Phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua lớp các bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học, nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy và đáp ứng yêu cầu đổi mới của kỳ thi THPT quốc gia

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Năm 2017, kỳ thi trung học phổ thông Quốc Gia, đề thi mơn Tốn thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan tốn cực trị hình học mặt phẳng trường số phức coi tốn khơng thể thiếu đề thi THPT Quốc Gia, minh chứng điều thấy rõ đề thi thức thử nghiệm Bộ Giáo dục & Đào tạo Sự đổi làm thay đổi tồn cấu trúc đề thi mơn Tốn, với thời lượng 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm u cầu đặt với học sinh khơng cịn đơn tư chặt chẽ, logic, cẩn thận mà quan trọng linh hoạt, nhanh nhẹn, kĩ thao tác tốc độ Để thành công việc giải tốt đề thi trắc nghiệm Tốn ngồi việc học sâu cần phải học rộng, nhớ nhiều dạng tốn Trong q trình giảng dạy, ôn thi, làm đề kiểm tra, đề thi phát nhiều toán số phức xây dựng sở số tốn cực trị hình học mặt phẳng, học sinh tiếp cận theo hướng đại số túy tính tốn khó giải vấn đề thời gian ngắn Chính lý tơi tổng hợp kinh nghiệm q trình giảng dạy mình, sưu tầm dạng tốn điển hình hay gặp đề thi để viết thành tài liệu “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 12 THƠNG QUA LỚP CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC, NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG GIẢNG DẠY VÀ ĐÁP ỨNG YÊU CẦU ĐỔI MỚI CỦA KỲ THI THPT QUỐC GIA (NAY LÀ KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT)” 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh có tài liệu học tập khoa học, thêm kiến thức giải tốt tốn cực trị hình học mặt phẳng trường số phức 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài chủ yếu tập trung vào mối quan hệ số phức với hình học tọa độ mặt phẳng, qua chọn lọc số tốn cực trị đặc trưng hình học chuyển hóa thành tốn cực trị tập số phức 1.4 Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng chủ yếu phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp thu thập thông tin, xử lý số liệu (từ nguồn tài liệu ôn thi, đề thi thử nghiệm, đề thi thử trường THPT, báo cáo, luận văn sinh viên, thạc sĩ, giảng số giảng viên toán,…) - Phương pháp thử nghiệm thực tiễn NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Môđun số phức - Môđun số phức z = a + bi ( a, b ∈ R ) kí hiệu z z = a2 + b2 - Một số tính chất mơđun số phức: + Với số phức z; z ' , ta có: z.z ' = z z ' ; z' z' = ( z ≠ 0) z z + Với số phức z; z ' , ta có: z + z ' = z + z ' ; z + z ' ≤ z + z ' 2.1.2 Biểu diễn hình học số phức - Mặt phẳng phức có Ox trục thực Oy trục ảo - Mỗi số phức z = x + yi ( x, y ∈ R ) biểu diễn điểm M ( x; y ) Khi đó: uuuu r 2 + Môđun số phức z OM = x + y + Hai điểm biểu diễn số phức z z đối xứng qua trục thực - Gọi M điểm biểu diễn số phức z1 = x + yi ; N điểm biểu diễn số phức z2 = x '+ y ' i Khi đó: uuuu r MN = ( x '− x; y '− y ) ; + uuuur + MN = ( x '− x ) + ( y '− y )  x + x' y + y' ; +Trung điểm I đoạn thẳng MN có tọa độ  ÷   - Nếu tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng có dạng: z − z1 = z − z2 - Nếu số phức z thỏa mãn: z − z0 = R tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm đường tròn tâm I biểu diễn số phức z0, bán kính R - Nếu giả thiết có z − c + z + c = 2a ; a, c số cho trước tập hợp điểm biểu diễn số phức elip có độ dài trục lớn 2a - Nếu tốn khơng có dạng sử dụng tính chất mơđun số phức đưa dạng quen thuộc 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong năm học trước, trình dạy học sinh lớp 12 ôn thi THPTQG dùng phương pháp khảo sát thực tế từ học sinh