NGOCHUYENLB cực trị số phức bằng hình học sưu tầm tạ HUY

GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB HU CHUYÊN ĐỀ YỀ N LB TÀI LIỆU SƯU TẦM+ BỔ SUNG CHỈNH SỬA GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC MOD: TẠ ĐỨC HUY ( KHTN) GI A ĐÌ NH NG ỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH BON_BEST OR NOTHING GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB MỞ ĐẦU Trong chương trình Tốn THPT, phần Đại số mà cụ thể phần Số học, chương trình lớp 12, học sinh hồn thiện hiểu biết tập hợp số thông qua việc cung cấp tập hợp số, gọi Số phức Trong chương này, học sinh bước đầu làm quen với phép toán cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, lũy thừa; lấy mô đun, …các LB số phức Bằng cách đặt tương ứng số phức z  x  yi,( x; y  , i  1) với điểm M ( x; y ) mặt phẳng tọa độ Oxy , ta thấy Đại số Hình học có mối liên N hệ với “gần gũi” Hơn nữa, nhiều toán Đại số bên Số phức, chuyển YỀ sang Hình học, từ số trừu tượng, toán minh họa cách HU trực quan, sinh động giải Hình học với phương pháp đẹp Đặc biệt, kỳ thi Đại học, Cao đẳng THPT Quốc gia năm gần đây, việc sử dụng phương pháp Hình học để giải tốn Số phức ỌC phương pháp hay hiệu quả, đặc biệt toán Cực trị số phức Hơn NG nữa, với tốn Hình học theo phương pháp trắc nghiệm, biểu diễn giấy qua hình ảnh minh họa, ta lựa chọn đáp án cách dễ dàng Tuy nhiên, thực tế giảng dạy, việc chuyển từ tốn Đại số nói chung NH Số phức nói riêng sang tốn Hình học nhiều học sinh nói chung cịn nhiều ĐÌ lúng túng, việc giải tốn Số phức gây nhiều khó khăn cho học sinh Bài tốn Cực trị Số phức thơng thường có nhiều cách lựa chọn để giải A dùng Bất đẳng thức, dùng Khảo sát hàm số, … Qua chuyên đề này, muốn gợi ý cho GI học sinh lối tư vận dụng linh hoạt phương pháp chuyển đổi từ toán Đại số sang Hình học cho học sinh, giúp em có nhìn cụ thể việc chuyển đổi vận tư cho tốn khác Với mục tiêu đó, chun đề này, tơi tập trung giải tốn theo hướng Hình học Khơng đặt nặng việc so sánh phương pháp nhanh hơn, tối ưu phương pháp Trang GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB II NỘI DUNG LB Một số kiến thức, kí hiệu ban đầu 1.1 Các định nghĩa kí hiệu a) Số i: Ta thừa nhận có số mà bình phương 1 Kí hiệu: i Như vậy, i  1 b) Số phức: Cho x, y  , biểu thức z  x  yi gọi (dạng đại số) số phức x : Phần thực; y : Phần ảo x  y gọi mơ đun z Kí c) Với số phức z  x  yi, giá trị biểu thức YỀ N hiệu: z Như vậy, z  x  y d) Với số phức z  x  yi Số phức z '  x  ( y )i  x  yi gọi số phức liên HU hợp số phức z Kí hiệu z Như vậy, z  x  yi z  x  yi e) Với số phức z  x  yi Xác định điểm M ( x; y ) mặt phẳng tọa độ Oxy Điểm M gọi biểu diễn hình học số phức z ỌC Để cho tiện, tập tài liệu này, tơi kí hiệu M ( x; y )  M ( z ) hay đơn giản NG M ( z ) để M điểm biểu diễn cho số phức z  x  yi 1.2 Các phép toán tập hợp số phức Cho hai số phức z  x  yi, z '  x ' y ' i.