Tổng hợp và mở rộng các dạng toán về phương trình bậc hai và định lý Viet

ÔN THI HỌC SINH GIỎI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 VÀ ĐỊNH LÝ VIET KIẾN THỨC CƠ BẢN. Phương trình bậc hai có dạng ax2 + bx + c =0 (a 0) với x là ẩn và a, b, c là các hệ số của phương trình. Ta có: Nếu 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt Định lý Viet: Nếu ax2 + bx + c =0 (a 0) có hai nghiệm phân biệt thì: BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài toán liên quan tới nghiệm phương trình bậc 2 và hệ thức Viet. Bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Phương trình có nghiệm khi (hoặc ) Phương trình có nghiệm phân biệt khi (hoặc ) Cho phương trình : (với m là tham số) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Giải Ta có: Phương trình có nghiệm khi 0: Vậy phương trình có nghiệm khi m 2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi >0: Tương tự như câu a thì ta được Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Phương trình có nghiệm kép khi =0: Tương tự như trên thì ta thu được Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Cho phương trình (với m là tham số). Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Giải Ta có: TH1: phương trình trở thành: (1) Vậy m=0 thì phương trình có nghiệm là x=2. TH2: Xét Phương trình trên có nghiệm khi 0 (2) Kết hợp (1) và (2) ta được: Vậy với thì phương trình trên có nghiệm. Cho phương trình: (với m là tham số) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt. Tìm m để phương trình trên nhận x=9 là nghiệm. Giải Ta có: Ta có luôn luôn lớn hơn 0 vì m2¬ là một số luôn dương. Suy ra m2 + 64 là một số luôn dương. Vậy phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt (đpcm). Theo yêu cầu đề bài thay x=-9 vào phương trình ta được: Vậy với m=6 thì phương trình nhận x=-9 là nghiệm . Tính toán các biểu thức liên quan tới nghiệm của phương trình bậc hai. Khi gặp dạng toán này cần biến đổi các biểu thức đã cho về dạng tổng và tích của hai nghiệm và sau đó tìm hướng để tiếp tục biến đổi. Chú ý: Cho phương trình: Giải phương trình trên Tính giá trị các biểu thức sau: Giải Bạn đọc tự giải. Xét phương trình: Ta có: a=1; b=-5;c=1 Áp dụng định lý Viet ta được: Vậy: Cho phương trình: Giải phương trình khi Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa mãn hệ thức Giải Với thay vào phương trình (1) ta được: Ta có: Dễ thấy là biểu thức luôn lơn hơn 0 . Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Theo định lý Viet ta có: Mặt khác ta có: Thay (1), (2) vào (3) ta được: Khi m=0 và m=3/2 thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán. Biết phương trình: (với m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Chứng minh rằng: tồn tại không phụ thuộc vào tham số m. Giải Ta có: Theo định lý Viet ta được: Do đó: (khôg phụ thuộc m) Vậy M tồn tại không phụ thuộc vào tham số m. Bài toán thiết lập hệ thức giữa hai nhiệm không phụ thuộc vào tham số m. Tìm điều kiện để tồn tại hai nghiệm . Sử dụng định lý Viet để tính theo m Từ một trong hai đẳng thức của hệ thức Viet tính m theo . Cho phương trình: (với m là tham số) hãy tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sau đó thiết lập biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm sao cho biểu thức ấy không phụ thuộc vào tham số m. Giải Ta có: Để phương trình có hai nghiệm khi Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Khi đó theo định lý Viet ta có: Từ (1) ta có: Từ (1’) thay vào (2) ta được: Vậy là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm mà nó không phụ thuộc vào tham số m. Tìm điệu kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn một tính chất cho trước. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Sử dụng định lý Viet, rồi ép vào tính chất mà đề bài quan tâm để xá định tham số m. Sau khi tìm được m cần kiểm tra lại xem nó có thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghiệm hay không. Cho phương trình sau: (với m là tham số). Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm phân biệt sao cho hai nghiệm đó thỏa mãn hệ thức sau: Giải Ta có: Hiển nhiên vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo định lý Viet ta có: Xét hệ thức: ta biến nó đổi như sau: Ta thấy phương trình là vô nghiệm vậy nên không thể tồn tại m để . Xét phương trình : (với m là tham số) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt . Tim m để là số nguyên. Giải Ta có: Vậy với mọi giá trị của m thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt. Theo định lý Viet: Ta có: Để thì hay Mà thì hiển nhiên Ư(25) Ta có: Ư(25) Xét bảng giá trị sau: m-3-25-5-11525 m-22-224828 Vậy với thì là số nguyên. Cho phương trình: (với m là tham số) Chứng minh răng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt . Tìm giá trị của m sao cho nhận giá trị nhỏ nhất. Giải Ta có: Hiển nhiên là biểu thức luôn lớn hơn 0. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. Theo định lý Viet: Nên: Vì: với mọi m Dấu “=” xảy ra khi Vậy với thì T đạt giá trị nhỏ nhất: Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai. Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt . Định lý Viet: và trái dấu thì P < 0 hay c/a < 0 và cùng dấu thì P > 0 hay c/a > 0 và cùng dương thì P > 0 và S > 0 và cùng âmthì P > 0 và S < 0 Cho phương trinh sau đây: (với m là tham số) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó luôn trái dấu nhau. Giải Ta có: Hiển nhiên là một số không âm. Do đó phương trình luôn có hai nghiêm phân biệt. Theo định lý Viet ta có: ( Với mọi m). Vậy hai nghiệm của phương trình luôn trái dấu nhau. Cho phương trình: (với m là tham số) Tim m để phương trình có hai nghiệm phân biệt luôn dương, khi đó hãy tính: theo m. Tìm m để hai nghiệm đã cho lớn hơn hoặc bằng 1. Giải * Ta có: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì >0 hay Vậy với thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. (1) Theo định lý Viet ta có: Muốn có hai nghiệm cùng thì: (2) Kết hợp (1), (2) ta có thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt cùng dương. * Tính Xét: với . Vậy với thì phương trình có hai nghiệm mà hai nghiệm đó luôn lớn hơn hoặc bằng 1. Một số bài toán về phương trình bậc hai liên quan tới định lý Viet đảo. Giả sử ta có thì khi đó là nghiệm của phương trình . Ý nghĩa : Thiết lập một phương trình bậc 2 khi biết tổng và tích của hai nghiệm. Lập phương trình bậc 2 nhận và làm nghiệm. Giải Ta có: Theo định lý Viet đảo thì phương trình bậc 2 nhận hai nghiệm và làm nghiệm là: Xét phương trình: Chưng minh rang phương trình có hai nghiệm , từ đó lập một phương trình bậc hai mới nhận và làm nghiệm. Tính giá trị của biểu thức Giải Ta có: Phương trình tồn tại hai nghiệm phân biệt Theo định lý Viet ta có: Do đó: Vậy phương trình bậc hai nhận là nghiệm là: Ta có: Xét phương trình: Theo định lý Viet Vậy Phương trình quy về phương trình bậc hai. Phương trình trùng phương. Là phương trình có dạng sau: Với việc đặt , ta được phương trình bậc 2 mới với ẩn là t như sau từ đây bằng phương pháp giải phương trình bậc hai ta có thể tìm t và suy ra x dễ dàng. Giải phương trình sau: (1) Giải Đặt , từ (1) ta được phương trình theo t như sau: Ta có: Vì phương trình có 2 nghiệm phân biệt như sau: (loại); Mà , với . Vậy phương trình trên có nghiệm là . Phương trình có dạng: với (1) Để giải phương trình dạng này ta tiến hành biến đổi như sau: (1) Sau đó ta đặt với cạch đặt trên ta sẽ đưa được phương trình về dạng đơn giản và tiến hành giải như bình thường. Giải phương trình sau: Giải Đặt Ta được: Với t=0 Với t=10 Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt là: ; Phương trình bậc 