Phát triển năng lực tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy phương trình và bất phương trình ở trường trung học phổ thông

MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu .3 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng việc phát triển tư thuận nghịch cho học sinh dạy học giải phương trình, bất phương trình trường trung học phổ thông 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Giải pháp 1: Rèn luyện cho học sinh khả hiểu vận dụng toán cần đủ Giải pháp 2: Rèn luyện cho học sinh biết lật ngược vấn đề, giải toán sở xem xét toán ngược Giải pháp 3: Biết linh hoạt thay đổi vai trò ẩn số tham số ngược lại 14 Giải pháp 4: Luyện tập cho học sinh biết chuyển đổi ngôn ngữ toán để tạo toán mới, giải đơn giản 15 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 17 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 19 3.1 Kết luận .19 3.2 Kiến nghị 19 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong cơng trình nghiên cứu tư duy, cụm từ “tư thuận nghịch” người biết đến chưa có định nghĩa bàn tư thuận nghịch cách tường minh với đầy đủ nội hàm ngoại diên Tuy nhiên lực tư thuận nghịch thực phổ biến trình dạy học cho học sinh, không bậc trung học phổ thông mà bậc tiểu học trung học sở Ví dụ học sinh giải sai tốn, người giáo viên có lực người không vội vàng bày cho em cách làm giải lại, mà phải đóng vai trò người phản biện, ngược lại từ đáp án để vô lí, từ giúp học sinh lần chỗ sai để tự khắc phục Trong sống thường ngày, người ta nhắc nhở : “ Nghĩ phải nghĩ lại”, nghĩa cần phải suy xét lại cách thấu đáo, nắm bắt thơng tin từ nhiều phía để có nhìn khách quan, đắn việc xảy ra, không nên suy nghĩ chiều cốt để có lợi cho thân hay cá nhân Trong thực tiễn dạy học tốn trường phổ thơng, ta thường xun bắt gặp tình biểu thị mối liên hệ hai chiều mà tạm xem chiều thuận chiều ngược Chẳng hạn hoạt động tư phân tích tổng hợp, khái qt hóa đặc biệt hóa, suy ngược suy xi, nhận dạng thể hiện, lật ngược vấn đề Tất điều cho gợi ý: Phải nghiên cứu loại hình tư có tên gọi “ tư thuận nghịch”? Như thế, có nghĩa “tư thuận nghịch” loại hình tư khơng xa lạ tốn học giáo dục toán học, liên quan đến việc nhận thức, xem xét vật tượng theo chiều hướng ngược nhau, tựa hồ hành động phổ biến diễn sống hàng ngày Trước biến đổi to lớn giới thời đại ngày nay, đòi hỏi nhà trường phải đào tạo người có lực phát giải vấn đề học tập cũng thực tiễn sống Hình thành bồi dưỡng lực giải vấn đề trở thành yêu cầu cấp bách tất quốc gia, doanh nghiệp, đặc biệt trường học Tư thuận nghịch biểu lực giải vấn đề Phương trình, bất phương trình , hệ phương trình nội dung cốt lõi mơn Tốn, xun suốt tất năm học chương trình THPT, bao gồm phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số, vơ tỷ, mũ, lơgarit, lượng giác Các dạng toán giải, giải biện luận phương trình, bất phương trình ln có mặt đề thi đại học, cao đẳng cũng thi học sinh giỏi hàng năm Trong q trình giải tốn, học sinh thường từ giả thiết với suy luận logic, lập luận chặt chẽ để đến kết luận Thế nhưng, giải phương trình, bất phương trình khơng phải cũng giải theo chiều hướng có giải theo chiều hướng kết chưa thực xác, đặc biệt đứng trước phương trình, bất phương trình chứa tham số giải cách đặt ẩn phụ Do vậy, nhiều ta cần đặt vấn đề ngược lại, phải từ kết luận tốn từ phân tích, tổng hợp để tìm lời giải Có nhiều cần từ kết sai lời giải để phân tích nguyên nhân, vị trí sai lầm đâu nhằm lần hướng giải đắn Cũng có số toán giải biện luận từ việc dùng phương pháp phản chứng thực ngược lại với yêu cầu, Tất điều cho thấy dấu hiệu hình thức tư “ tư thuận nghịch”( TDTN ) Đến nay, có nhiều cơng trình nghiên cứu ngồi nước đề cập