TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM GIA LAI KHOA TỰ NHIÊN ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH Pleiku, ngày 17 tháng 04 năm 2017 TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM GIA LAI KHOA TỰ NHIÊN ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên: Lớp: MSV: Lời Nói Đầu Số phức ra đời do yêu cầu của việc mở rộng tập số thực khi giải phương trình nhưng ngày nay số phức lại có ứng dụng cực to lớn trong hình học, vật lí, cơ học và các ngành kĩ thuật khác. Trong hình học có thể sử dụng số phức để biểu diễn các đối tượng và tính chất hình học, từ đó có thể dùng số phức để giải một số bài toán hình học. Trong chuyên đề này dưới góc độ là một sinh viên với tầm hiểu biết chưa đủ cao còn nhiều vấn đề chưa thể nắm bắt rõ em xin trình bày một phần nhỏ của ứng dụng số phức để hình học đó là chuyên đề “Ứng dụng số phức để giải một số bài toán quỹ tích”. Vì thời gian ngắn, nguồn tài liệu còn hạn chế chắc chắn bài làm của em sẽ gặp nhiều thiếu sót em rất mong nhận được thêm lời góp ý của thầy Nguyễn Quốc Trịnh. Em xin chân thành cảm ơn Mục Lục ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN QUỸ TÍCH A. Lịch sử số phức. 3 B. Kiến thức cơ bản về số phức. 6 I. Định nghĩa số phức, các phép toán trên trường số phức. 6 II. Dạng lượng giác của số phứcv à công thức MoaVrơ. 8 C. Ứng dụng số phức vào giải một số bài toán quỹ tích trong hình học phẳng. 10 I. Biểu diễn điểm trên mặt phẳng phức. 10 II. Bài tập minh họa. 11 ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN QUỸ TÍCH A. Lịch sử số phức. Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ XVIthời kì Phục Hưng của toán học châu Âu. Các đại lượng ảo , , xuất hiện đầu tiên trong “Nghệ thuật vĩ đại hay là về các quy tắc của đại số” của G. Cardano (1501 – 1576) và “Đại số” của R. Bombelli (1530 – 1572). Khi giải phương trình bậc hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí hiệu là lời giải hình thức của phương trình Xét biểu thức là nghiệm hình thức của pt: . Khi đó biểu thức tổng quát hơn có dạng , có thể xem là nghiệm hình thức của phương trình Về sau biểu thức dạng , xuất hiện trong quá trình giải phương trình bậc hai, bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng “ảo” .Tuy nhiên tên gọi và kí hiệu với là đơn vị ảo cũng gây băn khoăn vì nó không có gì chung với số một công cụ của phép đếm. Sự khủng hoảng niềm tin càng sâu sắc hơn bởi việc chuyển một cách thiếu thận trọng một số quy tắc đã sản sinh ra những nghịch lí Chẳng hạn như nghịch lí sau đây: vì nên , nhưng đồng thời: i2 = = = = Như vậy . Lịch sử toán học cũng ghi lại, Cardano cũng đã nhắc đến các nghiệm phức nhưng lại gọi chúng là các nghiệm “ngụy biện”. Rất thú vị số phức xuất hiện không phải từ các phương trình bậc 2 như Các phương trình này rõ ràng vô nghiệm và không có gì để bàn. Thế nhưng với phương trình thì khác. Có thể chứng minh được rằng phương trình này có đến 3 nghiệm. Vậy mà phương pháp Cardano không áp dụng được do < 0. Số phức xuất hiện để giải quyết nghịch lý này. Có lẽ tên gọi “ảo” là di sản vĩnh cửu của “một thời ngây thơ đáng trân trọng của số học”. Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại chính là R.Bombelli. Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã định nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên lí thuyết các số “ảo”. Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K. Gauss (năm 1831). L. Euler (1777 – 1855) mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738), còn A. Moivre (1667 – 1754) nghiên cứu và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736). Năm 1799, nhà toán học người Nauy là C.Wessel đưa ra sự minh họa hình học về số phức và các phép toán trên chúng. Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại chính là R.Bombelli. Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã định nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên lí thuyết các số “ảo”. Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K. Gauss (năm 1831). L. Euler (1777 – 1855) mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738), còn A. Moivre (1667 – 1754) nghiên cứu và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736). Năm 1799, nhà toán học người Nauy là C.Wessel đưa ra sự minh họa hình học về số phức và các phép toán trên chúng. Lí thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số thực có thứ tự được xây dựng bởi W.Hamilton (1837). Ở đây đơn vị “ảo” chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ tự cặp tức là đơn vị “ảo” được lí giải một cách hiện thực. Cho đến thế kỉ thứ XIX, Gauss thành công trong việc luận chứng một cách vững chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với đối với định lí cơ bản của Đại số khẳng định rằng trong trường số phức mọi phương trình đa thức đều có nghiệm. Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của trường mở rộng (đại số) của trường số thực thu được bằng phép ghép đại số cho nghiệm của phương trình: Gauss đã chứng minh được trường số phức là trường đóng đại số, nghĩa là khi xét các nghiệm của phương trình đại số trong trường này ta không thu được thêm số mới. Nhìn lại hơn 2500 năm từ thời Pythagor tới giờ, con đường phát triển khái niệm về số có thể tóm tắt bởi với các bao hàm thức: . K.Weierstrass đã chứng minh tập hợp số phức không thể mở rộng thành tập hợp rộng hơn bằng cách ghép thêm số mới để trong tập hợp số rộng hơn thu được vẫn bảo toàn mọi phép tính và mọi quy luật của các phép toán đã đúng trong tập hợp số phức. Tổng kết lịch sử toàn bộ quá trình phát triển khái niệm số, nhà toán học Đức L.Kronecker (1823 1891) đã viết: “Thượng đế đã tạo ra số tự nhiên, còn tất cả các lại số còn lại đều là công trình sáng tạo của con người”. Có thể nói rằng, với khẳng định bất hủ này, L.Kronecker đã xác định nền móng vững chắc cho tòa lâu đài toán học tráng lệ , mà con người đang sở hữu. B. Kiến thức cơ bản về số phức. I. Định nghĩa số phức, các phép toán trên trường số phức. 1. Định nghĩa số phức. Xét tập hợp Mỗi phân tử của : được gọi là một số phức. được gọi là phần thực của số phức z. được gọi là phần ảo của số phức z. Tập hợp được gọi là tập hợp số phức. Nếu là số thực. Nếu là số thuần ảo. 2. Hai số phưc bằng nhau. Hai số phức 3. Biểu diễn số phức trên mặt phẳng. Mỗi số phức được biểu diễn trên mặt phẳng bởi điểm . Với a là phần thực, b là phần ảo nên Ox là trục thực còn Oy là trục ảo. Mặt phẳng Oxy lúc này gọi là mặt phẳng phức. 3. Môdun của số phức. Số phức , điểm Độ dài của véctơ gọi là môđun của số phức . Công thức Nếu 3. Số phức liên hợp. a. Định nghĩa. Cho số phức người ta gọi số phức liên hợp của z và kí hiệu . b. Tính chất. 4. Các phép toán trên số phức. Cho 2 số phức . a. Phép cộng. b. Phép trừ. c. Phép nhân. d. Các phép toán lũy thừa. … . e. Tổng tích hai số phức liên hợp. Cho số phức và số phức liên hợp là ta có: f. Số phức nghịch đảo của số phức. Cho số phức Số phức được gọi là số phức nghịch đảo của số phức . Kí hiệu Ta thấy Vậy nghịch đảo của số phức z là số phức . g. Chia hai số phức. 5. Liên hợp của tổng, hiệu, tích, thương các số phức. Cho là hai số phức a. b. c. d. II. Dạng lượng giác của số phứcv à công thức MoaVrơ. 1. Dạng lượng giác của số phức. a. Môđun của số phức là b. Argumen của số phức z=a+bi là góc lượng giác sao cho Vậy Trong đó c. Môđun và Argumen của hai số phức bằng nhau. Cho hai số phức 2. Công thức Moa – Vrơ. a. Tích hai số phức dưới dạng lượng giác. b. Nghịch đảo của số phức. c. Thương các số phức. d. Công thức Moa – Rvơ. a. b. Căn bậc hai số phức. C. Ứng dụng số phức vào giải một số bài toán quỹ tích trong hình học phẳng. I. Biểu diễn điểm trên mặt phẳng phức. Khi giải các bài toán trong hình học phẳng ta đồng nhất số phức với điểm M(x,y) trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Descartes Oxy, và gọi z là tọa vị của điểm M (đối với hệ tọa độ đó); kí hiệu M(z), hoặc kí hiệu đơn giản hơn là M; đồng thời cũng đồng nhất số phức với véc tơ trong đó điểm đầu O là gốc tọa độ, điểm cuối M là điểm biểu diễn số phức z, vì vậy nếu nói M có tọa vị z thì cũng nói véc tơ có tọa vị z. Nhờ vậy, nếu A(z), B(z’) thì véc tơ có tọa vị (z’ z), hoặc kí hiệu là (AB), và = |z’ – z| (hay =|AB|). Do đó trong mặt phẳng phức C, phương trình đường tròn tâm tại điểm M0(z0), bán kính R là |z – z0| = R hay với tham số t biến thiên trong đoạn 0; 2 hay một phần của đoạn đó mà ta có toàn bộ đường tròn hay một cung tương ứng, còn phương trình đường thẳng có dạng: , , đường thẳng song song với trục Ox , , đường thẳng song song với trục Oy , , là số đo góc định hướng hợp bởi đường thẳng và tia Ox. Sau đó nhờ phép chuyển tương ứng điểm hình học hay điểm phức M thành vectơ (O là gốc tọa độ), chuyển khoảng cách giữa hai điểm phức thành độ dài vectơ , bình phương modul của điểm phức thành vô hướng vectơ ta sẽ nhận được lời giải thông thường của bài toán đã cho, một lời giải không ứng dụng số phức. Nhờ đó ta nhận được lời giải thông thường của bài toán đã cho. II. Bài tập minh họa. Bài tập 1. Cho đường tròn (C) đường kính AB = 2R, điểm M chuyển động trên (C), A là điểm đối xứng của A qua M. Tìm tập hợp điểm A và trọng tâm G của tam giác AAB. Giải Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng với tâm đường tròn (C) đã cho, trục hoành đi qua các điểm A, B. Tập hợp các điểm A Ta có . Suy ra, điểm A chuyển động trên đường tròn tâm B, bán kính 2R. Tập hợp trọng tâm G của tam giác AAB. Gọi G là trọng tâm của tam giác AAB. Ta có Suy ra , trong đó . Do đó . Vậy điểm G chuyển động trên đường tròn tâm tại , bán kính . Bài tập 2: Cho nửa đường tròn có đường kính AB = 2R cố định. Điểm C chuyển động trên nửa đường tròn. Về phía ngoài tam giác ABC dựng tam giác ACD vuông cân ở A. Tìm tập hợp điểm D. Giải Đặt đoạn AB = 2R trên trục thực, điểm A trùng với gốc tọa độ O. Tam giác ACD vuông ở A và nằm ở phía ngoài tam giác ABC nên . Điểm C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB nên Do đó . và theo công thức nhân hai số phức dưới dạng lượng giác ta có Vậy tập hợp điểm D là nửa đường tròn bên trái của đường tròn tâm , bán kính R. Bài tập 3: Cho đường tròn (C) tâm O, bán kính R, BC là dây cung cố định không phải là đường kính của đường tròn (C), điểm A chuyển động trên cung lớn BC. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC. Giải Giả sử mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng với tâm đường tròn (C), trục hoành song song với dây cung BC. Do đó trục tung vuông góc với BC và đi qua trung điểm I của BC. Ta có Trong đó . Vậy G chuyển động trên đường tròn tâm J bán kính . Vì A chuyển động trên cung lớn BC nên G chuyển động trên một cung tròn của đường tròn tâm J bán kính . Bài tập 4: Cho nữa đường tròn tâm O đường kính MN. A là điểm thay đổi trên cung MN. Kẻ AH vuông góc với MN. Trên tia OA lấy điểm lấy C sao cho OC = AB. Tìm quỹ tích điểm C khi A chuyển động trên MN. Giải Chọn mặt phẳng Oxy sao cho gốc tọa độ trùng với tâm đường tròn. MN=2R (R bán kính đường tròn tâm O) nằm trên trục thực. Dễ thấy khi A chuyển động trên cung MN thì H chuyển động trên đoạn MN. Gọi . Tọa vị của A, C lần lượt là a,c. Từ giả thiết bài toán ta có: Hay: Từ () ta có: Khi t biến thiên từ 0 đến thì biến thiên từ đến nghĩa là điểm C chạy trên đường tròn tâm D có tọa vị , bán kính . Vậy quỹ tích điểm C là đường tròn tâm D đường kính PO. Một số bài tập khác: Bài 5: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Qua B, C vẽ đường tròn thay đổi tâm D, từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AM’ với đường tròn. Tìm quỹ tích trung điểm N của MM’. Bài 6: Cho hình bình hành ABCD. Tìm tập hợp điểm M sao cho (k là số thực). Bài 7: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Điểm C chuyển động trên nửa đường tròn. Về phía ngoài tam giác ABC, dựng hình vuông ACDE. Tìm quỹ tích các đỉnh D, E của hình vuông. Bài 8: Tứ giác có các đỉnh A, B, C cố định, cạnh AD=a, DC=b không đổi, M, N là trung điểm của AC, BD. Tìm quỹ tích điểm M và trung điểm P của MN. HẾT
TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM GIA LAI KHOA TỰ NHIÊN ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH Pleiku, ngày 17 tháng 04 năm 2017 TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM GIA LAI KHOA TỰ NHIÊN ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI BÀI TỐN QUỸ TÍCH Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên: Lớp: MSV: Lời Nói Đầu Số phức đời yêu cầu việc mở rộng tập số thực giải phương trình ngày số phức lại có ứng dụng cực to lớn hình học, vật lí, học ngành kĩ thuật khác Trong hình học sử dụng số phức để biểu diễn đối tượng tính chất hình học, từ dùng số phức để giải số tốn hình học Trong chun đề góc độ sinh viên với tầm hiểu biết chưa đủ cao nhiều vấn đề chưa thể nắm bắt rõ em xin trình bày phần nhỏ ứng dụng số phức để hình học chuyên đề “Ứng dụng số phức để giải số tốn quỹ tích” Vì thời gian ngắn, nguồn tài liệu hạn chế chắn làm em gặp nhiều thiếu sót em mong nhận thêm lời góp ý thầy Nguyễn Quốc Trịnh Em xin chân thành cảm ơn! Mục Lục ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN QUỸ TÍCH A Lịch sử số phức B Kiến thức số phức I Định nghĩa số phức, phép toán trường số phức II Dạng lượng giác số phứcv công thức Moa-Vrơ C Ứng dụng số phức vào giải số tốn quỹ tích hình học phẳng 11 I Biểu diễn điểm mặt phẳng phức 11 II Bài tập minh họa 12 ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN QUỸ TÍCH A Lịch sử số phức Lịch sử số phức kỉ XVI-thời kì Phục Hưng tốn học châu Âu Các đại lượng ảo , , xuất “Nghệ thuật vĩ đại quy tắc đại số” G Cardano (1501 – 1576) “Đại số” R Bombelli (1530 – 1572) Khi giải phương trình bậc hai Cardano Bombelli đưa vào xét kí hiệu lời giải hình thức phương trình Xét biểu thức nghiệm hình thức pt: Khi biểu thức tổng quát có dạng , xem nghiệm hình thức phương trình Về sau biểu thức dạng , xuất trình giải phương trình bậc hai, bậc ba (công thức Cardano) gọi đại lượng “ảo” Tuy nhiên tên gọi kí hiệu với đơn vị ảo gây băn khoăn khơng có chung với số - cơng cụ phép đếm Sự khủng hoảng niềm tin sâu sắc việc chuyển cách thiếu thận trọng số quy tắc sản sinh nghịch lí Chẳng hạn nghịch lí sau đây: = Như = = nên , đồng thời: i2 = Lịch sử toán học ghi lại, Cardano nhắc đến nghiệm phức lại gọi chúng nghiệm “ngụy biện” Rất thú vị số phức xuất khơng phải từ phương trình bậc Các phương trình rõ ràng vơ nghiệm khơng có để bàn Thế với phương trình khác Có thể chứng minh phương trình có đến nghiệm Vậy mà phương pháp Cardano không áp dụng ∆ < Số phức xuất để giải nghịch lý Có lẽ tên gọi “ảo” di sản vĩnh cửu “một thời ngây thơ đáng trân trọng số học” Người nhìn thấy lợi ích đưa số phức vào tốn học mang lại R.Bombelli Trong “Đại số” (1572) ông định nghĩa phép tính số học đại lượng ảo ơng sáng tạo nên lí thuyết số “ảo” Thuật ngữ số phức dùng K Gauss (năm 1831) L Euler (1777 – 1855) mở rộng khái niệm logarit cho số phức (1738), A Moivre (1667 – 1754) nghiên cứu giải toán bậc tự nhiên số phức (1736) Năm 1799, nhà toán học người Nauy C.Wessel đưa minh họa hình học số phức phép tốn chúng Người nhìn thấy lợi ích đưa số phức vào tốn học mang lại R.Bombelli Trong “Đại số” (1572) ông định nghĩa phép tính số học đại lượng ảo ơng sáng tạo nên lí thuyết số “ảo” Thuật ngữ số phức dùng K Gauss (năm 1831) L Euler (1777 – 1855) mở rộng khái niệm logarit cho số phức (1738), A Moivre (1667 – 1754) nghiên cứu giải toán bậc tự nhiên số phức (1736) Năm 1799, nhà toán học người Nauy C.Wessel đưa minh họa hình học số phức phép tốn chúng Lí thuyết túy số học số phức với tư cách cặp số thực có thứ tự xây dựng W.Hamilton (1837) Ở đơn vị “ảo” đơn giản cặp số thực có thứ tự - cặp tức đơn vị “ảo” lí giải cách thực Cho đến kỉ thứ XIX, Gauss thành công việc luận chứng cách vững khái niệm số phức Tên tuổi Gauss gắn liền với định lí Đại số khẳng định trường số phức phương trình đa thức có nghiệm Bản chất đại số số phức thể chỗ số phức phần tử trường mở rộng (đại số) trường số thực thu phép ghép đại số cho nghiệm phương trình: Gauss chứng minh trường số phức trường đóng đại số, nghĩa xét nghiệm phương trình đại số trường ta khơng thu thêm số Nhìn lại 2500 năm từ thời Pythagor tới giờ, đường phát triển khái niệm số tóm tắt với bao hàm thức: K.Weierstrass chứng minh tập hợp số phức mở rộng thành tập hợp rộng cách ghép thêm số để tập hợp số rộng thu bảo toàn phép tính quy luật phép toán tập hợp số phức Tổng kết lịch sử tồn q trình phát triển khái niệm số, nhà toán học Đức L.Kronecker (1823 - 1891) viết: “Thượng đế tạo số tự nhiên, tất lại số lại cơng trình sáng tạo người” Có thể nói rằng, với khẳng định bất hủ này, L.Kronecker xác định móng vững cho tòa lâu đài tốn học tráng lệ , mà người sở hữu B Kiến