4 hồi quy 〖ax〗^4+〖bx〗^3+〖cx〗^2+dx+e=0 với Để giải phương trình bậc 4 hồi quy ta đi xét x=0 có phải là nghiệm của phương trình hay không. Nếu x=0 không phải là nghiệm của phương trình ta tiến hành chia 2 vế của phương trình cho như sau: Đặt ( Ta sẽ tính được theo t ) Giải phương trình sau đây: Giải Xét x=0 thay vào phương trình trên ta được “1=0” là vô lý. Vậy x=0 không phải là một nghiệm của phương trình. Nên ta biến đổi như sau: Đặt khi đó Khi đó phương trình (1) trở thành: Vì tổng các hệ số của phương trình bằng 0 nên đễ thấy hoặc Với (phương trình này vô nghiệm) Với Phương trình (2) có và có hai nghiệm phân biệt là: Phương trình đã cho có nghiệm là . Phương trình dạng: Để giải phương trình dạng trên ta cũng tiến hành xét x=0 có phải là nghiệm của phương trình hay không. Nếu x=0 không phải là nghiệm của phương trình ta chia cả tử và mẩu của phương trình cho x như sau: Đặt và tiếp tục biến đổi để đưa phương trình về dạng quen thuộc để giải. Giải phương trình sau đây: Giải Xét với x=0 ta có (vô lý) Chia cả tử và mẩu của phương trình cho x ta được: Đặt phương trình (1) trở thành: Với Với Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: ÔN THI HỌC SINH GIỎI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 VÀ ĐỊNH LÝ VIET KIẾN THỨC CƠ BẢN. Phương trình bậc hai có dạng ax2 + bx + c =0 (a 0) với x là ẩn và a, b, c là các hệ số của phương trình. Ta có: Nếu 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt Định lý Viet: Nếu ax2 + bx + c =0 (a 0) có hai nghiệm phân biệt thì: BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài toán liên quan tới nghiệm phương trình bậc 2 và hệ thức Viet. Bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Phương trình có nghiệm khi (hoặc ) Phương trình có nghiệm phân biệt khi (hoặc ) Cho phương trình : (với m là tham số) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Giải Ta có: Phương trình có nghiệm khi 0: Vậy phương trình có nghiệm khi m 2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi >0: Tương tự như câu a thì ta được Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Phương trình có nghiệm kép khi =0: Tương tự như trên thì ta thu được Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Cho phương trình (với m là tham số). Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Giải Ta có: TH1: phương trình trở thành: (1) Vậy m=0 thì phương trình có nghiệm là x=2. TH2: Xét Phương trình trên có nghiệm khi 0 (2) Kết hợp (1) và (2) ta được: Vậy với thì phương trình trên có nghiệm. Cho phương trình: (với m là tham số) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt. Tìm m để phương trình trên nhận x=9 là nghiệm. Giải Ta có: Ta có luôn luôn lớn hơn 0 vì m2¬ là một số luôn dương. Suy ra m2 + 64 là một số luôn dương. Vậy phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt (đpcm). Theo yêu cầu đề bài thay x=-9 vào phương trình ta được: Vậy với m=6 thì phương trình nhận x=-9 là nghiệm . Tính toán các biểu thức liên quan tới nghiệm của phương trình bậc hai. Khi gặp dạng toán này cần biến đổi các biểu thức đã cho về dạng tổng và tích của hai nghiệm và sau đó tìm hướng để tiếp tục biến đổi. Chú ý: Cho phương trình: Giải phương trình trên Tính giá trị các biểu thức sau: Giải Bạn đọc tự giải. Xét phương trình: Ta có: a=1; b=-5;c=1 Áp dụng định lý Viet ta được: Vậy: Cho phương trình: Giải phương trình khi Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa mãn hệ thức Giải Với thay vào phương trình (1) ta được: Ta có: Dễ thấy là biểu thức luôn lơn hơn 0 . Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Theo định lý Viet ta có: Mặt khác ta có: Thay (1), (2) vào (3) ta được: Khi m=0 và m=3/2 thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán. Biết phương trình: (với m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Chứng minh rằng: tồn tại không phụ thuộc vào tham số m. Giải Ta có: Theo định lý Viet ta được: Do đó: (khôg phụ thuộc m) Vậy M tồn tại không phụ thuộc vào tham số m. Bài toán thiết lập hệ thức giữa hai nhiệm không phụ thuộc vào tham số m. Tìm điều kiện để tồn tại hai nghiệm . Sử dụng định lý Viet để tính theo m Từ một trong hai đẳng thức của hệ thức Viet tính m theo . Cho phương trình: (với m là tham số) hãy tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sau đó thiết lập biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm sao cho biểu thức ấy không phụ thuộc vào tham số m. Giải Ta có: Để phương trình có hai nghiệm khi Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Khi đó theo định lý Viet ta có: Từ (1) ta có: Từ (1’) thay vào (2) ta được: Vậy là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm mà nó không phụ thuộc vào tham số m. Tìm điệu kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn một tính chất cho trước. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Sử dụng định lý Viet, rồi ép vào tính chất mà đề bài quan tâm để xá định tham số m. Sau khi tìm được m cần kiểm tra lại xem nó có thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghiệm hay không. Cho phương trình sau: (với m là tham số). Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm phân biệt sao cho hai nghiệm đó thỏa mãn hệ thức sau: Giải Ta có: Hiển nhiên vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo định lý Viet ta có: Xét hệ thức: ta biến nó đổi như sau: Ta thấy phương trình là vô nghiệm vậy nên không thể tồn tại m để . Xét phương trình : (với m là tham số) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt . Tim m để là số nguyên. Giải Ta có: Vậy với mọi giá trị của m thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt. Theo định lý Viet: Ta có: Để thì hay Mà thì hiển nhiên Ư(25) Ta có: Ư(25) Xét bảng giá trị sau: m-3-25-5-11525 m-22-224828 Vậy với thì là số nguyên. Cho phương trình: (với m là tham số) Chứng minh răng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt . Tìm giá trị của m sao cho nhận giá trị nhỏ nhất. Giải Ta có: Hiển nhiên là biểu thức luôn lớn hơn 0. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. Theo định lý Viet: Nên: Vì: với mọi m Dấu “=” xảy ra khi Vậy với thì T đạt giá trị nhỏ nhất: Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai. Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt . Định lý Viet: và trái dấu thì P < 0 hay c/a < 0 và cùng dấu thì P > 0 hay c/a > 0 và cùng dương thì P > 0 và S > 0 và cùng âmthì P > 0 và S < 0 Cho phương trinh sau đây: (với m là tham số) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó luôn trái dấu nhau. Giải Ta có: Hiển nhiên là một số không âm. Do đó phương trình luôn có hai nghiêm phân biệt. Theo định lý Viet ta có: ( Với mọi m). Vậy hai nghiệm của phương trình luôn trái dấu nhau. Cho phương trình: (với m là tham số) Tim m để phương trình có hai nghiệm phân biệt luôn dương, khi đó hãy tính: theo m. Tìm m để hai nghiệm đã cho lớn hơn hoặc bằng 1. Giải * Ta có: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì >0 hay Vậy với thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. (1) Theo định lý Viet ta có: Muốn có hai nghiệm cùng thì: (2) Kết hợp (1), (2) ta có thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt cùng dương. * Tính Xét: với . Vậy với thì phương trình có hai nghiệm mà hai nghiệm đó luôn lớn hơn hoặc bằng 1. Một số bài toán về phương trình bậc hai liên quan tới định lý Viet đảo. Giả sử ta có thì khi đó là nghiệm của phương trình . Ý nghĩa : Thiết lập một phương trình bậc 2 khi biết tổng và tích của hai nghiệm. Lập phương trình bậc 2 nhận và làm nghiệm. Giải Ta có: Theo định lý Viet đảo thì phương trình bậc 2 nhận hai nghiệm và làm nghiệm là: Xét phương trình: Chưng minh