đến loại hình tư giảng dạy tốn học Tuy nhiên, chưa có cơng trình nghiên cứu cách đầy đủ, có hệ thống biểu lực tư thuận nghịch học sinh chuyên đề phương trình, hệ phương trình bất phương trình Từ lý nêu trên, chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: “ Phát triển lực tư thuận nghịch cho học sinh dạy phương trình bất phương trình trường Trung học phổ thơng” 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài mô tả số biểu lực tư thuận nghịch học sinh giải, biện luận phương trình, bất phương trình, sở đề xuất số biện pháp phù hợp để phát triển lực tư cho học sinh trình dạy học chủ đề phương trình, bất phương trình bậc trung học phổ thơng nhằm nâng cao chất lượng dạy học 1.3 Đối tượng nghiên cứu Quá trình phát triển tư cho học sinh thơng qua dạy học nội dung phương trình, bất phương trình 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu vấn đề có liên quan đến đề tài Phương pháp điều tra quan sát: Dự giờ, quan sát lập phiếu điều tra thực trạng việc bồi dưỡng tư thuận nghịch cho học sinh dạy học phương trình, bất phương trình trường Trung học phổ thơng Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi hiệu biện pháp sư phạm đề xuất NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong thực tiễn sống, có nhiều mà ta chưa biết, chưa hiểu Để làm chủ thực tiễn, người cần phải hiểu thấu đáo chưa biết đó, phải vạch chất, mối quan hệ, liên hệ có tính quy luật chúng Q trình gọi tư Trước hết xét số tốn ví dụ thể hoạt động tư học sinh để làm đưa khái niệm tư thuận nghịch: Ví dụ 1.1: Đối với học sinh lớp 2, sau học mối quan hệ đối tượng A B, giáo viên rèn luyện kĩ học sinh tập: Bài An có kẹo, Bình có nhiều An Hỏi Bình có kẹo? Bài Lớp A có 30 học sinh , lớp A nhiều lớp B học sinh Hỏi lớp B có học sinh? Ở 1, chắn nhiều em làm được, em có quy tắc mà giáo viên trang bị cho : “ Hơn cộng”, nên số kẹo Bình là: + = Tuy nhiên, cũng với quy tắc cũng khơng em có đáp án : 30 + = 35 Tất nhiên kết sai, rập khn học sinh tiếp thu dạy giáo viên Những học sinh có tư tốt hiểu ngược lại: Lớp B lớp A học sinh, em biết cách tìm liên hệ chưa biết so với biết! Ví dụ 1.2: Đối với học sinh THCS thường cho rằng: x2 > suy x > 3, tương tự việc x > suy x2 > Ta thấy điều sai kiểm tra với x = -4 Việc lấy ví dụ phản biện giúp học sinh có định hướng để giải bất phương trình x > Đây dấu hiệu lực tư thuận nghịch Ví dụ 1.3: Tìm điều kiện tham số a để bất phương trình sau có nghiệm: (a-1)x2 + ( 2a + )x – ≥ (1) Giải trực tiếp toán HS thường gặp khó khăn, sai lầm, sai lầm việc phân chia trường hợp hệ số a biệt số ∆ Thay giải trực tiếp tốn (1), HS tìm cách giải tốn ngược nó, là: Tìm a để bất phương trình f(x) = (a-1)x2 + ( 2a + )x – ≥ vô nghiệm, hay tìm a để bất phương trình f(x) = (a-1)x2 + ( 2a + )x – < nghiệm với x thuộc tập số thực R (2) Từ kết (2) tìm kết (1) việc lấy giá trị a ngược lại Những ví dụ minh hoạ cho lực tư thuận nghịch giải vấn đề, chặt chẽ lập luận, kiểm sốt trường hợp xảy đặc biệt biết lật ngược vấn đề, khả tự phản biện Đó sở để tạm đưa phát biểu định nghĩa sau: Tư thuận nghịch cách suy nghĩ theo hai chiều ngược hỗ trợ lẫn giúp người nhận thức giải vấn đề sâu sắc hơn, toàn diện hơn, đầy đủ 2.2 Thực trạng việc bồi dưỡng tư thuận nghịch cho học sinh dạy học giải phương trình, bất phương trình trường trung học phổ thơng Qua tham khảo tài liệu thực trạng phương pháp dạy học tốn trường phổ thơng, qua kết trả lời phiếu hỏi, qua kết giải toán HS, qua dạy học số tơi nhận thấy: Nhìn chung lực TDTN HS chưa tốt Một số HS có suy nghĩ theo kiểu thuận nghịch trình học tập mơn Tốn trường THPT Tuy nhiên, số khơng nhiều khả TDTN chưa thực tốt Vẫn nhiều HS chưa linh hoạt thay đổi thói