Các dạng bài tập trên tập số nguyên Z

SỐ NGUYÊN Nội dung 1: Tập hợp các số nguyên: 1.Tóm tắt lý thuyết: Tập hợp số nguyên. Z={…3;2;1;0;1;2;3;4…} Tập số nguyên Số nguyên dương (Z+) Số nguyên âm (Z) Số 0 Biểu diễn số nguyên trên trục số. Ở trên là hình ảnh của một trục số. Điểm 0 là gốc của trục số. Chiều từ trái sang phải được gọi là chiều dương. Còn chiều từ phải sáng trái là chiều âm. Số đối của số nguyên. Các số có các điểm biểu diễn cách đều điểm 0 và nằm về 2 phía được gọi là hai số đối nhau. Như vậy Số đối của –a là a, số đối của a là –a Ví dụ: Số đối của 3 là 3 và ngược lại Thứ tự tập hợp trong số nguyên. Khi biểu diễn trên trục số (nằm ngang), nếu điểm a nằm về phía bên trái điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b. Chú ý: Số nguyên b được gọi là liền sau số nguyên a hay số nguyên a đươc gọi là liên trước số nguyên b nếu a < b. Nếu hai số a, b được gọi là 2 số liền nhau thì không có bất kì số nguyên nào nằm giữa a và b Nhận xét: Mọi số nguyên dương đều lớn hơn 0. Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn 0. Mọi số nguyên âm đều nhỏ mọi số nguyên dương. Tính chất: Giữa hai số nguyên a và b chỉ sảy ra 1 trong ba trường hợp sau: a>b,aa∈Z là Sai; ví dụ 0∉Z+nhưng 0∉Z Dạng 2. Ghi các điểm biểu diễn số ngyên trên trục số. Phương pháp giải: Trên trục số các điểm biểu diễn số nguyên âm nằm bên trái điểm 0, các điểm biểu diễn số nguyên dương nằm bên phải điểm 0 Tăng dần từ trái sang phải. a900 b.(x00) ̅>123 c.(zxy) ̅900 thì |(x99) ̅ |123 thì giá trị của x là: x∈{0,1,2…9} .(zxy) ̅ và(z88) ̅ là hai số nguyên âm, để .(zxy) ̅|(z88) ̅ | mà ta thấy rằng ở chữ số hang trăm của mỗi số đều bằng z như vậy ta chỉ cần quan tâm tới hai số (xy) ̅ để (zxy) ̅a). Vậy |a|≥a 6. Cho |x|=2; |y|=9. Tính x+y. HD: Ta có: |x|=2⟺x=±2; |y|=9⟺y=±9 Xét 4 trường hợp sau: x=2;y=9 thì x+y=2+9=11 x=2;y=9 thì x+y=2+(9)=7 x=2;y=9 thì x+y=2+9=7 x=2;y=9 thì x+y=2+(9)=11 7. Chứng minh rằng số đối của tổng hai số bằng tổng hai số đối của chúng. HD: Ta phải chứng minh: (x+y)=(x)+(y) Xét tổng: (x)+(y)+(x+y)=x+(x)+y+(y)=0 Tổng của chúng bằng 0 nên suy ra: (x+y)=(x)+(y) 8. Cho số nguyên sao cho tổng của 6 số bất kì trong các số đó đều là một số âm. Giải thích vì sao tổng của 18 số đó cũng là 1 số âm? Bài toán của chúng ta có còn đúng k nếu thay 18 số bởi 19 số? HD: Ta chia 18 số ra làm 3 nhóm. Mỗi nhóm có 6 số. Vì tổng của 6 số bất kì là 1 số âm nên tổng của các số trong mỗi nhóm là một số âm. Vậy tổng của 3 nhóm tức là tổng của 18 số cũng là 1 số âm. Nếu thay 18 số bằng 19 số thì trong 19 số đó cũng phải có ít nhất là 1 số âm. Ta tách riêng số âm đó ra còn lại 18 số. Theo lí luận ở trên thì tổng 18 sô là một số âm, cộng với số âm vừa tách riêng ra ta sẽ được một số âm. Tức tổng 19 số cũng là một số âm. 9. Với giá trị nào của a và b thì: a. |a+b|=|a|+|b| b. a+|a|=2a c. a+|a|=0 HD