Bài tập nhỏ ứng dụng số phức tìm quỹ tích

TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM GIA LAI KHOA TỰ NHIÊN  ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH Pleiku, ngày 17 tháng 04 năm 2017 TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM GIA LAI KHOA TỰ NHIÊN  ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên: Lớp: MSV: Lời Nói Đầu Số phức ra đời do yêu cầu của việc mở rộng tập số thực khi giải phương trình nhưng ngày nay số phức lại có ứng dụng cực to lớn trong hình học, vật lí, cơ học và các ngành kĩ thuật khác. Trong hình học có thể sử dụng số phức để biểu diễn các đối tượng và tính chất hình học, từ đó có thể dùng số phức để giải một số bài toán hình học. Trong chuyên đề này dưới góc độ là một sinh viên với tầm hiểu biết chưa đủ cao còn nhiều vấn đề chưa thể nắm bắt rõ em xin trình bày một phần nhỏ của ứng dụng số phức để hình học đó là chuyên đề “Ứng dụng số phức để giải một số bài toán quỹ tích”. Vì thời gian ngắn, nguồn tài liệu còn hạn chế chắc chắn bài làm của em sẽ gặp nhiều thiếu sót em rất mong nhận được thêm lời góp ý của thầy Nguyễn Quốc Trịnh. Em xin chân thành cảm ơn Mục Lục ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN QUỸ TÍCH A. Lịch sử số phức. 3 B. Kiến thức cơ bản về số phức. 6 I. Định nghĩa số phức, các phép toán trên trường số phức. 6 II. Dạng lượng giác của số phứcv à công thức MoaVrơ. 8 C. Ứng dụng số phức vào giải một số bài toán quỹ tích trong hình học phẳng. 10 I. Biểu diễn điểm trên mặt phẳng phức. 10 II. Bài tập minh họa. 11 ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN QUỸ TÍCH A. Lịch sử số phức. Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ XVIthời kì Phục Hưng của toán học châu Âu. Các đại lượng ảo , , xuất hiện đầu tiên trong “Nghệ thuật vĩ đại hay là về các quy tắc của đại số” của G. Cardano (1501 – 1576) và “Đại số” của R. Bombelli (1530 – 1572). Khi giải phương trình bậc hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí hiệu là lời giải hình thức của phương trình Xét biểu thức là nghiệm hình thức của pt: . Khi đó biểu thức tổng quát hơn có dạng , có thể xem là nghiệm hình thức của phương trình Về sau biểu thức dạng , xuất hiện trong quá trình giải phương trình bậc hai, bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng “ảo” .Tuy nhiên tên gọi và kí hiệu với là đơn vị ảo cũng gây băn khoăn vì nó không có gì chung với số một công cụ của phép đếm. Sự khủng hoảng niềm tin càng sâu sắc hơn bởi việc chuyển một cách thiếu thận trọng một số quy tắc đã sản sinh ra những nghịch lí Chẳng hạn như nghịch lí sau đây: vì nên , nhưng đồng thời: i2 = = = = Như vậy . Lịch sử toán học cũng ghi lại, Cardano cũng đã nhắc đến các nghiệm phức nhưng lại gọi chúng là các nghiệm “ngụy biện”. Rất thú vị số phức xuất hiện không phải từ các phương trình bậc 2 như Các phương trình này rõ ràng vô nghiệm và không có gì để bàn. Thế nhưng với phương trình thì khác. Có thể chứng minh được rằng phương trình này có đến 3 nghiệm. Vậy mà phương pháp Cardano không áp dụng được do  < 0. Số phức xuất hiện để giải quyết nghịch lý này. Có lẽ tên gọi “ảo” là di sản vĩnh cửu của “một thời ngây thơ đáng trân trọng của số học”. Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại chính là R.Bombelli. Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã định nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên lí thuyết các số “ảo”. Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K. Gauss (năm 1831). L. Euler (1777 – 1855) mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738), còn A. Moivre (1667 – 1754) nghiên cứu và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736). Năm 1799, nhà toán học người Nauy là C.Wessel đưa ra sự minh họa hình học về số phức và các phép toán trên chúng. Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại chính là R.Bombelli. Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã định nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên lí thuyết các số “ảo”. Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K. Gauss (năm 1831). L. Euler (1777 – 1855) mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738), còn A. Moivre (1667 – 1754) nghiên cứu và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736). Năm 1799, nhà toán học người Nauy là C.Wessel đưa ra sự minh họa hình học về số phức và các phép toán trên chúng. Lí thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số thực có thứ tự được xây dựng bởi W.Hamilton (1837). Ở đây đơn vị “ảo” chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ tự cặp tức là đơn vị “ảo” được lí giải một cách hiện thực. Cho đến thế kỉ thứ XIX, Gauss thành công trong việc luận chứng một cách vững chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với đối với định lí cơ bản của Đại số khẳng định rằng trong trường số phức mọi phương trình đa thức đều có nghiệm. Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của trường mở rộng (đại số) của trường số thực thu được bằng phép ghép đại số cho nghiệm của phương trình: Gauss đã chứng minh được trường số phức là trường đóng đại số, nghĩa là khi xét các nghiệm của phương trình đại số trong trường này ta không thu được thêm số mới. Nhìn lại hơn 2500 năm từ thời Pythagor tới giờ, con đường phát triển khái niệm về số có thể tóm tắt bởi với các bao hàm thức: . K.Weierstrass đã chứng minh tập hợp số phức không thể mở rộng thành tập hợp rộng hơn bằng cách ghép thêm số mới để trong tập hợp số rộng hơn thu được vẫn bảo toàn mọi phép tính và mọi quy luật của các phép toán đã đúng trong tập hợp số phức. Tổng kết lịch sử toàn bộ quá trình phát triển khái niệm số, nhà toán học Đức L.Kronecker (1823 1891) đã viết: “Thượng đế đã tạo ra số tự nhiên, còn tất cả các lại số còn lại đều là công trình sáng tạo của con người”. Có thể nói rằng, với khẳng định bất hủ này, L.Kronecker đã xác định nền móng vững chắc cho tòa lâu đài toán học tráng lệ , mà con người đang sở hữu. B. Kiến thức cơ bản về số phức. I. Định nghĩa số phức, các phép toán trên trường số phức. 1. Định nghĩa số phức. Xét tập hợp Mỗi phân tử của : được gọi là một số phức. được gọi là phần thực của số phức z. được gọi là phần ảo của số phức z. Tập hợp được gọi là tập hợp số phức. Nếu là số thực. Nếu là số thuần ảo. 2. Hai số phưc bằng nhau. Hai số phức 3. Biểu diễn số phức trên mặt phẳng. Mỗi số phức được biểu diễn trên mặt phẳng bởi điểm . Với a là phần thực, b là phần ảo nên Ox là trục thực còn Oy là trục ảo. Mặt phẳng Oxy lúc này gọi là mặt phẳng phức. 3. Môdun của số phức. Số phức , điểm Độ dài của véctơ gọi là môđun của số phức . Công thức Nếu 3. Số phức liên hợp. a. Định nghĩa. Cho số phức người ta gọi số phức liên hợp của z và kí hiệu . b. Tính chất. 4. Các phép toán trên số phức. Cho 2 số phức . a. Phép cộng. b. Phép trừ. c. Phép nhân. d. Các phép toán lũy thừa. … . e. Tổng tích hai số phức liên hợp. Cho số phức và số phức liên hợp là ta có: f. Số phức nghịch đảo của số phức. Cho số phức Số phức được gọi là số phức nghịch đảo của số phức . Kí hiệu Ta thấy Vậy nghịch đảo của số phức z là số phức . g. Chia hai số phức. 5. Liên hợp của tổng, hiệu, tích, thương các số phức. Cho là hai số phức a. b. c. d. II. Dạng lượng giác của số phứcv à công thức MoaVrơ. 1. Dạng lượng giác của số phức. a. Môđun của số phức là b. Argumen của số phức z=a+bi là góc lượng giác sao cho Vậy Trong đó c. Môđun và Argumen của hai số phức bằng nhau. Cho hai số phức 2. Công thức Moa – Vrơ. a. Tích hai số phức dưới dạng lượng giác. b. Nghịch đảo của số phức. c. Thương các số phức. d. Công thức Moa – Rvơ. a. b. Căn bậc hai số phức. C. Ứng dụng số phức vào giải một số bài toán quỹ tích trong hình học phẳng. I. Biểu diễn điểm trên mặt phẳng phức. Khi giải các bài toán trong hình học phẳng ta đồng nhất số phức với điểm M(x,y) trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Descartes Oxy, và gọi z là tọa vị của điểm M (đối với hệ tọa độ đó); kí hiệu M(z), hoặc kí hiệu đơn giản hơn là M; đồng thời cũng đồng nhất số phức với véc tơ trong đó