rang phương trình có hai nghiệm , từ đó lập một phương trình bậc hai mới nhận và làm nghiệm. Tính giá trị của biểu thức Giải Ta có: Phương trình tồn tại hai nghiệm phân biệt Theo định lý Viet ta có: Do đó: Vậy phương trình bậc hai nhận là nghiệm là: Ta có: Xét phương trình: Theo định lý Viet Vậy Phương trình quy về phương trình bậc hai. Phương trình trùng phương. Là phương trình có dạng sau: Với việc đặt , ta được phương trình bậc 2 mới với ẩn là t như sau từ đây bằng phương pháp giải phương trình bậc hai ta có thể tìm t và suy ra x dễ dàng. Giải phương trình sau: (1) Giải Đặt , từ (1) ta được phương trình theo t như sau: Ta có: Vì phương trình có 2 nghiệm phân biệt như sau: (loại); Mà , với . Vậy phương trình trên có nghiệm là . Phương trình có dạng: với (1) Để giải phương trình dạng này ta tiến hành biến đổi như sau: (1) Sau đó ta đặt với cạch đặt trên ta sẽ đưa được phương trình về dạng đơn giản và tiến hành giải như bình thường. Giải phương trình sau: Giải Đặt Ta được: Với t=0 Với t=10 Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt là: ; Phương trình bậc 4 hồi quy 〖ax〗^4+〖bx〗^3+〖cx〗^2+dx+e=0 với Để giải phương trình bậc 4 hồi quy ta đi xét x=0 có phải là nghiệm của phương trình hay không. Nếu x=0 không phải là nghiệm của phương trình ta tiến hành chia 2 vế của phương trình cho như sau: Đặt ( Ta sẽ tính được theo t ) Giải phương trình sau đây: Giải Xét x=0 thay vào phương trình trên ta được “1=0” là vô lý. Vậy x=0 không phải là một nghiệm của phương trình. Nên ta biến đổi như sau: Đặt khi đó Khi đó phương trình (1) trở thành: Vì tổng các hệ số của phương trình bằng 0 nên đễ thấy hoặc Với (phương trình này vô nghiệm) Với Phương trình (2) có và có hai nghiệm phân biệt là: Phương trình đã cho có nghiệm là . Phương trình dạng: Để giải phương trình dạng trên ta cũng tiến hành xét x=0 có phải là nghiệm của phương trình hay không. Nếu x=0 không phải là nghiệm của phương trình ta chia cả tử và mẩu của phương trình cho x như sau: Đặt và tiếp tục biến đổi để đưa phương trình về dạng quen thuộc để giải. Giải phương trình sau đây: Giải Xét với x=0 ta có (vô lý) Chia cả tử và mẩu của phương trình cho x ta được: Đặt phương trình (1) trở thành: Với Với Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:

A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Phương trình bậc hai có dạng ax2 + bx + c =0 (a 0) với x ẩn a, b, c ≠ ∆ = b − 4ac hệ số phương trình Ta có: - - 2) Nếu Nếu Nếu ∆ ∆ ∆ 0 phương trình có nghiệm phân biệt Định lý Viet: Nếu ax + bx + c =0 (a 0) có hai nghiệm phân biệt thì: -  −b + ∆ −b−  x1 + x2 = 2a   −b + ∆ −b −  x x =  4a  ∆ )( = ∆ ) x1, x2 −b a = c a BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tốn liên quan tới nghiệm phương trình bậc hệ thức Viet Bài tốn tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Phương trình có nghiệm ∆≥0 (hoặc Phương trình có nghiệm phân biệt ∆' ≥ ∆>0 ) (hoặc x − 2( m + 1) x + m − = ∆' > ) Cho phương trình : Tìm m để phương trình có nghiệm Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình có nghiệm kép Ví dụ a) b) c) −b ± ∆ 2a ≠ ( B • 1) b 2a (với m tham số) Giải Ta có: a = 1; b = −2( m + 1) ⇒ b ' = −( m + 1); c = m2 − ∆ ' =  − ( m + 1)  − (m − 3) = m + 2m + − m2 + = 2m + a Phương trình có nghiệm ∆' ≥ 0: ⇔ 2m + ≥ ⇔ 2m ≥ −4 ⇔ m ≥ −2 ⇒ Vậy phương trình có nghiệm m ≥ Phương trình có hai nghiệm phân biệt b Tương tự câu a ta ⇒ c ∆' >0: m > −2 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt Phương trình có nghiệm kép ∆' Tương tự ta thu ⇒ m > −2 =0: m = −2 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt m = −2 Cho phương trình Ví dụ mx + (2m + 1) x + m − = (với m tham số) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Giải Ta có: TH1: a = m; b = 2m + 1; a=0⇔m=0 x−2=0 ⇔ x=2 ⇒ c = m2 − phương trình trở thành: (1) Vậy m=0 phương trình có nghiệm x=2 TH2: a≠0⇔m≠0 ∆ = ( 2m + 1) − 4m ( m − ) = 4m + 4m + − 4m + 8m = 12m + Xét Phương trình có nghiệm ⇔m≥ −1 12 Kết hợp (1) (2) ta được: m≥ Vậy với (2) m≥ ⇒ ∆ ≥ ⇔ 12m + ≥ −1 12 −1 12 phương trình có nghiệm x + (m + 2) x + m − 15 = Ví dụ Cho phương trình: a) Chứng minh phương trình ln b) Tìm m để phương trình nhận x=9 (với m tham số) có nghiệm phân biệt nghiệm Giải a a = 1; Ta có: b = m + 2; c = m − 15 ∆ = (m + 2) − 4.