a. |a+b|=|a|+|b| khi và chỉ khi a và b cùng đấu. Ví dụ: Với a=3,b=4, ta có:|3+4|=|7|=7,|3|+|4|=3+4=7 ⟹|3+4|=|3|+|4| Với a=3,b=4, ta có:|(3)+(4)|=|7|=7,|3|+|4|=3+4=7 ⟹|(3)+(4)|=|3|+|4| b. a+|a|=2a khi a≥0 Ví dụ: Với a=0. Ta có: 0+|0|=2.0=0 Với a=2. Ta có: 3+|3|=3+3=2.3=6 c. a+|a|=0 khi và chỉ khi a≤0 Ví dụ: Với a=0. Ta có: 0+|0|=0 Với a=5. Ta có: 5+|5|=0 10. Cho x,y∈Z a. Với giá trị nào của x thì biểu thức A=5000|x+3| có giá trị lơn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó. b. Với giá trị nào của y thì biểu thức B=|y7|+200 có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó. c. Với giá trị nào của x và y thì biểu thức C=|x10|+|y+20|5 có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó. HD: a. Vì x∈Z nên |x+3|∈N, do đó A=5000|x+3|≤5000 Để A đạt giá trị lơn nhất tức là “=” xảy ra, để dấu “=” xảy ra thì |x+3|=0 Khi |x+3|=0 ⟹ x=3 Vậy giá trị lơn nhất của A=5000 khi x = 3. b. Vì y∈Z nên |y7|∈N, do đó B=|y7|+200≥200 Để B đạt giá trị nhỏ nhất thì dấu “=” xảy ra, để dấu “=” xảy ra thì |y7|=0 Khi |y7|=0 ⟹ x=7 Vậy giá trị nhỏ nhất của B=200 khi y=7. c. Vì x,y∈Z nên |x10|∈N, |y+20|∈N do đó C=|x10|+|y+20|5≥5. Để C đạt giá trị nhỏ nhất tức là dấu “=” xảy ra, để dấu “=” xảy ra thì |x10|=0 và |y+20|=0 Khi |x10|=0⟹x=10 và |y+20|=0⟹y=20. Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 5 khi,x=10 và y=20. 11. Tính các phép toán sau bang cách hợp lý nhất. a. 37+54+(70)+(163)+246 b. 359+181+(123)+350+(172) c. 69+53+46+(94)+(14)+78 HD: a. 37+54+(70)+(163)+246 =(54+246)+(37)+(163)+(70) =300+(200)+(70)=30 b. 359+181+(123)+350+(172) =(181+350)+(359+(172)+(123) =531+(531)+(123)=123 c. 69+53+46+(94)+(14)+78 =69+(94)+(14)+(53+46+78) =177+177=0 12.Tính giá trị các biểu thiểu thức sau bằng cách hợp lí. a. 125.(61).〖(2〗3).(〖1)〗2n (n∈N) b. 136.(47)+36.47 c. (48).72+36.(304) HD: a. 125.(61).〖(2〗3).(〖1)〗2n =125.(8).(61).1 =(1000).(61) =61000 b. 136.(47)+36.47 =(47).(13636) =(47).100 =4700 c. (48).72+36.(304) =(48).2.36+36.(304) =(96).36+36.(304) =36(96)+(304) =36.(400) =14400 13. Tính các tổng các dãy số viết theo quy luật sau: a. A=16+(17)+18+(19)+⋯+82+(83)+84 b. B=12+34+⋯+199200 c. C=1+234+5+6…+97+9899100 HD: a. . A=16+(17)+18+(19)+⋯+82+(83)+84 ={(17)+(83)+(19+82)}+{(19)+(81)+(20+80)}+{(21)+(79)+(22+78)}+⋯ =16+0+0+⋯+0+0+84 =18+84=100 b. B=12+34+⋯+199200 =(12)+(34)+⋯+(199200) =1+(1)+⋯+(1) = (1).100=100 c. C=1+234+5+6…+97+9899100 =(1+234)+(5+678)+⋯+(97+9899100) =4+(4)+(4) =4.25=100 14. Cho các dãy số viết theo quy luật sau: A=5+(7)+9+(11)+⋯ B=6+8+(10)+12+⋯ a. Tìm số hạng thứ 50 của dãy A, tìm số hạng thứ 51 của dãy B. b. Tính A+B biết A có 50 hạng tử, B có 51 hạng tử. HD a. A=5+(7)+9+(11)+⋯ Xét A=5+7+9+11+⋯ (là dãy tương tự như A nhưng không có dấu ““) Ta gọi hạng tử số 50 (coi 50 là số hạng cuối cùng) của A là x khi đó áp dụng công thức về số số hạng của dãy số cách đều ta