( x, y, x ', y '  , i  1) NH + Phép cộng: z  z '  ( x  x ')  ( y  y ')i + Phép trừ: z  z '  ( x  x ')  ( y  y ')i ĐÌ + Phép nhân: z.z '  ( xx ' yy ')  ( xy ' x ' y )i z z.z '  với z '   0i z ' z '.z ' 1.3 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc + Với M ( z ) z  OM GI A + Phép chia: + Với M  M ( z ), M '  M '( z ') z  z '  MM ' + Với A  A( z A ), B  B ( z B ), z A , z B hai số phức khác cho trước tập hợp điểm M  M ( z ) thỏa mãn hệ thức z  z A  z  z B đường trung trực đoạn AB + Với M  M ( z0 ), R  , tập hợp điểm M  M ( z ) thỏa mãn hệ thức z  z0  R đường trịn tâm M , bán kính R Trang GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB Các tốn BÀI TOÁN 1: Cho số phức z0  a0  b0i, a, b   tập hợp số phức z  x  yi thỏa mãn hệ thức: z  z1  z  z2 a) Tìm giá trị nhỏ z  z0 LB b) Tìm z để z  z0 nhỏ N Nhận xét: + Gọi M  M ( z ) , M  M ( z0 ); A  A( z1 ); B  B ( z2 ) z  z0  MM b) Tìm M   cho M M nhỏ HU Bài tốn chuyển thành: a) Tìm giá trị nhỏ M M với M   YỀ + Từ đẳng thức z  z1  z  z2 Suy ra, M thuộc trung trực  đoạn AB A(z1) M H Δ B(z2) ỌC + Ta thấy, với điểm M   M M  M H , M0 NG H hình chiếu M0 lên  Do đó, z  z0  d ( M ; ) Và để M M nhỏ với M   M  H hay M NH hình chiếu M0 lên  Lời giải - Từ hệ thức z  z1  z  z2 , suy phương trình đường thẳng  + Với câu a), ta tính khoảng cách d ( M ; ) Và kết luận, z  z0  d ( M ; ) ĐÌ + Với câu b), - Viết phương trình đường thẳng d qua M0, vng góc với  (hoặc song song với AB) A - Giải hệ gồm hai phương trình:  d suy nghiệm ( x; y ) Kết luận, số phức cần tìm GI z  x  yi Đặc biệt: z tức tìm số phức z cho mơ đun z nhỏ Ví dụ 1.1 Trong tất số phức z thỏa mãn z   2i  z   4i Tìm giá trị nhỏ mơ đun z A 13 13 B 13 C D 26 Trang GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB Lời giải Đặt z  x  yi; x, y   M  M ( z )  M ( x; y ) Ta có: z   2i  z   4i  ( x  1)  ( y  2)   x  3   y   hay M   : x  y   Khoảng cách từ O đến  là: d (O; )  22  (3)2 13 Chọn đáp án A 13 LB Vậy, z  5 13  13 13  y M I(-1;1) |z| YỀ HU Δ N (-3;4) x ỌC O NG (1;-2) Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án NH Ví dụ 1.2 Trong tất số phức z thỏa mãn hệ thức z   3i  z   5i Tìm giá A ĐÌ trị nhỏ z   i B C 12 17 17 D 34 A Lời giải 68 GI Đặt z  x  yi; x, y   M  M ( z ) Ta có: z   3i  z   5i  ( x  1)2  ( y  3)2   x  3   y   hay M   : x  y   + z   i  d ( M ; )  2  4.(1)  12  (4)2  12 12 17  17 17 (Ở đây, M (2; 1)) Chọn đáp án C Trang GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB y (3;5) M Δ d O x LB M0(-2;-1) (1;-3) N Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án YỀ Ví dụ 1.3 Trong tất số phức z  a  bi, a, b   thỏa mãn hệ thức z   5i  z  i Biết rằng, z   i nhỏ Tính P  a.b 23 100 B 13 100 16 HU A  C  25 ỌC Lời giải: Đặt M  M ( z ) D NG Từ hệ thức z   5i  z  i , ta M   : x  y   GI A ĐÌ NH Đặt M (1;1) z   