quen suy nghĩ đứng trước vấn đề cần giải quyết, HS khơng có thói quen chuyển hướng trình tư trường hợp với kinh nghiệm, kiến thức thời điểm khơng thể giải Thực trạng sở thực tiễn quan trọng giúp cho xây dựng biện pháp sư phạm để bồi dưỡng TDTN cho HS dạy học mơn Tốn trường THPT 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Giải pháp 1: Rèn luyện cho học sinh khả hiểu vận dụng toán cần đủ 1a) Hiểu vận dụng điều kiện cần đủ việc biến đổi tương đương PT, BPT Trong mơn Tốn, HS thường xun sử dụng phép tốn lơgic, điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần đủ mệnh đề Việc HS không hiểu rõ đâu điều kiện cần, điều kiện đủ cũng việc nhận diện tốn có dạng cần đủ, khai thác mối quan hệ tương hỗ chúng dẫn tới thiếu xác, khó khăn giải tốn Ví dụ 2.1: Giải bất phương trình: x2 + x − < x −1 ( SGK Đại số 10, phần tập) Với toán này, học sinh giải cách biến đổi tương đương đưa bất  x2 + x − ≥  phương trình bậc hai, với điều kiện cần đủ là:  x − >  x + x − < ( x − 1)  (1) (2) (3) Ở điều kiện (1) (3) đa số học sinh có được, với điều kiện (2) em cũng biết Người giáo viên cần phải có phương pháp sư phạm hướng dẫn em lí giải khoa học để em ghi nhận theo hiểu biết thấu đáo mà khơng phải nhớ máy móc dạng học thuộc lòng Để làm điều này, ta sử dụng lối tư đảo ngược giả sử x - < ( x - = 0) dẫn tới BPT vô nghiệm mà không cần giải Thế ta không biện luận trường hợp mà tiến hành bình phương hai vế kể nghiệm thu làm cho x – < ta cũng khơng biết Giáo viên lấy ví dụ : < −4 sai ( 3) < (−4) lại ! GV kiểm tra khả tiếp thu HS tương tự: Giải bất phương trình: x + x − ≤ x − ( thêm dấu “ =” ) Ví dụ 2.2: Giải bất phương trình: x − x − 14 > x − ( SGK Đại số 10, phần tập ) Cách giải ta chia hai trường hợp 2 x − < +TH1):  x − x − 14 ≥  2 x − ≥ +TH2):  x − x − 14 > (2 x − 1)  Kết nghiệm bất phương trình hợp hai tập nghiệm hai hệ Đây cách giải hầu hết giáo viên áp dụng giảng dạy cho học sinh quy tắc giải bất phương trình dạng Tuy nhiên khơng phải học sinh lại dễ nhớ nhớ lâu em khơng hiểu ngun từ đâu lại có vậy? Một thói quen học sinh đứng trước BPT đặt điều kiện để bình phương hai vế nhằm khử căn, đưa bất phương trình bậc hai quen thuộc Nhưng em có thói quen “ tư thuận nghịch” đặt câu hỏi ngược lại là: Tại 2x– phải dương ?? Nếu 2x – âm sao? Khi việc phân chia hai trường hợp để giải thấy có lí Chính mà sách giáo khoa Đại số 10 không đưa phương pháp giải dạng bất phương trình ví dụ 2.1 2.2 phần lí thuyết mà đưa dạng tập, việc nhìn nhận để đưa cách giải cần phải có tư phù hợp Với cách suy luận đảo ngược vấn đề cho học sinh hiểu thấu đáo linh hoạt bất phương trình khác khơng phải học theo kiểu thuộc lòng tất dạng Việc biện luận thường hiểu thực phương trình, bất phương trình chứa tham số, nhiên có nhiều tốn giải bất phương trình có hệ số số việc biện luận quan trọng, khơng có tư dẫn tới sai sót Ví dụ 2.3: Giải bất phương trình ( x −1) x − x − ≥ Nhiều học sinh giải sau:  x ≤ −1 Điều kiện: x − x − ≥ ⇔  x≥  2 Khi bất phương trình tương đương với: x −1 ≥ ⇔ x ≥ Kết hợp với điều kiện, nghiệm x ≥ Điều xem qua thấy có lí, có x − x − ≥ , nên cần x −1 ≥ thỏa mãn bất phương trình cho Khi trực tiếp dạy học sinh lớp 10, yêu cầu học sinh thực này, đa số em giải trên, hướng khắc phục giáo viên chưa gợi ý Rõ ràng, xảy x − x − = , khơng cần đến điều kiện x -1 ( bất phương trình có kèm theo dấu “ = ” Đó chỗ sai giải Vấn đề có biện luận phản biện Lời giải là:  x = −1 +) TH1: x − x − = ⇔  x=  2  x < −1  2 x − x − >  ⇔ +) TH2:   x > ⇔ x > 2  x −1 ≥   x ≥ Kết hợp TH1 TH2, bất phương trình có nghiệm x = -1 x ≥ 1b) Hiểu điều kiện cần đủ việc giải, giải biện luận số nghiệm phương trình, hệ phương trình chứa tham số