Trần ngọc thắng, ứng dụng số phức và hệ thặng dư trong bài toán đếm hè 2017

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC, HỆ THẶNG DƯ ĐẦY ĐỦ VÀ THU GỌN TRỌNG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM TRẦN NGỌC THẮNG, GV THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Bài (IMO 1995) Cho p số nguyên tố lẻ tập hợp A  1, 2, , p Tìm số tập hợp tập hợp A mà tập có p phần tử tổng phần tử chia hết cho p Bài (Mở rộng IMO 1995) Gọi f  n  số tập X tập hợp 1, 2, , 2n cho X có n phần tử tổng phần tử X chia hết cho n Chứng minh f n  1  n n   1 dn d n      C2dd d Lời giải Cách (Phân lớp thặng dư) Bổ đề Cho p số nguyên tố tập hợp A  1, 2, , p ; i, k số tự nhiên thỏa mãn  i  p  1,  k  p  Chứng minh số tập gồm k phần tử tập A tổng phần tử tập  i  mod p  C pk p Chứng minh Kí hiệu Ai tập hợp tập có k phần tử tổng phần tử tập  i  mod p  Xét hai số tự nhiên phân biệt m, n  0,1, 2, , p  1  k , p   nên kx x  0,1, 2, , p  1 hệ thặng dư đầy đủ mod p suy tồn số nguyên c  0,1, 2, , p  1 cho kc  m  n  mod p  Xét tập hợp a1  c, a2  c, , ak  c , ta có Xét a1 , a2 , , ak   An Do a1  c  a2  c   ak  c  a1  a2   ak  kc  n  m  n  m  mod p  Suy a1  c, a2  c, , ak  c An  Am  Ai  tương ứng với phần tử tập Am Do A0  A1   Ap 1 p  C pk p Vậy bổ đề chứng minh Trở lại toán, p số nguyên tố lẻ nên    p  p  p  1  p p  p  1 p p   p    p  p   p  1, p  2, , p hai tập thỏa mãn có suy hai tập 1, 2, , p hợp p phần tử tổng phần tử chia hết cho p  x   mod p  , A  1, 2, , p , p  1, p  2, , p Xét tập hợp A, A  p xA Giả sử A có k phần tử chọn từ 1, 2, , p tổng phần tử  i  mod p  p  k phần tử lại phải chọn từ tập  p  1, p  2, , p tổng p  k phần tử phải  p  i  mod p  Như theo toán cách chọn k phần tử thuộc tập 1, 2, , p số cách chọn p  k phần tử lại A C pp  k p  C pk p Do số cách  x   mod p  , A  1, 2, , p , p  1, p  2, , p chọn tập A, A  p xA p 1  C pk C pk p k 1 p p C   C      C pp   p  C2pp  p Do số tập thỏa mãn yêu cầu toán là: C2pp  p 2 2 2  i sin , kí hiệu x j ( j  0,1, , p  ) số tập hợp X p p A cho S  X   j  mod p  X  k Ta có Cách (Số phức) Đặt   cos p 1 x  j j 0 Ta nhận thấy j   X  A, X  k  S X     c  c   c 1 c1  c2   ck  p  c c  c hệ số x p  k khai triển thành đa thức  k 1 c1  c2   ck  p  x    x     x    Mặt khác ta có 2p x p    x     x     x   p    x p     x     x      x   p   x p    x    x     x   p  Do ta k  x     x     x   p   1  x p  Ta xét trường hợp sau TH1 Nếu k  p hệ số x p  k  x p Do ta p 1 x  j j j 0  c  c   c    k 1 c1  c2   ck  p Từ đẳng thức suy x0   x1   x p 1  x0   x0  x1   x p 1  p  x0  C2pp  p C2pp   p 2 TH2 Nếu k  p hệ số x p  k Do ta p 1 x  j j j 0  c  c   c    k 1 c1  c2   ck  p Từ đẳng thức suy x0  x1   x p 1  x0  Vậy x0  C2pp  p  k  p x0  x0  x1   x p 1 p C2k p p  C2k p p k  p Bài (Canada Mathematical Olimpiad 2014) Cho p số nguyên tố lẻ Tìm số số   nguyên, thứ tự a1 , a2 , , a p thỏa mãn đồng thời điều kiện sau : (1) a1 , a2 , , a p  0,1, 2, , p  1 ; (2) a1  a2   a p không chia hết cho p ; (3) a1a2  a2 a3   a p 1a p  a p a1 chia hết cho p  Bài Cho p số nguyên tố lẻ Tìm số số nguyên thứ tự a1 , a2 , , a p  