Tổng hợp và mở rộng các dạng toán về phương trình bậc hai và định lý Viet

ÔN THI HỌC SINH GIỎI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 VÀ ĐỊNH LÝ VIET KIẾN THỨC CƠ BẢN. Phương trình bậc hai có dạng ax2 + bx + c =0 (a 0) với x là ẩn và a, b, c là các hệ số của phương trình. Ta có: Nếu 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt Định lý Viet: Nếu ax2 + bx + c =0 (a 0) có hai nghiệm phân biệt thì: BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài toán liên quan tới nghiệm phương trình bậc 2 và hệ thức Viet. Bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Phương trình có nghiệm khi (hoặc ) Phương trình có nghiệm phân biệt khi (hoặc ) Cho phương trình : (với m là tham số) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Giải Ta có: Phương trình có nghiệm khi 0: Vậy phương trình có nghiệm khi m 2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi >0: Tương tự như câu a thì ta được Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Phương trình có nghiệm kép khi =0: Tương tự như trên thì ta thu được Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Cho phương trình (với m là tham số). Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Giải Ta có: TH1: phương trình trở thành: (1) Vậy m=0 thì phương trình có nghiệm là x=2. TH2: Xét Phương trình trên có nghiệm khi 0 (2) Kết hợp (1) và (2) ta được: Vậy với thì phương trình trên có nghiệm. Cho phương trình: (với m là tham số) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt. Tìm m để phương trình trên nhận x=9 là nghiệm. Giải Ta có: Ta có luôn luôn lớn hơn 0 vì m2¬ là một số luôn dương. Suy ra m2 + 64 là một số luôn dương. Vậy phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt (đpcm). Theo yêu cầu đề bài thay x=-9 vào phương trình ta được: Vậy với m=6 thì phương trình nhận x=-9 là nghiệm . Tính toán các biểu thức liên quan tới nghiệm của phương trình bậc hai. Khi gặp dạng toán này cần biến đổi các biểu thức đã cho về dạng tổng và tích của hai nghiệm và sau đó tìm hướng để tiếp tục biến đổi. Chú ý: Cho phương trình: Giải phương trình trên Tính giá trị các biểu thức sau: Giải Bạn đọc tự giải. Xét phương trình: Ta có: a=1; b=-5;c=1 Áp dụng định lý Viet ta được: Vậy: Cho phương trình: Giải phương trình khi Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa mãn hệ thức Giải Với thay vào phương trình (1) ta được: Ta có: Dễ thấy là biểu thức luôn lơn hơn 0 . Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Theo định lý Viet ta có: Mặt khác ta có: Thay (1), (2) vào (3) ta được: Khi m=0 và m=3/2 thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán. Biết phương trình: (với m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Chứng minh rằng: tồn tại không phụ thuộc vào tham số m. Giải Ta có: Theo định lý Viet ta được: Do đó: (khôg phụ thuộc m) Vậy M tồn tại không phụ thuộc vào tham số m. Bài toán thiết lập hệ thức giữa hai nhiệm không phụ thuộc vào tham số m. Tìm điều kiện để tồn tại hai nghiệm . Sử dụng định lý Viet để tính theo m Từ một trong hai đẳng thức của hệ thức Viet tính m theo . Cho phương trình: (với m là tham số) hãy tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sau đó thiết lập biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm sao cho biểu thức ấy không phụ thuộc vào tham số m. Giải Ta có: Để phương trình có hai nghiệm khi Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Khi đó theo định lý Viet ta có: Từ (1) ta có: Từ (1’) thay vào (2) ta được: Vậy là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm mà nó không phụ thuộc vào tham số m. Tìm điệu kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn một tính chất cho trước. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Sử dụng định lý Viet, rồi ép vào tính chất mà đề bài quan tâm để xá định tham số m. Sau khi tìm được m cần kiểm tra lại xem nó có thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghiệm hay không. Cho phương trình sau: (với m là tham số). Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm phân biệt sao cho hai nghiệm đó thỏa mãn hệ thức sau: Giải Ta có: Hiển nhiên vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo định lý Viet ta có: Xét hệ thức: ta biến nó đổi như sau: Ta thấy phương trình là vô nghiệm vậy nên không thể tồn tại m để . Xét phương trình : (với m là tham số) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt . Tim m để là số nguyên. Giải Ta có: Vậy với mọi giá trị của m thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt. Theo định lý Viet: Ta có: Để thì hay Mà thì hiển nhiên Ư(25) Ta có: Ư(25) Xét bảng giá trị sau: m-3-25-5-11525 m-22-224828 Vậy với thì là số nguyên. Cho phương trình: (với m là tham số) Chứng minh răng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt . Tìm giá trị của m sao cho nhận giá trị nhỏ nhất. Giải Ta có: Hiển nhiên là biểu thức luôn lớn hơn 0. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. Theo định lý Viet: Nên: Vì: với mọi m Dấu “=” xảy ra khi Vậy với thì T đạt giá trị nhỏ nhất: Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai. Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt . Định lý Viet: và trái dấu thì P < 0 hay c/a < 0 và cùng dấu thì P > 0 hay c/a > 0 và cùng dương thì P > 0 và S > 0 và cùng âmthì P > 0 và S < 0 Cho phương trinh sau đây: (với m là tham số) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó luôn trái dấu nhau. Giải Ta có: Hiển nhiên là một số không âm. Do đó phương trình luôn có hai nghiêm phân biệt. Theo định lý Viet ta có: ( Với mọi m). Vậy hai nghiệm của phương trình luôn trái dấu nhau. Cho phương trình: (với m là tham số) Tim m để phương trình có hai nghiệm phân biệt luôn dương, khi đó hãy tính: theo m. Tìm m để hai nghiệm đã cho lớn hơn hoặc bằng 1. Giải * Ta có: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì >0 hay Vậy với thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. (1) Theo định lý Viet ta có: Muốn có hai nghiệm cùng thì: (2) Kết hợp (1), (2) ta có thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt cùng dương. * Tính Xét: với . Vậy với thì phương trình có hai nghiệm mà hai nghiệm đó luôn lớn hơn hoặc bằng 1. Một số bài toán về phương trình bậc hai liên quan tới định lý Viet đảo. Giả sử ta có thì khi đó là nghiệm của phương trình . Ý nghĩa : Thiết lập một phương trình bậc 2 khi biết tổng và tích của hai nghiệm. Lập phương trình bậc 2 nhận và làm nghiệm. Giải Ta có: Theo định lý Viet đảo thì phương trình bậc 2 nhận hai nghiệm và làm nghiệm là: Xét phương trình: Chưng minh rang phương trình có hai nghiệm , từ đó lập một phương trình bậc hai mới nhận và làm nghiệm. Tính giá trị của biểu thức Giải Ta có: Phương trình tồn tại hai nghiệm phân biệt Theo định lý Viet ta có: Do đó: Vậy phương trình bậc hai nhận là nghiệm là: Ta có: Xét phương trình: Theo định lý Viet Vậy Phương trình quy về phương trình bậc hai. Phương trình trùng phương. Là phương trình có dạng sau: Với việc đặt , ta được phương trình bậc 2 mới với ẩn là t như sau từ đây bằng phương pháp giải phương trình bậc hai ta có thể tìm t và suy ra x dễ dàng. Giải phương trình sau: (1) Giải Đặt , từ (1) ta được phương trình theo t như sau: Ta có: Vì phương trình có 2 nghiệm phân biệt như sau: (loại); Mà , với . Vậy phương trình trên có nghiệm là . Phương trình có dạng: với (1) Để giải phương trình dạng này ta tiến hành biến đổi như sau: (1) Sau đó ta đặt với cạch đặt trên ta sẽ đưa được phương trình về dạng đơn giản và tiến hành giải như bình thường. Giải phương trình sau: Giải Đặt Ta được: Với t=0 Với t=10 Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt là: ; Phương trình bậc 4 hồi quy 〖ax〗^4+〖bx〗^3+〖cx〗^2+dx+e=0 với Để giải phương trình bậc 4 hồi quy ta đi xét x=0 có phải là nghiệm của phương trình hay không. Nếu x=0 không phải là nghiệm của phương trình ta tiến hành chia 2 vế của phương trình cho như sau: Đặt ( Ta sẽ tính được theo t ) Giải phương trình sau đây: Giải Xét x=0 thay vào phương trình trên ta được “1=0” là vô lý. Vậy x=0 không phải là một nghiệm của phương trình. Nên ta biến đổi như sau: Đặt khi đó Khi đó phương trình (1) trở thành: Vì tổng các hệ số của phương trình bằng 0 nên đễ thấy hoặc Với (phương trình này vô nghiệm) Với Phương trình (2) có và có hai nghiệm phân biệt là: Phương trình đã cho có nghiệm là . Phương trình dạng: Để giải phương trình dạng trên ta cũng tiến hành xét x=0 có phải là nghiệm của phương trình hay không. Nếu x=0 không phải là nghiệm của phương trình ta chia cả tử và mẩu của phương trình cho x như sau: Đặt và tiếp tục biến đổi để đưa phương trình về dạng quen thuộc để giải. Giải phương trình sau đây: Giải Xét với x=0 ta có (vô lý) Chia cả tử và mẩu của phương trình cho x ta được: Đặt phương trình (1) trở thành: Với