i  M M y M0(-1;1) B(0;1) O x d Δ H I(1;-2) A(2;-5) Gọi d đường thẳng qua M (1;1) vng góc với  d : x 1 y 1  3 hay d : 3x  y   Trang GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB N LB  x   10 x  3y   Vậy, hình chiếu vng góc M lên Xét hệ phương trình:  3 x  y  2  y   23  10  23   H  ;    10 10  23 23 Chọn đáp án A Vậy, z   i nhỏ z   i  P   10 10 100 YỀ Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án HU BÀI TỐN 2: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z  z0  R  Trong đó, z0  a  bi cho trước ỌC a) Tìm giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) z  z1 , z1 số phức cho NG trước b) Tìm số phức z để z  z1 đặt giá trị lớn (hay nhỏ nhất) NH Nhận xét: + Đặt M  M ( z ) , I  I ( z0 ); A  A( z1 ); z  z0  MI + Từ đẳng thức z  z0  R Suy ra, M thuộc đường tròn (C) tâm I , bán kính R ĐÌ Bài tốn chuyển thành: a) Tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) AM với M  (C ) M A b) Tìm M  (C ) cho AM lớn (hay nhỏ nhất) M2 I=z0 M1 A=z1 GI + Gọi M , M giao điểm đường thẳng AI (C) R (hình minh họa) với điểm M  (C ) , ta ln có AM  AM  AM Do đó:  AM   AM  AI  R ;max  AM   AM  AI  R Lời giải a) z  z1  z1  z0  R ;max z  z1  z1  z0  R b) Tìm z Trang GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB + Từ hệ thức z  z0  R  Suy phương trình đường trịn (C) + Viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm A( z1 ), I ( z0 ) + Giải hệ phương trình gồm phương trình (C) d, suy nghiệm ( x1; y1 ),( x2 ; y2 ) + Thử lại để chọn  x; y  thích hợp từ hai LB Ví dụ 2.1 Trong tất số phức z thỏa mãn hệ thức z   3i  Tìm z   i N A B C 10 D Lời giải Đặt M  M ( z ) , I (1; 3), A(1;1)  AI  z   i  MA YỀ Từ hệ thức z   3i  Suy M  đường trịn bán kính R  Chọn đáp án A y A(1;1) HU Vậy, z   i  MA  M A  AI  R  M(1;0) ỌC O NG x ĐÌ NH I(1;-3) Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án GI z A Ví dụ 2.2 Trong tất số phức z thỏa mãn hệ thức z  i  Tìm giá trị lớn A B Lời giải Ta có: I (0;1), A  O (0;0)  AI  C D M  M ( z ) với z thỏa mãn hệ thức z  i  Suy M  đường trịn bán kính R  Vậy, max z  AI  R    Chọn đáp án A Trang GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB y M1 M Δ |z| O x LB Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Ví dụ 2.3 Trong tất số phức z  a  bi thỏa mãn z   2i  , biết a b N z   i đạt giá trị nhỏ nhất.Tính P  YỀ 7 B  C D  13 13 Lời giải Ta có: I (1; 2), A(3;1) M  M ( z )  M  (C ) : ( x  1)  ( y  2)  HU A  x 1 y   hay 3x  y   4 ỌC Đường thẳng AI : NG y O x M ĐÌ NH A(-3;1) I(1;-2) GI A 13  x  ; y   ( x  1)  ( y  2)   5  Xét hệ:  x  ; y   3 x  y    5 13 Với x  , y   z   i  5 Với x  , y   z   i  5 Trang GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB  i  P  a / b   Chọn đáp án A 5 Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Vậy z  Ví dụ 2.4 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z  i  Biết