được: (x5):2+1=50⟹x=103 Nhận thấy rằng những số hạng ở vị trí chẵn của dãy A là những số hạng âm nên nên số hạng thứ 50 của A phải là một số âm. Mà số hạng thứ 50 của A là 103 nên số hạng thứ 50 của A là 103. Vậy số hạng thứ 50 của A là 103. B=6+8+(10)+12+⋯ Xét B=6+8+10+12+⋯ (là dãy tương tự như B nhưng không có dấu ““) Ta gọi hạng tử số 51 (coi 51 là số hạng cuối cùng) của B là x khi đó áp dụng công thức về số số hạng của dãy số cách đều ta được: (x6):2+1=51⟹x=106 Nhận thấy rằng những số hạng ở vị trí lẻ của dãy B là những số hạng âm nên nên số hạng thứ 51 của B phải là một số âm. Mà số hạng thứ 51 của B là 106 nên số hạng thứ 50 của A là 106. Vậy số hạng thứ 51 của B là 106. b. Khi A có 50 hạng tử ⟹A=5+(7)+9+(11)+⋯+102+(103) Khi B có 51 hạng tử ⟹B=6+8+(10)+12+⋯+104+(106) Xét: A+B=5+(6)+(7)+8+9+(10)+⋯+(103)+104+(106 =5+(6)+(7)+8+9+(10)+⋯+(103)+104+(106) =0+0+⋯+0+(106) =106 15. Cho dãy số được viết theo quy luật sau: C=1+(2)+(3)+4+5+(6)+(7)+8+⋯ a. Tìm số hạng thứ 52 của C. b. Tính tổng C khi C có 52 số hạng. HD a. Nhận xét rằng dãy C bắt đầu từ só 1. Như vậy dễ thấy số hạng thứ 52 của C là 52 hoặc bằng52. Ta thấy: 1+(2)+(3)+4=0; 5+(6)+(7)+8=0 và cứ cách 4 số hạng thì quy luật này sẽ lắp lại. Nhận thấy 52:4=13 nên C sẽ có 13 nhóm có quy luật như đã nói và số hạng thứ 52 là số hạng cuối cùng trong nhóm thứ 13 như vậy số hạng thứ 52 của C là 52. Vậy số hạng thứ 52 của C là 52. b. Tổng: C=1+(2)+(3)+4+5+(6)+(7)+8+⋯+49+(50)+(51)+52 =1+(2)+(3)+4+5+(6)+(7)+8+⋯+49+(50)+(51)+52 =0+0+⋯+0 (có 13 số 0) =0 16. Tính tổng sau: B=a+|a|+a+|a|+⋯+a với a∈Z, biết tổng B có 155 hạng tử. Giải Vì a∈Z với tư duy tự nhiên ta cần xét a với 3 trường hợp sau: Với a = 0 khi đó tổng B=0 Với a∈Z+ => |a|=a khi đó: B=a+a+a+⋯+a=155a (Vì B chứa 155 hạng tử) Với a∈Z => |a|=a  |a|+a=0 B=a+|a|+a+|a|+⋯+a=a (Vì hạng tử 155 là a) 17. Tìm x∈Z biết: a.|2x5|=13 b.|7x+3|=66 c.|5x2|≤13 HD: a. Ta có: .|2x5|=13⟹2x5=±13⟹x=9 hoặc x=4 b.Ta có: |7x+3|=66⟹7x+3=±66⟹x=9 c. Ta có: |5x2|≤13 Nên:13≤5x2≤13⟺11≤5x≤15⟺2≤x≤3 Suy ra: x∈{2;1;0;1;2;3}. 18. Tìm x∈Z biết: a.(x25)+18=0; b.(24+x)43=15; c.(x6)+12=48 HD: a.(x25)+18=0⟹x25=18⟹x=7 b.(24+x)43=15⟹24+x=58⟹x=82 c.(x6)+12=48⟹x6=36⟹x=42 19. Viết năm số nguyên vào 5 đỉnh của ngôi sao năm cánh sao cho sao cho tổng của hai số tự nhiên ở hai đỉnh liền nhau bằng 10. Tìm năm số nguyên đó. HD: Gọi 5 số nguyên ở 5 đỉnh lần lượt là: a_1;a_2;a_3;a_4;a_5. Theo đề bài ta có: a_1+a_2=〖a_2+a〗_3⟹a_1=a_3 a_2+a_3=〖a_3+a〗_4⟹a_2=a_4 a_3+a_4=〖a_4+a〗_5⟹a_4=a_5 a_4+a_5=〖a_5+a〗_1⟹a_1=a_4 Mà hai số nguyên bằng nhau có tổng bằng 10 thì mỗi số sẽ bằng 5 nên: a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=5 20. Chứng minh rằng nếu hai số a,b là hai số nguyên khác 0, a là bội của b và b là bội của a thì: a=b hoặc a=b HD: a là bội của b ⟹a=m.b với m∈Z (1) b là bội của a ⟹b=n.a với n∈Z (2) Thay (2) vào (1) ta được: a=m.