điểm đầu O là gốc tọa độ, điểm cuối M là điểm biểu diễn số phức z, vì vậy nếu nói M có tọa vị z thì cũng nói véc tơ có tọa vị z. Nhờ vậy, nếu A(z), B(z’) thì véc tơ có tọa vị (z’ z), hoặc kí hiệu là (AB), và = |z’ – z| (hay =|AB|). Do đó trong mặt phẳng phức C, phương trình đường tròn tâm tại điểm M0(z0), bán kính R là |z – z0| = R hay với tham số t biến thiên trong đoạn 0; 2 hay một phần của đoạn đó mà ta có toàn bộ đường tròn hay một cung tương ứng, còn phương trình đường thẳng có dạng: , , đường thẳng song song với trục Ox , , đường thẳng song song với trục Oy , , là số đo góc định hướng hợp bởi đường thẳng và tia Ox. Sau đó nhờ phép chuyển tương ứng điểm hình học hay điểm phức M thành vectơ (O là gốc tọa độ), chuyển khoảng cách giữa hai điểm phức thành độ dài vectơ , bình phương modul của điểm phức thành vô hướng vectơ ta sẽ nhận được lời giải thông thường của bài toán đã cho, một lời giải không ứng dụng số phức. Nhờ đó ta nhận được lời giải thông thường của bài toán đã cho. II. Bài tập minh họa. Bài tập 1. Cho đường tròn (C) đường kính AB = 2R, điểm M chuyển động trên (C), A là điểm đối xứng của A qua M. Tìm tập hợp điểm A và trọng tâm G của tam giác AAB. Giải Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng với tâm đường tròn (C) đã cho, trục hoành đi qua các điểm A, B. Tập hợp các điểm A Ta có . Suy ra, điểm A chuyển động trên đường tròn tâm B, bán kính 2R. Tập hợp trọng tâm G của tam giác AAB. Gọi G là trọng tâm của tam giác AAB. Ta có Suy ra , trong đó . Do đó . Vậy điểm G chuyển động trên đường tròn tâm tại , bán kính . Bài tập 2: Cho nửa đường tròn có đường kính AB = 2R cố định. Điểm C chuyển động trên nửa đường tròn. Về phía ngoài tam giác ABC dựng tam giác ACD vuông cân ở A. Tìm tập hợp điểm D. Giải Đặt đoạn AB = 2R trên trục thực, điểm A trùng với gốc tọa độ O. Tam giác ACD vuông ở A và nằm ở phía ngoài tam giác ABC nên . Điểm C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB nên Do đó . và theo công thức nhân hai số phức dưới dạng lượng giác ta có Vậy tập hợp điểm D là nửa đường tròn bên trái của đường tròn tâm , bán kính R. Bài tập 3: Cho đường tròn (C) tâm O, bán kính R, BC là dây cung cố định không phải là đường kính của đường tròn (C), điểm A chuyển động trên cung lớn BC. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC. Giải Giả sử mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng với tâm đường tròn (C), trục hoành song song với dây cung BC. Do đó trục tung vuông góc với BC và đi qua trung điểm I của BC. Ta có Trong đó . Vậy G chuyển động trên đường tròn tâm J bán kính . Vì A chuyển động trên cung lớn BC nên G chuyển động trên một cung tròn của đường tròn tâm J bán kính . Bài tập 4: Cho nữa đường tròn tâm O đường kính MN. A là điểm thay đổi trên cung MN. Kẻ AH vuông góc với MN. Trên tia OA lấy điểm lấy C sao cho OC = AB. Tìm quỹ tích điểm C khi A chuyển động trên MN. Giải Chọn mặt phẳng Oxy sao cho gốc tọa độ trùng với tâm đường tròn. MN=2R (R bán kính đường tròn tâm O) nằm trên trục thực. Dễ thấy khi A chuyển động trên cung MN thì H chuyển động trên đoạn MN. Gọi . Tọa vị của A, C lần lượt là a,c. Từ giả thiết bài toán ta có: Hay: Từ () ta có: Khi t biến thiên từ 0 đến thì biến thiên từ đến nghĩa là điểm C chạy trên đường tròn tâm D có tọa vị , bán kính . Vậy quỹ tích điểm C là đường tròn tâm D đường kính PO. Một số bài tập khác: Bài 5: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Qua B, C vẽ đường tròn thay đổi tâm D, từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AM’ với đường tròn. Tìm quỹ tích trung điểm N của MM’. Bài 6: Cho hình bình hành ABCD. Tìm tập hợp điểm M sao cho (k là số thực). Bài 7: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Điểm C chuyển động trên nửa đường tròn. Về phía ngoài tam giác ABC, dựng hình vuông ACDE. Tìm quỹ tích các đỉnh D, E của hình vuông. Bài 8: Tứ giác có các đỉnh A, B, C cố định, cạnh AD=a, DC=b không đổi, M, N là trung điểm của AC, BD. Tìm quỹ tích điểm M và trung điểm P của MN. HẾT

TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM GIA LAI

KHOA TỰ NHIÊN



ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

Pleiku, ngày 17 tháng 04 năm 2017

TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM GIA LAI

KHOA TỰ NHIÊN



ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

Giáo viên hướng dẫn:

Sinh viên:

Lớp:

MSV:

Lời Nói Đầu

Số phức ra đời do yêu cầu của việc mở rộng tập số thực khi giải phương trình nhưng ngày nay số phức lại có ứng dụng cực to lớn trong hình học, vật lí, cơ học

và các ngành kĩ thuật khác

Trong hình học có thể sử dụng số phức để biểu diễn các đối tượng và tính chất hình học, từ đó có thể dùng số phức để giải một số bài toán hình học

Trong chuyên đề này dưới góc độ là một sinh viên với tầm hiểu biết chưa đủ cao còn nhiều vấn đề chưa thể nắm bắt rõ em xin trình bày một phần nhỏ của ứng dụng

số phức để hình học đó là chuyên đề “Ứng dụng số phức để giải một số bài toán quỹ tích” Vì thời gian ngắn, nguồn tài liệu còn hạn chế chắc chắn bài làm của em

sẽ gặp nhiều thiếu sót em rất mong nhận được thêm lời góp ý của thầy Nguyễn Quốc Trịnh

Em xin chân thành cảm ơn!

Mục Lục

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN QUỸ TÍCH 3

A Lịch sử số phức 3

B Kiến thức cơ bản về số phức 6

I Định nghĩa số phức, các phép toán trên trường số phức 6

II Dạng lượng giác của số phứcv à công thức Moa-Vrơ 9

C Ứng dụng số phức vào giải một số bài toán quỹ tích trong hình học phẳng 11

I Biểu diễn điểm trên mặt phẳng phức 11

II Bài tập minh họa 12

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

A Lịch sử số phức.

Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ XVI-thời kì Phục Hưng của toán học châu Âu Các đại lượng ảo , , xuất hiện đầu tiên trong “Nghệ thuật vĩ đại hay là về các quy tắc của đại số” của G Cardano (1501 – 1576) và “Đại số” của R Bombelli (1530 – 1572)

Khi giải phương trình bậc hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí hiệu là lời giải hình thức của phương trình

Xét biểu thức là nghiệm hình thức của pt:

Khi đó biểu thức tổng quát hơn có dạng , có thể xem là nghiệm hình thức của phương trình

Về sau biểu thức dạng , xuất hiện trong quá trình giải phương trình bậc hai, bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng “ảo” Tuy nhiên tên gọi và kí hiệu với là đơn vị ảo cũng gây băn khoăn vì nó không có

gì chung với số - một công cụ của phép đếm

Sự khủng hoảng niềm tin càng sâu sắc hơn bởi việc chuyển một cách thiếu thận trọng một số quy tắc đã sản sinh ra những nghịch lí