z lớn Tìm phần LB ảo z A B 1 C D 3 Lời giải Đặt M ( x; y )  M ( z ) Từ hệ thức z  i  suy M  (C ) : x  ( y  1)  N Đường thẳng d qua O(0;0) tâm I (0;1) (C) có phương trình: x  ỌC + Với x  0, y  1 z  i  z  HU YỀ x  Giao d (C) nghiệm x, y hệ  Giải ta x  ( y  1)    x  0, y  1  x  0, y   + Với x  0, y   z  3i  z  lớn z   3i  3i Vậy, phần ảo số phức z thỏa mãn yêu NG Vậy, z cầu toán Chọn đáp án A y (C) I(0;1) O x M'(-1;0) GI A ĐÌ NH M(3;0) Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án BÀI TOÁN Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z  z1  z  z2 Với z1 , z2 số phức a) Tìm giá trị nhỏ z  z3  z  z4 Với z3 , z4 số phức cho trước b) Tìm số phức z để z  z3  z  z4 nhỏ Trang GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB + Để tìm z ta viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm A ', B Giải hệ gồm phương trình  phương trình d Nghiệm ( x; y ) suy số phức z  x  yi cần tìm Ví dụ 3.1 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z   i  z   3i Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  z   i  z   2i 10 251 17 71 D N C LB 13 61 493 B 17 17 Lời giải Đặt M  M ( z ) A YỀ Từ hệ thức z   i  z   3i , suy ra, M   : x  y  11  A' HU y A ỌC M0 O NG Δ -1 -2 x B NH Đặt A(2;1), B (3; 2) Thay A vào phương trình , ta được: 2.(2)  8.(1)  11  ĐÌ Thay B vào phương trình , ta được: 2.(3)  8.(2)  11  Vậy A, B nằm phía so với  A Gọi d đường thẳng qua A vng góc với  d : x  y 1 hay  GI x  y   Gọi I  d   tọa 2 x  y  11 61 31  x  ;y   34 17 4 x  y  9 độ I nghiệm x,y hệ: Gọi A’ điểm đối xứng với A qua  I trung điểm AA’ nên  27 45  A '  ;   17 17  Trang 11 GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB Suy ra,  z   i  z   2i   A ' B  493 17 Chọn đáp án B Nhận xét: Nếu ta biểu diễn tốn trên giấy có ta chọn đáp án phù hợp với đáp án đưa Đáp án A:  5,97 ; B:  6,53 ; C:  9,31 ; D:  2,81 LB Dựa vào hình minh họa: A ' B  4,52  4,52  6,36 nên chọn đáp án B Ví dụ 3.2 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z  2i  z  i Tìm phần thực số phức z N biết z   2i  z  4i đạt giá trị nhỏ YỀ B C D 6 Lời giải Đặt M  M ( z ) Từ hệ thức z  2i  z  i , ta được: M   : y   x y4   x  y   NG AB : A(1;2), B(0; 4) , A, B khác phía so với  Đường thẳng ỌC Đặt HU A y (0;2) A(1;2) Δ x O (0;-1) M: (0.75, 0.50) (0;-4) GI A ĐÌ NH M  y  2 y     Tọa độ giao điểm AB  nghiệm hệ  x  y    x   Vậy, phần thực số phức thỏa mãn yêu cầu toán x  Chọn đáp án D Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Trang 12 GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB Ví dụ 3.3 (Câu 46- Đề minh họa THPT Quốc gia năm 2018) Xét số phức z  a  bi (a, b   ) thỏa mãn z   3i  Tính P  a  b z   3i  z   i đạt giá trị lớn A P  10 Lời giải C P  B P  D P  K(6;4) N M A(-1;3) YỀ I0(4;3) H(2;2) I(1;0) Đặt Từ M  M ( z ) hệ thức x z   3i  , ta NG M  (C ) : ( x  4)  ( y  3)  ỌC B(1;-1) HU O