(n.a)=m.n.a Vì a≠0 nên m.n=1⟹m=n=1 hoặc m=n=1 Với m=n=1⟹a=b Với m=n=1⟹a=b 21. Tìm số nguyên dương n sao cho n+2 là ước của 111 còn n2 là bội của 11. HD: Các ước của 111 là ±3;±37. n+2 3 3 37 37 n 5 1 39 35 Mà n2là bội của 11 nên n2=11k (k∈Z) Hay n=11k+2. Với k=3 thì n=35. Vậy n=35 thì n+2=37 là ước của 111 và n2=33 là bội của 11. 22. Tìm n∈Z sao cho n1 là bội của n+5 và n+5 là bội của n1 HD: Từ kết quả bài 14 ở trên ta có: n1 và n+5 là hai số đối nhau hoặc bằng nhau. Nhưng n∈Z và n1 đó: (Vì B chứa 155 hạng tử) + Với =>  (Vì hạng tử 155 a) 17 Tìm biết: HD: a Ta có: b.Ta có: c Ta có: 28 Đề tài: Số Nguyên Nên: Suy ra: 18 Tìm HD: 19 Viết năm số nguyên vào đỉnh năm cánh cho cho tổng hai số tự nhiên hai đỉnh liền -10 Tìm năm số nguyên HD: Gọi số nguyên đỉnh là: Theo đề ta có: Mà hai số nguyên có tổng -10 số -5 nên: 20 Chứng minh hai số a,b hai số nguyên khác 0, a bội b b bội a thì: HD: bội b (1) bội a (2) Thay (2) vào (1) ta được: Vì Với Với 21 Tìm số nguyên dương n cho ước 111 bội 11 HD: Các ước 111 Mà bội 11 nên Hay Với Vậy ước 111 bội 11 22 Tìm cho bội bội 29 Đề tài: Số Nguyên HD: Từ kết 14 ta có: hai số đối nhau Nhưng nên chúng hai số đối nhau: 23 Tìm giá trị để biểu thức nhận giá trị nguyên HD: Ta có: Để A nhận giá trị nguyên thì: nhận giá trị là: Với: + + + + Vậy ta tìm giá trị n thỏa mãn toán là: 24 Tìm cho chia hết cho n Giải Xét ta có: - luôn chia hết cho - Để ta cần them hay Vậy với MỤC LỤC Trang ………………………………………………………………………………………………………………………………………….…… 31 30 Đề tài: Số Nguyên 31 [...]... mãn yêu cầu của bài toán 21 Đề tài: Số Nguyên Nội dung 4: Bài tập tổng hợp 1 Cho 2 số nguyên Hãy biểu diễn hai số trên trục số và nói rõ vị trí của các điểm a và b đối với điểm 0 HD: Ta xét các trường hợp như sau, sau đó chỉ ra các vị trí của số a, b có thể xảy ra khi so với số 0 Trường hợp 1: Trường hợp 2: Trường hợp 3: 2 Cho tập hợp: a Viết tập hợp A dưới dạng liệt kê các phần tử b Các khẳng định... có 48 số hạng thì A có tổng là -48 Dạng 4: Thực hiện hợp lý các phép toán trên tập số nguyên: Phương pháp giải: - Sử dụng các tính chất của phép cộng số nguyên, phép nhân số nguyên, sự phân phối của phép nhân đối với phép cộng Sử dụng quy tắc dấu ngoặc để tính toán 1 cách hợp lý các bài toán VD1: Tính giá trị các biểu thức toán học sau theo cách hợp lý nhất a b c Giải a Ta có 2 cách thực hiện: Cách... rằng số đối của tổng hai số bằng tổng hai số đối của chúng HD: Ta phải chứng minh: Xét tổng: Tổng của chúng bằng 0 nên suy ra: 8 Cho số nguyên sao cho tổng của 6 số bất kì trong các số đó đều là một số âm Giải thích vì sao tổng của 18 số đó cũng là 1 số âm? Bài toán của chúng ta có còn đúng k nếu thay 18 số bởi 19 số? 23 Đề tài: Số Nguyên HD: Ta chia 18 số ra làm 3 nhóm Mỗi nhóm có 6 số Vì tổng của 6 số. .. chẵn trong tổng trên đều là số nguyên âm, các số lẽ là số