Như vậy mỗi số phức được cho tương ứng với một điểm trên mặt phẳng z ←→ a, b.. Tất nhiên bằng cách này ta cũng có một tương ứng giữa các số phức với các vec tơ trên mặt phẳng phức.. Phép
Trang 1Số phức và ý nghĩa hình học
Good mathematicians see analogies Great mathematicians see analogies between analogies
S Banach
1 Số phức 1.1 Mô tả đại số Tọa độ Descartes
z = a + bi
Như vậy mỗi số phức được cho tương ứng với một điểm trên mặt phẳng
z ←→ (a, b)
Mặt phẳng khi đó được gọi là mặt phẳng phức Tất nhiên bằng cách này ta cũng có một tương ứng giữa các số phức với các vec tơ trên mặt phẳng phức
1.2 Mô tả lượng giác Tọa độ cực:
z = r(cos ϕ + i sin ϕ),
z ←→ (r, ϕ)
r được gọi là mô đun của z, ta viết r = |z|, còn ϕ được gọi là Argument của z, ký hiệu Arg(z)
Như vậy mô đun của z là độ dài véc tơ tương ứng với z còn argument của z là góc có hướng từ tia Ox tới véc tơ z
Mối liên hệ giữa hai cách mô tả:
a = r cos ϕ, b = r sin ϕ
1 Dựa theo bài viết của GS Ngô Bảo Châu,π, số 1, 2017.
1
Trang 21.3 Các phép tính Cho zi = ai+ bi, i = 1, 2 Ta có
z1+ z2 = (a1+ a2) + (b1+ b2)i
z1· z2 = (a1b1− a2b2) + i(a1b2+ a2b1)
Như vậy phép cộng số phức tương ứng với phép cộng véc tơ Phép nhân phức tạp hơn
Mô tả bằng lượng giác: Cho zi = ri(cos ϕi+ i sin ϕi) Khi đó các công thức lượng giác đã biết suy ra argument của z1z2 bằng ϕ1+ ϕ2 và mô đun của z1z2 bằng r1r2 Trường hợp riêng quan trọng của công thức này là công thức Moivre:
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos(nϕ) + i sin(nϕ)
Vì 1 = cos 0 + i sin 0 nên ta có công thức cho các căn bậc n của đơn vị:
εk = cos2kπ
n + i sin
2kπ
n , k = 0, , n − 1.
2 Ý nghĩa hình học của số phức 2.1 Phép cộng số phức Phép cộng số phức ứng với phép cộng véc
tơ trên mặt phẳng tọa độ Như vậy, khi cố định một số phức z, ánh xạ
là một phép tịnh tiến Tổng của hai số phức ứng với phép hợp thành của hai phép tịnh tiến
Ví dụ bài tập ứng dụng: Tính tổng lượng giác
n X
k=1 cos kϕ
2.2 Phép nhân số phức Khi nhân số phức z với số phức w ta nhận được số phức mới có argument bằng tổng của argument của hai số phức
đã cho, mô đun bằng tích các mô đun của hai số phức đã cho Viết
z = r(cos α + i sin α)
Khi đó ánh xạ
có thể được mô tả như là hợp thành của phép quay với góc α và phép
vị tự với tâm O và hệ số r
Như vậy số phức có thể được dùng để “đo" một phép biến đổi hình học trên mặt phẳng Có thể xác định được lớp các phép biến đổi đó bởi các tính chất sau: tuyến tính (biến đường thẳng thành đường thẳng), bảo toàn định hướng, bảo toàn góc (bảo giác)
Trang 3Nhìn từ một góc độ khác: nếu tương ứng mỗi số phức với một véc
tơ thì thương của hai số phức xác định hai thông tin: góc giữa hai véc
tơ đó và thương của độ dài hai véc tơ đó Ví dụ, hai véc tơ song song ứng với các số phức có thương là một số thực, hai véc tơ vuông góc ứng với hai số phức có thương là một số thuần ảo
2.3 Phép liên hợp Số phức liên hợp với z = a + bi là số phức
¯
z = a − bi Ý nghĩa hình học của phép liên hợp là phép đối xứng của mặt phẳng phức qua trục hoành (trục thực) Phép liên hợp giao hoán với các phép cộng và nhân:
(z + w) = ¯z + ¯w; (z w) = ¯z ¯w
Phép liên hợp tuy đơn giản nhưng đóng vai trò rất quan trọng Ví dụ
ta có:
z ¯z = |z|2
Từ đó
z−1 = z¯
|z|2
Ý nghĩa hình học của công thức này là: nghịch đảo của số phức z nằm trên tia đối xứng với tia chứa z qua trục hoành (trục thực) và có mô đun bằng nghịch đảo mô đun của z
Chú ý: phép đối xứng là một phép biến đổi tuyến tính, bảo giác nhưng đổi hướng
Với mọi số phức z, các số p = z + ¯z và q = z ¯z là các số thực và z, ¯z là các nghiệm (thực hoặc phức) của phương trình bậc 2 với nghiệm thực
