko ạ"
họcsinhcógửinguyệnvọngđến page
Bài 1 Cho phương trình 2
x x 2 m 0 a) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
*)Pt có 2 nghiệm phân biệt trái dấu 1 2 m 0
2 m 0
m 2
m 2
Vậy m 2
b) Tìm m để pt có nghiệm t/m 2 2
1 2
x x 5
*)Pt có nghiệm 0
1 4.1 2 m 0
1 8 4m 0
4m 7
7 m
4
2 2
1 2
2
*) x x 5
(x x ) 2x x 5
Áp dụng hệ thức Vi-ét cho (*) ta có:
1 2
1 2
x x 1
x x 2 m
2
(**) 1 2(2 m) 5
1 4 2m 5
2m 8
m 4 (tm)
Vậy m=4
CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 VÀ HỆ THỨC VI-ÉT (TIẾT 1)
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
MÔN TOÁN: LỚP 9
THẦY GIÁO: NGUYỄN CAO CƯỜNG
Trang 2Bài 2 Cho pt 2 2
x 2 m 1 x m 2 0 a) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
b) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt t/m 2 2
x x x x 2 c) Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của pt không phụ thuộc vào m
Giải:
a) Pt có 2 nghiệm phân biệt trái dấu 2 2
1 m 2 0 m 2 2 m 2
b) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt t/m 2 2
x x x x 2
*) Pt có 2 nghiệm phân biệt ' 0
m 1 1 m 2 0
m 1 m 2 0
m 2m 1 m 2 0
2m 3
3
m
2
Ta có x12 x22 2x x1 2 2
2
2
(x x ) 2x x x x 2
x x x x 2 0 (**)
*)Áp dụng hệ thức Vi-ét cho (*)
1 2
2
1 2
x x 2 m 1 2m 2
x x m 2
2
2
(**) 2m 1 m 2 2 0
4m 8m 4 m 2 2 0
3m 8m 4 0
' 4 3.4 4 0
Pt có 2 nghiệm phân biệt
4 4
3
Vậy m 2
3
Trang 3c) Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của pt không phụ thuộc vào m
*) Pt có 2 nghiệm m 3
2
*)Ta có 1 2 2
1 2
x x 2m 2 (1)
x x m 2 (2)
1 2
2
1 2
1 2
x x 2
2
x x 2
2
Vậy hệ thức liên hệ 2 nghiệm của pt không phụ thuộc vào m là
2
1 2
1 2
x x 2
2
Bài 3 Cho pt x2 2(m 1)x 2m 5
a) CMR pt luôn có nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tìm m để pt có 2 nghiệm x ; x1 2 t/m x12 x22 14
Giải:
2
2
2
2
a) ' m 1 2m 5
' m 2m 1 2m 5
' m 4m 6
' m 2m.2 2 2
' m 2 2
Có 2
m 2 0 V m
m 2 2 2 0 V
' 0 V
Pt có 2 nghiệm phân biệt
x x 14 x x 2x x 14 (**)
Áp dụng hệ thức vi-ét cho (*)
1 2
1 2
x x 2(m 1) 2m 4
x x 2m 5
Trang 4 2
2
2
(**) 2m 2 2(2m 5) 14 0
4m 8m 3 4m 10 14 0
4m 12m 0
m 0
m 3
Vậy m=0 hoặc m=3
Bài 4 Cho pt x2 2mx 2m 1 0 (*)
Tìm m để pt có 2 nghiệm thỏa mãn x1 2x2 0
*)Pt có 2 nghiệm phân biệt ' 0
2
2
2
m 1 2m 1 0
m 2m 1 0
m 1 0
m 1 0
m 1
*) Áp dụng hệ thức vi-ét cho (*)
1 2
1 2
x x 2m
x x 2m 1
Mà x1 2x2 0
1 2
1 2
x 2x 0 (1)
x x 2m (2)
x x 2m 1 (3)
Ta có
2
1
2m x
x 2m
2
2
2
2
2m 4m
3 3
8m 9 2m 1
8m 18m 9
8m 18m 9 0
' ( 9) 8.9 81 72 9 0
Trang 5
Pt có 2 nghiệm phân biệt là
9 9 3 m
9 9 12 3 m
Vậy m 3
4
hoặc m 3
2
Bài 5 Cho Pt x 2 2m 1 x 2m 2 0
Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn 3
*) Ta có 1 ( 2m 1) (2m 2) 0
Pt có 2 nghiệm phân biệt là x1 1 ; x2 2m 2
*)Pt có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3 2m 2 1
2m 2 3
3
2
5 2m 5 m
2
Vậy
3
m
2
5
m
2
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a 2x2 + 5x – 1 = 0 b -4x2 + √ x + 1 = 0
c.x2 + 8x + 12 = 0 d -2x2 + 6x + 1 = 0
e 7x2 – 2010 x + 2003 = 0 g 5x2 + 2009x + 2004 = 0
h 3x2 + 18x + 28 = 0
Lời giải