giải phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 2.4: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x − 2(m − 1)2 x + m − = (1) Với này, ta đặt 2x = t đưa phương trình: t − 2(m − 1) t + m2 − = (1’) Nhiều học sinh cho cần điều kiện PT(1’) có ∆ > nghiệm (1’) cho nghiệm (1) Tuy nhiên điều kiện cần, nếu(1’) có nghiệm âm khơng có nghiệm (1) Giáo viên thay giá trị m thỏa mãn kết học sinh đưa lại cho nghiệm âm, dẫn tới phương trình (1) khơng có hai nghiệm phân biệt yêu cầu Từ lập luận ví dụ phản biện giúp học sinh hiểu vấn đề, biết cần bổ sung thêm điều kiện đủ cho toán Việc đặt điều kiện cho ẩn phụ t coi tốn trung gian: Tìm tập giá trị hàm số t = u(x) , với đk x Nhờ có phản biện lập luận giúp học sinh đưa điều kiện chặt chẽ xác tốn sau đây: Ví dụ 2.5: Tìm giá trị m để hệ sau có nghiệm (x; y) với x ≥ 0, y ≥ x + y =  x y x + y −1 +m 4 + = Bài giải Ta có: 2 y = − x 2 y = − x 2 y = − x    ⇔  2x ⇔  2x hệ ⇔  x y x y (1) x 3− x 3− x x 2 + = 2 + m 2 + = 2 + m 2 + x = 2.2 + m t * Đặt x = t, phương trình (1) trở thành: t + − 2t = m (2) Do y ≥ nên 3-x ≥ ⇔ x ≤ từ ≤ x ≤ ⇒ ≤ t ≤ * Hệ có nghiệm (x; y) với x ≥ 0, y ≥ ⇔ PT (2) có nghiệm t ∈ [1;8] ⇔ đường thẳng y = m cắt (P): y = f(t) = t + − 2t t đoạn [1;8] 2t − 2t − 2(t − 2)(t + t + 2) = Ta có f'(t) = , f'(t) = ⇔ t = t2 t2 BBT t f'(t) f(t) - + 49 Nhìn vào BBT ta có đường thẳng y = m cắt (P) ≤ m ≤ 49 Vậy PT có nghiệm (x; y) với x ≥ 0, y ≥ ≤ m ≤ 49 Nhận xét: Sai lầm thường gặp học sinh chỗ: Đặt x = t, x ≥ nên t ≥ mà quên liên hệ với điều kiện y ≥ để dẫn tới - x ≥ ⇔ x ≤ , thiếu điều kiện t ≤ dẫn tới đáp số sai Giải pháp 2: Rèn luyện cho học sinh biết lật ngược vấn đề, giải toán sở xem xét tốn ngược Trước hết, đưa quan niệm tốn ngược sau: Có u cầu tìm giá trị tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện mà việc giải trực tiếp gặp nhiều khó khăn cần đến nhiều trường hợp phức tạp ta làm toán theo yêu cầu ngược lại , sau kết luận ngược trở lại với đáp án giải tốn ngược lại Cách làm gọi cách làm gián tiếp, áp dụng nhiều lĩnh vực không giải phương trình , bất phương trình như: tốn xác suất, hình học không gian, biện luận dấu tam thức bậc hai, ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay biểu điển hình phương pháp tư thuận nghịch Chẳng hạn, với tốn tìm m để phương trình có nghiệm ta tìm m để phương trình vơ nghiệm, với tốn tìm m để bất phương trình f(x) > có nghiệm có ta lại làm tốn ngược là: tìm m để BPT f(x) ≤ nghiệm với x thuộc R Hoặc với tốn tính xác suất để lấy viên bi màu vàng ta lại làm ngược lại tính xác suất để lấy mà khơng có viên bi màu vàng cả, hay tốn tính diện tích hình phẳng ta lại tính diện tích hình phẳng khác mà bù với hình cần tính Thực biện pháp giúp HS biết cách tạo toán đảo, toán ngược từ tốn cho HS biết khơng phải định lý cũng có định lý đảo HS tự tạo số toán đảo từ toán điều phụ thuộc vào việc thay đổi cấu trúc tốn ban đầu HS có ý thức việc khai thác tốn ngược để tìm cách giải toán thuận, khai thác cách giải tốn để tìm cách giải tốn lại hệ thống tốn thuận - đảo, qua góp phần bồi dưỡng lực giải toán cho HS Thực tiễn dạy học giải tập cho thấy đứng trước toán, HS có xu hướng cố gắng tìm cách giải trực tiếp tốn, kể việc giải đến bế tắc cồng kềnh phải xét nhiều trường hợp Các em chưa thực linh hoạt việc xem xét toán mối quan hệ với tốn khác có khả hỗ trợ cho cách giải tốn Chúng tơi tiến hành điều tra HS tốn: “Tìm m để bất phương trình mx + (2m + 1) x − ≥ (1) có nghiệm” Kết nhận sau: - Đa số HS tìm cách giải trực tiếp toán, cách phân chia cho trường hợp m = 0, m ≠ Trong trường hợp m ≠ 0, số em xem điều kiện có nghiệm bất phương trình bậc hai tương tự phương trình bậc hai, từ tìm m từ điều kiện ∆ ≥ ; số HS khác tiếp tục chia cho trường hợp m > 0, 10 m < trường hợp xét theo điều kiện ∆ > 0, ∆ ≤ , dẫn đến việc tính tốn cồng kềnh, phức tạp, không đến kết - Một số HS có ý thức tìm tốn hỗ trợ sai Cụ thể HS diễn đạt sau: Xét m ≠ 0, bpt (1) có nghiệm ⇔ mx + (2m + 1) x − < vơ nghiệm; để bất phương trình mx + (2m + 1) x − ≥ (1) có nghiệm hay bpt mx + (2m + 1) x − < (2) vô nghiệm ∀ x ∈ R - Có em xét toán mối quan hệ với toán ngược: Tìm m để bất phương trình mx + ( 2m + 1) x − ≥ vô nghiệm - Có số em trường hợp m ≠ tìm m từ việc giải bất phương −8−3 −8+3 trình mx + (2m + 1) x − < , với ∀ x ∈ R (3) ( m ∈ ( ; ) ), từ kết  luận m ∈  − ∞;   − −  − + ;+∞  ∪ { 0} giá trị thỏa mãn toán ∪ 2    (trường hợp m = HS xét trực tiếp thỏa mãn) Mặc dù kết tốn đúng, nhiên HS khơng có giải thích phải xét bất phương trình (3), mối quan hệ (1) (3) Như vậy, HS có xu hướng suy nghĩ theo “lối mòn”, khơng linh hoạt thay đổi hướng suy nghĩ gặp khó khăn, chí khơng thể giải toán sử dụng phương pháp cũ, kinh nghiệm cũ Cách thức thực giải pháp *) Để tạo cho HS thói quen xem xét toán mối liên hệ với toán ngược cần: +) Khai thác triệt để toán cụ thể, dạng tốn giải cần dựa vào mối liên hệ với toán ngược; +) Đứng trước toán trên, yêu cầu HS giải cách liên hệ với toán ngược; +) Sau HS giải xong tốn có khai thác mối liên hệ với toán ngược, thầy giáo nên nhấn mạnh hiệu toán ngược việc giải tốn cho 11 Ví dụ 2.6: Cho phương trình (m +2 )x2 – 2mx –1 = (1) Xác định giá trị m để phương trình có nghiệm nhỏ Giải: Nếu giải theo yêu cầu tốn ta làm sau: Xét hai trường hợp: TH1: Với m + = ⇔ m = –2, ta được: (1) ⇔ x − = ⇔ x = , thỏa mãn yêu cầu đề  x1 < = x2  TH 2: với m + ≠ ⇔ m ≠ –2, trường hợp xảy là:  x1 < < x2  x1 ≤ x2 < Nhận xét: Đây cách làm đúng, đầy đủ chặt chẽ Tuy nhiên khó đa số học sinh, hầu hết em xét thiếu trường hợp Giáo viên gợi ý cho học sinh xét u cầu ngược lại tốn toán trở nên dễ dàng Cụ thể là: Với m = –2 , phương trình có nghiệm x = thỏa mãn yêu cầu toán Với m + ≠ ⇔ m ≠ –2, ta thấy ∆ ' = m + m + > 0∀m nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Bây đặt tốn ngược lại:Tìm m để phương trình có hai nghiệm lớn 1, nghĩa ≤ x1 < x2 , liệu khơng? Câu trả lời dĩ nhiên có Ví dụ 2.7: Tìm m để phương trình x − ( m + 1) x + m − = có nghiệm khơng âm? Nếu làm trực tiếp HS phải xét ba trường hợp: Trường hợp 1: Phương trình có hai nghiệm khơng âm; Trường hợp 2: Phương trình có nghiệm dương, nghiệm âm; Trường hợp 3: Phương trình có nghiệm 0, nghiệm âm 12 Thực tiễn dạy học cho thấy có nhiều HS xét trường hợp 1, bỏ sót hai trường hợp lại Nếu HS có thói quen xem xét cách giải theo chiều ngược lại, nghĩ đến giải phương pháp gián tiếp Để làm điều này, HS phải biết phát biểu toán ngược phù hợp với toán cho Đó là: “ Tìm m để phương trình x − ( m + 1) x + 2m − = khơng có nghiệm khơng âm”, điều có nghĩa phương trình khơng có nghiệm phương trình có nghiệm chúng phải nghiệm âm Từ HS xét hai trường hợp: Trường hợp1: Phương trình vơ nghiệm; Trường hợp 2: Phương trình có hai nghiệm âm Để đưa toán ngược trường hợp này, HS phải nắm vững cách phủ định mệnh đề Đối với mệnh đề có dạng “ có nghiệm có tính chất a” mệnh đề phủ định “ khơng có nghiệm có tính chất a” Vì vậy: Nếu HS phát biểu tốn ngược là: “ tìm m để phương trình x − ( m + 1) x + 2m − = có nghiệm âm”, HS xét trường hợp 2, bỏ sót trường hợp ( PT vơ nghiệm ) Ví dụ 2.8: Tìm điều kiện tham số a để bất phương trình sau có nghiệm: ax2 + ( 2a + )x – ≥ (1) Giải trực tiếp tốn HS thường gặp khó khăn, sai lầm sau đây: HS nhầm lẫn điều kiện có nghiệm bất phương trình bậc hai tương tự điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai Đây “ngộ nhận” tai hại mà nguyên nhân HS gặp tốn mà tình cờ điều kiện có nghiệm bất phương trình bậc hai trùng với điều kiện có nghiệm phương 13 trình bậc hai Từ đó, suy nghĩ HS cần tìm a để ∆ ≥ Trong trường hợp GV cần chấn chỉnh để em khơng mắc sai lầm, cách nêu phản ví dụ, chẳng hạn bất phương trình x + x + ≥ có biệt thức ∆ = −7 < bất phương trình có nghiệm với x GV cần thơng qua ví dụ cụ thể để nhấn mạnh với HS điều kiện ∆≥0 điều kiện đủ điều kiện cần để bất phương trình cho có nghiệm Trên sở định lý dấu tam thức bậc hai, HS có quy trình tổng quát bước giải bất phương trình bậc hai Các em khơng q khó khăn việc vận dụng định lý vào giải bất phương trình bậc hai có hệ số số Riêng bất phương trình bậc hai có chứa tham số a, em nhận thấy phải xét trường hợp biệt thức ∆ ( ∆ > 0; ∆ = 0; ∆ < ), tương ứng với trường hợp ∆ phải tìm a để f ( x) ≥ Mặc dù có quy trình chặt chẽ, phải chia nhiều trường hợp phức tạp, việc phân chia đầy đủ trường hợp tính tốn cũng khơng phải dễ dàng Thay giải trực tiếp tốn (1), HS tìm cách giải tốn ngược nó, là: Tìm a để bất phương trình f(x) = ax2 + ( 2a + )x – ≥ (2) vô nghiệm Từ kết (2) tìm kết (1) Bằng cách phát biểu toán (2) theo hình thức khác: f ( x) ≥ vơ nghiệm có nghĩa khơng tồn x để f ( x) ≥ , hay f ( x) < với ∀x ∈ R Cách phát biểu đưa (2) tốn khơng khó HS lớp 10 Ví dụ 2.9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2( x + ) + (2m + 3)( x + ) + = x x (1) Điều kiện: x ≠ * Đặt t = x + điều kiện t t ∈ ( −∞; −2] ∪ [2; +∞ ) x 2 * Ta có: t = x + 1 + ⇒ x2 + = t − 2 x x Khi phương trình (1) trở thành: 2t + (2m + 3)t + = (2) 14 * Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn: t ∈ ( −∞; −2] ∪ [2; +∞) Đến đây, ta giải theo chiều thuận phải phân chia thành nhiều trường hợp, mà thiếu sót khó tránh khỏi Do vậy, sau chốt điều kiện để phương trình có nghiệm ( điều kiện cần), giáo viên gợi ý học sinh thực giải toán đảo lại : Tìm m để phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng (-2; 2), sau lấy kết ngược lại tốn trở nên đơn giản nhiều Cụ thể sau:  m ≤ − * Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là: ∆ ≥ ⇔  m ≥  (1) * Bài tốn ngược lại: Tìm m để PT(2) có hai nghiệm thuộc (-2; 2), tức là: -2 < t1 < t2   f (2) >  S −2 < <  ⇔ ⇔ - < m < ( Hệ điều kiện đưa dựa vào việc minh họa hình dạng đồ thị hàm số bậc hai, mà khồng cần phải học định lí đảo dấu tam thức bậc hai )  m ≤ −4 Khi kết ngược lại là:  m ≥  m ≤ −4 Kết hợp với điều kiện (1) ta đáp số:  m ≥ Giải pháp 3: Biết linh hoạt thay đổi vai trò ẩn số tham số ngược lại Trong học tập mơn Tốn, đặc biệt lĩnh vực hoạt động giải tốn, ln ln “bó buộc” vai trò đối tượng nhận thức vốn phải có, phải tìm, số trường hợp cứng nhắc suy nghĩ vơ hình dung tạo thành khó khăn, đơi khơng thể vượt qua để giải tốn 15 Việc thay đổi vai trò ẩn số tham số ta bắt gặp tốn giải phương trình Đơi khi, với ẩn cho việc giải gặp khó khăn ta hốn vị vai trò ẩn tham số cho giải phương trình với “ ẩn mới” tham số Thường ta thu phương trình bậc hai với ẩn biệt thức ∆ thu thường bình phương Ví dụ 2.10: Giải phương trình: x − 2mx + x + m − m = (m tham số) Để giải phương trình này, theo cách nghĩ thơng thường (tính x theo m) gặp khó khăn phương trình bậc ẩn x khơng có dạng đặc biệt, cũng khơng nhẩm nghiệm Như vậy, việc “bó buộc” vai trò đối tượng nhận thức vốn phải có, phải tìm tạo thành khó khăn, đơi khơng thể vượt qua để giải tốn Quan sát phương trình nhận thấy bậc x lớn mà bậc m 2, linh hoạt đổi vai trò đối tượng nhận thức, tạm xem phương trình cho phương trình bậc hai ẩn m có cách giải, x tham số Từ đó, ta tính m = x + x , m = x − x − Đây phương trình bậc hai ẩn x chứa tham số m mà HS có phương pháp giải Tuy nhiên, việc làm làm cho HS khó chấp nhận, HS phân vân với kiểu trao đổi vai trò ẩn tham số cho nhau, GV cũng cần quan tâm để rèn luyện tính linh hoạt, tính sáng tạo cho HS Ví dụ 2.11: Tìm x để BPT sau với (1) ∀m > : mx + 2( m − 1) x − > Nếu không đọc kĩ đề bài, học sinh nghĩ bất phương trình bậc hai ẩn x, em nhầm lẫn với tốn tìm m để BPT với x > Cách giải phải chuyển BPT bậc ẩn m, x tham số Để thỏa mãn yêu cầu tốn tập nghiệm phải chứa khoảng ( 1; +∞) Cụ thể sau: BPT ⇔ ( x + x )m > x +  x2 + 2x > x ≤ −  ⇔ ⇔   2x + (1) với m > ≤1  x ≥   x + 2x 16 Giải pháp 4: Luyện tập cho HS biết chuyển đổi ngôn ngữ toán để tạo toán mới, giải đơn giản HS nhận thấy mối quan hệ hai chiều số nghiệm phương trình f ( x) = g ( x) với số giao điểm hai đồ thị hàm số y= f (x ) y = g (x ) : Số giao điểm hai đồ thị hàm số y= f (x) y = g (x) số nghiệm phương trình f ( x) = g ( x) ngược lại; Đồ thị hàm số y= f (x) y = g (x) cắt điểm có hồnh độ thuộc D tương đương phương trình f ( x) = g ( x) có nghiệm x ∈ D biết khai thác mối quan hệ hoạt động giải tốn có hiệu Ví dụ 2.12: Chuyển sang tốn hình học tọa độ góc nhìn giao hai đường cong giao đường thẳng đường cong Bài toán: Giải biện luận theo m số nghiệm phương trình : − x = x − m (1) Giải: Đặt y = − x , đk y ≥ Khi PT  x + y = (2)  chuyển thành hệ:  x − y = m (3) y ≥  PT (2) PT đường tròn đơn vị (C) có tâm O(0;0), bán kính R = PT(3) phương trình đường thẳng (d) song song với đường phân giác góc phần tư thứ x – y = Ta tìm vị trí tới hạn cho (d) là: + A(1; 0) ∈ (d ) ⇔ m = A(-1; 0) ∈ (d ) ⇔ m = -1 + (d) tiếp xúc với nửa đường tròn (C) ⇒ d(O,(d)) = R ⇔  m = − =1⇔   m = (1) −m Vậy ta thấy: - Với m < − m > (C ) ∩ (d ) = ∅ ⇔ (1) vô nghiệm - Với m = − -1 < m < (C ) ∩ (d ) = {A} ⇔ (1) có nghiệm 17 - Với − < m ≤ −1 (C ) ∩ (d ) = {A, B} ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 2.13: Phương trình sau có nghiệm: x3 − 3x = − x Điều kiện: − x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số , ta có đồ thị hình bên Do số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = x3 − 3x đồ thị hàm số y = − x2 Từ ta suy phương trình có ba nghiệm phân biệt 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm giả thuyết khoa học đề tài sáng kiến kinh nghiệm qua thực tiễn dạy học; kiểm nghiệm tính khả thi tính hiệu biện pháp sư phạm đề xuất Thực nghiệm sư phạm tiến hành hai đợt: * Đợt 1: Được tiến hành khoảng thời gian từ cuối tháng năm 2018 đến tháng 11 năm 2018, cho khối 11 - Lớp thực nghiệm lớp 11B1 - Lớp đối chứng lớp 11B2 * Đợt 2: Được tiến hành khoảng thời gian từ đầu tháng 12 năm 2018 đến tháng năm 2019, cho khối 10 - Lớp thực nghiệm lớp 10C1 - Lớp đối chứng lớp 10C2 Việc lựa chọn cặp lớp thực nghiệm – đối chứng đợt thực nghiệm thứ thực hiện, cụ thể: Được đồng ý Ban Giám hiệu nhà trường, chúng tơi tìm hiểu kết học tập lớp khối 10, khối 11 trường nhận thấy rằng: trình độ chung mơn Tốn 10C1 10C2; 11B1 11B2 tương 18 đương HS lớp thực nghiệm đối chứng học theo Sách giáo khoa mơn Tốn Qua quan sát hoạt động dạy, học lớp thực nghiệm lớp đối chứng, thấy: - Ở lớp thực nghiệm, học sinh tích cực hoạt động, chịu khó suy nghĩ, tìm tòi phát huy tư độc lập, sáng tạo lớp đối chứng Hơn nữa, tâm lý học sinh lớp thực nghiệm thoải mái, tạo mối quan hệ thân thiết, cởi mở thầy trò - Khả tiếp thu kiến thức mới, giải tập toán cao so với đối chứng Các em vận dụng kiến thức cách linh hoạt sáng tạo giải toán Các em biết huy động kiến thức bản, tri thức liên quan để giải tập toán, kỹ lựa chọn học sinh cao hơn, trình bày lời giải tốn cách chặt chẽ, ngắn gọn rõ ràng Kết làm kiểm tra học sinh lớp thực nghiệm (TN) học sinh lớp đối chứng (ĐC) thể thông qua bảng thống kê sau đây: Kết Bài kiểm tra