Chẳng hạn như nghịch lí sau đây: vì nên , nhưng đồng thời: i2

Như vậy

Lịch sử toán học cũng ghi lại, Cardano cũng đã nhắc đến các nghiệm phức nhưng lại gọi chúng là các nghiệm “ngụy biện”

Rất thú vị số phức xuất hiện không phải từ các phương trình bậc 2 như

Các phương trình này rõ ràng vô nghiệm và

không có gì để bàn Thế nhưng với phương trình thì khác Có thể chứng minh được rằng phương trình này có đến 3 nghiệm Vậy mà phương pháp Cardano không áp dụng được do ∆ < 0 Số phức xuất hiện để giải quyết nghịch lý này

Có lẽ tên gọi “ảo” là di sản vĩnh cửu của “một thời ngây thơ đáng trân trọng của số học”

Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại chính là R.Bombelli Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã định nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên lí thuyết các số “ảo”

Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K Gauss (năm 1831) L Euler (1777 – 1855) mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738), còn A Moivre (1667 – 1754) nghiên cứu và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736) Năm

1799, nhà toán học người Nauy là C.Wessel đưa ra sự minh họa hình học về số phức và các phép toán trên chúng

Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại chính là R.Bombelli Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã định nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên lí thuyết các số “ảo”

Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K Gauss (năm 1831) L Euler (1777 – 1855) mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738), còn A Moivre (1667 – 1754) nghiên cứu và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736) Năm

1799, nhà toán học người Nauy là C.Wessel đưa ra sự minh họa hình học về số phức và các phép toán trên chúng

Lí thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số thực có

thứ tự được xây dựng bởi W.Hamilton (1837) Ở đây đơn vị “ảo” chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ tự - cặp tức là đơn vị “ảo” được lí giải một cách hiện thực

Cho đến thế kỉ thứ XIX, Gauss thành công trong việc luận chứng một cách vững chắc khái niệm số phức Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với đối với định lí cơ bản của Đại số khẳng định rằng trong trường số phức mọi phương trình đa thức đều có nghiệm

Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của trường mở rộng

(đại số) của trường số thực thu được bằng phép ghép đại số cho nghiệm của phương trình:

Gauss đã chứng minh được trường số phức là trường đóng đại số, nghĩa là khi xét các nghiệm của phương trình đại số trong trường này ta không thu được thêm số mới

Nhìn lại hơn 2500 năm từ thời Pythagor tới giờ, con đường phát triển khái niệm về số có thể tóm tắt bởi với các bao hàm thức:

K.Weierstrass đã chứng minh tập hợp số phức không thể mở rộng thành tập hợp

rộng hơn bằng cách ghép thêm số mới để trong tập hợp số rộng hơn thu được vẫn bảo toàn mọi phép tính và mọi quy luật của các phép toán đã đúng trong tập hợp số phức

Tổng kết lịch sử toàn bộ quá trình phát triển khái niệm số, nhà toán học Đức

L.Kronecker (1823 - 1891) đã viết: “Thượng đế đã tạo ra số tự nhiên, còn tất cả các lại số còn lại đều là công trình sáng tạo của con người”

Có thể nói rằng, với khẳng định bất hủ này, L.Kronecker đã xác định nền móng vững chắc cho tòa lâu đài toán học tráng lệ , mà con người đang sở hữu

B Kiến thức cơ bản về số phức.

I Định nghĩa số phức, các phép toán trên trường số phức

1 Định nghĩa số phức.