a 2x2 + 5x – 1 = 0 có = 52 – 4.2(-1) = 33, √ √
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = √ x2 = √
b -4x2 + √ x + 1 = 0 có = (√ 2 – 4(-4).1 = 18, √ √ √ √
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = √ √
√ x2 = √ √
√
Trang 6c x2 + 8x + 12 = 0 có = 42 – 1.12 = 4 √ =2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = = - 6; x2 =
d -2x2 + 6x + 1 = 0 có = 32 – (-2).1 = 11 √ = √
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = √
√
x2 = √
√
e 7x2 – 2010 x + 2003 = 0
a+ b+ c = 7 – 2010 + 2003 = 0 phương trình có 2 nghiệm x1 = 1; x2 =
g.a – b + c = 5 – 2009 + 2004 = 0 phương trình có hai nghiệm: x1 = -1;
x2 =
h 3x2 + 18x + 28 = 0 có = 92
– 3.28 = -3 < 0 phương trình vô nghiệm
Ví dụ 2: Cho phương trình 2x2
– 10x + 1 = 0
a Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1; x2 phân biệt
b Không sử dụng công thức nghiệm, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
A = + B =
C = (x1 – 2) (x2 -2) D =
E = + G = | |
Hướng dẫn:
a Sử dụng biểu thức
b Sử dụng định lý Vi ét biến đổi biểu thức theo x1 + x2; x1 x2
Lời giải
a = (-5)2
– 2.1 = 23 > 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2
b Áp dụng định lý Vi ét ta có
x1 + x2 = , x1 x2 =
A = +
B = = ( 2 - 2 = 52 – 2 = 24
C = (x1 -2)(x2 – 2) = - 2( +4 =
D = = ( (
= ( [( 2 - 3 ]
= 5 (52 – 3 ) =
Trang 7E =
+
= ( ( ( ( (
(
= ( = ( ( = ( ( (
=
G = | | = √(
= √ √ ( √ √
Ví dụ 3: Cho phương trình x2
– x – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Tính giá trị của biểu thức
Hướng dẫn: Sử dụng định lý Vi ét
Lời giải
Ta có = = ( 2 - 2 = 12 – 2 (-1) = 3
= ( (
= ( [( 2 - 3 ]
= 1 (12 – 3.(-1) ] = 4
= ( )( ) -
= ( ( ( (-1)2
1 = 11
Chú ý: Ta có thể tính tổng các lũy thừa bậc cao của một phương trình bậc hai thông qua các lũy
thừa bậc nhỏ hơn
Với m = ( )( ) -
= ( )( ) – ( n ( + )
Ví dụ 4: Cho phương trình x2
– 6x + 2m + 1 = 0
a Tìm m để phương trình có một nghiệm là -3
b Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x1 -1)2 + (x2 -1)2
c Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
d Tìm m để phương trình có nghiệm kép
e Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu
f Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn:
( ( = 68
i Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn 2x1 – x2 = 15
j Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn = x2 -4
k Tìm m để phương trình có hai nghiệm x ; x khác 0 thỏa mãn:
Trang 8| |
l Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn < 72
m Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 khác 0 thỏa mãn:
= 8
Lời giải
a Phương trình có một nghiệm là -3 (-3)2
– 6(-3) + 2m + 1 = 0 2m + 29 = 0 m = -
b = 9 – (2m +1) = 8 – 2m Phương trình có hai nghiệm x1; x2
8 – 2m m
Áp dụng định lý Vi ét ta có x1 + x2 = 6, x1.x2 = 2m + 1
A = (x1 -1)2 + (x2 – 1)2 = - 2(x1 + x2) + 2 = 62 – 2(2m +1) – 2.6 + 2 = 24 – 4m
Vì m nên 24 – 4m
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khai m = 4
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 khi m = 4
c Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
> 0 8 – 2m < 0 m < 4
d Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi 8 – 2m = 0
e Phương trình có nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi
{
{ {
f Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0 m <
i.Phương trình có hai nghiệm x1; x2 khi và chỉ khi
Áp dụng định lý Vi ét ta có : { ( (
( ( = + +
( + ( 2 – 2 = 6(2m+1) + 62 – 2(2m+1)
= 8m + 40
( ( = 68 8m + 40 = 68 8m = 28
(
j Ta có hệ { { {
Thay x1 = 7, x2 = -1 vào đẳng thức ta có
Trang 92m + 1 = 7(-1) m = -4 (thỏa mãn đk m )
k Ta có hệ { { {
[
Thay vào (2) ta có x1.x2 = 2m + 1 5 = 2m + 1 m = 2 ( thỏa mãn đk m
Thay vào (2) ta có: x1.x2 = 2m + 1 -16 = 2m + 1
m = - (thỏa mãn đk m )
Vậy m = 2 hoặc m = -
l Ta có | | = |
| | | |
|
Áp dụng định lý Vi ét ta có: { ( (
| | √( √ √(
√ ( = √ √
| | √ | | (m )
| | = √ | |= √ = 2| |
25(8-2m) = 4(4m2 + 4m +1) 200 – 50 m = 16m2
+ 16m +16 16m2 + 66m – 184 = 0 8m2
+ 33m – 92 = 0 [ (
m = ( (
= ( [( 2 - 3 ]
= 6 [62 – 3(2m +1)] = 6(33 – 6m) = 18(11-2m)
< 72 18 (11 -2m) < 72
Kết hợp điều kiện ta có < m
Trang 10n Phương trình có hai nghiệm x1; x2 0 {
{ {
Ta có: ( 2
-
= (
)2 -
= (
)2 -
= (
(
Suy ra = 8
+ 32m + 8 = 34 – 4m 32m2 + 36m – 26 = 0 16m2
+ 18m – 13 = 0
m = hoặc m = (TM)
Ví dụ 5: Cho phương trình x2
+ 2(m +1)x + m2 -1 = 0
a Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương
b Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm
c Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
d Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Hướng dẫn: Sử dụng định lý Vi et
Lời giải
= (m+1)2
– (m2 -1) = 2m + 2, S = 2(m +1), P = m2 -1
a Phương trình có hai nghiệm dương
{
{
( {
{ | |
{*
m > 1
b Phương trình có hai nghiệm âm
{
{
( {
không có m thỏa mãn
c Phương trình có hai nghiệm trái dấu
ac < 0 | | < 1
d Phương trình có hai nghiệm x1; x2 2(m+1) m -1
Áp dụng định lý vi et ta có:
Trang 11{ ( {
(
– 1
= ( + ( ( - ( ) = 0
( - 4 + 4( ) = 0 ( + 4( ) = 0
Ví dụ 6: Tìm m để phương trình x2
– 5x + m + 3 = 0 có hai nghiệm dương x1; x2 thỏa mãn:
a √ + √ = 5 b √ + √ = 3 c √ + √ = √
Hướng dẫn: Sử dụng định lý Vi ét
Lời giải
x2 – 5x + m + 3 = 0, S = 5, P = m + 3, = 52
– 4(m+3) = 13 – 4m Điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương là:
{
{
{ -3 < m
x1 + x2 = 5; x1 x2 = m + 3
a √ + √ =
√ =
√
√ + √
√ √ = 1 m + 3 = 1 m = -2 (Tm)
b Ta có (√ + √ )2 = x1 + x2 + 2 √ = 5 + 2√
√ + √ = √ √ √ + √
√ √ = 3 √
√ = 2 m + 3 = 4 m = 1 (thỏa mãn)
c (√ + √ )2
= x1 +2+ x2 + 2+2 √ √
= x1 + x2 + 4 + 2 √( (
= x1 + x2 + 4 + 2√ ( = 5 + 4 + 2√
= 9 + 2 √
√ + √ = √ √ √ = √
√ = 17 √ = 8 √ = 4
m + 17 = 16 m = -1 (thỏa mãn)
Trang 12Ví dụ 7: Cho phương trình (m+1)x2
– 2 (m-1)x + m + 3 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m
Hướng dẫn : Sử dụng định lý Vi ét
Lời giải
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2 là:
{ {( ( (
{ (
{ {
{ {
Áp dụng định lý Vi ét ta có: x1 + x2 =
(
x1 + x2 =
(
x1 + x2 + 2 x1 x2 = 2 - ( )