thức số phức I Định nghĩa số phức, phép toán trường số phức Định nghĩa số phức Xét tập hợp Mỗi phân tử : gọi số phức gọi phần thực số phức z gọi phần ảo số phức z Tập hợp gọi tập hợp số phức Nếu Nếu số thực số ảo Hai số phưc Hai số phức Biểu diễn số phức mặt phẳng Mỗi số phức biểu diễn mặt phẳng điểm Với a phần thực, b phần ảo nên Ox trục thực Oy trục ảo Mặt phẳng Oxy lúc gọi mặt phẳng phức Môdun số phức Số phức , điểm Độ dài véctơ gọi môđun số phức Công thức Nếu Số phức liên hợp a Định nghĩa Cho số phức người ta gọi số phức liên hợp z kí hiệu b Tính chất Các phép tốn số phức Cho số phức a Phép cộng b Phép trừ c Phép nhân d Các phép toán lũy thừa … e Tổng tích hai số phức liên hợp Cho số phức số phức liên hợp ta có: f Số phức nghịch đảo số phức Cho số phức Số phức gọi số phức nghịch đảo số phức Kí hiệu Ta thấy Vậy nghịch đảo số phức z số phức g Chia hai số phức Liên hợp tổng, hiệu, tích, thương số phức Cho hai số phức a b c d II Dạng lượng giác số phứcv công thức Moa-Vrơ Dạng lượng giác số phức a Môđun số phức b Argumen số phức z=a+bi góc lượng giác cho Vậy Trong c Mơđun Argumen hai số phức Cho hai số phức Cơng thức Moa – Vrơ a Tích hai số phức dạng lượng giác b Nghịch đảo số phức c Thương số phức d Công thức Moa – Rvơ a b Căn bậc hai số phức 10 C Ứng dụng số phức vào giải số tốn quỹ tích hình học phẳng I Biểu diễn điểm mặt phẳng phức Khi giải tốn hình học phẳng ta đồng số phức z = x + iy với điểm M(x,y) mặt phẳng với hệ tọa độ vng góc Descartes Oxy, gọi z tọa vị điểm M (đối với hệ tọa độ đó); kí hiệu M(z), kí hiệu đơn giản M; uuur đồng thời đồng số phức z = x + iy với véc tơ OM điểm đầu O gốc tọa độ, điểm cuối M điểm biểu diễn số phức z, nói M có tọa vị uuur z nói véc tơ OM có tọa vị z Nhờ vậy, A(z), B(z’) véc tơ uur uur uur uur uur AB = OB − OA có tọa vị (z’ -z), kí hiệu (A-B), | AB | = |z’ – z| (hay | AB | =|A-B|) Do mặt phẳng phức C, phương trình đường tròn tâm điểm M0(z0), bán kính R |z – z 0| = R hay z = z0 + R ( cos t + isin t ) với tham số t biến thiên đoạn [0; π ] hay phần đoạn mà ta có tồn đường tròn hay cung tương ứng, phương trình đường thẳng có dạng: z = x + ib , b = const , đường thẳng song song với trục Ox z = a + iy , a = const , đường thẳng song song với trục Oy z = x + iy , y = x tan ϕ , ϕ số đo góc định hướng hợp đường thẳng tia Ox Sau nhờ phép chuyển tương ứng điểm hình học hay điểm phức M thành vectơ uuur OM (O gốc tọa độ), chuyển khoảng cách hai điểm phức B − A thành độ uur dài vectơ AB , bình phương modul điểm phức M = M M thành vô hướng uuur vectơ OM ta nhận lời giải thơng thường tốn cho, lời giải khơng ứng dụng số phức 11 Nhờ ta nhận lời giải thơng thường tốn cho II Bài tập minh họa Bài tập Cho đường tròn (C) đường kính AB = 2R, điểm M chuyển động (C), A' điểm đối xứng A qua M Tìm tập hợp điểm A' trọng tâm G tam giác A'AB Giải Chọn hệ tọa độ Oxy cho gốc tọa độ O trùng với tâm đường tròn (C) cho, trục hồnh qua điểm A, B ( C1 ) * Tập hợp điểm A' Ta có B = − A, A' + A = 2M ⇒ A' − B = 2M ⇒ A' − B = M = 2R Suy ra, điểm A' chuyển động đường tròn ( C1 ) tâm B, bán kính 2R * Tập hợp trọng tâm G tam giác A'AB Gọi G trọng tâm tam giác A'AB Ta có G = 1 ( A' + A + B ) = A' = ( B + 2M ) 3 12 3 3 Suy G − B = M ⇒ G − J = M , J = B Do G − J = 2 M = R Vậy điểm G chuyển động đường tròn ( C2 ) tâm 3 J = B , bán kính R 3 Bài tập 