Xét tập hợp

Mỗi phân tử của :

được gọi là một số phức

được gọi là phần thực của số phức z

được gọi là phần ảo của số phức z

Tập hợp được gọi là tập hợp số phức

2 Hai số phưc bằng nhau.

Hai số phức

3 Biểu diễn số phức trên mặt phẳng.

Mỗi số phức được biểu diễn trên mặt phẳng bởi điểm

Với a là phần thực, b là phần ảo nên Ox là trục thực còn Oy là trục ảo Mặt phẳng Oxy lúc này gọi là mặt phẳng phức

3 Môdun của số phức.

Số phức , điểm

Độ dài của véctơ gọi là môđun của số phức

Công thức

Nếu

3 Số phức liên hợp

a Định nghĩa

Cho số phức người ta gọi số phức

liên hợp của z và kí hiệu

b Tính chất

4 Các phép toán trên số phức.

a Phép cộng

b Phép trừ

c Phép nhân

d Các phép toán lũy thừa

…

e Tổng tích hai số phức liên hợp

Cho số phức và số phức liên hợp là ta có:

f Số phức nghịch đảo của số phức

Cho số phức

Số phức được gọi là số phức nghịch đảo của số phức

Kí hiệu

Ta thấy

Vậy nghịch đảo của số phức z là số phức

g Chia hai số phức

5 Liên hợp của tổng, hiệu, tích, thương các số phức.

Cho là hai số phức

a

b

c

d

II Dạng lượng giác của số phứcv à công thức Moa-Vrơ.

1 Dạng lượng giác của số phức.

a Môđun của số phức là

b Argumen của số phức z=a+bi là góc lượng giác sao cho

Vậy

c Môđun và Argumen của hai số phức bằng nhau.

Cho hai số phức

2 Công thức Moa – Vrơ.

a Tích hai số phức dưới dạng lượng giác

b Nghịch đảo của số phức

c Thương các số phức

d Công thức Moa – Rvơ

a

b Căn bậc hai số phức

C Ứng dụng số phức vào giải một số bài toán quỹ tích trong hình học phẳng.

I Biểu diễn điểm trên mặt phẳng phức.

Khi giải các bài toán trong hình học phẳng ta đồng nhất số phức z x iy= + với điểm

M(x,y) trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Descartes Oxy, và gọi z là tọa vị của điểm M (đối với hệ tọa độ đó); kí hiệu M(z), hoặc kí hiệu đơn giản hơn là M; đồng thời cũng đồng nhất số phức z x iy= + với véc tơ OMuuurtrong đó điểm đầu O

là gốc tọa độ, điểm cuối M là điểm biểu diễn số phức z, vì vậy nếu nói M có tọa vị

z thì cũng nói véc tơ OMuuur

có tọa vị z Nhờ vậy, nếu A(z), B(z’) thì véc tơ

AB OB OA= −

uur uur uur

có tọa vị (z’ -z), hoặc kí hiệu là (A-B), và |uurAB|

= |z’ – z| (hay |uurAB|

=|A-B|) Do đó trong mặt phẳng phức C, phương trình đường tròn tâm tại điểm M0(z0), bán kính R là |z – z0| = R hay z z= +0 R(cost+isint) với tham số t biến thiên trong đoạn [0; 2π ] hay một phần của đoạn đó mà ta có toàn bộ đường tròn hay một cung tương ứng, còn phương trình đường thẳng có dạng:

z x ib= + , b c= onst, đường thẳng song song với trục Ox

z a iy= + , a c= onst, đường thẳng song song với trục Oy

z x iy= + , y x= tanϕ, ϕ là số đo góc định hướng hợp bởi đường thẳng và tia Ox.

Sau đó nhờ phép chuyển tương ứng điểm hình học hay điểm phức M thành vectơ

OMuuur

(O là gốc tọa độ), chuyển khoảng cách giữa hai điểm phức B A− thành độ

dài vectơ ABuur

, bình phương modul của điểm phức M2 =M M thành vô hướng vectơ OMuuur2

ta sẽ nhận được lời giải thông thường của bài toán đã cho, một lời giải

Nhờ đó ta nhận được lời giải thông thường của bài toán đã cho.

II Bài tập minh họa.