trình dạy học thân đồng nghiệp nội dung số phức mức độ vận dụng thấp, vận dụng cao, thân thấy học sinh gặp trở ngại sau: - Học sinh biến đổi theo phương pháp giải tích dài, nhiều thời gian - Có nhiều tốn tìm GTLN, GTNN sử dụng bất đẳng thức làm học sinh cảm thấy khó khăn từ dẫn đến học sinh ngại làm tập - Có tốn học sinh khơng biết đâu, biến đổi mày mị, khơng có hướng cụ thể - Học sinh chưa có phương pháp cụ thể cho toán số phức làm theo phương pháp hình học Từ vấn đề trên, áp dụng vào trình dạy học năm học 2019 – 2020, tơi có số biện pháp khắc phục sau: - Ôn tập, rèn luyện kĩ tốn vectơ, tốn hình học phẳng thành thục - Xây dựng hệ thống toán gốc để áp dụng vào giải toán số phức - Hướng dẫn nhận dạng tốn sử dụng phương pháp hình học - Phân chia dạng toán xây dựng bước thực giải toán 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các toán cực trị liên quan đến đường thẳng, đoạn thẳng Bài toán Cho đường thẳng d điểm M nằm ngồi d Tìm N thuộc d cho khoảng cách MN ngắn Hướng dẫn Gọi N hình chiếu điểm M d Gọi N1 điểm thuộc d Xét tam giác vng MNN1 , ta có: MN ≤ MN1 Vậy MN ngắn N hình chiếu M d hay MN = d ( M ; d ) b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán Bước 1: Nhận dạng giả thiết cho để chuyển sang đối tượng hình học Tạo điều kiện ràng buộc số phức z cho quỹ tích đường thẳng Bước 2: Tìm giá trị nhỏ mơđun z − z0 với z0 số phức biết Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giả thiết yêu cầu toán Gọi điểm biểu diễn số phức z , z0 N1 , M Gọi đường thẳng biểu diễn quỹ tích số phức z ( d ) Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại ta tạo điều kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn đường thẳng Điều kiện kiểu đa dạng, mà hay gặp kể đến: + Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ R ) cho ax + by + c = (a, b, c ∈ R ) + Cho số phức z thỏa mãn z − z1 = z − z2 với z1 , z hai số phức biết c Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm đường thằng ( d ) : 3x − y + = Giá trị nhỏ z là: A B C D Gợi ý: Gọi M điểm biểu diễn số phức z ⇒ Min z = OM = d ( O; d ) = Đáp án A Ví dụ 2: Cho số phức z , w thỏa mãn z − + 2i = z + − 4i Giá trị nhỏ z là: Gợi ý: Đặt z = x + yi, x ∈ R M = M ( z ) = M ( x; y ) 2 2 Ta có z − + 2i = z + − 4i ⇔ ( x − 1) + ( y + 2) = ( x + 3) + ( y − 4) Hay M ∈ ∆ : x − y + = A 13 13 B 13 Khoảng cách từ O đến ∆ d (O, ∆) = C 22 + (−3) = D 26 5 13 = Đáp án A 13 13 Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa điều kiện z − + 5i = z − + 4i Giá trị nhỏ z + − i bằng: 16 C D 82 16 Gợi ý: Đặt z = x + yi, x ∈ R M = M ( z ) = M ( x; y ) 2 2 Ta có z − + 5i = z − + 4i ⇔ ( x − 2) + ( y + 5) = ( x − 1) + ( y − 4) 16 16 = Hay ∆ : x − y − = Vậy Min z + − i = d ( M , ∆ ) = 82 + (−9)2 A 21 B 14 Với M(-1;1) Đáp án B Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn z − − 3i = z − 4i Giá trị nhỏ z + − i là: A 10 B C 10 D 10  z − 4i = z − 4i = z + 4i  Gợi ý:   z + − i = z + − i = z + + i Bài toán trở thành: Cho số phức z thỏa mãn z − − 3i = z + 4i Tìm giá trị nhỏ z + + i Như tốn trở dạng giống ví dụ Bài toán Cho đường thẳng d điểm A, B Tìm M thuộc d cho MA + MB nhỏ trường hợp sau: TH1: A, B khác phiá so với d TH2: A, B phía so với đường thẳng d a Hướng dẫn TH1: Lấy M’ thuộc d Ta có: M ' A + M ' B ≥ AB Dấu “=” xảy A, M’, B thẳng hàng Vậy MA + MB nhỏ M giao điểm AB d TH2: Lấy A’ đối xứng với A qua d Lấy M’ thuộc d, đó: M ' A + M ' B = M ' A '+ M ' B ≥ A ' B Dấu “=” xảy M’ giao điểm A’B đường thẳng d Vậy MA + MB nhỏ M giao điểm AB d b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán Bước 1: Nhận dạng giả thiết cho để chuyển sang đối tượng hình học Tạo điều kiện ràng buộc số phức z cho quỹ tích đường thẳng Bước 2: Tìm giá trị nhỏ môđun z − z1 + z − z2 với z1 , z số phức biết Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giả thiết yêu cầu toán Gọi điểm biểu diễn số phức z , z1 , z2 M , A, B Gọi đường thẳng biểu diễn quỹ tích số phức z ( d ) Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại phát nhanh yếu tố hình học giả thiết kết luận, vẽ yếu tố hình học lên hệ trục tọa độ để xác định nhanh vị trí A, B với đường thẳng ( d ) c Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho số phức z w thỏa mãn: z + − 2i = z − 4i ; w = iz + Giá trị nhỏ w là: A B C.2 D 2 Hướng dẫn w -1 Khi ta có: i w -1 w -1 z + − 2i = z − 4i ⇔ + − 2i = − 4i ⇔ w + + 2i = w + i i w = iz + ⇔ z = Gọi M điểm biểu diễn số phức w ⇒ M nằm đường trung trực AB với A ( −1; −2 ) ; B ( −3;0 ) Phương trình đường trung trực AB là: x − y + = w nhỏ OM ngắn OM ngắn d ( O; d ) = OM = Đáp án A Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn: z = z − + 2i Giá trị nhỏ A P = ( + 2i ) z + 11 + 2i là: B 5 C D Hướng dẫn Đặt w = ( + 2i ) z + 11 + 2i ⇔ z = w - 11 - 2i + 2i z = z − + 2i ⇔ z = z − + 2i ⇔ z = z − − 2i ⇒ w - 11 - 2i w - 11 - 2i w - 11 - 2i w - 11 - 2i + - 4i = − − 2i ⇔ = + 2i + 2i + 2i + 2i ⇔ w − 11 − 2i = w − − 6i Gọi M điểm biểu diễn w, ta thấy tập hợp điểm M nằm đường trung trực d AB A ( 11;2 ) ; B ( 8;6 ) uuu r r  19  AB = ( −3;4 ) ⇒ n d = ( −3;4 ) , trung điểm I  ; ÷   19  25  Phương trình đường thẳng d : −3  x − ÷+ ( y − ) = ⇔ −3 x + y − = 2  P = ( + 2i ) z + 11 + 2i đạt GTNN OM ngắn nhất, : OM = d ( o; d ) = OM = −25 42 + 32 = Đáp án D Ví dụ (Đề thi thử THPTQG - Trường THPT Lê Quý Đôn Hà Nội – 2018) Trong tập số phức cho số phức z thỏa mãn: z − 2i = z + GTNN biểu thức P = z + 2i + z − + 9i là: A 10 B C 10 D 10 Hướng dẫn Gọi M, A, B điểm biểu diễn số phức z; z = 2i; z = −2 ⇒ A ( 0;2 ) ; B ( −2;0 ) Theo giả thiết ta có MA = MB, nên M thuộc đường trung trực AB Phương trình đường thẳng d đường trung trực AB là: 1( x + 1) + 1( y − 1) = ⇔ x + y = Gọi điểm C, D điểm biểu diễn số phức z = −2i; z = − 9i ⇒ C ( 0; −2 ) ; D ( 5; −9 ) Khi P = MC + MD Nhận thấy C, D phía so với d nên theo toán P đạt giá trị nhỏ C’D ( C’ đối xứng với C qua d) Xác định C’ đối xứng với C qua d, ta có C’ (2; 0) Vậy Pmin = C ' D = ( − 2) + ( −9 ) = 10 Đáp án C Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm I đoạn thẳng AB Điểm M chạy đoạn thẳng AB cho độ dài đoạn IM nhỏ Khi tìm vị trí điểm M tính độ dài IM a Hướng dẫn: Gọi H hình chiếu vng góc điểm I lên đường thẳng ( AB ) Ta xét hai trường hợp: • Trường hợp 1: Điểm H nằm đoạn AB I M A H B Dễ dàng thấy IM = IH IM max = max { IA; IB} • Trường hợp 2: Điểm H nằm đoạn AB I A M B H Dễ dàng thấy IM = { IA; IB} IM max = max { IA; IB} b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán Bước 1: Chuyển kiện toán sang khái niệm hình học Tạo điều kiện ràng buộc số phức z cho quỹ tích đoạn thẳng Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn môđun z − z0 với z0 số phức biết Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giả thiết yêu cầu toán Gọi điểm biểu diễn số phức z , z0 M , I Gọi đoạn thẳng biểu diễn quỹ tích số phức z AB Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại ta tạo điều kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn đoạn thẳng Điều kiện kiểu chủ yếu dựa vào tính chất: Điểm M thuộc đoạn thẳng AB MA + MB = AB Tính chất viết theo ngơn ngữ số phức có số dạng sau: + Cho số phức z thỏa mãn z − z1 + z − z2 = a với z1 , z hai số phức biết z1 − z = a Đây dạng suy biến Elip trình bày phần sở lý thuyết + Cho số phức z thỏa mãn z − z1 + z − z2 nhỏ với z1 , z hai số phức biết Hoặc tạo quỹ tích điểm biểu diễn z phần đường thẳng bị giới hạn miền đường tròn, elip + Cho số phức bị ràng buộc điều kiện để quỹ tích đường thẳng, điều kiện lại z − z ≤ r z − z1 + z − z2 ≤ 2a c Ví dụ minh họa: Ví dụ 8: Xét số phức z thỏa mãn z + − 2i + z − − 4i = 53 Gọi m , M giá trị nhỏ giá trị lớn z − + 2i Giá trị biểu thức P = m + M là: + 73 40 + 52 C P = + 73 D P = 53 Gợi ý: Gọi M điểm biểu diễn số phức z , gọi A ( −5;2 ) , B ( 2;4 ) Từ A P = 13 + 73 B P = giả thiết z + − 2i + z − − 4i = 53 ⇔ MA + MB = AB ⇒ Quỹ tích điểm M đoạn thẳng AB Gọi I ( 1; −2 ) z − + 2i = IM Vẽ hình trực quan dễ kiểm tra hình chiếu I lên đường thẳng ( AB ) nằm đoạn AB 40 40 ⇒P= + 52 Đáp án D 53 53 Ví dụ 9: Xét số phức z thỏa mãn z + − i + z − + i nhỏ Gọi t , T T giá trị nhỏ giá trị lớn z − 6i Giá trị P = là: t 50 A P = B P = C P = D P = 29 Lại có: IA = 52, IB = 37, d ( I ; AB) = Hướng dẫn Gọi M điểm biểu diễn số phức z , gọi A ( −2;1) , B ( 1; −1) Ta có: z + − i + z − + i = MA + MB ≥ AB , nghĩa z + − i + z − + i nhỏ quỹ tích điểm M đoạn thẳng AB Gọi I ( 0;6 ) z − 6i = IM Vẽ hình trực quan dễ kiểm tra hình chiếu I lên đường thẳng ( AB ) nằm ngồi đoạn AB Lại có: IA = 29, IB = 50 ⇒ P = 50 29 Đáp án B  z + = z − − 8i  z ≤ Ví dụ 10: Xét số phức z thỏa mãn  Giá trị nhỏ z − 4i là: A B C D Hướng dẫn Gọi M điểm biểu diễn số phức z , z + = z − − 8i nên M thuộc đường thẳng ( d ) : 2x + y − 10 = , mà z ≤ nên M thuộc miền đường tròn ( C ) : x + y = 25 Lại có ( d ) cắt ( C ) hai điểm phân biệt A(3;4), B(5;0) nên quỹ tích điểm M đoạn thẳng AB Gọi I ( 0;4 ) z − 4i = IM , vẽ hình trực quan thấy hình chiếu vng góc điểm I lên đường thẳng ( d ) nằm đoạn AB mà IA = 41, IB = nên z − 4i = Đáp án B 2.3.2 Các toán cực trị liên quan đến đường trịn Bài tốn Trong mặt phẳng Oxy cho đường trịn ( C ) có tâm A Tìm ( C ) vị trí điểm M, N cho OM ngắn ON dài Hướng dẫn Lấy điểm M thuộc đường tròn, ta thấy: OM + MA ≥ OA ⇔ OM ≥ OA − MA Vậy OM = OA − R Dấu “=” xảy M giao điểm đường thẳng OA đường tròn, M nằm đoạn OA OM − MA ≤ OA ⇔ OM ≤ OA + R Vậy OM max = OA + R Dấu “=” xảy M giao điểm đường thẳng OA đường trịn, M nằm ngồi đoạn OA Bài tốn Cho đường trịn ( C ) có tâm A đường thẳng ∆ a.Tìm ( C ) vị trí điểm M cho khoảng cách từ M đến ∆ ngắn b Tìm ( C ) vị trí điểm N cho khoảng cách từ N đến ∆ dài Hướng dẫn a - Nếu d ( I ; ∆ ) ≤ R d ( M , ∆ ) ngắn tức M giao điểm đường thẳng đường tròn - Nếu d ( I ; ∆ ) > R , gọi N’ điểm (C), K hình chiếu điểm A d ta ln có: N ' A + N ' K ≥ AK ⇔ N ' K ≥ AK − AN ' = AK − R Dấu “=” xảy A, N’, K thẳng hàng N’ nằm AK Vậy vị trí điểm M giao điểm đường thẳng AK đường tròn (C ), M nằm AK b Xét tam giác N’AK ta có: N ' K − AN ≤ AK ⇔ N ' K ≤ AN + AK Dấu “=” xảy A, N’, K thẳng hàng N’ nằm ngồi AK Vậy vị trí điểm N giao điểm đường thẳng AK đường tròn (C ), N AK b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán Bước Chuyển kiện tốn sang khái niệm hình học Tạo điều kiện ràng buộc số phức z cho quỹ tích đường trịn Bước 2: Tìm giá trị nhỏ môđun z − z0 với z0 số phức biết Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giả thiết yêu cầu toán Gọi điểm biểu diễn số phức z , z0 M , A Gọi đường trịn biểu diễn quỹ tích số phức z ( C ) Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại ta tạo điều kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn đường trịn Điều kiện kiểu đa dạng, mà hay gặp kể đến: + Cho số phức z thỏa mãn z − z0 = R với z0 hai số phức biết + Cho số phức z thỏa mãn z − z1 = k z − z2 với z1 , z hai số phức biết k > c Ví dụ minh họa: Ví dụ 11: (Tốn học tuổi trẻ số 491- năm 2018) Cho số phức z thỏa mãn: z − + 2i = Khi w = z + + i có mơđun lớn là: A.20 B C D Hướng dẫn 10 