Với Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: ÔN THI HỌC SINH GIỎI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 VÀ ĐỊNH LÝ VIET KIẾN THỨC CƠ BẢN. Phương trình bậc hai có dạng ax2 + bx + c =0 (a 0) với x là ẩn và a, b, c là các hệ số của phương trình. Ta có: Nếu 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt Định lý Viet: Nếu ax2 + bx + c =0 (a 0) có hai nghiệm phân biệt thì: BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài toán liên quan tới nghiệm phương trình bậc 2 và hệ thức Viet. Bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Phương trình có nghiệm khi (hoặc ) Phương trình có nghiệm phân biệt khi (hoặc ) Cho phương trình : (với m là tham số) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Giải Ta có: Phương trình có nghiệm khi 0: Vậy phương trình có nghiệm khi m 2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi >0: Tương tự như câu a thì ta được Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Phương trình có nghiệm kép khi =0: Tương tự như trên thì ta thu được Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Cho phương trình (với m là tham số). Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Giải Ta có: TH1: phương trình trở thành: (1) Vậy m=0 thì phương trình có nghiệm là x=2. TH2: Xét Phương trình trên có nghiệm khi 0 (2) Kết hợp (1) và (2) ta được: Vậy với thì phương trình trên có nghiệm. Cho phương trình: (với m là tham số) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt. Tìm m để phương trình trên nhận x=9 là nghiệm. Giải Ta có: Ta có luôn luôn lớn hơn 0 vì m2¬ là một số luôn dương. Suy ra m2 + 64 là một số luôn dương. Vậy phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt (đpcm). Theo yêu cầu đề bài thay x=-9 vào phương trình ta được: Vậy với m=6 thì phương trình nhận x=-9 là nghiệm . Tính toán các biểu thức liên quan tới nghiệm của phương trình bậc hai. Khi gặp dạng toán này cần biến đổi các biểu thức đã cho về dạng tổng và tích của hai nghiệm và sau đó tìm hướng để tiếp tục biến đổi. Chú ý: Cho phương trình: Giải phương trình trên Tính giá trị các biểu thức sau: Giải Bạn đọc tự giải. Xét phương trình: Ta có: a=1; b=-5;c=1 Áp dụng định lý Viet ta được: Vậy: Cho phương trình: Giải phương trình khi Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa mãn hệ thức Giải Với thay vào phương trình (1) ta được: Ta có: Dễ thấy là biểu thức luôn lơn hơn 0 . Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Theo định lý Viet ta có: Mặt khác ta có: Thay (1), (2) vào (3) ta được: Khi m=0 và m=3/2 thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán. Biết phương trình: (với m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Chứng minh rằng: tồn tại không phụ thuộc vào tham số m. Giải Ta có: Theo định lý Viet ta được: Do đó: (khôg phụ thuộc m) Vậy M tồn tại không phụ thuộc vào tham số m. Bài toán thiết lập hệ thức giữa hai nhiệm không phụ thuộc vào tham số m. Tìm điều kiện để tồn tại hai nghiệm . Sử dụng định lý Viet để tính theo m Từ một trong hai đẳng thức của hệ thức Viet tính m theo . Cho phương trình: (với m là tham số) hãy tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sau đó thiết lập biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm sao cho biểu thức ấy không phụ thuộc vào tham số m. Giải Ta có: Để phương trình có hai nghiệm khi Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Khi đó theo định lý Viet ta có: Từ (1) ta có: Từ (1’) thay vào (2) ta được: Vậy là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm mà nó không phụ thuộc vào tham số m. Tìm điệu kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn một tính chất cho trước. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Sử dụng định lý Viet, rồi ép vào tính chất mà đề bài quan tâm để xá định tham số m. Sau khi tìm được m cần kiểm tra lại xem nó có thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghiệm hay không. Cho phương trình sau: (với m là tham số). Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm phân biệt sao cho hai nghiệm đó thỏa mãn hệ thức sau: Giải Ta có: Hiển nhiên vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo định lý Viet ta có: Xét hệ thức: ta biến nó đổi như sau: Ta thấy phương trình là vô nghiệm vậy nên không thể tồn tại m để . Xét phương trình : (với m là tham số) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt . Tim m để là số nguyên. Giải Ta có: Vậy với mọi giá trị của m thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt. Theo định lý Viet: Ta có: Để thì hay Mà thì hiển nhiên Ư(25) Ta có: Ư(25) Xét bảng giá trị sau: m-3-25-5-11525 m-22-224828 Vậy với thì là số nguyên. Cho phương trình: (với m là tham số) Chứng minh răng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt . Tìm giá trị của m sao cho nhận giá trị nhỏ nhất. Giải Ta có: Hiển nhiên là biểu thức luôn lớn hơn 0. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. Theo định lý Viet: Nên: Vì: với mọi m Dấu “=” xảy ra khi Vậy với thì T đạt giá trị nhỏ nhất: Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai. Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt . Định lý Viet: và trái dấu thì P < 0 hay c/a < 0 và cùng dấu thì P > 0 hay c/a > 0 và cùng dương thì P > 0 và S > 0 và cùng âmthì P > 0 và S < 0 Cho phương trinh sau đây: (với m là tham số) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó luôn trái dấu nhau. Giải Ta có: Hiển nhiên là một số không âm. Do đó phương trình luôn có hai nghiêm phân biệt. Theo định lý Viet ta có: ( Với mọi m). Vậy hai nghiệm của phương trình luôn trái dấu nhau. Cho phương trình: (với m là tham số) Tim m để phương trình có hai nghiệm phân biệt luôn dương, khi đó hãy tính: theo m. Tìm m để hai nghiệm đã cho lớn hơn hoặc bằng 1. Giải * Ta có: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì >0 hay Vậy với thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. (1) Theo định lý Viet ta có: Muốn có hai nghiệm cùng thì: (2) Kết hợp (1), (2) ta có thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt cùng dương. * Tính Xét: với . Vậy với thì phương trình có hai nghiệm mà hai nghiệm đó luôn lớn hơn hoặc bằng 1. Một số bài toán về phương trình bậc hai liên quan tới định lý Viet đảo. Giả sử ta có thì khi đó là nghiệm của phương trình . Ý nghĩa : Thiết lập một phương trình bậc 2 khi biết tổng và tích của hai nghiệm. Lập phương trình bậc 2 nhận và làm nghiệm. Giải Ta có: Theo định lý Viet đảo thì phương trình bậc 2 nhận hai nghiệm và làm nghiệm là: Xét phương trình: Chưng minh rang phương trình có hai nghiệm , từ đó lập một phương trình bậc hai mới nhận và làm nghiệm. Tính giá trị của biểu thức Giải Ta có: Phương trình tồn tại hai nghiệm phân biệt Theo định lý Viet ta có: Do đó: Vậy phương trình bậc hai nhận là nghiệm là: Ta có: Xét phương trình: Theo định lý Viet Vậy Phương trình quy về phương trình bậc hai. Phương trình trùng phương. Là phương trình có dạng sau: Với việc đặt , ta được phương trình bậc 2 mới với ẩn là t như sau từ đây bằng phương pháp giải phương trình bậc hai ta có thể tìm t và suy ra x dễ dàng. Giải phương trình sau: (1) Giải Đặt , từ (1) ta được phương trình theo t như sau: Ta có: Vì phương trình có 2 nghiệm phân biệt như sau: (loại); Mà , với . Vậy phương trình trên có nghiệm là . Phương trình có dạng: với (1) Để giải phương trình dạng này ta tiến hành biến đổi như sau: (1) Sau đó ta đặt với cạch đặt trên ta sẽ đưa được phương trình về dạng đơn giản và tiến hành giải như bình thường. Giải phương trình sau: Giải Đặt Ta được: Với t=0 Với t=10 Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt là: ; Phương trình bậc 4 hồi quy 〖ax〗^4+〖bx〗^3+〖cx〗^2+dx+e=0 với Để giải phương trình bậc 4 hồi quy ta đi xét x=0 có phải là nghiệm của phương trình hay không. Nếu x=0 không phải là nghiệm của phương trình ta tiến hành chia 2 vế của phương trình cho như sau: Đặt ( Ta sẽ tính được theo t ) Giải phương trình sau đây: Giải Xét x=0 thay vào phương trình trên ta được “1=0” là vô lý. Vậy x=0 không phải là một nghiệm của phương trình. Nên ta biến đổi như sau: Đặt khi đó Khi đó phương trình (1) trở thành: Vì tổng các hệ số của phương trình bằng 0 nên đễ thấy hoặc Với (phương trình này vô nghiệm) Với Phương trình (2) có và có hai nghiệm phân biệt là: Phương trình đã cho có nghiệm là . Phương trình dạng: Để giải phương trình dạng trên ta cũng tiến hành xét x=0 có phải là nghiệm của phương trình hay không. Nếu x=0 không phải là nghiệm của phương trình ta chia cả tử và mẩu của phương trình cho x như sau: Đặt và tiếp tục biến đổi để đưa phương trình về dạng quen thuộc để giải. Giải phương trình sau đây: Giải Xét với x=0 ta có (vô lý) Chia cả tử và mẩu của phương trình cho x ta được: Đặt phương trình (1) trở thành: Với Với Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:

A KIẾN THỨC CƠ BẢN.

1) Phương trình bậc hai có dạng ax 2 + bx + c =0 (a0) với x là ẩn và a, b, c là

các hệ số của phương trình Ta có:  b2  4ac

- Nếu <0 phương trình đã cho vô nghiệm

- Nếu =0 phương trình có nghiệm kép 1,2 2

b x

a



- Nếu >0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1,2 2

b x

 Bài toán liên quan tới nghiệm phương trình bậc 2 và hệ thức Viet.

1) Bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

- Phương trình có nghiệm khi   0 (hoặc  ' 0 )

- Phương trình có nghiệm phân biệt khi   0 (hoặc   ' 0 )

Ví dụ 1 Cho phương trình : x2 2(m1)x m 2 3 0 (với m là tham số) a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

 Vậy phương trình có nghiệm khi m  2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi '

 >0:

b Tương tự như câu a thì ta được m  2

 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m  2

c Phương trình có nghiệm kép khi '

=0:

Tương tự như trên thì ta thu được m 2

 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m 2

Ví dụ 2 Cho phương trình mx2(2m1)x m  2 0 (với m là tham số) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

m

 Vậy với

1 12

m

thì phương trình trên có nghiệm

Ví dụ 3 Cho phương trình: x2(m2)x m 15 0 (với m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Tìm m để phương trình trên nhận x=9 là nghiệm.

 Vậy phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt (đpcm)

b Theo yêu cầu đề bài thay x=-9 vào phương trình ta được:

2

( 9) ( 2)( 9) m 15 0

81 9 18 15 0

8 48 6

m

m m

      

     

 Vậy với m=6 thì phương trình nhận x=-9 là nghiệm

2) Tính toán các biểu thức liên quan tới nghiệm của phương trình bậc hai.

- Khi gặp dạng toán này cần biến đổi các biểu thức đã cho về dạng tổng và tích

của hai nghiệm và sau đó tìm hướng để tiếp tục biến đổi

Ví dụ 4 Cho phương trình: x2  5 1 0 x  

a) Giải phương trình trên

b) Tính giá trị các biểu thức sau: M x12 x22 3x x1 2

1 1

5 3.1.5 5 105

a) Giải phương trình khi m 3

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa mãn hệ thức x12x22  10

 Khi m=0 và m=3/2 thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán.