(m − 15) = m + 4m + − 4m + 60 = m2 + 64 > Ta có ∆ ln ln lớn m2 số dương Suy m2 + 64 số ln dương ⇒ Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt (đpcm) b Theo yêu cầu đề thay x=-9 vào phương trình ta được: ( −9) + ( m + 2)(−9) + m − 15 = ⇔ 81 − 9m − 18 + m − 15 = ⇔ 8m = 48 ⇔ m=6 ⇒ Vậy với m=6 phương trình nhận x=-9 nghiệm 2) - Tính tốn biểu thức liên quan tới nghiệm phương trình bậc hai Khi gặp dạng toán cần biến đổi biểu thức cho dạng tổng tích hai nghiệm sau tìm hướng để tiếp tục biến đổi - Chú ý: x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 x13 + x23 = ( x1 + x2 )3 − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) Ví dụ a) Giải b) Cho phương trình: phương trình x − 5x + = Tính giá trị biểu thức sau: M = x12 + x22 − x1 x2 N = x13 + x23 + 1 + x1 x2 Giải a b Bạn đọc tự giải Xét phương trình: x − 5x + = Ta có: a=1; b=-5; Áp dụng định lý Viet ta được: Vậy: c=1 −b  x + x = =5   a  c  x1 x2 = =1  a  M = x12 + x22 − 3x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 5x1 x2 = 20 N = x13 + x23 + 1 + x1 x2 = ( x1 + x2 )3 − x1 x2 ( x1 + x2 ) + x1 + x2 x1 x2 = 53 − 3.1.5 + = 105 Ví dụ Cho phương trình: x − 2(m − 1) x − m − = (1) Giải phương trình a) m = −3 Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn hệ thức b) x12 + x22 = 10 Giải Với a m = −3 thay vào phương trình (1) ta được: x − 2( −3 − 1) x + − = ⇔ x2 + 8x =0 ⇔ x ( x + 8) =0 x = ⇔   x = −8 Ta có: b a = 1; b = −2(m − 1) c = −(m + 3)  15  ∆ = b − ac = − ( m − 1)  + (m + 3) = m − m + =  m − ÷ + 2  ' '2 Dễ thấy ∆' biểu thức ln lơn ∀m Do phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Theo định lý Viet ta có: Mặt khác ta có:  x1 + x2 = 2(m − 1)   x1 x2 = −m − x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = 10 Thay (1), (2) vào (3) ta được: (1) (2) (3)  ( m − 1)  + 2(m + 3) = 10 ⇔ 4m − 6m + 10 = 10 ⇔ 4m − 6m =0 m = ⇔ m =  ⇒ Khi m=0 m=3/2 phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện tốn Biết phương trình: Ví dụ x + (m + 3) x + m − = (với m tham số) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Chứng minh rằng: M = x1 + x2 + x1 x2 tồn không phụ thuộc vào tham số m Giải Ta có: a = 1; b = m + 3; Theo định lý Viet ta được: Do đó: c = m −1 −b  x1 + x2 = = −m −   a  c  x1.x2 = = m −1  a  M = x1 + x2 + x1 x2 = − m − + m − = −4 (khôg phụ thuộc m) ⇒ Vậy M tồn không phụ thuộc vào tham số m 3) - Bài toán thiết lập hệ thức hai nhiệm không phụ thuộc vào tham số m Tìm điều kiện để tồn hai nghiệm x1 , x2 - Sử dụng định lý Viet để tính x1 + x2 , x1 x2 theo m Từ hai đẳng thức hệ thức Viet tính m theo x − 2mx + m + + m = Cho phương trình: Ví dụ x1 , x2 (với m tham số) tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sau thiết lập biểu thức liên hệ hai nghiệm cho biểu thức không phụ thuộc vào tham số m Giải Ta có: a = 1; b = −2m ⇒ b ' = − m; c = m2 + m + ∆ ' = (− m)2 − (m2 + m + 2) = − m − Để phương trình có hai nghiệm ∆' > ⇔ −m − > ⇔ m < −2 ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt Khi theo định lý Viet ta có: (1)  x1 + x2 = 2m  = m + m + (2)  x1 x2 m= Từ (1) ta có: x1 + x2 (1' ) m < −2 Từ (1’) thay vào (2) ta được: x +x  x +x x1 x2 =  ÷ + + 2   ⇒ Vậy x +x  x +x x1 x2 =  ÷ + + 2   hệ thức liên hệ hai nghiệm mà khơng phụ thuộc vào tham số m 4) Tìm điệu kiện tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn tính chất cho trước - Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Sử dụng định lý Viet, ép vào tính chất mà đề quan tâm để xá định tham số m - Sau tìm m cần kiểm tra lại xem có thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghiệm hay khơng Ví dụ Cho phương trình sau: x − ( m + 4) x + 3m − = điều kiện để phương trình có nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức sau: x12 + x22 − x1 x2 = Giải Ta có: a = 1; b = −(m + 4); c = 3m − x1 , x2 (với m tham số) Tìm cho hai nghiệm ∆ =  − ( m + )  − 4(3m − 1) = m + 8m + 16 − 12m + = m − 4m + 16 + = (m − 2) + 16 Hiển nhiên ∆>0 phương trình ln có nghiệm phân biệt Theo định lý Viet ta có:  x1 + x2 = m +   x1 x2 = 3m − Xét hệ thức: x12 + x22 − x1 x2 = x12 + x22 − x1 x2 =7 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 =7 ta biến đổi sau: ⇔ (m + 4) − 3(3m − 1) = ⇔ m − m + 12 =0 ⇔  47  =0 m− ÷ + 2  2 Ta thấy phương trình m để Ví dụ x12 + x22 − x1 x2 =  47  =0 m − ÷ + 2  vô nghiệm nên tồn Xét phương trình : x − (m + 2) x + m − = (với m tham số) a) b) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Tim m để x1 x2 + x2 x1 x1 , x2 số nguyên Giải a Ta có: a = 1; b = −(m + 2); c = m−3 ∆ =  − ( m + )  − 4.1.( m − 3) = m + 16 > Vậy với giá trị m phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt b Theo định lý Viet:  x1 + x2 = m +  = m−3  x1 x2 Ta có: x1 x x + x22 ( x + x2 ) − x1 x2 + = = x2 x1 x1 x2 x1 x2 ( m + 2) − 2( m − 3) m−3 m + 2m + 10 = m−3 m − 3m + 5m − 15 + 25 = m−3 25 = m +5+ m−3 = Để Mà x1 x2 + ∈¢ x2 x1 25 ∈¢ m−3 m+5+ 25 ∈¢ m−3 m − 3∈ hiển nhiên Ta có: Ư(25) hay 25 ∈¢ m−3 Ư(25) = { ±1, ±5, ±25} Xét bảng giá trị sau: Vậy với Ví dụ 10 m-3 -25 -5 -1 25 m -22 -2 28 m ∈ { −22, −2, 2, 4,8, 28} Cho phương trình: x1 x2 + x2 x1 số nguyên x − ( m − 1) x − m + m − = (với m tham số) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt trị m cho T = x12 + x22 − x1 x2 nhận giá trị nhỏ Giải Ta có: a = 1; b = −(m − 1); c = −a + a − x1 , x2 Tìm giá ∆ =  − ( m − 1)  − 4.1.(−m + m − 4) = m − 2m + + 4m − 4m + 16 = 5m − 6m + 17 17 = 5( m − m + ) 5   76  =  m − ÷ +   25   Hiển nhiên ⇒ ∆ biểu thức lớn Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Theo định lý Viet:  x1 + x2 = m −   x1 x2 = − m + m − Nên: T = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = (m − 1) − 3(−m + m − 4) = 4m − 5m + 13 25 25 = (2m) − 2.2m + − + 13 16 16  183  =  2m − ÷ +  16  Vì: 5   2m − ÷ ≥ 4  ⇒T ≥ với m 183 16 x1 , x2 với giá trị m 2m − Dấu “=” xảy m= Vậy với 5) TMIN = T đạt giá trị nhỏ nhất: 183 16 Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai ax + bx + c = - 5 =0⇔m= (a ≠ 0) Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt Định lý Viet: −b  S = x + x =  a  P = x x = c  a x1 • x1 • x1 • x1 • và và x2 x2 x2 x2 trái dấu ⇔ dấu ⇔ dương âmthì P < hay c/a < ⇔ P > hay c/a > ⇔ P > S > P > S < x + mx − m − = Cho phương trinh sau đây: (với m tham số) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt hai nghiệm Ví dụ 11 ln trái dấu Giải Ta có: a = 1; b = m; c = −m − ∆ = m + 4(m + 5) = 5m + 20 Hiển nhiên x1 , x2 ∆ số không âm Do phương trình ln có hai nghiêm phân biệt Theo định lý Viet ta có: ⇒ Vậy hai nghiệm Ví dụ 12 a) Tim x1 , x2 P = x1.x2 = c / a = −m − < ( Với m) phương trình ln trái dấu x − 3x + m − = Cho phương trình: (với m tham số) m để phương trình có hai nghiệm phân biệt ln dương, tính: M = x1 + x2 b) theo m Tìm m để hai nghiệm cho lớn Giải a * Ta có: a = 1; b = −3; c = m− ∆ = (−3) − 4.