thỏa mãn đồng thời điều kiện sau : (1) a1 , a2 , , a p  0,1, 2, , p  1 ; (2) a1  a2   a p không chia hết cho p ; (3) a12  a22   a 2p chia hết cho p Lời giải  Kí hiệu Ai , i  0,1, , p  tập hợp thứ tự a1 , a2 , , a p  thỏa mãn điều kiện (1), (2) thỏa mãn a1a2  a2 a3   a p 1a p  a p a1  i  mod p    Xét a1 , a2 , , a p  Ai       Do a1  a2   a p , p   a1  a2   a p k k  0,1, , p  lập thành hệ thặng dư đầy đủ suy với số j  0,1, , p  1 tồn số c  0,1, , p  1 cho  a1  a2   a p  c  j  i  mod p    Xét a1  c, a2  c, , a p  c , ta thấy thỏa mãn điều kiện (2) Tiếp theo ta kiểm tra điều kiện (3),  a1  c  a2  c    a2  c   a3  c     a p  c   a1  c   a1a2  a2 a3   a p a1  2c  a1  a2   a p   pc  i  j  i  j  mod p    Suy a1  c, a2  c, , a p  c thỏa mãn điều kiện (2), (3) Do đó, cách xét theo mod p  a  c, a A0  A1   Ap 1   c, , a p  c  tương ứng với thuộc Aj Từ suy A0  A1   Ap 1 p (*) A0  A1   Ap 1 số  a1 , a2 , , a p  thỏa mãn điều kiện (2), dễ thấy số p p 1  p  1 , kết hợp với (*) ta có A0  p p 1  p  1   p p   p  1 p A0  A1   Ap 1 p Vậy số cần tìm p p   p  1 Bài (China TST 2017) Tìm số thứ tự  x1 , x2 , , x100  thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (i) x1 , x2 , , x100  1, 2, , 2017 ; (ii) 2017 x1  x2   x100 ; (iii) 2017 x12  x22   x100 Lời giải Để thuận tiện trình bày ta đặt p  2017  p  1 mod  Gọi   cos a , a , , a  a , a , , a  với hệ thặng dư đầy đủ mod p vào nhận xét ta 1,  , ,     p 1 a1 ,  a2 , ,  ap p p 2 2  i sin , p p  ta có 1,  , ,  p 1   a1 ,  a2 , ,  ap  Dựa hệ thặng dư đầy đủ mod p  suy a1 a2       ap         p 1  p 1    1 Dựa vào kết ta thu bổ đề sau: p 1 Bổ đề    a x12  x22   x100  b  x1  x2   x100  x12  x22   x100 , x1  x2   x100 không đồng a ,b  thời chia hết cho p p x12  x22   x100 , x1  x2   x100 đồng thời chia hết cho p Chứng minh Nếu hai số x12  x22   x100 , x1  x2   x100 không đồng thời chia hết cho p , chẳng hạn    2 a  0,1, , p  hệ thặng không chia hết cho p suy a x12  x22   x100 x12  x22   x100 p 1 dư đầy đủ mod p    a x12  x22   x100   Do a0 p 1  b 0 b  x1  x2   x100   p 1 a  x12  x22   x100 0     a0  Nếu hai số x12  x22   x100 , x1  x2   x100 đồng thời chia hết cho p p 1   p 1  a x12  x22   x100  b  x1  x2   x100   a ,b   1 p a ,b  Từ bổ đề ta thấy cho biến x1 , x2 , , x100 thay đổi tập 1, 2, , p số thứ tự thỏa mãn yêu cầu toán p2 p p 1    a x12  x22   x100  b  x1  x2   x100   x1 , x2 , , x100 1 a ,b  Tiếp theo ta thu gọn tổng p2 p  p 1    a x12  x22   x100  b  x1  x2   x100  x1 , x2 , , x100 1 a ,b  100  p p 1  p ax2 bx      a ,b   x 1   p p 1 100  p bx      b   x 1  100   p     x  p  x 1  p  p 98 p  p 98  p  p ax  bx      a ,b   x 1  a 0 100 p 1  p bx      b 1  x 1   p 100 p 1  p bx      b 1  x 1  p 1 100 p 1 100  p k     b 1  k 1   p  p 100 p 1  p ax bx     a ,b   x 1  a0 100 p 1  p ax2 bx      a ,b   x 1  a0  p p 1 100  p ax  bx     a ,b   x 1  a 0 (Do b không chia hết cho p nên bx x  1, 2, , p hệ thặng dư đầy đủ mod p ) p  p 98 100 p 1  p ax2 bx      a ,b   x 1  a0  p98  p 100  p  ax b   b2     a  a    a ,b   x 1  a0  p 1 p  p 98 100  p  ax   b2      4a  4a  a ,b   x 1  a0  p 1 (Do  