2: Cho nửa đường tròn có đường kính AB = 2R cố định Điểm C chuyển động nửa đường tròn Về phía ngồi tam giác ABC dựng tam giác ACD vng cân A Tìm tập hợp điểm D Giải Đặt đoạn AB = 2R trục thực, điểm A trùng với gốc tọa độ O Tam giác ACD vng A nằm phía ngồi tam giác ABC nên D = C ( cos900 + i sin 900 ) = iC Điểm C chuyển động nửa đường tròn đường kính AB nên C = R + R ( cos t + i sint ) , ≤ t ≤ 1800 13 Do D = iC = iR + R ( cos t + i sint ) i Vì I = cos900 + i sin 900 theo công thức nhân hai số phức dạng lượng giác ta có D = iR + R cos ( t + 900 ) + i sin ( t + 900 ) , ≤ t ≤ 1800 Vậy tập hợp điểm D nửa đường tròn bên trái đường tròn tâm D0 = iR , bán kính R Bài tập 3: Cho đường tròn (C) tâm O, bán kính R, BC dây cung cố định khơng phải đường kính đường tròn (C), điểm A chuyển động cung lớn BC Tìm tập hợp trọng tâm G tam giác ABC Giải Giả sử mặt phẳng với hệ tọa độ vng góc Oxy cho gốc tọa độ O trùng với tâm đường tròn (C), trục hồnh song song với dây cung BC Do trục tung vng góc với BC qua trung điểm I BC Ta có B + C = 2I 1 G = ( A + B + C ) = ( A + 2I ) 3 1 ⇒G− I = A⇒G−J = A 3 3 Trong J = I Vậy G chuyển động đường tròn tâm J bán kính R Vì A chuyển động cung lớn BC nên G chuyển động cung tròn đường tròn tâm J bán kính R 14 Bài tập 4: Cho đường tròn tâm O đường kính MN A điểm thay đổi cung MN Kẻ AH vuông góc với MN Trên tia OA lấy điểm lấy C cho OC = AB Tìm quỹ tích điểm C A chuyển động MN Giải Chọn mặt phẳng Oxy cho gốc tọa độ trùng với tâm đường tròn MN=2R (R bán kính đường tròn tâm O) nằm trục thực Dễ thấy A chuyển động cung MN H chuyển động đoạn MN → → Gọi t = (Ox; OB) Tọa vị A, C a,c Từ giả thiết tốn ta có: a = Reit , ≤ t ≤ π c = c (cos t + i sin t ) = R sin t (cos t + i sin t ) = R sin t cos t + iR sin t R iR iR iR sin 2t + (1 − cos 2t ) = − (cos 2t + i sin 2t ) 2 2 iR R −π −π = + [cos( ) + i sin( )](cos 2t + i sin 2t ) 2 2 = Hay: iR R π π + [cos(2t − ) + i sin(2t − )] 2 2 π iR R i (2t − ) = + e ,0 ≤ t ≤ π (*) 2 c= π −π 3π Từ (*) ta có: Khi t biến thiên từ đến π 2t − biến thiên từ đến nghĩa điểm C chạy đường tròn tâm D có tọa vị 2 iR R , bán kính 2 15 Vậy quỹ tích điểm C đường tròn tâm D đường kính PO Một số tập khác: Bài 5: Cho điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Qua B, C vẽ đường tròn thay đổi tâm D, từ A kẻ tiếp tuyến AM, AM’ với đường tròn Tìm quỹ tích trung điểm N MM’ Bài 6: Cho hình bình hành ABCD Tìm tập hợp điểm M cho MA2 + MB + MC + MD = k (k số thực) Bài 7: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB=2R Điểm C chuyển động nửa đường tròn Về phía ngồi tam giác ABC, dựng hình vng ACDE Tìm quỹ tích đỉnh D, E hình vng Bài 8: Tứ giác có đỉnh A, B, C cố định, cạnh AD=a, DC=b không đổi, M, N trung điểm AC, BD Tìm quỹ tích điểm M trung điểm P MN -HẾT - 16 17 ... thức số phức I Định nghĩa số phức, phép toán trường số phức Định nghĩa số phức Xét tập hợp Mỗi phân tử : gọi số phức gọi phần thực số phức z gọi phần ảo số phức z Tập hợp gọi tập hợp số phức. .. phức Cho số phức a Phép cộng b Phép trừ c Phép nhân d Các phép tốn lũy thừa … e Tổng tích hai số phức liên hợp Cho số phức số phức liên hợp ta có: f Số phức nghịch đảo số phức Cho số phức Số. .. ơn! Mục Lục ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN QUỸ TÍCH A Lịch sử số phức B Kiến thức số phức I Định nghĩa số phức, phép toán trường số phức