LB y Đặt A(1;3), B (1; 1) , I trung điểm AB I (0;1) NH Theo phần lý thuyết trên, ta thấy MA  MB lớn nhất,khi MI lớn nhất, M  K (Hình minh họa) Đường thẳng qua I , vng góc với AB có phương trình: x  y   A ĐÌ ( x  4)  ( y  3)   x  2, y  Xét hệ phương trình,  Tức Ta được,   x  6, y  x  y   H (2;2), K (6;4) Chọn điểm K (như nói trên) Vậy P  a  b    10 GI Chọn đáp án A Nhận xét: Nếu ta thể tốn giấy dễ dàng lựa chọn đáp án A BÀI TOÁN Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z  z1  z  z2 Tìm 2 a) Giá trị nhỏ biểu thức z  z A  z  z B 2 b) Tìm số phức z để z  z A  z  z B đạt giá trị nhỏ Ở đây, z1 , z2 , z A , z B số phức cho trước Trang 13 GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB Nhận xét 2 - Đặt A  A( z A ), B  B ( z B ), M  M ( z ) z  z A  z  z B  MA2  MB - Từ hệ thức z  z1  z  z2 Suy M thuộc đường thẳng  Dẫn đến tốn, tìm M   cho MA2  MB nhỏ B=zB I z1 M LB A=zA M0 N z2 NG ỌC HU YỀ - Gọi I trung điểm AB Khi đó, với điểm M   , ta có: MA2  MB AB 2 MI   AB 2 2 Suy ra, MA  MB  MI  Do A, B, cố định nên AB khơng đổi, MA2  MB nhỏ  MI nhỏ  M  M , M hình chiếu I lên đường thẳng  Và giá trị nhỏ MA2  MB làm MA2  MB  M I  AB AB  2d ( I ,  )  2 NH Lời giải - Từ z  z1  z  z2 Suy phương trình đường thẳng  ĐÌ - Tìm trung điểm I đoạn thẳng AB + Với câu a): Tính khoảng cách từ I đến , độ dài đoạn thẳng AB Kết luận: AB + Với câu b): Viết phương trình đường thẳng d qua I vng góc với  Nghiệm x, y hệ hai phương trình , d phần thực phần ảo z GI A MA2  MB   2d ( I ,  )2  Ví dụ 4.1 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z   2i  z   i Tìm giá trị nhỏ 2 z  i  z   i 305 34 Lời giải A B 441 68 C 169 34 D Trang 14 GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB Đặt M  M ( z ) Từ z   2i  z   i Ta được, M   :8 x  y   Đặt A(0; 1), B(2;1) gọi I trung điểm AB I (1;0) Khoảng cách từ I đến  d ( I , )  13 , AB  68 MA2  MB   2d ( I , )  AB 169 305    68 34 M: (–0.53, 0.38) LB Chọn đáp án A y N B(2;1) x O I(1;0) A(0;-1) HU (-3;-1) YỀ M (1;-2) ỌC Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án NG Ví dụ 4.2 Trong tất số phức z thỏa mãn hệ thức | z   3i || z   i | Tìm số phức z cho z   i  z   i đạt giá trị nhỏ GI A ĐÌ NH A z   i B z  C z   i D z   i Lời giải Đặt M  M ( z ) Từ hệ thức | z   3i || z   i | Ta được, M   : x  y   Đặt A(1;1), B(3;1) Gọi I trung điểm AB I (1;1) Trang 15 GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB Đường thẳng qua I, vng góc với  có phương trình: x 1 y 1  1 hay x  y   LB x  y   x   Xét hệ phương trình:  Vậy, số phức thỏa mãn yêu cầu x  y    y  toán z  Chọn đáp án B Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án đạt giá trị nhỏ Giá trị biểu thức P  x  y B 4 C 1 y ỌC (1;11) A(2;8) I(4;7) NG Δ ĐÌ NH (-7;5) D HU A 16 Lời giải YỀ z  x  yi thỏa mãn z   8i  z   6i N Ví dụ 4.3 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z   