Kinh nghiệm giải một số bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học giải tích

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT SẦM SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Người thực hiện: Nguyễn Minh Thế Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2019 MỤC LỤC Trang .1 MỤC LỤC I MỞ ĐẦU .1 1.1 Lí chọn đề tài .1 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm .1 2.1.1 Các định nghĩa kí hiệu 2.1.2 Các phép toán tập hợp số phức 2.1.3 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc .2 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm với hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 19 III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 20 3.1 Kết luận 20 3.2 Kiến nghị 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO .21 I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình Tốn THPT, phần đại số mà cụ thể chủ đề số phức, học sinh hoàn thiện hiểu biết tập hợp số Trong chủ đề này, học sinh bước đầu làm quen với phép toán cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa; lấy môđun, … số phức Bằng cách đặt tương ứng số phức z = x + yi ( x, y ∈ ¡ , i = −1) với điểm M ( x; y ) mặt phẳng tọa độ Oxy , ta thấy Đại số Hình học có mối liên hệ với "gần gũi" Hơn nữa, nhiều toán số phức, chuyển sang hình học, từ số trừu tượng, toán minh họa cách trực quan, sinh động giải hình học với phương pháp đẹp Đặc biệt, kỳ thi THPT Quốc gia, việc sử dụng phương pháp hình học để giải toán số phức phương pháp hay hiệu quả, đặc biệt toán cực trị số phức Hơn nữa, với tốn hình học theo phương pháp trắc nghiệm, biểu diễn giấy qua hình ảnh minh họa, ta lựa chọn đáp án cách dễ dàng Tuy nhiên, thực tế giảng dạy, việc chuyển từ tốn đại số nói chung số phức nói riêng sang tốn hình học nhiều học sinh nói chung nhiều lúng túng, việc giải toán số phức gây nhiều khó khăn cho học sinh Trước vấn đề tơi thấy cần có lý thuyết, phương pháp phân loại tập loại toán 1.2 Mục đích nghiên cứu Bài tốn cực trị số phức thơng thường có nhiều cách lựa chọn để giải dùng bất đẳng thức, dùng khảo sát hàm số, … Qua nội dung này, muốn gợi ý cho học sinh lối tư vận dụng linh hoạt phương pháp chuyển đổi từ toán đại số sang hình học cho học sinh, giúp em có nhìn cụ thể việc chuyển đổi vận tư cho toán khác 1.3 Đối tượng nghiên cứu Với mục tiêu trên, nội dung này, tập trung giải tốn theo hướng hình học, khơng đặt nặng việc so sánh phương pháp nhanh hơn, tối ưu phương pháp 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Các định nghĩa kí hiệu a) Số i (đơn vị ảo): i = −1 b) Số phức: Biểu thức z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) gọi số phức x gọi phần thực, y gọi phần ảo c) Với số phức z = x + yi , giá trị biểu thức x + y gọi mơđun z Kí hiệu: z Như , z = x + y Trang d) Với số phức z = x + yi Số phức z′ = x + ( − y ) i = x − yi gọi số phức liên hợp số phức z Kí hiệu z Như z = x + yi z = x − yi e) Với số phức z = x + yi Xác định điểm M ( x; y ) mặt phẳng tọa độ Oxy Điểm M gọi biểu diễn hình học số phức z = x + yi Để cho thuận tiện nội dung tơi kí hiệu M ( x; y ) = M ( z ) hay đơn giản M ( z ) để M điểm biểu diễn cho số phức z = x + yi 2.1.2 Các phép toán tập hợp số phức Cho hai số phức z = x + yi, z′ = x′ + y′i ( x, y , x′, y′ ∈ ¡ , i = −1) + Phép cộng: z + z′ = ( x + x′ ) + ( y + y′ ) i + Phép trừ: z − z′ = ( x − x′ ) + ( y − y′ ) i + Phép nhân: z.z′ = x.x′ − y y′ + ( x y′ + x′y ) i z z z ′ = với z′ ≠ + 0i z′ z′.z′ 2.1.3 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc + Với M ( z ) z = OM + Với M = M ( z ) , M ′ = M ′ ( z′ ) z − z′ = MM ′ + Với A = A ( z A ) , B = B ( z B ) z A , z B hai số phức khác cho trước tập hợp điểm M = M ( z ) thỏa mãn z − z A = z − z B hệ thức đường trung trực đoạn AB + Với M = M ( z0 ) , R > , tập hợp điểm M = M ( z ) thỏa mãn hệ thức z − z0 = R đường tròn tâm M bán kính R 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Hiện nay, đa số em học sinh lúng túng việc giải toán liên quan đến cực trị số phức Với mong muốn có hệ thống tập liến quan đến liên quan đến cực trị số phức để em làm tốt tập thuộc dạng Vì vậy, thân viết sáng kiến kinh nghiệm cho mình: "Kinh nghiệm giải số tốn cực trị số phức phương pháp hình học giải tích" 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề BÀI TOÁN 1: Cho số phức z0 = a0 + b0 i ( a0 , b0 ∈ ¡ ) tập hợp số phức z = x + yi thỏa mãn hệ thức z − z1 = z − z2 : + Phép chia: a) Tìm giá trị nhỏ z − z0 b) Tìm z để z − z0 nhỏ Nhận xét: + Gọi M = M ( z ) , M = M ( z0 ) ; A = A ( z1 ) ; B = B ( z2 ) z − z0 = MM + Từ đẳng thức z − z1 = z − z2 suy ra, M thuộc ∆ trung trực đoạn AB Trang Bài tốn trở thành: a) Tìm giá trị nhỏ M M với M ∈ ∆ b) Tìm M ∈ ∆ cho M M nhỏ Định hướng: Ta thấy, với điểm M ∈ ∆ M M ≥ M H , H hình chiếu M lên ∆ Do đó, z − z0 = d ( M ; ∆ ) Và để M M nhỏ với M ∈ ∆ M ≡ H hay M hình chiếu M lên ∆ Phương pháp giải Từ hệ thức z − z1 = z − z2 , suy phương trình đường thẳng ∆ + Với câu a), ta tính khoảng cách d ( M ; ∆ ) , kết luận z − z0 = d ( M ; ∆ ) + Với câu b) • Viết phương trình đường thẳng d qua M , vng góc với ∆ (hoặc song song với AB ) • Giải hệ gồm hai phương trình: ∆ d suy nghiệm ( x; y ) Kết luận, số phức cần tìm z = x + yi Đặc biệt: z tức tìm số phức z cho mơđun z nhỏ Ví dụ 1.1 Trong tất số phức z thỏa mãn z − + 2i = z + − 4i Tìm giá trị nhỏ môđun z 13 A B 13 C D 26 13 Lời giải Chọn A z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Đặt M = M ( z ) = M ( x; y ) Ta có: z − + 2i = z + − 4i ⇔ ( x − 1) + ( y + ) = ( x + 3) + ( y − ) ⇔ M ∈ ∆ : 2x − 3y + = 2 Khoảng cách từ O đến ∆ d ( O, ∆ ) = 13 13 13 13 Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Ví dụ 1.2 Trong tất số phức z thỏa mãn hệ thức z − + 3i = z − − 5i , tìm giá trị nhỏ z + + i Vậy z = Trang A B 68 C 12 17 17 D 34 Lời giải Chọn C z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Đặt M = M ( z ) = M ( x; y ) Ta có : z − + 3i = z − − 5i ⇔ ( x − 1) + ( y + 3) = ( x − 3) + ( y − ) ⇔ M ∈∆ : x + 4y − = z + + i = d ( M ; ∆ ) −2 − − 12 17 , M ( −2; − 1) 17 12 + 42 Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Ví dụ 1.3 Trong tất số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) thỏa mãn hệ thức z − + 5i = z − i , biết z + − i nhỏ Tính P = ab 23 13 A − B C − D 100 100 16 25 Lời giải Chọn A M = M ( z) Đặt Từ hệ thức z − + 5i = z − i , ta M ∈ ∆ : x − 3y − = Đặt M ( −1;1) , z + − i = MM Gọi d đường thẳng qua M ( −1;1) x +1 y −1 = vng góc với ∆ d : hay −3 d : 3x + y + = Xét hệ phương trình  x=  x − 3y =  10 ⇔  3 x + y = −2  y = − 23  10  23  Vậy hình chiếu vng góc M lên ∆ H  ; − ÷  10 10  = = Trang 23 23 − i⇒P=− 10 10 100 Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án BÀI TỐN 2: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z − z0 = R > , z0 = a + bi cho trước a) Tìm giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) z − z1 , z1 số phức cho trước b) Tìm số phức z để z − z1 đạt giá trị lớn (hay nhỏ nhất) Nhận xét : + Đặt M = M ( z ) , I = I ( z0 ) , A = A ( z1 ) z − z0 = MI + Từ đẳng thức z − z0 = R suy M thuộc đường tròn ( C ) tâm I , bán kính R Bài tốn trở thành : a) Tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) AM với M ∈ ( C ) b) Tìm M ∈ ( C ) cho AM lớn (nhỏ nhất) + Gọi M , M giao điểm đường thẳng AI ( C ) với điểm M ∈ ( C ) ta ln có AM ≤ AM ≤ AM Từ z + − i nhỏ z = Do { AM } = AM = AI − R ;max { AM } = AI + R Phương pháp giải a) z − z1 = z1 − z0 − R ;max z − z1 = z1 − z0 + R b) Tìm z + Từ hệ thức z − z0 = R > Suy phương trình đường tròn ( C ) + Viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm A ( z1 ) , I ( z0 ) + Giải hệ phương trình gồm phương trình ( C ) d , suy nghiệm ( x1; y1 ) , ( x2 ; y2 ) + Thử lại để ( x; y ) thích hợp từ hai Ví dụ 2.1 Trong tất số phức z thỏa mãn hệ thức z − + 3i = Tìm z −1− i A B C 10 Lời giải D Chọn A Trang Đặt M = M ( z ) , I ( 1; − 3) , A ( 1;1) ⇒ AI = z − − i = MA Từ hệ thức z − + 3i = Suy M ∈ đường tròn bán kính R = Vậy z − − i = MA = M A = AI − R = Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ đốn đáp án Ví dụ 2.2 Trong tất số phức z thỏa mãn hệ thức z − i = Tìm giá trị lớn z A B C Lời giải D Chọn A Ta có: I ( 0;1) , A ≡ O ( 0; ) ⇒ IA = M = M ( z ) với z thỏa mãn hệ thức z − i = suy M R = thuộc đường tròn bán kính Vậy max z = AI + R = + = Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ đốn đáp án Ví dụ 2.3 Trong tất số phức z = a + bi thỏa mãn z − + 2i = biết a z − − i đạt giá trị nhỏ Tính P = b 7 A − B − C D − 13 13 Lời giải Chọn A Ta có: I ( 1; − ) , A ( −3;1) M = M ( z ) ⇒ M ∈ ( C ) : ( x − 1) + ( y + ) = x −1 y + = Đường thẳng AI : −4 hay x + y + = Xét hệ 2 Trang 13  x = ; y = − ( x − 1) + ( y + ) =  5 ⇔  x = ; y = − 3 x + y + =  5 13 Với x = ; y = − z + − i = Với x = ; y = − z + − i = 5 5 a Vậy z = − i ⇒ P = = − 5 b Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ đốn đáp án Ví dụ 2.4 Cho số phức z thỏa mã hệ thức z − i = Biết z lớn Tìm phần ảo z A B −1 C D −3 Lời giải Chọn A M ( x; y ) = M ( z ) Đặt Từ hệ thức 2 z − i = ⇒ M ∈ ( C ) : x + ( y − 1) = Đường thẳng d qua O ( 0; ) tâm I ( 0;1) ( C ) có phương trình x = Giao d ( C ) nghiệm x; y hệ  x =  x = 0, y = ⇔  2  x = 0, y =  x + ( y − 1) = • Với x = 0, y = z = −i ⇒ z = • Với x = 0, y = z = 3i ⇒ z = Vậy z lớn z = + 3i = 3i , phần ảo số phức z thỏa mãn yêu cầu tốn Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ đốn đáp án BÀI TOÁN Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z − z1 = z − z2 Với z1, z2 số phức a) Tìm giá trị nhỏ z − z3 + z − z4 Với z3, z4 số phức cho trước b) Tìm số phức z để z − z3 + z − z4 nhỏ Nhận xét: - Đặt M ( z ), A ( z3 ) , B ( z4 ) z − z3 = AM , z − z4 = BM - Từ hệ thức z − z1 = z − z2 Suy ra, M thuộc đường thẳng ∆ Dẫn đến tốn: Tìm M ∈ ∆ cho MA + MB nhỏ Trang A, B khác phía so với ∆ A, B phía so với ∆ Ta thấy rằng: + Nếu A, B nằm hai phía so với ∆ với điểm M ∈ ∆, MA + MB ≥ AB Vậy MA + MB nhỏ MA + MB = AB M , A, B thẳng hàng hay M = ∆ ∩ AB + Nếu A, B nằm phía so với ∆ gọi A ' điểm đối xứng với A qua ∆ Khi đó, với điểm M ∈ ∆, MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B Phương pháp giải - Từ hệ thức z − z1 = z − z2 Suy phương trình đường thẳng ∆ - Thay tọa độ điểm A = A ( z3 ) , B = B ( z4 ) vào phương trình ∆ để kiểm tra xem A, B nằm phía hay khác phía so với: * Nếu A, B phía với ∆ + { z − z3 + z − z4 } = z3 − z4 + Để tìm z ta viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm A, B Giải hệ gồm phương trình ∆ phương trình d Nghiệm ( x; y ) suy số phức z = x + yi cần tìm * Nếu A, B khác phía với ∆ viết phương trình đường thẳng a qua A vng góc với ∆ Giải hệ phương trình gồm phương trình ∆ phương trình a suy nghiệm tọa độ điểm I trung điểm AA′ Từ tọa độ A, I cơng thức tính tọa độ trung điểm suya tọa độ A′ + { z − z3′ + z − z4 } = z3′ − z4 với A′ = A′ ( z3′ ) + Để tìm z ta viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm A ', B Giải hệ gồm phương trình ∆ phương trình d Nghiệm ( x; y ) suy số phức z = x + yi cần tìm Ví dụ 3.1 Cho số phức z thỏa hệ thức | z − + i | = | z − − 3i | Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z + − i + z − + 2i A 13 61 17 B 493 17 C 10 251 17 D 71 Lời giải Chọn B Trang Đặt M = M ( z ) Từ hệ thức | z − + i |=| z − − 3i | suy M ∈ ∆ : x + y − 11 = Đặt A ( −2;1) , B ( 3; −2 ) Thay A vào phương trình ∆ , ta 2.(−2) + 8.(1) − 11 < Thay B vào phương trình ∆ , ta 2.(3) + 8.( −2) − 11 < Vậy A, B nằm phía với ∆ x + y −1 = hay 4 x − y + = Gọi I = d ∩ ∆ tọa độ I nghiệm x, y hệ: 2 x + y = 11 61 31 ⇒ x=− ;y =  34 17  x − y = −9 Gọi A′ điểm đối xứng với A qua ∆ I trung điểm AA′ nên  27 45  A′  − ; ÷ Suy min{| z + − i | + | z − + 2i |} = A′B = 493  17 17  17 Nhận xét: Nếu ta biểu diễn toán giấy có ta chọn đáp án phù hợp với đáp án đưa Đáp án A :≈ 5,97;B :≈ 6,53;C :≈ 9,31;D :≈ 2,81 Gọi d đường thẳng qua ∆ vng góc với ∆ d : Dựa vào hình minh họa: A′B ≈ 4,52 + 4,52 ≈ 6,36 nên chọn đáp án B Ví dụ 3.2 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z − 2i = z + i Tìm phần thực số phức z biết z − − 2i + z + 4i đạt giá trị nhỏ A B C D 6 Lời giải Chọn D Đặt M = M ( z ) Từ hệ thức z − 2i = z + i , ta được: M ∈ ∆ : y −1 = Đặt A ( 1;2 ) , B ( 0; −4 ) , A, B khác phía so với ∆ Đường thẳng x y+4 AB : = ⇒ 6x − y − = Tọa độ giao điểm AB ∆  y=  2 y − =  ⇒ nghiệm hệ  6 x − y − =  x =  Trang Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Ví dụ 3.3 (Câu 46 - Đề minh họa THPT Quốc gia năm 2018) Xét số phức z = a + bi , ( a, b ∈ ¡ ) thỏa mãn z − − 3i = Tính P = a + b z + − 3i + z − + i đạt giá trị lớn A P = 10 B P = C P = D P = Lời giải Chọn A M = M ( z) z − − 3i = , Đặt Từ hệ thức ta Vậy, phần thực số phức thỏa mãn yêu cầu toán x = M ∈ ( C ) : ( x − ) + ( y − 3) = Đặt A ( −1;3) , B ( 1; −1) , I trung điểm AB I ( 0;1) Theo lí thuyết trên, ta thấy MA + MB lớn MI lớn , M ≡ K 2 Đường thẳng qua I vng góc với AB có phương trình x − y + =  x =  ( x − ) + ( y − 3) = y = Xét hệ phương trình  Ta  Tức H ( 2;2 ) , x =  x − y + =     y = K ( 6;4 ) Chọn điểm K (như nói trên) Vậy P = a + b = + = 10 BÀI TOÁN Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z − z1 = z − z2 Tìm 2 a) Giá trị nhỏ biểu thức z − z A + z − z B 2 b) Tìm số phức z để z − z A + z − z B đạt giá trị lớn Ở z1 , z2 , z A , z B số phức cho trước Nhận xét - Đặt A = A ( z A ) , B = B ( z B ) , M = M ( z ) 2 z − z A + z − z B = MA2 + MB Trang 10 - Từ hệ thức z − z1 = z − z2 Suy M thuộc đường thẳng ∆ Dẫn đến tốn tìm M ∈ ∆ cho MA2 + MB nhỏ - Gọi I trung điểm AB Khi với điểm M ∈ ∆ , ta có: MA2 + MB AB 2 suy MI = − AB MA2 + MB = 2MI + Do A , B cố định nên AB khơng đổi, MA2 + MB nhỏ ⇔ MI nhỏ ⇔ M ≡ M , M hình chiếu I lên đường thẳng ∆ Khi giá trị nhỏ MA2 + MB 2 AB AB ( MA2 + MB ) = M I + = 2d ( I , ∆ ) + 2 Phương pháp giải - Từ z − z1 = z − z2 Suy phương trình đường thẳng ∆ - Tìm trung điểm I đoạn thẳng AB + Với câu a): Tính khoảng cách từ I đến ∆ , độ dài đoạn thẳng AB Kết luận AB 2 2 ( MA + MB ) = 2d ( I , ∆ ) + + Với câu b): Viết phương trình đường thẳng d qua I vng góc với ∆ Nghiệm x , y hệ hai phương trình ∆ d phần thực phần ảo z Ví dụ 4.1 Cho số phức z thỏa hệ thức z − + 2i = z + + i Tìm giá trị nhỏ 2 z + i + z − − i 305 441 A B 34 68 C 169 34 D Lời giải Chọn A Đặt M = M ( z ) Từ z − + 2i = z + + i Ta M ∈ ∆ : x − y + = Đặt A ( 0; −1) , B ( 2;1) gọi I trung điểm AB I ( 1;0 ) Khoảng cách từ I 13 đến ∆ d ( I , ∆ ) = , AB = 68 AB 2 2 Vậy ( MA + MB ) = 2d ( I , ∆ ) + 169 305 = + = 68 34 Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án Trang 11 Ví dụ 4.2 Cho số phức z thỏa hệ thức z − − 3i = z − + i Tìm số phức z 2 cho z + − i + z − − i đạt giá trị nhỏ A z = + i B z = C z = + i D z = − i Lời giải Chọn B M = M ( z ) Từ hệ thức Đặt z − − 3i = z − + i Ta M ∈∆: x − y − = Đặt A ( −1;1) , B ( 3;1) Gọi I trung điểm AB I ( 1;1) Đường thẳng qua I , vng góc với ∆ x −1 y −1 = có phương trình hay −1 x + y − = x − y − = x = ⇒ Xét hệ phương trình  Vậy số phức thỏa mãn yêu cầu x + y − = y =   toán z = Ví dụ 4.3 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z + − 5i = z − − 11i Biết số 2 phức z = x + yi thỏa mãn z − − 8i + z − − 6i đạt giá trị nhỏ Giá trị biểu thức P = x − y A −16 B C −1 Lời giải D Chọn A Đặt M ( x; y ) = M ( z ) Từ hệ thức z + − 5i = z − − 11i ta M ∈ ∆ : x + y − 12 = Trang 12 Đặt A(2 ; 8), B(6 ; 6), I trung điểm AB I ( 4;7 ) Đường thẳng d qua I vuông góc với ∆ có phương trình x − y + 16 = 4 x + y − 12 =  x = ⇔ Xét hệ phương trình  Vậy P = −16 3 x − y + 16 =  y = BÀI TOÁN Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z − z1 = z − z2 a) Tìm giá trị lớn z − z A − z − z B b) Tìm z để z − z A − z − z B đạt giá trị lớn Lời giải Nhận xét phân tích Đặt A = A ( z A ) , B = B ( z B ) , M = M ( z ) z − z A = MA, z − z B = MB Từ z − z1 = z − z2 suy M ∈ ∆ Dẫn đến tốn: Tìm đường thẳng ∆ cho trước điểm M cho MA − MB lớn Tính giá trị A, B phía so với ∆ A, B khác phía so với ∆ - Với A, B cố định +) Nếu A, B phía so với ∆ với điểm M ∈ ∆ , ta ln có | MA − MB |≤ AB Dấu xảy M , A, B thẳng hàng hay M = ∆ ∩ AB +) Nếu A, B khác phía so với ∆ , gọi A′ điểm đối xứng với A qua ∆ với điểm M ∈ ∆ , ta ln có | MA − MB |= MA′ − MB ≤ A′B Dấu xảy M , A′, B thẳng hàng hay M = ∆ ∩ A′B Phương pháp giải Từ hệ thức z − z1 = z − z2 suy phương trình đường thẳng ∆ Thay tọa độ điểm A, B vào phương trình ∆ để kiểm tra xem A, B phía hay khác phía so với ∆ +) Nếu A, B phía so với ∆ Với câu a) giá trị lớn z − z A − z − z B AB Với câu b) ta viết phương trình đường thẳng AB Giải hệ gồm phương trình đường thẳng ∆ AB ta nghiệm x, y phần thực phần ảo z +) Nếu A, B khác phía so với A - Viết phương trình đường thẳng d qua A , vng góc với ∆ Giải hệ phương trình gồm phương trình ∆ d , ta nghiệm ( x; y ) tọa độ điểm H Trang 13 - Lấy điểm A′ cho H trung điểm AA′ Với câu a) giá trị lớn z − z A − z − z B A′B Với câu b) ta viết phương trình đường thẳng A′B Giải hệ gồm phương trình đường thẳng ∆ A′B ta nghiệm x, y phần thực phần ảo z Ví dụ 5.1 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z + − i = z + − 7i Tìm giá trị lớn biểu thức P = z − − i − z − − 4i A 13 B 10 C 13 Lời giải D Chọn A Đặt M ( x; y ) = M ( z ) , A ( 4;1) , B ( 2;4 ) Từ hệ thức z + − i = z + − 7i , ta M ∈ ∆ : x + y − = Thay tọa độ điểm A vào phương trình ∆ , ta 2.4 + 3.1 − > Thay tọa độ điểm B vào phương trình ∆ , ta 2.2 + 3.4 − > Suy A, B phía so với ∆ Theo phần lý thuyết trên, ta giá trị lớn AB = ( − 4) P + ( − 1) = 13 Ví dụ 5.2 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z − = z − i Biết rằng, số phức z = x + yi thỏa mãn z − − i − z − − 6i đạt giá trị lớn Giá trị biểu thức P = x + y A B C D −2 Lời giải Chọn A Đặt M ( x; y ) = M ( z ) , A ( 3;1) , B ( 2;6 ) Từ hệ thức z − = z − i , ta được: M ∈ ∆ : x − y = Thay tọa độ điểm A vào phương trình ∆, ta − > Trang 14 Thay tọa độ điểm B vào phương trình ∆, ta − < Vậy hai điểm A, B khác phía so với ∆ Theo phần lý thuyết Gọi A′ điểm đối xứng A qua đường thẳng ∆ : y = x x −1 y − = A′ ( 1;3) Đường thẳng A′B : hay x − y + = Giao điểm ∆ A′B nghiệm