Ví dụ 8: Cho phương trình (
a Giải phương trình với m = 2 b Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn x1 (x1 -2) + x2(x2 -2) = 0 Hướng dẫn: Sử dụng định lý Vi ét Lời giải (
( điều kiện x
a Xét m = 2 ta có phương trình
( (
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 3 b (
{(
Trang 13{(
Phương trình (
có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ( có hai nghiệm phân biệt khác 1 khi và chỉ khi thoả mãn hệ điều kiện: {
(
(
{
{
( )
{
(
{
Khi đó áp dụng định lý Vi ét ta có: x1 + x2 = ; x1 x2 =
x1 (x1 -2) + x2(x2 -2) = ( ( (
= ( ( ( ( (
x1 (x1 -2) + x2(x2 -2) = 0
( (
Ví dụ 9: Cho phương trình x2 - √ + 1 = 0 có hai nghiệm x1; x2 ; phương trình x2 - √ + 1 = 0 có hai nghiệm x3; x4 Chứng minh rằng (x1 – x3) (x2 – x3) (x1 + x4)(x2 + x4) = 1 Hướng dẫn : Sử dụng định lý Vi ét Lời giải Áp dụng định lý Vi ét ta có: x1 + x2 = √ ; x1 x2 = 1; x3 + x4 = √ ; x3 x4 = 1 (x1 – x3) (x2 – x3) (x1 + x4)(x2 + x4) = [(x1 – x3) (x2 + x4)][ (x2 – x3) (x1 + x4)] (x1 – x3) (x2 + x4) = x1 x2 – x2 x3 + x1 x4 – x3 x4 = 1 – x2 x3 + x1 x4 -1 = x1 x4 – x2 x3 (x2 – x3) (x1 + x4) = x1 x2 – x1 x3 + x2 x4 – x3 x4 = 1 – x1 x3 + x2 x4 -1 = x2 x4 – x1 x3 (x1 – x3) (x2 + x4)(x2 – x3) (x1 + x4) = (x1 x4 – x2 x3)( x2 x4 – x1 x3) = (x1 x2) (x3 x4) - (x3 x4) + (x1 x2) =
= ( + ) – ( ( x3 + x4 )2 - 2 x3 x4 ]- [(x1 + x2)2 - 2 x1 x2] = [(√ 2
– 2] – [(√ 2
-2] = 2012 – 2011 = 1 Chú ý : Trong biểu thức vế trái ta nhóm các nhân tử để xuất hiện nhiều tích có giá trị bằn 1; khi
đó việc biến đổi trở nên đơn giản
Trang 14Ví dụ 10: Cho phương trình x2
– 8x + 5m + 2 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia
Hướng dẫn: Sử dụng định lý Vi ét
Lời giải
(-4)2
– (5m + 2) = 14 – 5m
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2 là
Theo định lý Vi ét ta có x1 + x2 = 8 (1); x1x2 = 5m + 2 (2)
Giả sử x1 = 3x2 (1) 3x2 + x2 = 8 x2 = 2 x1 = 6
(2) 5m + 2 = 6.2 5m = 10 m = 2 ( thoả mãn đk)
Vậy m = 2
Chú ý bằng cách giải sử dụng định lý Vi ét học sinh có thể chứng minh được kết quả tổng quát sau: Cho các số a, b, c, k (a Điều kiện để phương trình ax2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là kb2 = (k+1)2ac
Ví dụ 11: Cho phương trình x2 – mx + 8 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này bằng bình phương của nghiệm kia
Lời giải
m2
– 32 Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là:
m2 – 32 | | √
Giả sử phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x1 =
Theo định lý Vi ét ta có: { {
{
Giá trị m = 6 thoả mãn điều kiện để phương trình có nghiệm
Vậy m = 6
Ví dụ 12: Cho hai phương trình x2
+ 2 x – m = 0 (1), x2 + 2mx – 1 = 0 (2)
a Tìm điều kiện để hai phương trình có nghiệm
b Tìm m để hai phương trình có nghiệm chung
Lời giải
a Phương trình (1) có 1 = 1 + m (1) có nghiệm 1
Phương trình (2) có 2 = m2 + 1 > 0 suy ra (2) luôn có nghiệm
Kết luận
b Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là x0 Ta có:
x0
2
+ 2x0 – m = 0, x0
2
+ 2mx0 – 1 = 0 (x0
2
+ 2mx0 – 1) –( x0
2
+ 2x0 –m) =0