Hệ thống bài tập trong tập số hữu tỉ Q

HỆ THỐNG BÀI TẬP TROG TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ Q A, Kiến thức cần nắm: Trong toán học, số hữu tỉ số x biểu diễn dạng phân số (thương) a/b, a b số nguyên b Tập hợp số hữu tỉ kí hiệu Mọi số hữu tỉ biểu diễn trục số Một cách tổng quát: Tập hợp số hữu tỉ tập hợp đếm Các số thực số hữu tỷ gọi số vô tỷ Tuy nhiên, tập hợp số hữu tỷ không hoàn toàn đồng với tập hợp phân số p/q,vì số hữu tỷ biểu diễn nhiều phân số khác Chẳng hạn phân số 1/3,2/6,3/9 biểu diễn số hữu tỷ B, Các dạng toán tập hợp số hữu tỉ: Dạng 1: SO SÁNH HAI SỐ HỮU TỈ I, Phương pháp: Có nhiếu cách so sánh hai số hữu tỉ: Với hai số hữu tỉ x y ta có x = y x < y x > y Ví dụ: - Số hữu tỉ âm < < số hữu tỉ dương Ví dụ: - = , > , < 6 5 −3 = 10 + Nếu |-x| < |-y| -x > -y Ví dụ:  −2  =7 −2 −5  => < => >  7 7 − 5  =  7 + Nếu |-x| > |-y| -x < -y Ví dụ:  −2  =5 −2 −1  => > => <  5 5 − 1  =  5 So sánh hai số hữu tỉ cách so sánh với số hữu tỉ thứ ba : cho hai số hữu tỉ a/b c/d số hữu tỉ e: Ta có: a >e  a c b = > >  b d c  3 => > >  3 2 <  3 3 So sánh hai số hữu tỉ cách quy đồng mẫu quy đồng tử: a Quy đồng mẫu: Các bước quy đồng mẫu hai phân số  Bước 1: Tìm mẫu chung hai phân số (thường BCNN mẫu)  Bước 2: Tìm thừa số phụ( cách chia mẫu chung cho mẫu)  Bước 3: Nhân tử mẫu phân số với thừa số phụ tương ứng Sau so sánh hai phân số mẫu số: phân số có tử lớn lớn hơn, phân số có tử bé bé Ta có: Hai phân số c a b d Mẫu chung hai phân số là: b.d  a a.d =   b b.d Quy đồng mẫu ta được:   c = c.b   d d b - Nếu a.d > c.b phân số a.d c.b a c > => > b.d b.d b d - Nếu a.d < c.b phân số a.d c.b a c < => < b.d b.d b d Ví dụ: So sánh hai phân số Ta có: Mẫu chung hai phân số 5.7 = 35 4.5 20 = = 7.5 35 2.7 14 = = 5.7 35 Ta thấy: 20 14 > => > 35 35 b Quy đồng tử: Bước 1: Tìm tử chung hai phân số (thường BCNN tử) Bước 2: Tìm thừa số phụ( cách chia tử chung cho tử) Bước 3: Nhân tử mẫu phân số với thừa số phụ tương ứng Sau so sánh hai phân số tử số: phân số có mẫu lớn bé hơn, phân số có mẫu bé lớn Ta có: Hai phân số c a b d Tử chung hai phân số là: b.d  a a.c =   b b.c Quy đồng tử ta được:   c = c.a   d d a - Nếu b.c > a.d phân số a.c c.a a c < => < b.c d a b d - Nếu b.c < a.d phân số a.c c.a a c > => > b.c d a b d Ví dụ: So sánh hai phân số Ta có: Tử chung hai phân số 3.2 = 3.2 = = 7.2 14 2.3 = = 5.3 15 Ta thấy: 6 > => > 14 15 So sánh hai số hữu tỉ với số số Cho hai số hữu tỉ c a , ta có: b d a  b < a c a c => < < => <  b d b d  c >1  d Tương tự với số 0: a  b < a c a c => < < => <  b d b d c >  d Lưu ý: tương tự cho trường hợp lại: , =, Trường hợp đặc biệt: a, Cho b > 0, a < b a a +1 a a +1 < , a > b > b b +1 b b +1 Ví dụ: +, Cho b = 3, a = 2, ta có: <  ≈ 0.67  2 +1 => 0.75 > 0.67 => < => <  3 +1  + = = 0.75  + +, Cho a = 4, b = 3, ta có: >   ≈ 1.33 4 +1 => 1.33 > 1.25 => > => >  3+1  + = = 1.25  + b, Cho b, d >0, a a+c c a c < < < b d b b+d d Ví dụ: Cho hai số hữu tỉ 5 2  = 0.4 => < Ta có:   = 0.75  Và: 2+3 = ≈ 0.56 5+4 => 0.4 < 0.56 < 0.75 2+3 => < < => < < 5+ 4 II, Bài tập: Bài 1: So sánh số hữu tỉ sau: a) 15 & 14 b) −18 & 173 2013 c) −7 −3 & 22 d) & −7 −9 Bài 2: Sắp xếp số sau theo thứ tự từ bé đến lớn: −3 ; 10 −4 ; −6 ; ; 4 Bài 3: So sánh số hữu tỉ sau: a) − 15 19 & 17 21 b) −13 19 & 19 −23 Bài 4: So sánh số hữu tỉ sau: −1941 −2011 & 1031 2001 37 47 c) & 59 69 −97 −194 e) & 201 399 −289 −298 g) & 403 401 a) −1930 −1996 & 1945 2011 −25 −27 d) & 124 100 −189 −187 f) & 398 394 b) Bài 5: So sánh số hữu tỉ cách nhân chéo: a) 18 −2 & −91 b) −23 −18 & 114 97 Bài 6: a) Viết số hữu tỉ có mẫu khác nhau, lớn b) Tìm số hữu tỉ có dạng nhỏ −1 nhỏ −9 biết giá trị số lớn 11 15 Bài 7: a) Số lớn hai số hữu tỉ sau: −23 −25 & ; 49 47 −317 −371 & ; 633 734 −25 −19 & 35 30 b) Sắp xếp số hữu tỉ sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: −19 ; 30 −5 ; 0; −25 ; 47 124 ; 2011 − 24 ; 35 − 23 49 Bài 8: So sánh A B nếu: − 2− 3− & 2011 11 11 11 2006 2007 2008 2009 b) A = − + − & 2007 2008 2009 2010 a) A = − − 2− 3− 2011 11 11 11 1 B= − 2006.2007 2008.2009 B=− Dạng 2: CỘNG - TRỪ - NHÂN - CHIA SỐ HỮU TỈ I, Phương pháp: Cộng trừ số hữu tỉ: a, Để cộng trừ hai số hữ tỉ x, y ta viết chúng dạng: x= a b , y = (a, b, m ∈ Z , m ≠ 0) m m Ta có: a b a+b + = m m m a  b  a−b x − y = x + (− y ) = +  − ÷ = m  m m x+ y = Ví dụ: Cộng - trừ số hữu tỉ sau: 2.8 3.3 16 25 a) + = + = + = 3.8 8.3 24 24 24 3.7 1.5 21 16 b) − = − = − = 5.7 7.5 35 35 35 b, Các tính chất quy tắc cộng trừ số hữu tỉ:  Phép cộng số hữu tỉ có tính chất phép cộng phân số: giao hoán, kết hợp, cộng với số 0, cộng với số đối  Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển số hạng từ vế sang vế đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng  Quy tắc dấu ngoặc: Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "-" đằng trước, ta phải đổi dấu tất số hạng dấu ngoặc: Dấu "+" thành dấu "-", dấu "-" thành dấu "+" Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "+" đằng trước dấu số hạng ngoặc giữ nguyên  Trong Q có tổng, ta đổi chỗ số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm số hạng cách tùy ý tổng Z Ví dụ: Cộng - trừ số hữu tỉ sau: 11 17 17 − − + + 124 18 14 11  17   17  = +  − ÷−  − ÷ 124  14   18  a) 11  17 10   17  +  − ÷−  − ÷ 124  14 14   18 18  11 11 1 = + − = + − 124 14 18 124 2 11 11 = +0 = 124 124 = 1 b) − + − + − + − − − − − − 4  1  1  1 = (− + 1) + (− + 2) + (− + 3) + −  + ÷ −  + ÷ −  + ÷  2  3  4 = − 1− 1− = Nhân chia số hữu tỉ: a, Cho hai số hữu tỉ x y : c a y = , (a , b, c, d ∈ Z , b ≠ 0, d ≠ 0) b d Với x = Ta có: a c a.c x y = = b d b.d a c a d a.d x: y = : = = b d b c b.c Ví dụ: Nhân - chia số hữu tỉ sau: 2.5 10 = = 13 7.13 91 11 4.3 12 b) : = = = 7 11 7.11 77 a) b, Tính chất:  Phép nhân số hữu tỉ có tính chất phép nhân phân số: giao hoán, kết hợp, nhân với số 1, có tính chất phép nhân phân phối phép cộng  Thương phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y ( y ≠ 0) gọi tỉ số x y kí x hiệu x:y hay y  Với x ∈ Q thì:  x neu x ≥ x = − x neu x <  Ngoài có trường hợp đặc biệt sau: * x < m −m < x < m  x >m * x > m  x < −m x = * x y =  y = * x ≤ y xz ≤ yz voi z > x ≤ y xz ≤ yz voi z < Ví dụ: Thực phép tính sau:    15  38 15 38 1 a )  − ÷  − ÷ = = =    19  45 114 45 3 b) = 18    21  18        − ÷:  − ÷ =   − ÷  − ÷÷ 39     39     21   18 12 = = 39 21 39 273 II, Bài tập: Bài 1: Thực phép tính: 1 a) + e) −16 − 42 b) −2 + 21  −5  f ) −1 −  ÷  12   −5  c) +  ÷   −9  −35  g) −  ÷ 12  42  d) 15  −1  − ÷ 12   h) 0.75 − Bài 2: Thực phép tính:  3 a ) 1, 25  −3 ÷  8 11 e) − 2 12 −9 17 34 c)  1  −3 ÷ 21   10  −4    g )  ÷  −6 ÷ h) ( −3, 25 ) 13  17    b) f) −20  −4   ÷ 41   d) −6 21 Bài 3: Thực phép tính: 10   1  a )  −3 ÷:  −1 ÷    49   3 d ) ( −3,5 ) :  −2 ÷  5  4 g ) :  −5 ÷.2 15   12  3 b)2 :  −3 ÷  4  −7  e) − :  ÷ 35  12   5 c)1 :  −5 ÷  7 18     f )  −1 ÷:  −6 ÷ 39      −1   −15  38 h)  ÷  ÷:    19  45 Bài 4: Thực phép tính (tính nhanh có thể): a) −    − − ÷ 24          b)  − ÷−  −  − ÷     10    −1        c)  ÷−  − ÷+  ÷+ −  − ÷+ −       71   35 18 2  6  3  d )  − + ÷−  − − ÷−  − + ÷ 3  5  2  2  5  1  e)  + − ÷−  − − + ÷−  + − ÷ 9  23 35   18    3 1 f ) − −  − ÷+ − − +   64 36 15 Bài 5: Thực phép tính 1 3  5 a ) −  + ÷ b)  − + ÷.11 − 2 4  6    13     16  c)  − ÷ +  − ÷ d )  − ÷ +  − ÷   11  28  11   11   11 Bài 6: Thực phép tính: 11 1 1 a)1 + 3 2 2 c) −4 + 145 145 145  7 1 b)  − ÷ : − : + :  12  18 7        − 10 8 d ) :  − ÷ − :  − ÷ −  − ÷  +2 ÷ 80      24   15  Bài 7: Tìm x, biết: 1 −x=− b) x − = 15 10 15 10 −3 c) − x = d) − x = − + 12 10  1  −1  e) − − x = − −  − ÷ f ) x −  − ÷ = − + 20      9 g )8, 25 − x = +  − ÷  10  a) − Bài 8: Tìm x, biết: a) 20 :x=− 15 21 d )(−5, 75) : x = 14 23  4 b) x :  − ÷ =  21   2x  e)  − ÷: ( −5) =    2 c ) x :  −4 ÷ = −4  7 1 f )2 x − = 20 4 Bài 9: Tìm x, biết: a) − x = 15 14 42 c) − x = − 25 35 21 −7 x= 13 36 22 d) x = − 15 25 b) Bài 10: Tím số nguyên x, biết: a) − ≤ x ≤ −2 :1 23 15 1 1 21 3 b) −  − ÷ ≤ x ≤ −  − − ÷ 2 6 33 4 12 Dạng 3: LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ I, Phương pháp Lũy thừa với số mũ tự nhiên: Lũy thừa bậc n số hữu tỉ, kí hiệu xn,, tích n thừa số x (n số tự nhiên n x.x.2 x 43x ( x ∈ Q, n ∈ N , n > 1) lớn 1): x = 14 n ( x ≠ 0) Quy ước: x1 = x, x0 = a Khi viết số hữu tỉ x dạng (a, b ∈ Z , b ≠ 0) , ta có: b n an a  ÷ = n b b Tích thương hai lũy thừa số: xm : xn = xm-n ( x ≠ 0, m ≥ n ) Lũy thừa lũy thừa: (xm)n = xm.n Lũy thừa tích - Lũy thừa thương: (x.y)m = xm.ym ( y ≠ 0) * Tóm tắt công thức lũy thừa: x, y ∈ Q; x = a c ,y= b d m a  Nhân hai lũy thừa số: x x =  ÷ b m n n m+ n a a  ÷ =  ÷ b b Ví dụ: 13 2  ÷ 5 +5 12  2  2  ÷ =  ÷ 5 5 m a  Chia hai lũy thừa số: x : x =  ÷ b m n  2 = ÷ 5 m −n n a a : ÷ =  ÷ b b ( m ≥ n) Ví dụ: 13 13−10 10  13   13   13  : =  ÷  ÷  ÷  14   14   14  (x.y)m = xm.ym  Lũy thừa tích: Ví dụ: 23 23  12   12  =  ÷  ÷  7  5  Lũy thừa thương: Ví dụ: 23 6  ÷ 7 (x:y)m = xm:ym 7  17 15   17   : ÷ = ÷  23 33   23   Lũy thừa lũy thừa: Ví dụ:  13  = ÷  14   15  : ÷  33  (xm)n = xm.n 3.6 18   3  1  1  = ÷ = ÷  ÷÷  ÷ 7  7     x−m = m  Lũy thừa với số mũ âm: x Ví dụ: −1 1 = = =2  ÷   * Quy ước: x1 = x, x0 = II, Bài tập: Dạng 1: Sử dụng định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên: Bài 1: Tính: 14 3 2 a)  ÷ 3  2 b)  − ÷  3  3 c)  −1 ÷  4 d )( −0.1) Bài 2: Điền số thích hợp vào chỗ trống: 27   = − ÷ 343   a)16 = b) − d )0, 0001 = ( 0,1) e)243 = c )0, 25 = f )− 64 = 343 81 dạng lũy thừa 625 Bài 3: Viết số hữu tỉ Dạng 2: Đưa lũy thừa dạng lũy thừa số: Bài 1: Tính:  1 a)  − ÷  3  1  − ÷  3 b)(−2) (−2)3 c)a a Bài 2: Tính: n +1 a ) (2 ) (2 )  5 − ÷ 7 c)  n  5 − ÷  7 814 b) 12 Bài 3: Tìm x, biết:  2  2 a )  − ÷ x =  − ÷  3  3 (n ≥ 1)  1 b )  − ÷ x = 81  3 Dạng 3: Đưa lũy thừa dạng lũy thừa số mũ: Bài 1: Tính:  1 a)  − ÷ 37 b)(0,125)3 512  3 Bài 2: So sánh 224 316 902 c) 15 7904 d) 79 Bài 3: Tính giá trị biểu thức: 15 ( 0.8) b) ( 0.4 ) 4510.510 a) 7510 810 + 410 d ) 11 +4 215.94 c) 3 Bài 4: Tính:  3 a)  − ÷  4  2 b)  −2 ÷  3 c) ( 2,5 ) e)2 4 2 i)  ÷ 92 3 d )253 : 1 f )  ÷ 55 5 3 1 g )  ÷ 103 5 1 1 k )  ÷  ÷ 2 4 1203 l) 40  2 h)  − ÷ :  3 3904 m) 1304 n)273 : 93 Bài 5: Thực phép tính:  6 1 a )3 −  − ÷ +  ÷ :  7 2 b) ( −2 ) + 2 + ( −1) 20 + ( −2) ( ) − ( ( −5) ) + ( ( −2) ) c) ( 3) 2 2 1  d )2 + ( −2 ) :  − −2.4 + ( −2) 2  2 1 1  e)2 +  ÷ − 2−2.4 ( −2 ) :  2 2  BÀI TẬP LUYÊN THÊM Bài 1:Tính a )(0, 25) 32 b)( −0,125) 80 82.45 c) 20 8111.317 d ) 10 15 27 Bài 2: Tìm x, biết rằng: a ) ( x + 1) = 27 b) x + x = d )(2 x + 3) = 36 e)5 x + = 625 f )( x − 1) x + = ( x − 1) x + 4 30 31 h) = x 10 12 62 64 g )(2 x − 1)3 = −8 c)(2 x + 1) = 25 Bài 3: Cho x thuộc tập hợp số hữu tỉ Q x khác Hãy viết x12 dạng: a) Tích hai lũy thừa có lũy thừa x ? b) Lũy thừa x ? 16 c) Thương hai lũy thừa số biij chia x15? Bài 4: Tìm số nguyên dương n, biết rằng: a )32 < n < 128 b)2.16 ≥ n > c)9.27 ≤ 3n ≤ 243 Bài 5: Cho biểu thức sau: P = (x + 4) 6) ( x+ 5) ( x − 5) ( x+ )( x + Hãy tính giá trị P x = Bài 6: So sánh: a) 9920 999910 b) 321 231 c) 230 + 330 + 430 3.2410 Bài 7: Chứng minh đẳng thức: + +22 + 23 + + 299 + 2100 = 2101 - Bài 8: Tìm số có chữ số, bình phương số tự nhiên viết chữ số: 0; 1; 2; 2; Bài 9: Chứng minh rằng: Nếu a = x3y, b = x2y2, c = xy3 với số hữu tỉ x y ta có: ax + b2 - 2x4y4 = Dạng 4: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ I, Phương pháp: Dạng 1: A ( x ) = B với B ≥ Ta có công thức giải sau:  A( x) = B A ( x ) = B; ( B ≥ 0) =>   A ( x) = −B Ví dụ: Tìm giá trị x:  2x + = x + =   x + = −7  x=2   x = −5 A( x) = B ( x) Dạng 2: Ta có công thức giải sau:  A( x) = B ( x) A ( x ) = B ( x ) ; ( B ( x ) ≥ ) =>   A ( x ) = −B ( x ) A ( x ) = B ( x ) ; ( B ( x ) < ) => x giá trị 17 Ví dụ: Tìm giá trị x: Dạng 3:  5x − = x 5 x − x = x − = x (2 x ≥ 0) =>    x − = −2 x 5 x + x = 1  x =  3x =   7 x = x =  A( x) + B ( x) = Ta có công thức giải sau:  A ( x ) = A ( x ) + B ( x ) = =>   B ( x ) = Ví dụ: Tìm giá trị x: Dạng 4:  x − = 4 x − = x − + x + = =>    x + =  5x + =  x =  4 x − =    5x + = x = −  A( x) = B ( x) Ta có công thức giải sau:  A( x) = B ( x) A ( x ) = B ( x ) =>   A ( x ) = −B ( x ) Ví dụ: Tìm giá trị x: 18 Dạng 5:  x − = x − 10 x − = x − 10  5 x − = −2 x + 10 5 x − x = −10 +   x + x = 10 + 3 x = −8   x = 12  x = −    x = 12  A ( x ) ± B ( x ) = ±C ( C ≥ 0, C ∈ Q ) Ta tìm x biết: A(x) = (1) giải (1) ta tìm x1 = m Và tìm x biết: B(x) = (2) giải (2) ta tìm x2 = n Sau chia khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối: Trường hợp 1: Nếu m > n => x1 > x2, ta có khoảng sau xét theo thứ tự trước sau: x < x2 , x2 < x < x1, x1 < x  Nếu x < x2 ta lấy giá trị x = t (t thuộc khoảng x < x 2) thay vào biểu thức dấu giá trị tuyệt đối xem biểu thức dương hay âm để làm khử dấu giá trị tuyệt đối để giải tiếp  Với x2 < x < x1 x1 < x, ta làm tương tự Trường hợp 2: Nếu m < n => x1 < x2 ta có khoảng sau xét theo thứ tự trước sau: x < x1, x1 < x < x2, x2 < x  Nếu x < x1 ta lấy giá trị x = t (t thuộc khoảng x < x 2) thay vào biểu thức dấu giá trị tuyệt đối xem biểu thức dương hay âm để làm khử dấu giá trị tuyệt đối để giải tiếp  Với x1 < x < x2 x2 < x, ta làm tương tự Chú ý:  Nếu TH1 xảy không xét TH2 ngược lại, lúc xảy hai trường hợp  Sau tìm giá trị x khoảng cần đối chiếu với khoảng xét xem x có thuộc khoảng không x không thuộc giá trị x bị loại  Nếu có 3, 4, 5, biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối chứa x cần xếp x1, x2, x3, x4, x5, theo thứ tự chia khoảng để xét giải Số khoảng số biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối + Dạng 6: (Biểu thức tĩm x có số mũ) Dạng: 19  A ( x )  = m A ( x ) = mn n II, Bài tập: Bài 1: Tính: a) x = 5, b) x = c) x = d ) x = −2,1 e) x − 3,5 = f) x+ h) − − x = i) x − l ) − 2,5 + x + = −1,5 1 m) − − x = 5 g ) x − −13,5 = k ) − 3x + = − =0 2 + = Bài 2: Tìm x, biết: a) x − = d )6 − −x = g )4 − x − b) x + = e) x + c) x − 1 − = 2 f) = x −1 x + = 1 =− Bài 3: Tìm x, y, z, biết: a) x + 19 1890 + y+ + z − 2004 1975 b) x + + y+ + z+ =0 c) x + + y− + x+ y+z =0 d) x + + y− + z+ =0 Bài 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = x − d ) D = − x − b) B = 1,5 + − x e) E = x + c)C = x − + 107 f )F = x − + y + 2 20 Bài 5: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) A = − x + d )D = − x + g )G = − 10, − x b) B = − x − c )C = x − − − x e) E = − x − − y + 12 f ) F = 5,5 − x − 1,5 h) H = − x − i) I = x − + Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu b số dương a số đối b thì: a +b = a + b Bài 7: Tính giá trị biểu thức: A= x+ − x+2 + x− x = Bài 8: Tìm x, y, biết: x+ + 3− y = Bài 9: Tìm số hữu tỉ x, biết: a) x + > b) x − < c) x − x + > −10 Bài 10: Tìm giá trị x để biểu thức: A=x2 - 2|x| Có giá trị âm Dạng 5: TỶ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU I, Phương pháp: - Tỉ lệ thức đẳng thức giữa hai tỉ số: a : b = c : d a c = b d Trong a, d gọi ngoại tỉ; b, c gọi trung tỉ Ví dụ: 12 24 = hay 12 : 13 = 24 : 26 13 26 - Nếu có đẳng thức ad = bc ta lập tỉ lệ thức: a c a b b d c d = ; = ; = ; = b d c d a c a b Ví dụ: Ta có đẳng thức: 12 = 10 6, ta có tỉ lệ thức sau: 12 12 10 10 = ; = ; = ; = 10 12 12 10 - Tính chất: 21 a c e a+c+e a −c−e c −a = = = = = = b d f b + d + f b − d − f d −b Ví dụ: Ta có đẳng thức sau: = = 12 + + 14 = = + + 12 21 − − −10 = = − − 12 −15 4−2 = 6−3 2+ +8 − −8 − 2 => = = = = = = = 12 + + 12 − − 12 − 3 a b c = = ta nói a, b, c tỉ lệ với ba số 3, 4, - Nếu có: 36 = Ví dụ: Ta có: = , ta nói 3, 9, 36 tỉ lệ với ba số 5, 15, 60 15 60 - Muốn tìm thành phần chưa biết tỉ lệ thức, ta lập tích theo đường chéo chia cho thành phần lại: Từ tỉ lệ thức: x a m.a = => x = m b b Ví dụ: Ta có tỉ lệ thức sau: x 2.15 30 = => x = = = 10 15 3 II, Bài tập: Bài 1: Thay tỉ số số tỉ số số nguyên: : ; 2,1: 5,3; : 0,3; 0, 23 :1, Bài 2: Các tỉ số sau có lập thành tỉ lệ thức không? a) 15 30 & 21 42 b)0, 25 :1,75 & c)0, :1 & 5 Bài 3: Có thể lập tỉ lệ thức từ số sau không? Nếu có lập tỉ lệ 22 thức đó? 3; 9; 27; 81; 243 Bài 4: Tìm x trông tỉ lệ thức sau: x 0,15 = 3,15 7, 41 x d ) 10 = 7, a) b) −2, −12 = x 42 c) 11 6, 32 = 10,5 x e)25 : x = 4, :12,1 Bài 5: Tìm x tỉ lệ thức sau: x −1 a) = x +5 x 24 x −2 x +4 b) = c) = 25 x −1 x + a c a a+c Bài 6: Chứng minh tỉ lệ thức = ( b, d ≠ ) ta suy được: = b b+d b d Bài 7: Tìm x, y biết rằng: x 17 = & x + y = −60 y x y b) = & x − y = 34 19 21 x2 y2 c) = & x + y = 100 10 a) Bài 8: Tìm số tự nhiên a & b để thỏa mãn: 5a + 7b 29 = với (a,b) = 6a + 5b 28 Bài 9: Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhỏ cho: a = ; b Bài 10: Chứng minh rằng: Nếu số có nghĩa Bài 11: Biết: b 12 c = ; = c 21 d 11 a c 5a + 3b 5c + 3d = = 5a − 3b 5c − 3d b d ( Giả thiết tỉ bz − cy cx − az ay − bx = = a b c 23 a b c = = x y z Chứng minh rằng: Bài 12: Cho tỉ lệ thức: a c = Chứng minh rằng: b d ab a − b = cd c − d 2 a + b2  a+b   ÷ = 2 c+d  c +d Bài 13: Tìm a, b biết rằng: Bài 14: Tìm x, y, z biết: + 2a − 3a 3b = = 15 20 23 + a x y = ; y z = x2 - y2 = -16 Bài 15: Tìm x, y, z biết: 3x y 3z = = & 2x2 + y2 − z = 64 216 a c = thì: b d a + 5ac 7b + 5bd ( Giả sử tỉ số có nghĩa) = a − 5ac 7b − 5bd Bài 16: Chứng minh rằng: Nếu Bài 17: Cho a : b = c : d Chứng minh rằng: ab (a + b) = cd (c + d ) Bài 18: Cho a, b, c, d khác 0, thỏa mãn: b2 = ac; c2 = bd Chứng minh rằng: a + b3 + c a = 3 b +c +d d 24 [...]... b, c tỉ lệ với ba số 3, 4, 5 - Nếu có: 3 4 5 3 9 36 = Ví dụ: Ta có: = , ta nói 3, 9, 36 tỉ lệ với ba số 5, 15, 60 5 15 60 - Muốn tìm một thành phần chưa biết của tỉ lệ thức, ta lập tích theo đường chéo rồi chia cho thành phần còn lại: Từ tỉ lệ thức: x a m.a = => x = m b b Ví dụ: Ta có tỉ lệ thức sau: x 2 2.15 30 = => x = = = 10 15 3 3 3 II, Bài tập: Bài 1: Thay tỉ số các số bằng tỉ số của các số nguyên:... 2 Bài 2: Các tỉ số sau đây có lập thành tỉ lệ thức không? a) 15 30 & 21 42 b)0, 25 :1,75 & 1 7 c)0, 4 :1 2 3 & 5 5 Bài 3: Có thể lập được tỉ lệ thức từ các số sau đây không? Nếu có hãy lập các tỉ lệ 22 thức đó? 3; 9; 27; 81; 243 Bài 4: Tìm x trông các tỉ lệ thức sau: x 0,15 = 3,15 7, 2 41 x d ) 10 = 9 7, 3 4 a) b) −2, 6 −12 = x 42 c) 11 6, 32 = 10,5 x e)25 : x = 4, 7 :12,1 Bài 5: Tìm x trong các tỉ. .. x − 1 + 3 Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu b là số dương và a là số đối của b thì: a +b = a + b Bài 7: Tính giá trị của biểu thức: A= x+ 1 3 1 − x+2 + x− khi x = 2 4 2 Bài 8: Tìm x, y, biết: x+ 1 + 3− y = 0 2 Bài 9: Tìm các số hữu tỉ x, biết: a) x + 2 > 7 b) x − 1 < 3 c) x 2 − 2 x + 7 > −10 Bài 10: Tìm giá trị của x để biểu thức: A=x2 - 2|x| Có giá trị âm Dạng 5: TỶ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU... 4 Bài 9: Tìm x, biết: 2 4 a) − x = 3 15 14 42 c) − x = − 25 35 21 −7 x= 13 36 22 8 d) x = − 15 25 b) Bài 10: Tím số nguyên x, biết: 3 4 3 6 a) − 4 2 ≤ x ≤ −2 :1 5 23 5 15 1 1 1 21 1 3 b) − 4  − ÷ ≤ x ≤ −  − − ÷ 3 2 6 33 2 4 12 Dạng 3: LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ I, Phương pháp 1 Lũy thừa với số mũ tự nhiên: Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ, kí hiệu là xn,, là tích của n thừa số x (n là số. .. 12 62 64 0 g )(2 x − 1)3 = −8 c)(2 x + 1) 2 = 25 Bài 3: Cho x thuộc tập hợp số hữu tỉ Q và x khác 0 Hãy viết x12 dưới dạng: 9 a) Tích của hai lũy thừa trong đó có một lũy thừa x ? 4 b) Lũy thừa của x ? 16 c) Thương của hai lũy thừa trong đó số biij chia là x15? Bài 4: Tìm số nguyên dương n, biết rằng: a )32 < 2 n < 128 b)2.16 ≥ 2 n > 4 c)9.27 ≤ 3n ≤ 243 Bài 5: Cho biểu thức sau: P = (x + 4) 6) ( x+ 5)... Hãy tính giá trị của P khi x = 7 Bài 6: So sánh: a) 9920 và 999910 b) 321 và 231 c) 230 + 330 + 430 và 3.2410 Bài 7: Chứng minh đẳng thức: 1 + 2 +22 + 23 + + 299 + 2100 = 2101 - 1 Bài 8: Tìm một số có 5 chữ số, là bình phương của một số tự nhiên và được viết bằng các chữ số: 0; 1; 2; 2; 2 Bài 9: Chứng minh rằng: Nếu a = x3y, b = x2y2, c = xy3 thì với bất kì số hữu tỉ x và y nào ta cũng có: ax + b2... thừa 625 Bài 3: Viết số hữu tỉ Dạng 2: Đưa lũy thừa về dạng lũy thừa cùng cơ số: Bài 1: Tính: 2  1 a)  − ÷  3  1  − ÷  3 b)(−2) 2 (−2)3 c)a 5 a 7 Bài 2: Tính: n +1 2 a ) (2 ) (2 )  5 − ÷ 7 c)  n  5 − ÷  7 814 b) 12 4 2 Bài 3: Tìm x, biết: 2 5  2  2 a )  − ÷ x =  − ÷  3  3 (n ≥ 1) 3 1  1 b )  − ÷ x = 81  3 Dạng 3: Đưa lũy thừa về dạng các lũy thừa cùng số mũ: Bài 1:... a+c Bài 6: Chứng minh rằng tỉ lệ thức = ( b, d ≠ 0 ) ta suy ra được: = b b+d b d Bài 7: Tìm x, y biết rằng: x 17 = & x + y = −60 y 3 x y b) = & 2 x − y = 34 19 21 x2 y2 c) = & x 2 + y 2 = 100 9 10 a) Bài 8: Tìm các số tự nhiên a & b để thỏa mãn: 5a + 7b 29 = với (a,b) = 1 6a + 5b 28 Bài 9: Tìm các số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho: a 3 = ; b 5 Bài 10: Chứng minh rằng: Nếu số đều có nghĩa Bài. .. TỈ SỐ BẰNG NHAU I, Phương pháp: - Tỉ lệ thức là một đẳng thức giữa giữa hai tỉ số: a : b = c : d hoặc a c = b d Trong đó a, d gọi là ngoại tỉ; b, c gọi là trung tỉ Ví dụ: 12 24 = hay 12 : 13 = 24 : 26 13 26 - Nếu có đẳng thức ad = bc thì ta có thể lập được 4 tỉ lệ thức: a c a b b d c d = ; = ; = ; = b d c d a c a b Ví dụ: Ta có đẳng thức: 12 5 = 10 6, ta có các tỉ lệ thức sau: 12 6 12 10 10 5 6 5... 1  1  = ÷ = ÷  ÷÷  ÷ 7 7  7     1 x−m = m  Lũy thừa với số mũ âm: x Ví dụ: −1 1 2 1 = = 1 =2  ÷ 1 2 1   2 * Quy ước: x1 = x, x0 = 1 II, Bài tập: Dạng 1: Sử dụng định nghĩa của lũy thừa với số mũ tự nhiên: Bài 1: Tính: 14 3 3 2 a)  ÷ 3 2  2 b)  − ÷  3  3 c)  −1 ÷  4 d )( −0.1) 4 Bài 2: Điền số thích hợp vào chỗ trống: 27  3  = − ÷ 343  7  a)16 = 2 b) − d )0,