Ví dụ 6 Biết phương trình: x2(m3)x m 1 0 (với m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2

Chứng minh rằng: M x1 x2 x x1 2 tồn tại không phụ thuộc vào tham số m

 Vậy M tồn tại không phụ thuộc vào tham số m.

3) Bài toán thiết lập hệ thức giữa hai nhiệm không phụ thuộc vào tham số m.

- Tìm điều kiện để tồn tại hai nghiệm x x1 , 2

- Sử dụng định lý Viet để tính x1 x x x2 , 1 2 theo m

- Từ một trong hai đẳng thức của hệ thức Viet tính m theo x x1 , 2.

Ví dụ 7 Cho phương trình: x2 2mx m 2  2 m 0 (với m là tham số) hãy tìm m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt sau đó thiết lập biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm sao cho biểu thức ấy không phụ thuộc vào tham số m.

 Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m  2

Khi đó theo định lý Viet ta có:

không phụ thuộc vào tham số m.

4) Tìm điệu kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn một tính chất cho trước.

-Sau khi tìm được m cần kiểm tra lại xem nó có thỏa mãn điều kiện để phương

trình có nghiệm hay không

Ví dụ 8 Cho phương trình sau: x2 (m4)x3m 1 0(với m là tham số) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm phân biệt x x1 , 2 sao cho hai nghiệm đó thỏa mãn hệ thức sau: x12x22 x x1 2  7

Giải

Ta có: a1; b(m4); c3m1

Ví dụ 9 Xét phương trình : x2  (m2)x m  3 0 (với m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2

m m m

m m

Ví dụ 10.Cho phương trình: x2 (m1)x m 2m 4 0 (với m là tham số)

Chứng minh răng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 Tìm giá trị của m sao cho T x12x22 x x1 2 nhận giá trị nhỏ nhất.

Hiển nhiên  là biểu thức luôn lớn hơn 0

 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 với mọi giá trị của m.Theo định lý Viet:

1 2

2

1 2

1 4

m 

thì T đạt giá trị nhỏ nhất:

183 16

 x1 và x2 trái dấu thì  P < 0 hay c/a < 0

 x1 và x2 cùng dấu thì  P > 0 hay c/a > 0

 x1 và x2 cùng dương thì  P > 0 và S > 0

 x1 và x2 cùng âmthì  P > 0 và S < 0

Ví dụ 11.Cho phương trinh sau đây: x2mx m 2 5 0  (với m là tham số) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó luôn trái dấu nhau.

Theo định lý Viet ta có: P x x 1 2 c a/ m2 5 0  ( Với mọi m)

 Vậy hai nghiệm x x1 , 2 của phương trình luôn trái dấu nhau

Ví dụ 12.Cho phương trình: x2  3x m  2 0  (với m là tham số)

a) Tim m để phương trình có hai nghiệm phân biệt luôn dương, khi đó hãy tính:

2 3 2 2

     với

17 2

x x

a c

y y

a c

- Với việc đặt tx2 (t 0) , ta được phương trình bậc 2 mới với ẩn là t như

sau at2bt c  0 từ đây bằng phương pháp giải phương trình bậc hai ta có

Ví dụ 2 Giải phương trình sau: (x1)(x3)(x5)(x3) 9

 Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt là:x 4; x  10 4

3) Phương trình bậc 4 hồi quy ax

4 +bx3+cx2+dx+e=0

- Để giải phương trình bậc 4 hồi quy ta đi xét x=0 có phải là nghiệm của phương trình hay không.

- Nếu x=0 không phải là nghiệm của phương trình ta tiến hành chia 2 vế của phương trình cho x2 như sau:

2

2

2 2

e x ax

- Để giải phương trình dạng trên ta cũng tiến hành xét x=0 có phải là nghiệm

của phương trình hay không

- Nếu x=0 không phải là nghiệm của phương trình ta chia cả tử và mẩu của

phương trình cho x như sau: