Phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua lớp các bài toán về tìm tính chất của hàm số khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm đạo hàm nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy

Nhiệm vụ quan trọng của người thầy nói chung và người thầy giảng dạy bộ mônToán nói riêng đó là: Phải tìm được phương pháp truyền đạt phù hợp với năng lựccủa từng đối tượng học sinh, để

2.3 Các giải pháp sử dụng của sáng kiến kinh nghiệm để giải

Lớp các bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số f x , f u x  

khi biết đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm số f x' 

f x

16

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

18

TÀI LIỆU THAM KHẢO

DANH MỤC CÁC SKKN ĐÃ ĐƯỢC SỞ GD&ĐT CÔNG

NHẬN

CÁC PHỤ LỤC

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Nghị quyết 29 của Ban Chấp hành Trung ương Đảng khẳng định: “Phát triểngiáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài.Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàndiện năng lực và phẩm chất người học” Trong đó, đổi mới về phương thức kiểmtra đánh giá là một yêu cầu bức thiết trong giai đoạn hiện nay Bộ GD&ĐT đãquyết định hình thức thi trắc nghiệm đối với môn Toán trong kỳ thi THPT QuốcGia bắt đầu từ năm 2017

Với phương thức kiểm tra đánh giá môn Toán từ hình thức tự luận sang hình thứctrắc nghiệm là một bước ngoặt quan trọng Từ sự thay đổi đó dẫn đến cách dạy củathầy cô và cách học của học sinh phải thay đổi Hơn ai hết, các thầy cô giảng dạy

bộ môn Toán đều nhận ra một điều đó là: Lượng kiến thức, lượng bài tập trong hai,

ba năm qua đã tăng lên một cách nhanh chóng Điều đó, khiến chúng ta phải thayđổi về cách tiếp cận vấn đề, về cách dạy… Theo tôi để phù hợp với xu thế hiện naychúng ta phải chuyển từ cách dạy truyền thống sang cách dạy nhằm phát triển tưduy, phát triển năng lực học sinh… từ đó các em có thể tự tin xử lý các tình huốngthực tiễn

Nhiệm vụ quan trọng của người thầy nói chung và người thầy giảng dạy bộ mônToán nói riêng đó là: Phải tìm được phương pháp truyền đạt phù hợp với năng lựccủa từng đối tượng học sinh, để các em biết vận dụng, biết khai thác các kiến thứcmới đã được lĩnh hội vào giải Toán; Giúp các em rèn luyện và dần thông thạo kĩnăng giải Toán Để làm được điều đó, trước tiên người giáo viên dạy Toán phải tìmhiểu thật kĩ về tính cách, tâm lí, năng lực tiếp nhận… của từng đối tượng học sinh.Đặc biệt, trước ý định truyền đạt hướng dẫn học sinh giải một bài toán thì ngườigiáo viên phải tự mình nghiên cứu, phân tích kĩ bài toán đó rồi mới hướng dẫn chocác em Hoạt động này rất quan trọng, nó vừa giúp cho học sinh thấy được mối liên

hệ chặt chẽ giữa các kiến thức khác nhau, thấy được nhiều phương pháp để giảiquyết một bài toán, vừa gợi được động cơ cho các em học tập kiến thức mới Bởi

tôi nhận thấy không có một cách “rèn luyện” nào phù hợp cho mọi đối tượng học

sinh, thậm chí có những quá trình phân tích -Tổng hợp rất hiệu quả đối với học sinh

này nhưng lại “vô nghĩa” với học sinh khác

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số thông qua ứng dụng của đạo hàm làmột chủ đề lớn xuyên suốt không thể thiếu trong các kì thi Việc hoàn thiện các kỹnăng từ việc đọc bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số đến việc dựa vào đồ thị để giảiquyết các bài toán khác đã đặt ra cho người học một nhu cầu phù hợp Muốn giảiđược dạng bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các lýthuyết về đơn điệu, cực trị, đồ thị… của hàm số và phải “đọc”được các tính chất đó trên đồ thị

Để góp phần giúp học sinh có thêm kiến thức, phát triển năng lực tư duy sángtạo, gợi cho các em hướng giải quyết tốt khi gặp dạng Toán này và những dạng

Toán liên quan Tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua lớp các bài toán tìm tính chất của hàm số khi biết đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm đạo hàm nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy và đáp ứng yêu cầu đổi mới của kỳ thi THPT Quốc gia (nay là

kỳ thi Tốt nghiệp THPT)” để giảng dạy và trao đổi với các đồng nghiệp.

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Người giáo viên dạy Toán cần hình thành cách lựa chọn phương pháp tối ưu,phù hợp với năng lực của từng đối tượng học sinh; giúp các em tiếp cận nhanhnhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về xác định một số tính chất củahàm số Đồng thời, rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển một sốnăng lực cho các em như:

- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và giải quyết vấn đề

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio)

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học

1.3 Đối tượng nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu, tìm tòi các cách tiếp cận, các phương pháp giải các bài toán trắcnghiệm về chủ đề “ Hàm số”

1.4 Phương pháp nghiên cứu của đề tài

Để có cơ sở tiến hành nghiên cứu và áp dụng đề tài vào thực tế dạy học, tôiđã:

- Tìm hiểu việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán, đặc biệt là phươngpháp truyền đạt nội dung kiến thức môn Toán Giải tích

- Tìm hiểu về thực trạng giải bài tập môn Toán Giải tích ở học sinh trườngTHPT Triệu Sơn 3

- Tìm hiểu về kĩ năng sử dụng thiết bị, sơ đồ tư duy trong học tập Toán Giảitích

- Tổ chức thực hiện đề tài, áp dụng đề tài vào thực tế dạy ở một số lớp 12trường THPT Triệu Sơn 3

- Tiến hành so sánh, đối chiếu và đánh giá về hiệu quả của đề tài khi áp dụng

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Giả thuyết của đề tài

Khi tiến hành nghiên cứu đề tài, tôi đã đặt ra các giả thuyết sau:

- Đề tài có tìm ra phương pháp phù hợp với học sinh 12 khi giải các bài tập vềhàm số không?

- Đề tài có tạo được hứng thú cho học sinh khi áp dụng vào việc giải các đề thiminh hoạ và các đề thi Toán THPTQG qua các năm hay không?

- Đề tài có rèn luyện, phát triển tư duy logic – khoa học và có nâng cao đượckết quả học tập bộ môn Giải tích cho học sinh hay không?

2.1.2 Mục tiêu của đề tài

Từ các giả thuyết đã nêu trên, mục tiêu của đề tài cần phải đạt được đó là:

- Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh khi giảicác bài tập về hàm số

- Tạo được hứng thú cho học sinh khi giải bài tập Giải tích; đồng thời giúp các

em nâng cao kết quả học tập bộ môn này

- Rèn luyện, nâng cao, phát triển được tư duy logic – khoa học cho học sinh

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:

- Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy khả năng đọc bảng biến thiên, đọc đồ thị,khả năng biến đổi đồ thị là các nội dung quan trọng mà nếu học sinh hiểu và vậndụng được thì chắc chắn sẽ rất thuận lợi khi tiếp cận các bài toán về hàm số Tuynhiên, trong thực tế những nội dung trên là những vấn đề mà đa số học sinh thườnggặp rất nhiều khó khăn, ngay cả những em học sinh có học lực khá, giỏi

- Khi ôn tập, đặc biệt là khi các em làm bài kiểm tra tôi nhận thấy: Một số emmặc dù nắm được kiến thức, biết cách làm bài nhưng kỹ năng tính toán còn chậm,việc toán học hóa các tình huống thực tiễn thường lúng túng hoặc vận dụng khônglinh hoạt

- Đối với người dạy thì phần lớn mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý thuyết vàgiao nhiệm vụ cho học sinh với một vài bài tập cụ thể mà chưa khai thác bài toán ởnhiều dạng khác nhau; chưa tìm được phương pháp dạy học phù hợp với từng nộidung và năng lực của học sinh

- Giáo viên đã cố gắng đưa ra hệ thống các câu hỏi gợi mở để dẫn dắt học sinhtìm hiểu các vấn đề nêu ra, học sinh tập trung đọc sách giáo khoa, quan sát hình vẽ,tích cực suy nghĩ, phát hiện và giải quyết các vấn đề theo yêu cầu của câu hỏi Kếtquả là học sinh thuộc bài, nhưng hiểu chưa sâu sắc về kiến thức, kĩ năng vận dụngvào thực tế chưa cao Đặc biệt, sau một thời gian không thường xuyên ôn tập hoặckhi tiếp tục học thêm các nội dung tiếp theo thì học sinh không còn nắm vững đượccác kiến thức đã học trước đó

Từ các nguyên nhân trên dẫn đến học sinh cảm thấy học các bài toán về hàm

số rất khó Dẫn đến kết quả học tập chưa cao

2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Một số giải pháp

* Đưa ra các quy tắc, các bước cũng như yêu cầu khi giải một bài toán về hàm

số để dễ dàng giải quyết các bài tập

* Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh nắm vững các mối quan hệ giữa cáctính chất của hàm số tương ứng với đồ thị hoặc bảng biến thiên của nó

* Sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lý như phần mềm giảng dạy nhưCabir, GSPS, Geogebra…

* Dạy học theo các chủ đề, mạch kiến thức mà đã được giáo viên phân chia từkhối lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu các kiếnthức mà mình đang có, vận dụng chúng một cách tốt nhất

* Sử dụng sơ đồ tư duy để ôn tập củng cố các kiến thức cho học sinh

* Giao điểm của đồ thị và trục hoành (Sự tương giao giữa đồ thị hàm số y= f x( )

và trục hoành): Giao điểm của đồ thị hàm số y= f x( ) với trục hoành là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm f x( ) =0

* Điểm M x f x( ; ( ) )thuộc đồ thị ( )C và nằm phía trên trục hoành thì f x( )> ;0

( )

M x f x thuộc đồ thị ( )C và nằm dưới trục hoành thì f x( )< 0

* Hàm số hợp và đạo hàm của hàm số hợp:

Công thức đạo hàm của hàm hợp

a) Nếu hàm số u=u x( ) có đạo hàm tại x0 và hàm số y= f u( ) có đạo hàm

tại u0 =u x( ) 0 thì hàm số hợp ( ) g x = f u x( ( )) có đạo hàm tại x0 và

2.3.2.2 Xây dựng thuật giải từ một bài toán:

Xây dựng các thuật giải: Thực chất là các quy trình, các bước thực hiện cố định

để tìm ra đáp số của một lớp các bài toán có yêu cầu tương tự nhau Thông qua việchình thành và xây dựng thuật giải giúp cho học sinh phát triển tư duy thuật giải –một loại hình tư duy rất quan trọng không chỉ trong Toán học mà cả trong nhiềulĩnh vực khoa học khác; Tạo tâm lý hứng thú, tự tin cho học sinh khi giải nhiều loạibài tập đặc biệt là bài tập về hàm số

Bài toán 1: (Trích dề thi THPTQG năm 2017 Mã đề 104) [1]

Cho hàm số y= f x( ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

x   1 0 2



 

f x  0   0 

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (- 2;0)

B Hàm số đồng biến trên khoảng (- ¥ ;0)

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)

D Hàm số đồng biến trên khoảng (- ¥ -; 2)

* Nhận xét:

Ta có Định lý mở rộng: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên D Nếu( )

f x ³ , " Îx D (hoặc f x'( )£ ,0 " Îx D) và f x'( )=0 chỉ tại một số hữu hạn

điểm của D thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D [4]

Từ đó ta có kết luận:

Dựa vào bảng xét dấu của hàm số f x ta nhận thấy: '( )

a) Nếu f x'( ) nhận dấu “+” thì hàm số y= f x( ) đồng biến trên khoảng tương ứng.

b) Nếu f x'( ) nhận dấu “-” thì hàm số y= f x( ) nghịch biến trên khoảng tương ứng

Dựa vào đồ thị hàm số f x ta nhận thấy: '( )

a) Nếu phần đồ thị f x'( ) nằm phía trên trục hoành thì trong khoảng tương ứng của

x đó hàm số f x( ) đồng biến (tăng).

b) Nếu phần đồ thị f x'( ) nằm phía dưới trục hoành thì trong khoảng tương ứng

của x đó hàm số f x( ) nghịch biến (giảm).

a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát cho bài toán tìm khoảng đơn điệu của hàm

số khi biết bảng xét dấu của đạo hàm hoặc đồ thị của hàm đạo hàm như sau:

Bước 1: Xác định dấu (+), (-) của hàm số f x'( ) trên bảng xét dấu hoặc phần đồthị nằm phía trên (dưới) trục hoành của hàm số f x '( )

Bước 2: Xét sự tương ứng của x trên từng khoảng đồng biến (nghịch biến)

Bước 3: Kết luận về tính đơn điệu của hàm số f x trên khoảng tương ứng đó.( )

Dựa vào đồ thị của hàm số y= f x¢( ) ta có ( ) 0 1

Bài toán 3: (Trích đề Tham khảo THPTQG năm 2019) [1]

Cho hàm số f x có đạo hàm ( ) f x¢ =( ) x x( - 1)(x+2)3, " Îx ¡ Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

* Ta có:

Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a b chứa điểm ; ) x0 và có đạo hàmtrên các khoảng (a x và ; 0) (x b Khi đó0; )

a) Nếu f x'( )< với mọi 0 xÎ (a x; 0)và f x'( )> với mọi 0 xÎ (x b0; ) thì hàm

số f đạt cực tiểu tại điểm x0

b) Nếu f x'( )> với mọi 0 xÎ (a x; 0)và f x'( )< với mọi 0 xÎ (x b0; ) thì hàm

số f đạt cực đại tại điểm x0 [4]

Từ đó ta có kết luận:

a) Với giả thiết hàm số f liên tục trên khoảng(a b , nếu hàm số f có đạo hàm đổi; )

dấu qua điểm x0 thì hàm số f đạt cực trị tại điểm x0.

b) Nếu hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên khoảng (a b và đạt cực đại hoặc cực tiểu ; )

a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát cho bài toán tìm điểm cực trị của hàm số

khi biết bảng xét dấu của đạo hàm hoặc đồ thị của hàm đạo hàm như sau:

Bước 1: Tìm điểm x0 Î D mà f x'( )0 = hoặc 0 f x không xác định trên bảng xét '( )0

dấu hàm f x hoặc điểm '( ) x0là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm f x với trục '( )hoành

Bước 2: Xét sự đổi dấu của f x qua '( ) x0hoặc "băng qua" trục hoành của đồ thịhàm f x (Cắt và "băng qua" trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại; cắt'( )

và "băng qua" trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu).

Bước 3: Kết luận về điểm cực trị của hàm số f x ( )

ê ëBảng xét dấu

=-Vì f x¢( ) đổi dấu 3 lần khi đi qua các điểm nên hàm số đã cho có 3 cực trị.