nguyên dương Và đặc biệt ta thấy: 12 Đề tài: Số Nguyên Với định hướng trên ta đễ dàng tính được tổng A như sau: ) )] VD2: Cho các dãy số viết theo quy luật sau: a Tìm số hạng thứ 48 của dãy A b Tính tổng các số trong dãy A biết A có 48 số hạng Giải Để giải ví dụ này ta cần nhớ lại công thức về số số hạng của dạy số cách đều: Với: Xét (là dãy tương... từng bài ta có thể giải một theo các cách sau: + Áp dụng tính chất giao hoán hoặc kết hợp của phép cộng để nhóm các số hạng rồi tính + Cộng đần từng cặp số hoặc nhóm số + Chia dãy số đã cho thành các dãy số nhỏ có thể tính được, sau đó cộng hoặc trừ các dãy số nhỏ để được kết quả của dãy số cần tìm VD1: Tính tổng sau: ) Giải Xét ) Ta thấy tổng đã cho gồm 40 số hạng, các số chẵn trong tổng trên đều là số. .. của 6 số bất kì là 1 số âm nên tổng của các số trong mỗi nhóm là một số âm Vậy tổng của 3 nhóm tức là tổng của 18 số cũng là 1 số âm Nếu thay 18 số bằng 19 số thì trong 19 số đó cũng phải có ít nhất là 1 số âm Ta tách riêng số âm đó ra còn lại 18 số Theo lí luận ở trên thì tổng 18 sô là một số âm, cộng với số âm vừa tách riêng ra ta sẽ được một số âm Tức tổng 19 số cũng là một số âm 9 Với giá trị nào... gọi hạng tử số 48 (coi 48 là số hạng cuối cùng) của là khi đó áp dụng công thức về số số hạng của dãy số cách đều ta được: Nhận thấy rằng những số hạng ở vị trí chẵn của dãy A là những số hạng âm nên nên số hạng thứ 48 của A phải là một số âm Mà số hạng thứ 48 của là 96 nên số hạng thứ 48 của A là -96 Vậy số hạng thứ 48 của A là -96 b Khi A có 48 số hạng thì: (Có 24 số -2) 13 Đề tài: Số Nguyên Vậy khi... ngoặc một cách thích hợp để tính các biểu thức sau a b Giải a b Dạng 5: Tìm số nguyên chưa biết trong biểu thức đại số Phương pháp: - Nếu x là số hạng chưa biết trong tổng ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết - Nếu x là số bị trừ ta lấy hiệu cộng với số trừ Nếu x là số trừ ta lấy số bị trừ trừ đi hiệu - Nếu x là thừa số trong tích ta lấy tích chia cho thừa số đã biết 15 Đề tài: Số Nguyên Nếu x là số chia... số c Ta có tích các thừa số trên bằng 0 nên: Với: Với: Với: Vậy có 4 giá tri x thỏa mãn bài toán là: d Để thì ta có: 17 Đề tài: Số Nguyên Vậy x = 2 là giá trị cần tìm VD3: Tìm các số nguyên biết: Giải Khi nhóm các số hạng đầu và cuối của dãy số trên ta thấy: ………………………………… Có tất cả 25 nhóm như trên nên ta có thể viết lại bài toán như sau: Vậy x = -50 là giá trị cần tìm Nội dung 3: Bội và ước của số. .. có: c Ta có: 28 Đề tài: Số Nguyên Nên: Suy ra: 18 Tìm HD: 19 Viết năm số nguyên vào 5 đỉnh của ngôi sao năm cánh sao cho sao cho tổng của hai số tự nhiên ở hai đỉnh liền nhau bằng -10 Tìm năm số nguyên đó HD: Gọi 5 số nguyên ở 5 đỉnh lần lượt là: Theo đề bài ta có: Mà hai số nguyên bằng nhau có tổng bằng -10 thì mỗi số sẽ bằng -5 nên: 20 Chứng minh rằng nếu hai số a,b là hai số nguyên khác 0, a là bội