DS1 d6 CuongNM so phuc va hinh hoc phang

Liên hệ số phức với khoảng cách hình học phẳng Nguyễn Mạnh Cường – THPT Chu Văn An – Hà Nội Chúng ta biết, số phức = + đồng với điểm ( ; ) mặt phẳng tọa độ Tương tự, số phức = + đồng với điểm ( ; ) Khi đó: − Dẫn đến: | − =( |= )+( − ( − − ) +( ) − ) Công thức làm ta nghĩ đến công thức khoảng cách điểm M, N mặt phẳng tọa độ Như vậy: | − |= (*) Kết hợp với tính chất modul số phức: | | = | | | | ; | =| | | ; | ± |≤| |+| | kết hợp đẳng thức (thường học lớp 8), ta phát triển số tốn hình học, với tốn sau: Bài tốn 1: a) Cho x, y, z đơi khác CMR: + ( )( +( ( )( ) ) )( ) =1 (1) b) Cho điểm P ΔABC, BC = a, CA = b, AB = c CMR: a.PB.PC + b.PC.PA + c.PA.PB ≥ abc (2) Rõ ràng, phần a) đơn giản Ta sử dụng để xử lý phần b) Muốn vậy, ta cần có hệ tọa độ, để điểm đặt tương ứng với số phức Do P điểm xuất nhiều nhất, nên ta xét hệ tọa độ có gốc P Khi đó: P ≡ 0, A ≡ x, B ≡ y, C ≡ z với 0, x, y, z số phức Theo nhận xét (*), ta có: PA = |x|, PB = |y|, PC = |z| c = AB = |x – y|, a = BC = |y – z|, b = CA = |z – x| Chú ý rằng, hệ thức (1) phần a) cho số phức Nên, x, y, z số phức, ta lấy modul hai vế, được: 1= ≤ Suy ra: ( )( | |.| | |.| | 1≤ +( ) | ) | |.| | |.| +| )( | +( +| )( ) | |.| | |.| | = + + hay a.PB.PC + b.PC.PA + c.PA.PB ≥ abc Từ Bài toán trên, chọn P điểm đặc biệt tam giác, ta có số kết thú vị: +) Chọn P ≡ O, với (O;R) đường tròn ngoại tiếp tam giác, thì: ( + + ) ≥ ≥ hay +) Chọn P ≡ G với G trọng tâm tam giác, thì: Chú ý rằng, gọi GBC, GCA, GAB thì: Mà =4 = , bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác , + =4 + ≥ (3) =4 =4 = = , nên thay vào (3), ta thu kết gọn gàng: + + ≥3 +) Một câu hỏi là, dấu “=” bất đẳng thức (2) gì? Tơi tìm được: P ≡ H trực tâm tam giác ABC, dấu “=” xảy ra, “kỳ quặc” không dùng đến số phức! Xét : T = 2.(a.HB.HC + b.HC.HA + c.HA.HB) = HA(b.HC + c.HB) + HB(c.HA + a.HC) + HC(a.HB + b.HA) Lại có: b.HC + c.HB = a.2R (Định lý Ptolemy) Nên T = 2R(a.HA + b.HB + c.HC) + = 2R + với AA’,BB’, CC’ đường cao + = 4RS = 4R + = 2abc Do đó, a.HB.HC + b.HC.HA + c.HA.HB = abc, tức dấu “=” xảy ra! Cùng ý tưởng vậy, ta hồn tồn giải mở rộng toán tương tự: Bài toán 2: a) Cho x, y, z Cmr: ( − )+ ( − )+ ( − ) = ( − )( − )( − )( + + ) b) Cho điểm M nằm ΔABC, G trọng tâm tam giác Cmr: + + ≥3 hay + + ≥6 Bài toán 3: a) Cho x, y, z, t đôi khác Cmr: ( )( )( ) +( )( )( ) + ( )( )( ) +( )( )( ) =1 b) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R), có độ dài cạnh a, b, c, d độ dài đường chéo m, n Cmr: ≥ Tóm lại, từ đẳng thức đại số, với việc lấy modul vế chọn hệ tọa độ phù hợp, thu bất đẳng thức hình học thú vị Tơi mong bạn tìm thêm đẳng thức khác, đưa toán hay mối liên hệ Xin cảm ơn!