Bài toán 4: (Trích đề Tham khảo THPTQG năm 2019) [1]

Cho hàm số y= f x( ) Hàm số y= f x¢( ) có bảng biến thiên như sau

Bất phương trình f x( )< +ex m đúng với mọi xÎ -( 1;1) khi và chỉ khi

Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số bằng bảng biến thiên [4]

2.3.2.3 Lớp các bài toán tìm khoảng đơn điệu của hàm số f x( ), f u x( ( ))

khi biết đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm số f x'( )

A Phương pháp giải:

Bước 1: Tính ( f u x( ( )))¢=u x f u x'( ) '( ( ))

Bước 2: Giải bất phương trình u x f u x'( ) '( ( ) )>0 hoặc u x f u x'( ) '( ( ) )<0

Bước 3: Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số f x'( ) tìm tập nghiệm

của bất phương trình trên Từ đó chỉ ra khoảng đơn điệu của hàm số f u x( ( ))

Ví dụ 1: Cho hàm số f x xác định trên ¡ và có đồ( )

thị hàm số f x là đường cong trong hình bên Mệnh đề'( )

nào dưới đây đúng?

A Hàm số f x nghịch biến trên khoảng( ) (- 1;1 )

B Hàm số f x đồng biến trên khoảng ( ) (1; 2 )

C Hàm số f x đồng biến trên khoảng ( ) (- 2;1 )

D Hàm số f x nghịch biến trên khoảng ( ) (0; 2 [2])

Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số f x nằm trên trục hoành (có thể tiếp xúc) thì'( ) ( )

B Hàm số y= f x( ) đồng biến trên khoảng( )1;3

C Hàm số y= f x( ) đồng biến trên khoảng (- ¥ ;2).

D Hàm số y= f x( ) nghịch biến trên khoảng (4;+¥ )

Hướng dẫn:

Trên khoảng ( )1;3 ta thấy đồ thị hàm số f x¢( ) nằm trên trục hoành nên chọn B

Ví dụ 3: Cho hàm số f x( ) =ax4+bx3+cx2+dx+e (a¹ 0) Biết rằng hàm số( )

f x có đạo hàm là f x và hàm số '( ) y= f x'( ) có đồ thị như hình vẽ bên Khi đó

nhận xét nào sau đây là sai?

A Trên (- 2;1) thì hàm số f x luôn tăng.( )

B Hàm f x giảm trên đoạn ( ) [- 1;1].

C Hàm f x đồng biến trên khoảng ( ) (1;+¥ )

D Hàm f x nghịch biến trên khoảng ( ) (- ¥ -; 2)

Hướng dẫn:

Trên khoảng [- 1;1]đồ thị hàm số f x nằm phía trên trục hoành nên chọn B.'( )

4

-1 1-2

f '(x) g'(x)

Ví dụ 4: Cho hàm số y= f x( ) Biết f x có đạo hàm ( ) f x và hàm số '( )

B Hàm số g x đồng biến trên khoảng ( ) ( )1;3

C Hàm số g x nghịch biến trên khoảng ( ) (2;4 )

D Hàm số g x có hai điểm cực đại và một điểm( )

theo phương trục hoành sang trái 1 đơn vị

Ta thấy trên khoảng (2;4 đồ thị hàm số)

g x = f x+ nằm bên dưới trục hoành

nên hàm số g x nghịch biến trên khoảng( )

(2;4 , ta chọn đáp án C.)

Bài tập rèn luyện (Phụ lục 1)

2.3.2.4 Lớp các bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số f x( ), f u x( ( ))

khi biết đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm số f x'( )

Ví dụ 1: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên ¡ và hàm số y= f x¢( )

có đồ thị như hình vẽ bên Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số y= f x( ) đạt cực đại tại điểm x=- 1

B Hàm số y= f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x=1.

C Hàm số y= f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x=- 2

D Hàm số y= f x( ) đạt cực đại tại điểm x=- [3]2

Hướng dẫn: Giá trị của hàm số y= f x¢( ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua

2

x=- nên chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Cho hàm số y= f x( ) xác định trên ¡

và

có đồ thị hàm số y= f x'( )là đường cong trong

hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

2

y=f’(x)