x2− px + q = 0
Một số phức là số thực khi chỉ khi nó bất biến dưới phép liên hợp:
z = ¯z Tương tự, một số phức là thuần ảo nếu nó thỏa mãn z = −¯z Ứng dụng: hai véc tơ ứng với hai số phức z, w là song song khi và chỉ khỉ
z w
= z¯
¯
w. hay là
z ¯w = w¯z
Tương tự, z và w vuông góc với nhau nếu
Trang 43 Một vài ứng dụng vào hình học Nếu chúng ta giới hạn việc nghiên cứu hình học trong khuôn khổ của Euclid, nghĩa là khi các phép biến hình bảo toàn góc, như vậy chúng bao gồm phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng và phép vị tự thì việc mô tả các điểm, véc tơ thông qua số phức là rất thuận tiện
Ví dụ: Trọng tâm của tam giác ABC Nếu A, B, C ứng với các số phức u, v, w thì trọng tâm G của chúng ứng với số phức
u + v + w
Ví dụ: Trực tâm của tam giác ABC Trực tâm H ứng với số phức h thỏa mãn điều kiện các số phức h − u, v − w, h − v, u − w vuông góc với nhau đôi một
Ví dụ: Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC Tâm O của đường tròn ngoại tiếp ứng với số phức o thỏa mãn phương trình o − (u + v)/2 vuông góc với u − v
3.1 Chứng minh định lý về đường thẳng Euler Không mất tính tổng quát ta sẽ giả sử tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp nằm tại gốc tọa độ Để chứng minh ba điềm O, G, H thẳng hàng và
|GH| = 2|GO|, nghĩa là |OH| = 3|OG|, ta cần chứng minh
h = u + v + w
Theo các tiêu chí ở trên, ta cần chứng minh v + w vuông góc với v − w, nghĩa là
(v + w)(¯v − ¯w) = −(¯v + ¯w)(v − w)
Nhắc lại rằng v¯v = |v|2 = |w|2 Vậy đẳng thức trên tương đương với
−v ¯w + w¯v = −(−¯vw + ¯wv)
Đúng
3.2 Tỷ số đơn và tỷ số chéo Cho tam giác ABC, góc (có hướng)
∠BAC được tính bằng công thức
arg w − u
v − u
,
trong đó u, v, w là các số phức tương ứng với các điểm A, B, C
Tỷ số
(u; v, w) := v − u
w − u được gọi là tỷ số đơn của ba số phức u, v, w và như ta thấy, argument của nó cho ta thông tin về góc của tam giác xác định bởi các số u, v, w
Trang 5Dễ thấy tỷ số đơn là bất biến đối với các phép toán xác định ở (1), (2) Điều này thực ra tương đương với phát biểu hình học: góc giữa hai đường thẳng được bảo tồn qua phép tịnh tiến và phép quay (hiển nhiên)
Ta hãy cho điểm v và w cố định còn u thay đổi (từ nay, để thuận tiện ta sẽ đồng nhất các số phức với các điểm trên mặt phẳng phức) Góc nhìn từ điểm điểm u tới đoạn thẳng vw được cho bởi argument của tỷ số đơn như đã thấy ở trên Như vậy hai điểm u và u0 nhìn vw dưới cùng một góc nếu tỷ số đơn của chúng có cùng argument, điều này tương với
(u, : v, w) (u0, v, w)
là một số thực! Biểu thức trên được gọi là tỷ số chéo của bố số u, u0, v, w,
ký hiệu là
(u, u0, v, w) = (u − v)(u − w)
(u0− v)(u0− w). 3.3 Chứng minh định lý về đường tròn Euler Ta có thể sử dụng
tỷ số chéo để chứng minh định lý về đường tròn Euler (đường tròn chín điểm) Giả sử tam giác được xác định bởi các số phức x, y, z, có tâm đường tròn ngoại tiếp nằm tại gốc tọa độ (số phức 0) Khi đó theo trên, trực tâm của tam giác ứng với số phức u + v + w Trung điểm các đoạn nối từ đỉnh tới trực tâm ứng với các số phức
u +v + w
w + u
u + v
Để chứng minh các điểm này cùng trung điểm các cạnh cùng nằm trên một đường tròn ta chỉ cần chứng minh tỷ số chéo của các số
x + y
y + z
y + z
x + z 2
là số thực, nghĩa là
x − z
y − z x
x + y
= (x − z)(x + y)
Để chứng minh đường tròn này cũng đi qua chân các đường cao ta chỉ cần chứng minh góc tạo bởi 3 số phức
x + y + z
x + z
y + z 2
Trang 6là vuông, nghĩa là tỷ số đơn
x + y
x − y ∈ iR
Phùng Hồ Hải, Viện Toán học, email: phung@math.ac.vn