5 các dạng toán về phương trình bậc hai và hệ thức vi et tiết 2

CÁC DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC VÀ HỆ THỨC VI-ÉT (TIẾT 2) "Cácthầytốncóthểlàm video vềtốn 10 nângcaophầnlượnggiác dc ko ạ" CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN VỀ HỆ THỨC VI-ÉT họcsinhcógửinguyệnvọngđến page MƠN TỐN: LỚP THẦY GIÁO: NGUYỄN CAO CƯỜNG Bài Cho parabol (P) y  x (d) y  2x  m  a) Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt nằm phía trục tung b) Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt nằm phía bên phải Oy Giải: Xét pt hồnh độ giao điểm (P) (d) x  2x  m   x  2x  m   (*) a) có (d) cắt (P) điểm pb nằm phía Oy  Pt (*) có nghiệm phân biệt trái dấu  1.(m  3)   m    m  b) x  2x  m   (*) (d) cắt (P) điểm pb nằm bên phải Oy  pt (*) có nghiệm dương pb (1)  1(m  3)   '     P   m   S    2  1  m   m    3 m m   m  Vậy  m  Bài Cho (P) y  x (d) y  mx  a) CMR (d) cắt (P) điểm phân biệt với m b) Gọi x1 ; x hoành độ giao điểm (d) (P) Tìm m để x12 x  x1.x 2  x1x  Giải: Xét pt hoành độ giao điểm (d) (P)  x  mx   x  mx   (*) Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! a) CMR (d) cắt (P) với m   m2  4.1.(1)  m2  Ta có m2  V m  m2    V m  '  Vm  (*) ln có nghiệm phân biệt V m  (d) cắt (P) điểm pb b) x12 x  x1.x 2  x1x   x1x  x1x   x1x   (**) Áp dụng hệ thức vi-ét cho (*)  x1  x   m   x1x  1 **  (1).(m)  (1)    m 1  m2 Vậy m=2 Bài Cho (P) y  x (d) y  (2m  1)x  2m Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt A(x1; y1 ) ; B  x ; y2  t/m T  y1  y2  x1x nhỏ Giải: Xét pt hoành độ giao điểm (d) (P) x   2m  1 x  2m  x  (2m  1)x  2m  (*) *) (d) cắt (P) điểm pb  (*) có nghiệm phân biệt 0     2m  1   4.1.2m   4m  4m   8m   4m  4m     2m  1   2m    m  2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Ta có y  x  y1  x12 T  y1  y  x1x  x12  x 2  x1x T   x1  x   2x1x  x1x 2 T   x1  x   3x1x 2 Áp dụng hệ thức vi-ét cho (*)  x1  x  2m    x1x  2m T   2m  1  3.2m T  4m  4m   6m T  4m  2m  1 T  (2m)  2.2m   4 1  T   2m    2  1  Ta có  2m    V m 2  1 3    2m     Vm 2 4  T Vm Min T   2m    2m   m  (t / m) Vậy m  Bài Cho (P) y  x (d) y  2(m 1)x   2m Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt có hồnh độ giao điểm độ dài cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền 10 Giải: Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Xét pt hoành độ giao điểm (d) (P) x   m  1 x   2m  x   m  1 x   2m  (*) Ta có  (2m  2)  (2m  3)  (*) có nghiệm x1  x  2m  (d) cắt (P) điểm phân biệt có hồnh độ giao điểm độ dài cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền 10  x1  x x    x   x  x    10  2m   1    2m    x12  x 2  10 m  (1)    m  (2)   x1  x 2  2x1x  10 (**)  Áp dụng hệ thức vi-ét cho (*)   x1  x   m  1  2m     x1x  2m  (**)   2m     2m  3  10  4m  8m   4m   10   4m  12m  m   m  Kết hợp điều kiện (1); (2) có m  Vậy m = BÀI TẬP ÁP DỤNG: Ví dụ 1: Giải phương trình sau a 2x2 + 5x – = b -4x2 + √ x + = c.x2 + 8x + 12 = d -2x2 + 6x + = Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! e 7x2 – 2010 x + 2003 = g 5x2 + 2009x + 2004 = h 3x2 + 18x + 28 = Lời giải a 2x2 + 5x – = có = 52 – 4.2(-1) = 33, √ √ √ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = b -4x2 + √ x + = có = (√ – 4(-4).1 = 18, √ √ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = c x2 + 8x + 12 = có d -2x + 6x + = có = – (-2).1 = 11 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = √ x2 = √ x2 = √ √ √ √ =2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = √ √ √ √ = 42 – 1.12 = √ x2 = = - 6; x2 = √ =√ √ √ √ e 7x2 – 2010 x + 2003 = a+ b+ c = – 2010 + 2003 = phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = g.a – b + c = – 2009 + 2004 = phương trình có hai nghiệm: x1 = -1; x2 = h 3x2 + 18x + 28 = có = 92 – 3.28 = -3 < phương trình vơ nghiệm Ví dụ 2: Cho phương trình 2x2 – 10x + = a Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm x1; x2 phân biệt b Khơng sử dụng cơng thức nghiệm, tính giá trị biểu thức sau: A= + B= C = (x1 – 2) (x2 -2) E= + D= G=| | Hướng dẫn: a Sử dụng biểu thức b Sử dụng định lý Vi ét biến đổi biểu thức theo x1 + x2; x1 x2 Lời giải a = (-5)2 – 2.1 = 23 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 b Áp dụng định lý Vi ét ta có x1 + x2 = A= B= , x x2 = + =( C = (x1 -2)(x2 – 2) = -2 - 2( = 52 – = 24 +4 = Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! D= =( =( [( ( -3 ] = (5 – ) = E= + = = ( ( ( ( ( = ( ( ( = ( ( ( ( = G=| | = √( √( =√ √ √ Ví dụ 3: Cho phương trình x2 – x – = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Tính giá trị biểu thức Hướng dẫn: Sử dụng định lý Vi ét Lời giải Ta có = =( =( = 12 – (-1) = -2 ( =( [( -3 = (1 – 3.(-1) ] = =( )( =( ( ] )(-1)2 = 11 ( Chú ý: Ta tính tổng lũy thừa bậc cao phương trình bậc hai thơng qua lũy thừa bậc nhỏ Với m =( =( )( )–( n ( )( + )) Ví dụ 4: Cho phương trình x2 – 6x + 2m + = Tìm m để phương trình có nghiệm -3 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = (x1 -1)2 + (x2 -1)2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tìm m để phương trình có hai nghiệm dấu Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn: ( ( = 68 i Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn 2x1 – x2 = 15 j Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn = x2 -4 k Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 khác thỏa mãn: a b c d e f | | l Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn < 72 m Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 khác thỏa mãn: Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! =8 Lời giải a Phương trình có nghiệm -3 2m + 29 = (-3) – 6(-3) + 2m + = m=- = – (2m +1) = – 2m Phương trình có hai nghiệm x1; x2 – 2m m Áp dụng định lý Vi ét ta có x1 + x2 = 6, x1.x2 = 2m + A = (x1 -1)2 + (x2 – 1)2 = - 2(x1 + x2) + = 62 – 2(2m +1) – 2.6 + = 24 – 4m Vì m nên 24 – 4m Dấu “=” xảy khai m = Vậy A đạt giá trị nhỏ m = c Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi: >0 – 2m < m < d Phương trình có nghiệm kép – 2m = e Phương trình có nghiệm dấu b { { { f Phương trình có hai nghiệm trái dấu P < m< i.Phương trình có hai nghiệm x1; x2 ( Áp dụng định lý Vi ét ta có : { ( ( = 8m + 40 ( ( +( ( ( = –2 = 68 + + = 6(2m+1) + 62 – 2(2m+1) 8m + 40 = 68 8m = 28 ( j Ta có hệ { { Thay x1 = 7, x2 = -1 vào đẳng thức 2m + = 7(-1) m = -4 (thỏa mãn đk m k Ta có hệ { { { ta có ) { [ Thay vào (2) ta có x1.x2 = 2m + Thay vào (2) ta có: x1.x2 = 2m + = 2m + m = ( thỏa mãn đk m -16 = 2m + Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! m=- (thỏa mãn đk m ) Vậy m = m = l Ta có | |=| | | | | | ( Áp dụng định lý Vi ét ta có: { | | ( √ ( √ √( =√ √ | | | | |= | √ (m √ | √( | ) = √ | = 2| 2 25(8-2m) = 4(4m + 4m +1) 200 – 50 m = 16m + 16m +16 2 16m + 66m – 184 = 8m + 33m – 92 = [ ( m =( =( [( ( -3 ] = [62 – 3(2m +1)] = 6(33 – 6m) = 18(11-2m) < 72 18 (11 -2m) < 72 Kết hợp điều kiện ta có < m n Phương trình có hai nghiệm x1; x2 { { { ( Ta có: )2 - =( Suy = =( )2 - ( ( 