5i  z   11i Biết rằng, số phức B(6;6) M(0;4) x O A Đặt M ( x; y )  M ( z ) GI Từ hệ thức z   5i  z   11i Ta được, M   : x  y  12  Đặt A(2;8), B(6;6), I trung điểm AB I (4;7) Đường thẳng d qua I vng góc với  có phương trình: 3x  y  16  4 x  y  12   x   Xét hệ phương trình:  Vậy, P  16 x  y  16  y    Chọn đáp án A Trang 16 GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB BÀI TỐN Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z  z1  z  z2 a) Tìm giá trị lớn z  z A  z  zB b) Tìm z để z  z A  z  zB đạt giá trị lớn Nhận xét - Đặt A  A( z A ), B  B ( z B ), M  M ( z ) z  z A  MA, z  z B  MB LB - Từ z  z1  z  z2 Suy ra, M  đường thẳng  Dẫn đến tốn: Tìm đường thẳng  cho trước điểm M cho MA  MB lớn N Tính giá trị z1 A B z1 A' HU M0 YỀ B M0 H M M A z2 A, B khác phía so với ỌC A, B phía so với z2 NG - Với A, B cố định + Nếu A, B phía so với  với điểm M   , ta ln có MA  MB  AB NH Dấu xảy M , A, B thẳng hàng hay M    AB + Với A, B khác phía so với  , gọi A ' điểm đối xứng với A qua  với điểm M   , ta ln có MA  MB  MA ' MB  A ' B Dấu xảy ĐÌ M , A ', B thẳng hàng hay M    A ' B Cách giải: - Từ hệ thức z  z1  z  z2 Suy phương trình đường thẳng  GI A - Thay tọa độ điểm A, B vào phương trình  để kiểm tra xem A, B phía hay khác phía so với  + Nếu A, B phía với  Với câu a) giá trị lớn z  z A  z  zB AB Với câu b): Viết phương trình đường thẳng AB Giải hệ gồm phương trình đường thẳng  AB ta nghiệm x,y phần thực phần ảo z + Nếu A, B khác phía với  Trang 17 GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB - Viết phương trình đường thẳng d qua A , vng góc với  Giải hệ phương trình gồm phương trình  d , ta nghiệm ( x; y ) tọa độ điểm H - Lấy điểm A ' cho H trung điểm AA ' Với câu a) giá trị lớn z  z A  z  zB A ' B Với câu b): Viết phương trình đường thẳng A’B Giải hệ gồm phương trình đường thẳng  A’B ta nghiệm x,y phần thực phần ảo z LB Ví dụ 5.1 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z   i  z   7i Tìm giá trị lớn biểu thức P  z   i  z   4i A 13 B 10 C 13 Lời giải Đặt M ( x; y )  M ( z ), A(4;1), B(2;4) YỀ N D HU Từ hệ thức z   i  z   7i , ta được: M   : x  y   ỌC Thế tọa độ điểm A vào phương trình  , ta được: 2.4  3.1   Thế tọa độ điểm B vào phương trình  , ta được: 2.2  3.4   Vậy, A, B phía với  NG y (-1;7) Δ ĐÌ NH B(2;4) (-5;1) A(4;1) x O GI A M(7;2) Theo phần lý thuyết trên, ta được: Giá trị lớn P AB  (2  4)  (4  1)2  13 Chọn đáp án A Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Trang 18 GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB Ví dụ 5.2 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z   z  i Biết rằng, số phức z  x  yi thỏa mãn z   i  z   6i đạt giá trị lớn Giá trị biểu thức P  x  y A B C Lời giải Đặt M ( x; y )  M ( z ), A(3;1), B (2;6) d B(2;6) Δ LB y C 2 YỀ N A'(1;3) (0;1) M=O (1;0) HU A(3;1) x ỌC Từ hệ thức z   z  