w = z + + i ⇔ z = w − − i Thay vào giả thiết, ta có: w − − i − + 2i = ⇔ w − + i = Gọi M điểm biểu diễn số phức w ⇒ M thuộc đường tròn I ( 2; −1) ; R = tâm Theo toán w max = OI + R = Đáp án B 2 Ví dụ 12: Xét số phức z1 thỏa mãn: z1 − − z1 + i = số phức z2 thỏa mãn: z2 − − i = Giá trị nhỏ biểu thức P = z1 − z2 là: A B 10 C D Nhận xét: Từ giả thiết thứ ta thấy tập hợp điểm biểu diễn z2 đường tròn nên khả sử dụng phương pháp hình học Hướng dẫn Gọi số phức z1 = x + yi ( x, y ∈ R ) z1 − − z1 + i = ⇔ ( x − ) + y − x − ( y + 1) = ⇔ x + y − = 2 2 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z1 nằm đường thẳng d : x + y − = Tập hợp điểm N biểu diễn số phức z2 thỏa mãn z2 − − i = nằm đường tròn tâm I ( 4;1) ; R = Ta có P = MN , P nhỏ MN ngắn MN ngắn MN = d ( I ; d ) − R = 2.4 + − − 5= Đáp án B Ví dụ 13:(Đề thi thử Sở Phú thọ lần – 2019) Giả sử z số phức thỏa mãn iz − − i = Giá trị lớn P = z − − i + z + + 8i là: A 18 B 15 C.15 D Hướng dẫn iz − − i = ⇔ iz − − i = ⇔ z − + 2i = Gọi M điểm biểu diễn số phức i z Vì z − + 2i = nên tập hợp điểm M nằm đường tròn tâm I ( 1; −2 ) ; R = 11 Gọi A, B điểm biểu diễn số phức z = + i; z = −5 − 8i ⇒ A ( 4;1) ; B ( −5; −8 ) uu r uur IA = 3;3 ; IB = ( −6; −6 ) ( ) Vì uur uu r IB = −2 IA nên Ta có: MA2 + MB = 3MI + IA2 + IB = 3R + IA2 = 3.9 + ( + ) = 135 ( ) P = 2MA + MB = 2MA + MB ≤ 2MA2 + MB = 3.135 = Vậy Pmax = Đáp án D Ví dụ 14: Cho số phức z thỏa mãn z − = z z + + 2i = a + b Giá trị a + b là: A B 2 C D Hướng dẫn 2 Đặt z = x + yi với ( x, y ∈ R) Từ z − = z ⇒ ( x − 3) + y = ( x + y ) ⇒ x + y + 6x − = ⇒ ( x + 3) + y = 18 ⇒ z + = Gọi M điểm biểu diễn số phức z quỹ tích M đường trịn tâm I (−3;0) , bán kính R =   Đặt A  − ; −2 ÷ z + + 2i = AM Dễ thấy điểm A nằm miền đường   2 tròn ( C ) nên AM = R − AI = − + ⇒ a + b = Đáp án C Bài toán 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ) đường trịn ( C ) có tâm I bán kính R khơng có điểm chung Điểm M thay đổi đường tròn ( C ) , điểm N thay đổi đường thẳng (d ) Xác định vị trí hai điểm M , N để độ dài đoạn MN có giá trị nhỏ tính giá trị a Hướng dẫn: MN = AH = d ( I , d ) − R I R M A H N b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán Bước 1: Chuyển kiện tốn sang khái niệm hình học 12 Tạo điều kiện ràng buộc số phức z1 cho quỹ tích điểm biểu diễn đường tròn, tạo điều kiện ràng buộc số phức z2 cho quỹ tích điểm biểu diễn đường thẳng Bước 2: Tìm giá trị nhỏ mơ-đun z1 − z2 Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giả thiết yêu cầu toán Gọi điểm biểu diễn số phức z , z2 M , N Gọi đường trịn biểu diễn quỹ tích số phức z1 ( C ) , đường thẳng biểu diễn số phức z2 ( d ) Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Khi học sinh nắm vững tốn dễ dàng hình dung đường hình học để giải tốn c Ví dụ minh họa:  z1 − i = z1 + Giá trị nhỏ  z2 − − i = Ví dụ 15: Xét hai số phức z1 , z2 thỏa mãn  z1 − z2 là: A B C −1 D Hướng dẫn Gọi M , N điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 Theo  z1 − i = z1 + , suy quỹ tích điểm M đường thẳng ( d ) : x + y = quỹ   z2 − − i = tích điểm N đường trịn ( C ) tâm I ( 1;1) có bán kính R = Vẽ hình trực quan dễ thấy ( C ) ( d ) khơng có điểm chung, mà z1 − z2 = MN nên z1 − z2 = MN = d ( I , d ) − R = − Đáp án C Bài toán 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường trịn ( C ) có tâm I bán kính R Đoạn AB đường kính ( C ) Điểm M thay đổi đường tròn ( C ) Xác định vị trí điểm M để tổng độ dài k MA + l.MB (với k ≥ l > ) đạt giá trị nhỏ tính giá trị a Hướng dẫn: Ta có : k ≥ l > ⇒ kMA + lMB ≥ l ( MA + MB ) ≥ lAB , dấu xảy M ≡ A M A R I B b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán Bước Chuyển kiện toán sang khái niệm hình học 13 Tạo điều kiện ràng buộc số phức z cho quỹ tích đường trịn Bước 2: Chuyển u cầu đề yếu tố hình học Tìm giá trị nhỏ mô-đun k z − z1 + l z − z2 với z1 , z2 hai số phức biết mà đoạn nối hai điểm biểu diễn chúng đường kính đường trịn biểu diễn số phức z Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giả thiết yêu cầu toán Gọi điểm biểu diễn số phức z , z1 , z2 M , A, B Gọi đường trịn biểu diễn quỹ tích số phức z ( C ) Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại chọn z1 , z2 cho đoạn nối điểm biểu diễn chúng đường kính đường trịn c Ví dụ minh họa: Ví dụ 16: Cho số phức z thỏa mãn z = Giá trị nhỏ biểu thức T = z + + z − là: B T = C T = D MinT = Hướng dẫn Gọi M điểm biễu diễn số phức z Theo z = nên quỹ tích điểm M đường tròn ( C ) tâm O bán kính R = Đặt A ( −1;0 ) , B ( 1;0 ) , vẽ hình trực quan dễ thấy AB đường kính đường trịn ( C ) Khi T = z + + z − = MA + 2MB ≥ MA + MB ≥ AB = , dấu xảy M ≡ B Suy T = Đáp án B Bài toán 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( C ) có tâm I bán kính R Đoạn AB cố định nhận điểm I làm trung điểm Điểm M thay đổi đường tròn ( C ) Xác định vị trí điểm M để tổng độ dài k MA + l.MB (với k > 0, l > ) đạt giá trị lớn tính giá trị a Hướng dẫn: Theo công thức đường trung tuyến ta có: A T = MA2 + MB AB MI = − M AB ⇒ MA + MB = 2MI + = const 2 A I B 14 Lại có: k MA + l.MB ≤ k + l MA2 + MB = k + l a , dấu xảy MA MB k k2 + l2 = ⇒ MA = MB ⇒ ( ) MB = k + l a , hay M giao k l l l điểm đường (C ) với đường tròn tâm B bán kính l a k + l2 b Cách tạo giải toán cực trị tập số phức từ toán Bước 1: Chuyển kiện tốn sang khái niệm hình học Tạo điều kiện ràng buộc số phức z cho quỹ tích đường trịn Bước 2: Chuyển yêu cầu đề yếu tố hình học Tìm giá trị nhỏ mơ-đun k z − z1 + l z − z2 với z1 , z2 hai số phức biết mà đoạn nối hai điểm biểu diễn chúng nhận tâm đường tròn biểu diễn số phức z làm trung điểm Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giả thiết yêu cầu toán Gọi điểm biểu diễn số phức z , z1 , z2 M , A, B Gọi đường tròn biểu diễn quỹ tích số phức z ( C ) Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại chọn z1 , z2 cho đoạn nối điểm biểu diễn chúng đường kính đường trịn ( C ) ; đồng thời hai số thực k , l phải chọn cẩn thận để đường tròn tâm B bán kính 2Rl k + l2 đường trịn (C ) có điểm chung, nghĩa đánh giá bất đẳng thức lời giải xảy dấu c Ví dụ minh họa: Ví dụ 17: Cho số phức z thỏa mãn z = Giá trị lớn biểu thức T = z + + z − là: A max T = B max T = 10 C max T = D max T = Hướng dẫn Gọi M điểm biễu diễn số phức z Theo z = nên quỹ tích điểm M đường trịn ( C ) tâm O bán kính R = Đặt A ( −1;0 ) , B ( 1;0 ) , vẽ hình trực quan dễ thấy AB nhận O làm trung điểm nên ∆MAB ta có: MA2 + MB AB AB 2 2 MO = − ⇒ MA + MB = 2MO + = 4 2 Khi T = z + + z − = MA + 2MB ≤ 12 + 2 MA2 + MB = , dấu xảy ⇒ A giao điểm đường tròn ( C ) với đường 5 trịn tâm A bán kính Suy max T = Đáp án A MB = 2MA ⇒ MA = 15 Bài toán 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( C ) có tâm I bán kính R Điểm M cố định nằm miền đường tròn; hai điểm A, B thay đổi ( C ) cho ba điểm M , A, B thẳng hàng Xác định vị trí hai điểm A, B để tổng độ dài k MA + l.MB (với k > 0, l > ) đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ a Hướng dẫn: Ta có tích MA.MB độ lớn phương tích điểm M với đường tròn ( C ) , suy MA.MB = R − MI I Nên k MA + l.MB ≥ klMA.MB = kl ( R − MI ) , dấu xảy kMA = lMB = kl ( R − MI ) ⇒ MA = đường trịn tâm M bán kính M A B l ( R − MI ) hay A giao điểm k l ( R − MI ) với đường tròn ( C ) k b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán Bước 1: Chuyển kiện toán sang khái niệm hình học Tạo điều kiện ràng buộc hai số phức z1 , z2 cho quỹ tích điểm biểu diễn chúng đường tròn Chọn số phức z0 có điểm biểu diễn nằm miền đường tròn biểu diễn z1 , z2 Tạo điều kiện ràng buộc để ba điểm biểu diễn z0 , z1 , z2 thẳng hàng Bước 2: Tìm giá trị nhỏ tổng môđun k z0 − z1 + l z0 − z2 Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giả thiết yêu cầu toán Gọi điểm biểu diễn số phức z0 , z1 , z2 M , A, B Gọi đường trịn biểu diễn quỹ tích hai số phức z1 , z2 ( C ) Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại tạo điều kiện ràng buộc để ba điểm biểu diễn ba số phức z0 , z1 , z2 thẳng hàng; đồng thời hai số thực k , l số phức z0 phải chọn cẩn thận để đường trịn tâm M bán kính l ( R − MI ) đường trịn ( C ) có điểm chung, nghĩa đánh k giá bất đẳng thức lời giải xảy dấu Điều kiện ràng buộc để ba điểm biểu diễn ba số phức z0 , z1 , z2 thẳng hàng ta thường sử dụng z1 − z0 + z2 − z0 = z1 − z2 c Ví dụ minh họa: 16  z1 − − i = z2 − − i =  Ví dụ 18: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn  1  z1 − z2 = z1 − − i + z2 − − i  Giá trị nhỏ biểu thức T = z1 − − i + 2iz2 + − 2i là: A T = B T = C T = 2 D T = Hướng dẫn Gọi A, B điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 Theo z1 − − i = z2 − − i = , suy quỹ tích điểm A quỹ tích điểm B đường tròn ( C ) tâm I ( 1;1)  1 có bán kính R = Đặt điểm M 1; ÷, ta có  2 1 z1 − z2 = z1 − − i + z2 − − i ⇒ MA + MB = AB ⇒ điểm M thuộc đoạn AB , 2 nên theo cơng thức phương tích ta có MA.MB = R − IM = Lại có T = z1 − − i + 2iz2 + − 2i = z1 − − i + 2i z2 + − = 2i  i i   z1 − − + z − − ÷ 2  ⇒ T = ( MA + MB ) ≥ MA.MB = , dấu xảy MA = MB hay A, B giao điểm đường thẳng qua M vuông góc với IM đường trịn ( C ) Đáp án B 2.3.3 Các toán cực trị liên quan tới Elip Bài toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho E-lip ( E ) có độ dài trục lớn 2a , độ dài trục bé 2b , tâm đối xứng I ; điểm M thay đổi ( E ) Xác định vị trí điểm M cho độ dài đoạn IM lớn nhất, nhỏ tính giá trị a Hướng dẫn: IM max = IA = IA ' = a B IM = IB = IB ' = b M A' I A B' b Cách tạo giải số toán cực trị tập số phức từ toán Bước 1: Chuyển kiện tốn sang khái niệm hình học 17 Tạo điều kiện ràng buộc số phức z cho quỹ tích điểm biểu diễn đường Elip Bước 2: Tìm giá trị nhỏ môđun z − z0 với z0 số phức có điểm biểu diễn tâm Elip Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giả thiết yêu cầu toán Gọi điểm biểu diễn hai số phức z0 , z I , M Gọi đường Elip biểu diễn quỹ tích số phức z ( E ) Khi tốn số phức trở tốn hình học nêu - Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo tập loại tạo điều kiện ràng buộc để quỹ tích điểm biểu diễn số phức z Elip; đồng thời số phức z0 phải chọn cẩn thận để điểm biểu diễn tâm Elip c Ví dụ minh họa: Ví dụ 19: (Thi thử THPTQG Hoàng Văn Thụ - 2019) Cho số phức z1; z2 thỏa mãn z1 − + z1 + = z1 − + z1 + = 10 Giá trị lớn biểu thức P = z1 − z2 là: A.7 B 20 C 14 D 10 Nhận xét: Nhận dạng đặc điểm để sử dụng phương pháp hình học : z1 − + z1 + = z1 − + z1 + = 10 , ta thấy có phương trình Elip Hướng dẫn Gọi M, N hai điểm biểu diễn số phức z1; z2 Gọi A, B, C, D điểm biểu diễn số phức z = 3; z = −3; z = 4; z = −4 Khi ta có: MA + MB = NC + ND = 10 ⇒ Tập hợp điểm M nằm hai Elip có tâm O trục lớn độ dài trục lớn 10 ⇒ Điểm M, N nằm hai vị trí M M P = z1 − z2 = MN ≤ 10 Vậy Pmax = 10 Đáp án D Ví dụ 20: Cho số phức z thỏa mãn z + − i + z − + i = Giá trị lớn P = z − + 4i là: A.7 B C D 10 Nhận xét: z + − i + z − + i = có hình thức giống phương trình Elip Vì ta cần biến đổi giả thiết Hướng dẫn 18 z + − i + z − + i = ⇔ ( z − 1) + ( − i ) + ( z − 1) − ( − i ) = z −1 z −1 +1 + −1 = 2−i 2−i z −1 Đặt w = , phương trình trở thành: w + + w − = 2−i ⇔ Gọi M điểm biểu diễn số phức w, suy tập hợp điểm M thuộc Elip có tâm O, độ dài trục lớn P = z − + 4i = ( − i ) w − + 4i = w − + i   P = w − + i ≤ ( w + −2 + i ) =  + ÷ =   Vậy Pmax = Đáp án C 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Tôi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy năm học 2019 – 2020 lớp 12E8 trường THPT Triệu Sơn Qua đó, so với lớp đối chứng 12E7 chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này, nhận thấy học sinh lớp 12E8 giải toán số phức linh hoạt học sinh lớp 12E7 cách rõ rệt: - Học sinh thành thạo tốn quỹ tích - Học sinh có nhiều cách giải khác cho tốn số phức, tăng tính linh hoạt việc giải giả thiết phức tạp - Học sinh chủ động việc định hướng giải oán phức tạp Đối với thân, áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tế giảng dạy thấy hiệu ôn tập tốt Học sinh chủ động, tích cực việc phát vấn đề giúp cho tiết dạy có hiệu tốt Ngồi sáng kiến kinh nghiệm tổ chuyên môn đánh giá tốt, thiết thực đồng ý triển khai vận dụng năm học tới nhằm góp phần nâng cao tính chủ động, tích cực học sinh việc dạy học mơn Tốn Đồng thời sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh lớp 12 ơn thi THPT Quốc Gia Trong năm học vừa qua thân tơi góp phần vào thành tích nhà trường công tác chuyên môn, cụ thể: +) Kết thi THPT Quốc Gia: Năm học 2017-2018 xếp thứ tỉnh xếp thứ huyện Năm học 2018-2019 xếp thứ tỉnh xếp thứ huyện +) Kết thi học sinh giỏi: Năm học 2017-2018 xếp thứ 10 tỉnh xếp thứ huyện Năm học 2018-2019 xếp thứ tỉnh xếp thứ huyện 19 Từ kết tơi khẳng định giải pháp mà đề tài đưa hoàn toàn khả thi áp dụng hiệu cơng tác giảng dạy KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Đề tài đúc rút từ kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy, với học hỏi giúp đỡ đồng nghiệp, thông qua việc nghiên cứu tài liệu có liên quan, đề tài hồn thành đạt kết trình dạy học + Đề tài nêu lên tính thiết thực sử dụng phương pháp hình học để giải toán cực trị số phức + Đề tài đưa giải pháp có hiệu việc rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho tốn khó mà địi hỏi phải giải thời gian ngắn + Đề tài nêu phương pháp chung ví dụ minh chứng điển hình cho giải pháp + Đề tài đưa số tập áp dụng sở dạng tập quen thuộc hệ thống tập luyện tập trích từ đề thi THPT Quốc Gia, đề thi thử THPT Quốc Gia trường THPT, Sở Giáo dục Đào tạo số tỉnh, thành phố nước để học sinh rèn luyện kỹ giải trắc nghiệm mơn Tốn 3.2 Kiến nghị Phát triển nhân rộng đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, thiết thực phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo, tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh tham khảo Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắn cịn có nhiều thiếu sót hạn chế Tơi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho tơi Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 06 tháng 06 năm 2020 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trần Viết Kiên 20 ... số phức biết Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giả thi? ??t yêu cầu toán Gọi điểm biểu diễn số phức z , z0 M , A Gọi đường trịn biểu diễn quỹ tích số phức z ( C ) Khi tốn số phức trở tốn hình học. .. nghiệm vào giảng dạy năm học 2019 – 2020 lớp 12E8 trường THPT Triệu Sơn Qua đó, so với lớp đối chứng 12E7 chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này, nhận thấy học sinh lớp 12E8 giải toán số phức linh... z0 số phức biết Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giả thi? ??t yêu cầu toán Gọi điểm biểu diễn số phức z , z0 M , I Gọi đoạn thẳng biểu diễn quỹ tích số phức z AB Khi tốn số phức trở tốn hình học