32m2 + 32m + = 34 – 4m =8 32m2 + 36m – 26 = m = m = - 16m2 + 18m – 13 = (TM) Ví dụ 5: Cho phương trình x2 + 2(m +1)x + m2 -1 = a Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương b Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm c Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! d Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Hướng dẫn: Sử dụng định lý Vi et Lời giải = (m+1)2 – (m2 -1) = 2m + 2, S = 2(m +1), P = m2 -1 a Phương trình có hai nghiệm dương { { { { ( { | | m>1 * b Phương trình có hai nghiệm âm { { { ( khơng có m thỏa mãn c Phương trình có hai nghiệm trái dấu ac < | | suy (2) ln có nghiệm Kết luận b Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x0 Ta có: 12 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! x02 + 2x0 – m = 0, x02 + 2mx0 – = (x02 + 2mx0 – 1) –( x02 + 2x0 –m) =0 2mx0 - 2x0 + m -1 = (m-1) (2x0 + 1) = x0 = Xét m = hai phương trình cho trở thành phương trình x2 + 2x – = hai phương trình cho có hai nghiệm chung -1 + √ √ Xét x0 = - hai phương trình có nghiệm chung x0 = ( { ( Kết luận m = ( ) ( { ) m =1 Ví dụ 13: Tìm điều kiện a, b để hai phương trình sau tương đương x2 + 2ax – b + = (1); x2 + 2bx + a = (2) Lời giải Phương trình (1) có = a2 + b – Phương trình (2) có = b2 – a Hai phương trình tương đương số a, b thoả mãn hai trường hợp sau: Trường hợp 1: hai phương trình vơ nghiệm { { Trường hợp 2: hai phương trình có nghiệm { { Gọi x1;x2 hai nghiệm (1); S1 = x1 + x2 = - 2a; P1 = x1.x2 = -b + Gọi x3; x4 hai nghiệm (2): S2 = x3 + x4 = -2b; P2 = x3x4 = a { Hai phương trình có tập nghiệm khác rỗng { { Kết luận { { { Ví dụ 14: Chứng minh phương trình sau ln có hai nghiệm phân biệt a x2 + (2m +6)x + m + = b x2 – 2m2x + m2 + 4m – = Hướng dẫn: Sử dụng đẳng thức đáng nhớ Lời giải 13 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! a x2 + (2m + 6)x + m +2 = (m +3)2 – (m + 2) = m2 + 6m + – m – = m2 + 5m + m2 + 2m = (m + )2 + > với m Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt b x2 – 2m2 x + m2 + 4m – = 0; = m4 – (m2 + 4m – 5) = m4 – m2 - 4m + = m4 – 2m2 + + m2 – 4m + = (m2 -1)2 + (m-2)2 Ta có (m2 -1)2 (m-2)2 suy = (m2 -1)2 + (m-2)2 ( Dấu “=” xảy { { { hệ vô nghiệm ( Suy > với m Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 15: Cho số a, b, c Chứng minh ba phương trình sau, có phương trình có nghiệm: x2 – 2ax + 2b – = (1) x2 – 2bx + 2c – = (2) x2 – 2cx + 2a – = (3) Hướng dẫn: Sử dụng thức đáng nhớ Lời giải Phương trình x2 – 2ax + 2b – = (1) có = a2 – 2b + Phương trình x2 – 2bx + 2c – = (2) có = b2 – 2c + Phương trình x2 – 2cx + 2a – = (3) có = c2 – 2a + Ta có + + = a2 – 2b + + b2 – 2c + + c2 – 2a + = a2 – 2a + + b2 – 2b + + c2 – 2c + = (a-1)2 + (b-1)2 + (c-1)2 Suy ba số , , có số lớn Vậy ba phương trình cho, có phương trình có nghiệm 14 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! ... = a2 – 2b + Phương trình x2 – 2bx + 2c – = (2) có = b2 – 2c + Phương trình x2 – 2cx + 2a – = (3) có = c2 – 2a + Ta có + + = a2 – 2b + + b2 – 2c + + c2 – 2a + = a2 – 2a + + b2 – 2b + + c2 – 2c... 5) = m4 – m2 - 4m + = m4 – 2m2 + + m2 – 4m + = (m2 -1 )2 + (m -2 ) 2 Ta có (m2 -1 )2 (m -2 ) 2 suy = (m2 -1 )2 + (m -2 ) 2 ( Dấu “=” xảy { { { hệ vô nghiệm ( Suy > với m Vậy phương trình ln có hai nghiệm... -3 2m + 29 = (-3 ) – 6 (-3 ) + 2m + = m =- = – (2m +1) = – 2m Phương trình có hai nghiệm x1; x2 – 2m m Áp dụng định lý Vi ét ta có x1 + x2 = 6, x1.x2 = 2m + A = (x1 -1 )2 + (x2 – 1 )2 = - 2( x1 + x2)