( m − 2) = 17 − 4m Để phương trình có hai nghiệm phân biệt m< Vậy với 17 ∆ 17 − 4m > ⇔ m < >0 hay phương trình có hai nghiệm phân biệt (1) 17 Theo định lý Viet ta có:  S = x1 + x2 =   P = x1 x2 = m − Muốn có hai nghiệm thì: 2 m − > ⇔ ⇔m>2  S > 3 > phương trình cho có hai nghiệm phân biệt dương * Tính M = x1 + x2 M2 = Xét: ( x1 + x2 ) = x1 + x1 x2 + x2 = + m − ⇒ M = M = 3+ m − b (2) 2 ⇒ Phương trình tồn hai nghiệm phân biệt Theo định lý Viet ta có: Do đó: P  x + x2 =     xx =   x1 , x2 −b =7 a c =3 a S = y1 + y2 = x1 − x2 + x2 − x1 = x1 + x2 = = y1 y2 = ( x1 = x1 x2 − x = x1 x2 − 2( x − x2 ) ( x2 − 2x 2 − x1 ) + x1 x2 + x ) 2 = x1 x2 − ( x1 + x2 )   = 5.3 −  − 2.3  − x1 x2   = −71 ⇒ Vậy phương trình bậc hai nhận y1 , y2 nghiệm là: y − y − 71 = b Ta có: A = x1 − x2 + x2 − x1 = y1 + y2 ≥ Xét phương trình: Theo định lý Viet y − y − 71 = −b  y + y2 = =7   a   y y = c = −71  a  A2 = ( y1 + y2 ) − y1 y2 + y1 y2 = − 2.(−71) + −71 = 191 Vậy ⇒ A = A = 191 • 1) - Phương trình quy phương trình bậc hai Phương trình trùng phương Là phương trình có dạng sau: ax + bx + c = ( a ≠ 0) ⇔ a( x ) + bx + c = - Với việc đặt sau t = x (t ≥ 0) at + bt + c = , ta phương trình bậc với ẩn t từ phương pháp giải phương trình bậc hai ta tìm t suy x dễ dàng Ví dụ Giải phương trình sau: x + x − 36 = Giải (1) Đặt t = x (t ≥ 0) , từ (1) ta phương trình theo t sau: 2t + t − 36 = Ta có: a = 2; b = 1; c = −36 ∆ = b − 4ac = − 4.2.( −36) = 289 = 17 ∆>0 Vì −b − ∆ −1 − 289 −9 = = 2a t1 = Mà ⇒ phương trình có nghiệm phân biệt sau: t = x2 , với t2 = (loại); t = ⇒ x = ⇔ x = ±2 Vậy phương trình có nghiệm −b + ∆ −1 + 289 = =4 2a x = ±2 ( x + a)( x + b)( x + c)( x + d ) = m 2) - (1) - a+b = c+d Phương trình có dạng: với Để giải phương trình dạng ta tiến hành biến đổi sau: (1) 2 ⇔ ( x + ax + bx + ba )( x + cx + dx + cd ) = m Sau ta đặt t = x + ax + bx = x + cx + dx với cạch đặt ta đưa phương trình dạng đơn giản tiến hành giải bình thường Ví dụ Giải phương trình sau: ( x + 1)( x + 3)( x + 5)( x + 3) = Giải ( x + 1)( x + 3)( x + 5)( x + 7) = ⇔ ( x + 1)( x + 7)( x + 3)( x + 5) = ⇔ ( x + x + x + 7)( x + x + x + 15) = ⇔ ( x + x + 16 − 9)( x + x + 16 − 1) = Đặt t = x + x + 16 = ( x + 4) Ta được: (t ≥ 0) (t − 9).(t − 1) = ⇔ t − 9t − t + =9 ⇔ t − 10t =0 ⇔ t (t − 10) =0 t = ⇔ t = 10 Với t=0 ⇔ ( x + 4) = ⇔ x = −4 Với t=10 ⇒ ⇔ ( x + 4) = 10 ⇔ x = ± 10 − Vậy phương trình có nghiệm phân biệt là: x = −4 x = ± 10 − ; 3) e d  = ÷ a b Phương trình bậc hồi quy với - Để giải phương trình bậc hồi quy ta xét x=0 có phải nghiệm phương trình hay khơng - Nếu x=0 khơng phải nghiệm phương trình ta tiến hành chia vế x2 phương trình cho sau: ax + bx + cx + dx + e =0 d e + =0 x x e d ⇔ ax + + bx + + e =0 x x e  d    ⇔ a  x2 + + b x + ÷  ÷+ c = a x bx     ⇔ ax + bx + c + - Đặt d t = x + ⇒ t2 bx d   =x+ ÷  bx  x2 + ( Ta tính Giải phương trình sau đây: theo t ) x + x + 5x − 4x + = Ví dụ e ax Giải Xét x=0 thay vào phương trình ta “1=0” vô lý Vậy x=0 nghiệm phương trình Nên ta biến đổi sau: x4 + x3 + 5x2 − x + = ⇔ x2 + x + − + = x x 1  ⇔ x + −  x + ÷+ = x x  1  t =x+ ÷ x  Đặt t = x2 + (1) 1 + ⇒ x2 + = t − 2 x x Khi phương trình (1) trở thành: t − 4t + = Vì tổng hệ số phương trình t − 4t + = nên đễ thấy t =1 t =3 t =1⇔ x + Với t =3⇔ x+ Với =1 x = ⇔ x − 3x + = x Phương trình (2) có ⇒ (phương trình vơ nghiệm) ∆=5>0 (2) x= có hai nghiệm phân biệt là: x= Phương trình cho có nghiệm 3± 3± kx hx + =Z ax + bx + c ax + dx + c 4) - Phương trình dạng: Để giải phương trình dạng ta tiến hành xét x=0 có phải nghiệm - phương trình hay khơng Nếu x=0 khơng phải nghiệm phương trình ta chia tử mẩu k ax + b + phương trình cho x sau: t = ax + - Đặt c x c x + h ax + d + c x =Z tiếp tục biến đổi để đưa phương trình dạng quen thuộc để giải 6x x − =1 x + x +1 x − x +1 Ví dụ Giải phương trình sau đây: Giải Xét với x=0 ta có 0 − =1 1 (vô lý) Chia tử mẩu phương trình cho x ta được: x +1+ x − 1 x −1+ x t = x+ Đặt x =1 (1) phương trình (1) trở thành: − =1 t +1 t −1 6(t − 1) − (t + 1) ⇔ =1 (t − 1)(t + 1) ⇔ 6(t − 1) − (t + 1) = t −1 ⇔ t − 5t + =0 ⇔ (t − 2)(t − 3) =0 t = ⇔  t = t =2⇔ x+ Với = ⇒ x =1 x (t ≠ ±1) t =3⇔ x+ Với 3± = 3⇒ x = x x = 1, x = Vậy phương trình cho có nghiệm: 3±