2a, p    2ax  b x  1, 2, , p , 2ax x  1, 2, , p hệ thặng dư đầy đủ mod p )  p98  p p  p 98 100  p ax2  b      a     a ,b   x 1  a0 p 1 p 1   100 25 b a  p ax2      x 1  a ,b  a0 Suy p2 100  p 1    a x12  x22   x100  b  x1  x2   x100  x1 , x2 , , x100 1 a ,b  p  p p 1 98   25 b2 a a ,b  a0 100  p ax2      x 1  Đặt p A   ax x 1 p  p ax2  a x2  y   A         x 1  x , y 1 Để tính tổng ta tìm số nghiệm nguyên dương  x, y  ; x, y  1, 2, , p phương trình x  y  t  mod p  , t  1, 2, , p  1 Ta xét bổ đề Bổ đề Số nghiệm nguyên dương  x, y  ; x, y  1, 2, , p phương trình x  y  t  mod p  , t  1, 2, , p  1 p  Từ suy số nghiệm nguyên dương  x, y  ; x, y  1, 2, , p phương trình x  y   mod p  p  Chứng minh Do p  1 mod   a  1, 2, p  1 thỏa mãn a  1 mod p  suy x  y  x  a y  mod p  Như x  y  t  mod p    x  ay  x  ay   t  mod p  Đặt uv  x   u  x  ay, v  x  ay   Chú ý phương trình a u  v   v  u y    mod p   2a uv  t  mod p  , t  1, 2, , p  1 có p  nghiệm nguyên dương  u , v  ; u, v  1, 2, , p  1 Ta thấy nghiệm nguyên dương  x, y  ; x, y  1, 2, , p cho ta nghiệm nguyên dương  u, v  ; u, v  1, 2, , p  1 xác định theo nguyên dương  u , v  ; u, v  1, 2, , p  1 u  x  ay, v  x  ay Tiếp theo nghiệm cho ta nghiệm nguyên dương uv   x   mod p   x, y  ; x, y  1, 2, , p xác định theo   y  a  u  v   mod p   Số nghiệm nguyên dương  x, y  ; x, y  1, 2, , p phương trình x  y   mod p  p   p  1 p  1  p  Do bổ đề chứng minh Áp dụng bổ đề ta p p 1 p 1   p a  x2  y  A     ax       p  1    p  1   a.t  p    p  1   t t 1 t 1  x 1  x , y 1  p    p  1 1      p 1  1  p   p   p Suy p2 a Do 100     a x12  x22   x100  b  x1  x2   x100  x1 , x2 , , x100 1 a ,b  không chia ma  1 mod p   p2 p 1 100 p 1   hết cho p nên p  p 98 tồn p 1   25b a p50 (1) a ,b  a0 m  1, 2, , p  1 cho 25b  m  mod p    25b m  mod p  Kết hợp với (1) ta a a   a x12  x22   x100  b  x1  x2   x100  x1 , x2 , , x100 1 a ,b  p  p 98 p 1   25b a p 1 p 50  p 98  p 48  p  1  p 48 a ,b  a 0  25 b m m ,b 1   Với số b  1, 2, , p  1   25b2 , p    25b x x  1, 2, , p  lập thành hệ thặng dư thu gọn mod p Do p2 100 p 1     a x12  x22   x100  b  x1  x2   x100  x1 , x2 , , x100 1 a ,b  p 1 p 1 p 1    p98  p 49  p 48     k   p 98  p 48  p  1  p 48   1  p 98 b 1  k 1 b 1  Vậy số thứ tự  x1 , x2 , , x100  thỏa mãn yêu cầu toán 2017 98 Bài (China TST 2017) Tìm số thứ tự  x1 , x2 , , x100  thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (i) x1 , x2 , , x100  1, 2, , 2017 ; (ii) 2017 | x1  x2   x100 ; (iii) 2017 x12  x22   x100 ... Vậy số thứ tự  x1 , x2 , , x100  thỏa mãn yêu cầu toán 2017 98 Bài (China TST 2017) Tìm số thứ tự  x1 , x2 , , x100  thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (i) x1 , x2 , , x100  1, 2, , 2017 ...  x100 ; (iii) 2017 x12  x22   x100 Lời giải Để thuận tiện trình bày ta đặt p  2017  p  1 mod  Gọi   cos a , a , , a  a , a , , a  với hệ thặng dư đầy đủ mod p vào nhận xét ta...  Ap 1 p Vậy số cần tìm p p   p  1 Bài (China TST 2017) Tìm số thứ tự  x1 , x2 , , x100  thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (i) x1 , x2 , , x100  1, 2, , 2017 ; (ii) 2017 x1  x2 