i , ta được: M   : x  y  ĐÌ NH NG Thế tọa độ điểm A vào phương trình  , ta được:   Thế tọa độ điểm B vào phương trình  , ta được:   Vậy, A, B khác phía so với  Theo phần lý thuyết Gọi A ' điểm đối xứng A qua đường thẳng x 1 y   : y  x ta A '(1;3) Đường thẳng A ' B :  hay x  y   y  x x   Giao điểm  A ' B nghiệm hệ  3 x  y   y  A Vậy, số phức z thỏa mãn z   i  z   6i lớn z   0i nên P  GI Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án BÀI TOÁN Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z  z0  R,(R  0) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức z  z A  z  z B 2 b) Tìm số phức z để z  z A  z  z B đạt giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) Nhận xét: Trang 19 GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB 2 - Đặt A  A( z A ), B  B ( z B ), M  M ( z ) z  z A  MA2 , z  z B  MB - Từ z  z0  R Suy ra, M  đường tròn (C) tâm I , bán kính R Dẫn đến tốn: Với A, B cố định Tìm M  (C ) để MA2  MB nhỏ Tìm giá trị MA2  MB AB  Suy ra, - Gọi H trung điểm AB Ta có: MH  AB 2 2 MA  MB  MH  A=zA H LB B=zB YỀ N M1 M HU I=z0 ỌC M2 NG Do A, B cố định nên AB không đổi Vậy 2 + MA  MB nhỏ  MH nhỏ  M  M (hình minh họa) AB MA  MB = R  IH  + MA2  MB lớn  MH lớn  M  M (hình minh họa) giá trị lớn 2 NH 2 ĐÌ MA  MB  R  IH  AB  A Lời giải - Từ hệ thức z  z0  R,( R  0) Suy phương trình đường trịn (C), tâm I bán kính GI (C) - Tìm tọa độ trung điểm H đoạn AB AB - Nếu yêu cầu tìm min{ MA  MB } min{ MA  MB } = R  IH  - Nếu yêu cầu tìm z viết phương trình đường thẳng IH Giải hệ gồm phương trình đường thẳng IH (C), suy hai nghiệm (x; y) hệ Thử lại để chọn kết phù hợp với đáp án 2 2 Trang 20 GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB thức z   6i  z   10i LB - Nếu yêu cầu tìm giá trị lớn { MA2  MB } giá trị lớn { AB 2 2 MA  MB } 2( R  IH )  - Nếu yêu cầu tìm z viết phương trình đường thẳng IH Giải hệ gồm phương trình đường thẳng IH (C), suy hai nghiệm (x; y) hệ Thử lại để chọn kết phù hợp với đáp án Ví dụ 6.1 Cho số phức z thỏa mãn z  Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu là: YỀ N A 66 466 B 15 C 82 482 D 41 241 Lời giải Đặt M  M ( z ) Từ hệ thức z  Suy ra, M thuộc đường trịn tâm O(0;0), bán HU kính R  y B(4;10) ỌC H(6;8) (C) A(8;6) NG M1(3;4) x H NH O Đặt ĐÌ M2(-3;-4) A(8;6), B (4;10) Gọi trung điểm AB H (6;8), GI A OH  100, AB  32 Theo lý thuyết 2 Giá trị nhỏ P  z   6i  z   10i  MA2  MB Pmin AB  R  OH   66 2 2 Giá trị lớn P  z   6i  z   10i  MA2  MB Pmax  R  OH  AB  466 Chọn đáp án A Trang 21 GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB Ví dụ 6.2 Trong tất số phức z thỏa mãn z   i  13 , tìm số phức z cho 2 z   5i  z   9i nhỏ A z  3  4i Lời giải B z  2  3i C z  7  2i D z  2  i Đặt M  M ( z ) Từ hệ thức z   i  13 Suy ra, điểm M thuộc đường tròn LB (C ) : ( x  5)2  ( y  1)  13 Tâm I (5;1), bán kính R  13 B(-3;9) y (C) I(-5;1) x NG ỌC O M2(-7;-2) A(1;5) HU M1(-3;4) YỀ d N I(-1;7) Đặt A(1;5), B(3;9) Gọi H trung điểm AB H (1;7) Đường thẳng x 1 y  hay 3x  y  17   4 6 NH IH : A ĐÌ ( x  5)2  ( y  1)  13 Giải Tọa độ giao điểm IH (C ) nghiệm hệ:  x  y  17    x  3; y  ta được,   x  7; y  2 GI Với x  3, y  M 1H  13 với M (3;4) Với x  7, y  2 M H  14 với M (7; 2) 2 Theo phần lý thuyết trên, z   5i  z   9i  MA2  MB nhỏ M  M Vậy số phức cần tìm là: z  3  4i Chọn đáp án A Trang 22 GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB BÀI TỐN 7: Cho hai số phức z, z’ thỏ mãn hệ thức z  z1  R, z ' z2  z ' z3 Trong đó, z1 , z2 , z3 số phức cho trước Tìm giá trị nhỏ z  z ' Nhận xét: - Đặt M  M ( z ), M '  M ( z ') Từ hệ thức z  z1  R Suy ra, M thuộc đường tròn (C) Từ hệ thức z ' z2  z ' z3 LB Suy ra, M’ thuộc đường thẳng  z  z '  MM ' Dẫn đến tốn Tìm điểm M  , M '  (C ) cho MM ' nhỏ YỀ N M'=M M' I=z1 M2 Δ B=z2 B=z2 d(I,Δ) > R NG d(I,Δ) ≤ R Δ A=z1 ỌC A=z1 M M1 I=z1 HU M2 + Trường hợp   (C )   giá trị nhỏ z  z ' + Trường hợp   (C )   giá trị nhỏ z  z ' z  z '  d ( I , )  R NH Lời giải - Từ hệ thức z  z1  R Suy ra, đường tròn (C), tâm I, bán kính R (C) ĐÌ - Từ hệ thức z ' z2  z ' z3 Suy ra, đường thẳng  nhỏ z  z' z  z '  A - Tính khoảng cách d từ I đến  + Nếu d  R giá trị GI z ( x; y )  z '( x; y )  d  (C ) + Nếu d  R giá trị nhỏ z  z ' z  z '  d  R z ( x; y )  M ( x; y ) hình chiếu I lên  z '( x '; y ')  M '( x '; y ')  a  (C ), a đường thẳng qua I vng góc với  (Chú ý: Chọn M’ điểm nằm I,M) Ví dụ 7.1 Cho số phức z, z ' thỏa mãn z   i  z '  3i  z '  9i Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  z  z ' gần số số sau Trang 23 GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB A 1,6 B 1,1 Lời giải Đặt M  M ( z ), M '  M '( z ') C 1,7 D 1,5 Từ hệ thức z   i  , suy M thuộc đường tròn: ( x  2)  ( y  1)2  với tâm I (2;1), bán kính R  y (1;9) LB Δ N d YỀ M' (C) (-5;3) I(-2;1) O HU M x ỌC Từ hệ thức z   3i  z   9i , suy M ' thuộc đường thẳng  : x  y     R Vậy, giá trị nhỏ   1,54 GI A ĐÌ Chọn đáp án D 2   NH biểu thức P  z  z ' NG Khoảng cách từ I đến  d ( I , )  Trang 24 GIA ĐÌNH NGỌC HUYỀN LB III KẾT LUẬN GI A ĐÌ NH NG ỌC HU YỀ N LB Trong viết, có sai sót khơng tránh khỏi, mong q vị thơng cảm Trang 25 ... thấy Đại số Hình học có mối liên N hệ với “gần gũi” Hơn nữa, nhiều toán Đại số bên Số phức, chuyển YỀ sang Hình học, từ số trừu tượng, toán minh họa cách HU trực quan, sinh động giải Hình học với... thi Đại học, Cao đẳng THPT Quốc gia năm gần đây, việc sử dụng phương pháp Hình học để giải toán Số phức ỌC phương pháp hay hiệu quả, đặc biệt toán Cực trị số phức Hơn NG nữa, với tốn Hình học theo... NGỌC HUY? ??N LB MỞ ĐẦU Trong chương trình Toán THPT, phần Đại số mà cụ thể phần Số học, chương trình lớp 12, học sinh hồn thiện hiểu biết tập hợp số thông qua việc cung cấp tập hợp số, gọi Số phức