Bài tập 1 Cho đường tròn (C) đường kính AB = 2R, điểm M chuyển động trên

(C), A' là điểm đối xứng của A qua M Tìm tập hợp điểm A' và trọng tâm G của tam giác A'AB

Giải

Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng với tâm đường tròn (C) đã cho, trục hoành đi qua các điểm A, B

* Tập hợp các điểm A'

Ta có B= −A, A' A+ = 2M ⇒ − =A' B 2M ⇒ A' B− = 2M = 2R Suy ra, điểm A' chuyển động trên đường tròn ( )C1 tâm B, bán kính 2R

* Tập hợp trọng tâm G của tam giác A'AB

Gọi G là trọng tâm của tam giác A'AB Ta có 1( ) 1 1( 2 )

G= A' A B+ + = A' = B+ M

( )C1

Suy ra 1 2 2

3

J = B

G J− = M = R Vậy điểm G chuyển động trên đường tròn ( )C2 tâm tại

1

3

J = B, bán kính 2

3R

Bài tập 2: Cho nửa đường tròn có đường kính AB = 2R cố định Điểm C chuyển

động trên nửa đường tròn Về phía ngoài tam giác ABC dựng tam giác ACD vuông cân ở A Tìm tập hợp điểm D

Giải

Đặt đoạn AB = 2R trên trục thực, điểm A trùng với gốc tọa độ O

Tam giác ACD vuông ở A và nằm ở phía ngoài tam giác ABC nên

90 90

D C cos= +i sin =iC.

Điểm C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB nên

Do đó D iC iR R cost i sint i= = + ( + ) Vì I cos= 90 0 +i sin90 0 và theo công thức nhân hai số phức dưới dạng lượng giác ta có

D iR R cos t= +  + +i sin t+ , ≤ ≤t

Vậy tập hợp điểm D là nửa đường tròn bên trái của đường tròn tâm D0 =iR, bán

kính R

Bài tập 3: Cho đường tròn (C) tâm O, bán kính R, BC là dây cung cố định không

phải là đường kính của đường tròn (C), điểm A chuyển động trên cung lớn BC Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC

Giải

Giả sử mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng với tâm đường tròn (C), trục hoành song song với dây cung BC Do đó trục tung vuông góc với BC và đi qua trung điểm I của BC

Ta có

2

2

B C I

+ =

Trong đó 2

3

J = I Vậy G chuyển động trên đường tròn tâm J bán kính 1

3R Vì A chuyển động trên cung lớn BC nên G chuyển động trên một cung tròn của đường tròn tâm J bán kính 1

3R

Bài tập 4: Cho nữa đường tròn tâm O đường kính MN A là điểm thay đổi trên

cung MN Kẻ AH vuông góc với MN Trên tia OA lấy điểm lấy C sao cho OC =

AB Tìm quỹ tích điểm C khi A chuyển động trên MN

Giải

Chọn mặt phẳng Oxy sao cho gốc tọa độ

trùng với tâm đường tròn MN=2R (R bán

kính đường tròn tâm O) nằm trên trục thực

Dễ thấy khi A chuyển động trên cung MN

thì H chuyển động trên đoạn MN

a,c Từ giả thiết bài toán ta có:

Re ,0it

2

(cos sin ) sin (cos sin ) sin cos sin

sin 2 (1 cos 2 ) (cos 2 sin 2 )

[cos( ) sin( )](cos 2 sin 2 )

iR R

Hay:

(2 ) 2

[cos(2 ) sin(2 )]

2 2

i t

iR R

π

π

−

Từ (*) ta có: Khi t biến thiên từ 0 đến π thì 2

2

t−π biến thiên từ

2

π

− đến 3

2

π nghĩa

là điểm C chạy trên đường tròn tâm D có tọa vị iR , bán kính R

Vậy quỹ tích điểm C là đường tròn tâm D đường kính PO.

Một số bài tập khác:

Bài 5: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó Qua B, C vẽ đường tròn thay

đổi tâm D, từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AM’ với đường tròn Tìm quỹ tích trung điểm N của MM’

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD Tìm tập hợp điểm M sao cho

MA +MB +MC +MD =k (k là số thực)

Bài 7: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB=2R Điểm C chuyển động trên nửa

đường tròn Về phía ngoài tam giác ABC, dựng hình vuông ACDE Tìm quỹ tích các đỉnh D, E của hình vuông

Bài 8: Tứ giác có các đỉnh A, B, C cố định, cạnh AD=a, DC=b không đổi, M, N là

trung điểm của AC, BD Tìm quỹ tích điểm M và trung điểm P của MN