Phùng hồ hải, số phức và ý nghĩa hình học

Số phức ý nghĩa hình học1 Good mathematicians see analogies Great mathematicians see analogies between analogies S Banach Số phức 1.1 Mô tả đại số Tọa độ Descartes z = a + bi Như số phức cho tương ứng với điểm mặt phẳng z ←→ (a, b) Mặt phẳng gọi mặt phẳng phức Tất nhiên cách ta có tương ứng số phức với vec tơ mặt phẳng phức 1.2 Mô tả lượng giác Tọa độ cực: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), z ←→ (r, ϕ) r gọi mô đun z, ta viết r = |z|, ϕ gọi Argument z, ký hiệu Arg(z) Như mô đun z độ dài véc tơ tương ứng với z argument z góc có hướng từ tia Ox tới véc tơ z Mối liên hệ hai cách mô tả: a = r cos ϕ, b = r sin ϕ Dựa theo viết GS Ngô Bảo Châu, π , số 1, 2017 2 1.3 Các phép tính Cho zi = + bi, i = 1, Ta có z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i z1 · z2 = (a1 b1 − a2 b2 ) + i(a1 b2 + a2 b1 ) Như phép cộng số phức tương ứng với phép cộng véc tơ Phép nhân phức tạp Mô tả lượng giác: Cho zi = ri (cos ϕi + i sin ϕi ) Khi cơng thức lượng giác biết suy argument z1 z2 ϕ1 + ϕ2 mô đun z1 z2 r1 r2 Trường hợp riêng quan trọng công thức công thức Moivre: (cos ϕ + i sin ϕ)n = cos(nϕ) + i sin(nϕ) Vì = cos + i sin nên ta có cơng thức cho bậc n đơn vị: 2kπ 2kπ εk = cos + i sin , k = 0, , n − n n Ý nghĩa hình học số phức 2.1 Phép cộng số phức Phép cộng số phức ứng với phép cộng véc tơ mặt phẳng tọa độ Như vậy, cố định số phức z, ánh xạ (1) w →w+z phép tịnh tiến Tổng hai số phức ứng với phép hợp thành hai phép tịnh tiến Ví dụ tập ứng dụng: Tính tổng lượng giác n cos kϕ k=1 2.2 Phép nhân số phức Khi nhân số phức z với số phức w ta nhận số phức có argument tổng argument hai số phức cho, mơ đun tích mơ đun hai số phức cho Viết z = r(cos α + i sin α) Khi ánh xạ (2) w → wz mơ tả hợp thành phép quay với góc α phép vị tự với tâm O hệ số r Như số phức dùng để “đo" phép biến đổi hình học mặt phẳng Có thể xác định lớp phép biến đổi tính chất sau: tuyến tính (biến đường thẳng thành đường thẳng), bảo tồn định hướng, bảo tồn góc (bảo giác) 3 Nhìn từ góc độ khác: tương ứng số phức với véc tơ thương hai số phức xác định hai thơng tin: góc hai véc tơ thương độ dài hai véc tơ Ví dụ, hai véc tơ song song ứng với số phức có thương số thực, hai véc tơ vng góc ứng với hai số phức có thương số ảo 2.3 Phép liên hợp Số phức liên hợp với z = a + bi số phức z¯ = a − bi Ý nghĩa hình học phép liên hợp phép đối xứng mặt phẳng phức qua trục hoành (trục thực) Phép liên hợp giao hoán với phép cộng nhân: (z + w) = z¯ + w; ¯ (z w) = z¯ w ¯ Phép liên hợp đơn giản đóng vai trò quan trọng Ví dụ ta có: z z¯ = |z|2 Từ z −1 = z¯ |z|2 Ý nghĩa hình học cơng thức là: nghịch đảo số phức z nằm tia đối xứng với tia chứa z qua trục hồnh (trục thực) có mơ đun nghịch đảo mô đun z Chú ý: phép đối xứng phép biến đổi tuyến tính, bảo giác đổi hướng Với số phức z, số p = z + z¯ q = z z¯ số thực z, z¯ nghiệm (thực phức) phương trình bậc với nghiệm thực x2 − px + q = Một số phức số thực khi bất biến phép liên hợp: z = z¯ Tương tự, số phức ảo thỏa mãn z = −¯ z Ứng dụng: hai véc tơ ứng với hai số phức z, w song song khỉ (3) z z = w w = z¯ w¯ z w¯ = w¯ z Tương tự, z w vng góc với (4) z w¯ = −¯ z w 4 Một vài ứng dụng vào hình học Nếu giới hạn việc nghiên cứu hình học khn khổ Euclid, nghĩa phép biến hình bảo tồn góc, chúng bao gồm phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng phép vị tự việc mơ tả điểm, véc tơ thông qua số phức thuận tiện Ví dụ: Trọng tâm tam giác ABC Nếu A, B, C ứng với số phức u, v, w trọng tâm G chúng ứng với số phức u+v+w Ví dụ: Trực tâm tam giác ABC Trực tâm H ứng với số phức h thỏa mãn điều kiện số phức h − u, v − w, h − v, u − w vuông góc với đơi Ví dụ: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tâm O đường tròn ngoại tiếp ứng với số phức o thỏa mãn phương trình o − (u + v)/2 vng góc với u − v 3.1 Chứng minh định lý đường thẳng Euler Khơng tính tổng qt ta giả sử tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp nằm gốc tọa độ Để chứng minh ba điềm O, G, H thẳng hàng |GH| = 2|GO|, nghĩa |OH| = 3|OG|, ta cần chứng minh h = u + v + w Theo tiêu chí trên, ta cần chứng minh v + w vng góc với v − w, nghĩa (v + w)(¯ v − w) ¯ = −(¯ v + w)(v ¯ − w) Nhắc lại v¯ v = |v|2 = |w|2 Vậy đẳng thức tương đương với −v w¯ + w¯ v = −(−¯ v w + wv) ¯ Đúng 3.2 Tỷ số đơn tỷ số chéo Cho tam giác ABC, góc (có hướng) ∠BAC tính cơng thức arg w−u v−u , u, v, w số phức tương ứng với điểm A, B, C Tỷ số v−u (u; v, w) := w−u gọi tỷ số đơn ba số phức u, v, w ta thấy, argument cho ta thơng tin góc tam giác xác định số u, v, w 5 Dễ thấy tỷ số đơn bất biến phép toán xác định (1), (2) Điều thực tương đương với phát biểu hình học: góc hai đường thẳng bảo tồn qua phép tịnh tiến phép quay (hiển nhiên) Ta cho điểm v w cố định u thay đổi (từ nay, để thuận tiện ta đồng số phức với điểm mặt phẳng phức) Góc nhìn từ điểm điểm u tới đoạn thẳng vw cho argument tỷ số đơn thấy Như hai điểm u u nhìn vw góc tỷ số đơn chúng có argument, điều tương với (u, : v, w) (u , v, w) số thực! Biểu thức gọi tỷ số chéo bố số u, u , v, w, ký hiệu (u − v)(u − w) (u, u , v, w) = (u − v)(u − w) 3.3 Chứng minh định lý đường tròn Euler Ta sử dụng tỷ số chéo để chứng minh định lý đường tròn Euler (đường tròn chín điểm) Giả sử tam giác xác định số phức x, y, z, có tâm đường tròn ngoại tiếp nằm gốc tọa độ (số phức 0) Khi theo trên, trực tâm tam giác ứng với số phức u + v + w Trung điểm đoạn nối từ đỉnh tới trực tâm ứng với số phức v+w w+u u+v u+ , v+ , w+ 2 Để chứng minh điểm trung điểm cạnh nằm đường tròn ta cần chứng minh tỷ số chéo số x+y y+z y+z x+z , x+ ; , 2 2 số thực, nghĩa x−z (x − z)(x + y) y−z ∈ R x = x(y − z) x+y Để chứng minh đường tròn qua chân đường cao ta cần chứng minh góc tạo số phức y+z x+z y+z x+ ; , 2 vuông, nghĩa tỷ số đơn x+y ∈ iR x−y Phùng Hồ Hải, Viện Toán học, email: phung@math.ac.vn ... − n n Ý nghĩa hình học số phức 2.1 Phép cộng số phức Phép cộng số phức ứng với phép cộng véc tơ mặt phẳng tọa độ Như vậy, cố định số phức z, ánh xạ (1) w →w+z phép tịnh tiến Tổng hai số phức ứng... góc ứng với hai số phức có thương số ảo 2.3 Phép liên hợp Số phức liên hợp với z = a + bi số phức z¯ = a − bi Ý nghĩa hình học phép liên hợp phép đối xứng mặt phẳng phức qua trục hồnh (trục thực)... giác n cos kϕ k=1 2.2 Phép nhân số phức Khi nhân số phức z với số phức w ta nhận số phức có argument tổng argument hai số phức cho, mơ đun tích mô đun hai số phức cho Viết z = r(cos α + i sin