hệ y = x x = ⇒  3 x − y =  y = z Vậy số phức thỏa mãn z − − i − z − − 6i đạt giá trị lớn z = + 0i nên P = Bình luận: Hãy thể tốn giấy kẻ ơ, đốn đáp án BÀI TOÁN Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z − z0 = R, ( R > ) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức z − z A + z − z B 2 b) Tìm số phức z để z − z A + z − z B đạt giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) Nhận xét: 2 - Đặt A = A ( z A ) , B = B ( z B ) , M = M ( z ) z − z A = MA2 , z − z B = MB - Từ z − z0 = R Suy M ∈ đường tròn ( C ) tâm I bán kính R Dẫn đến tốn: Với A, B cố định Tìm M ∈ (C ) để MA2 + MB nhỏ Tìm giá trị MA2 + MB AB 2 - Gọi H trung điểm AB Ta có MH = suy − AB 2 2 MA + MB = 2MH + Do A, B cố định nên AB không đổi Vậy ⇔ M = M1 ⇔ MH + nhỏ nhỏ MA2 + MB 2 AB MA2 + MB = | R − IH |2 + 2 + nhỏ ⇔ MH nhỏ ⇔ M = M MA + MB AB maxMA2 + MB = 2( R + IH ) + Trang 15 Phương pháp giải - Từ hệ thức c z − z0 = R,( R > 0) Suy phương trình đường tròn ( C ) , tâm I bán kính ( C ) - Tìm tọa độ trung điểm H đoạn AB AB 2 2 - Nếu yêu cầu tìm { MA + MB } { MA + MB } = | R − IH | + - Nếu yêu cầu tìm z viết phương trình đường thẳng IH Giải hệ gồm phương trình đường thẳng IH ( C ) , suy hai nghiệm ( x; y ) hệ Thử lại để chọn kết phù hợp với đáp án 2 - Nếu yêu cầu tìm giá trị lớn { MA + MB } giá trị lớn AB 2 2 MA + MB { } ( R + IH ) + Ví dụ 6.1 Cho số phức z thỏa mãn z = Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức | z − − 6i |2 + | z − − 10i |2 là: A 66 466 B 15 C 82 482 D 41 241 Lời giải Chọn A Đặt M = M ( z ) Từ hệ thức z = suy M thuộc đường tròn tâm O ( 0;0 ) , bán kính R = Đặt A(8;6), B (4;10) Gọi H trung H (6;8) , điểm AB 2 OH = 100, AB = 32 Theo lý thuyết thì: • Giá trị nhỏ 2 P =| z − − 6i | + | z − − 10i | = MA2 + MB AB 2 Pmin = | R − OH | + = 66 Trang 16 • Giá trị lớn P =| z − − 6i |2 + | z − − 10i |2 = MA2 + MB AB 2 Pmax = | R + OH | + = 466 Ví dụ 6.2 Trong tất số phức z thỏa mãn z + − i = 13 , tìm số phức z 2 cho z − − 5i + z + − 9i nhỏ A z = −3 + 4i B z = −2 + 3i C z = −7 − 2i D z = −2 − i Lời giải Chọn A Đặt M = M ( z ) Từ hệ thức z + − i = 13 Suy ra, điểm M thuộc đường tròn ( C ) : ( x + 5) 2 + ( y − 1) = 13 Tâm I ( −5;1) , bán kính R = 13 Đặt A ( 1;5 ) , B ( −3;9 ) Gọi H trung điểm AB H ( −1;7 ) Đường thẳng x +1 y − IH : = hay x − y + 17 = −4 −6 ( x + ) + ( y − 1) = 13 Tọa độ giao điểm IH ( C ) nghiệm hệ  3 x − y + 17 =  x = −3; y = Giải ta được:   x = −7; y = −2 Với x = −3; y = M 1H = 13 với M ( −3;4 ) Với x = −7; y = −2 M H = 14 với M ( −7; − ) Trang 17 2 Theo phần lý thuyết trên, z − − 5i + z + − 9i = MA2 + MB nhỏ M ≡ M Vậy số phức cần tìm z = −3 + 4i BÀI TOÁN Cho hai số phức z , z′ thỏa mãn hệ thức z − z1 = R , z′ − z2 = z′ − z3 Trong z1 , z2 , z3 số phức cho trước, tìm giá trị nhỏ z − z′ Nhận xét: - Đặt M = M ( z ) , M ′ = M ( z′ ) Từ hệ thức z − z1 = R Suy ra, M thuộc đường tròn ( C ) Từ hệ thức z′ − z2 = z′ − z3 Suy ra, M ′ thuộc đường thẳng ∆ z − z′ = MM ′ Dẫn đến tốn: Tìm điểm M ∈ ∆ , M ′ ∈ ( C ) cho MM ′ nhỏ + Trường hợp ∆ ∩ ( C ) ≠ ∅ giá trị nhỏ z − z′ + Trường hợp ∆ ∩ ( C ) = ∅ giá trị nhỏ z − z′ z − z′ = d ( I , ∆ ) − R Lời giải - Từ hệ thức z − z1 = R Suy ra, đường tròn ( C ) , tâm I , bán kính R ( C ) - Từ hệ thức z′ − z2 = z′ − z3 Suy ra, đường thẳng ∆ - Tính khoảng cách d từ I đến ∆ + Nếu d ≤ R giá trị nhỏ z − z′ z − z′ = , z ( x ; y ) = z′ ( x ; y ) = d ∩ ( C ) + Nếu d > R giá trị nhỏ z − z′ z − z′ = d − R z ( x ; y ) = M ( x ; y ) hình chiếu I lên ∆ z′ ( x′ ; y′ ) = M ′ ( x′ ; y′ ) = a ∩ ( C ) , a đường thẳng qua I vng góc với ∆ , (Chú ý: chọn M ′ điểm nằm I , M ) Trang 18 Ví dụ 7.1 Cho số phức z , z′ thỏa mãn z + − i = z′ + − 3i = z′ − − 9i Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z − z′ gần số số sau A 1,6 B 1,1 C 1,7 D 1,5 Lời giải Chọn D Đặt M = M ( z ) , M ′ = M ′ ( z′ ) 2 Từ hệ thức z + − i = , suy M thuộc đường tròn ( x + ) + ( y − 1) = với tâm I ( −2;1) , bán kính R = Từ hệ thức z + − 3i = z − − 9i , suy m′ thuộc đường thẳng ∆ : x + y − = −2 + − = > R Vậy, giá trị nhỏ Khoảng cách từ I đến ∆ d ( I , ∆ ) = 2 biểu thức P = z − z′ − ≈ 1,54 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm với hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết thu sau lần kiểm tra học sinh khá, giỏi lớp 12A2 trường sau Dưới trung Trung bình Khá Giỏi Thời gian bình Lần 10/42 24/42 5/42 3/42 Lần 14/42 18/42 10/42 Nhanh Trang 19 Sau áp dụng tơi cảm thấy hài lòng với kết trên, đa số em hiểu giải tốt vấn đề III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sáng kiến kinh nghiệm tương đối thể đầy đủ số dạng toán liên quan đến cực trị số phức Tôi hy vọng sáng kiến kinh nghiệm giúp học sinh tự tin giải dạng tập liên quan đến đồ số phức từ đạt kết cao kỳ thi tới 3.2 Kiến nghị Với sáng kiến kinh nghiệm muốn chia sẻ với quý thầy cô đồng nghiệp số kinh nghiệm mà thân tích lũy nhiều năm giảng dạy Hy vọng qua sáng kiến kinh nghiệm quý thầy cô giảng dạy lồng ghép sử dụng vào giảng mình, để tiết dạy trở nên đơn giản dễ hiểu cho học sinh XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 22 tháng năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Nguyễn Minh Thế Trang 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Giải tích 12-Đồn Quỳnh (Tổng Chủ biên), nhà xuất Giáo dục [2] Đề tham khảo đề thi THPT Quốc gia mơn tốn năm 2018 GDĐT [3] Đề thi thử số trường nước Trang 21 ... tơi viết sáng kiến kinh nghiệm cho mình: "Kinh nghiệm giải số toán cực trị số phức phương pháp hình học giải tích" 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề BÀI TOÁN 1: Cho số phức z0 = a0 + b0... trừu tượng, toán minh họa cách trực quan, sinh động giải hình học với phương pháp đẹp Đặc biệt, kỳ thi THPT Quốc gia, việc sử dụng phương pháp hình học để giải toán số phức phương pháp hay hiệu... dụng sáng kiến kinh nghiệm Hiện nay, đa số em học sinh lúng túng việc giải toán liên quan đến cực trị số phức Với mong muốn có hệ thống tập liến quan đến liên quan đến cực trị số phức để em làm