thực nghiệm đợt lớp thực nghiệm (11B1 – 40HS) lớp đối chứng (11B2 – 39HS) Lớp Số kiểm tra đạt điểm tương ứng Số HS Điểm 10 TB 11B1 39 0 11 0 6.0 11B2 40 0 10 11 7.5 Kết Bài kiểm tra thực nghiệm đợt lớp thực nghiệm (10 C1 – 40HS) lớp đối chứng ( 10C2 – 42HS) Lớp Số kiểm tra đạt điểm tương ứng Số HS Điểm 10 TB 10C1 42 0 13 6.1 10C2 40 0 10 7.3 19 Từ kết ta có nhận xét sau: − Điểm trung bình lớp thực nghiệm cao so với lớp đối chứng hai lần kiểm tra − Số HS có điểm lớp thực nghiệm thấp số HS có điểm khá, giỏi từ điểm trở lên lớp thực nghiệm cao lớp đối chứng Quá trình thực nghiệm kết rút sau thực nghiệm cho thấy: mục đích thực nghiệm hồn thành, tính khả thi hiệu quan điểm khẳng định Thực biện pháp góp phần phát triển tư cho học sinh, đặc biệt tư thuận nghịch dạy học phương trình bất phương trình đồng thời góp phần quan trọng vào việc nâng cao hiệu dạy học mơn Tốn trường trung học phổ thơng KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua việc nghiên cứu để viết sáng kiến kinh nghiệm áp dụng vào dạy học cho học sinh trường THPT Thạch Thành 2, rút số kinh nghiêm dạy học mơn Tốn - Dạy học mơn Tốn cần đề cao phát triển tư cho học sinh - Với thực trạng học sinh trường THPT Thạch Thành yếu tư đặc biệt tư mơn Tốn việc phát triển TDTN giúp cho HS đỡ sai lầm giải Tốn tạo hứng thú học mơn Tốn SKKN mở rộng thêm tốn khó để bồi dưỡng cho HS giỏi kết đạt khả quan Nếu đề tài chấp nhận có ích cho giáo viên việc bồi dưỡng tư giải toán cho học sinh, đặc biệt tư thuận nghịch, rèn luyện cho học sinh tính sáng tạo, linh hoạt, chặt chẽ giải tốn hi vọng thời gian tới tiếp tục mở rộng, phát triển đề tài tất nội dung kiến thức chương trình tốn học ( đại số, giải tích hình học ) từ lớp 10 đến lớp 12 trường trung học phổ thông 3.2 Kiến nghị 20 Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ trang thiết bị hỗ trợ dạy học Tạo điều kiện để giáo viên nghiên cứu sâu để bồi dưỡng phát triển tư cho HS thơng qua dạy học mơn Tốn Nhà trường cần tăng cường buổi ngoại khóa mơn Tốn để qua học sinh vừa học lại vừa chơi để HS nâng cao tư mơn Tốn áp dụng tư thuận nghịch vào sống Mặc dù cố gắng SKKN nhiều thiếu sót , mong góp ý đồng nghiệp BGH Tôi xin chân thành cảm ơn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày tháng năm Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Giáo viên Đinh Thị Hương Giang 21 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Đinh Thị Hương Giang Chức vụ đơn vị công tác:Giáo viên trường THPT Thạch Thành Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Tỉnh TT Tên đề tài SKKN Một số sai lầm ứng dụng đạo hàm để giải Toán Định hướng cho học sinh giải Tỉnh Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) C 2011-2012 C 2012-2013 Năm học đánh giá xếp loại hệ phương trình khơng mẫu mực 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Dũng (2010), Các thủ thuật (nguyên tắc) sáng tạo bản, NXB Trẻ, TP Hồ Chí Minh Nguyễn Thị Mỹ Hằng – Phạm Xuân Chung – Trương Thị Dung ( 2016 ), Rèn luyện thao tác tư cho học sinh dạy học mơn tốn trường trung học phổ thông, NXB ĐHSP Nguyễn Thái Hoè (2001), Rèn luyện tư qua việc giải tập Toán, NXB Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Bá Kim (Chủ biên), Vũ Dương Thụy (2001), Phương pháp dạy học mơn tốn, NXB Giáo dục, Hà Nội Thái Thị Hồng Lam (2014), Bồi dưỡng lực tư thuận nghịch cho học sinh dạy học mơn Tốn trường THPT, Luận án Tiến sĩ Khoa học giáo dục Đào Tam (chủ biên), Những phương pháp dạy học không truyền thống 23 ... là: “ Phát triển lực tư thuận nghịch cho học sinh dạy phương trình bất phương trình trường Trung học phổ thơng” 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài mô tả số biểu lực tư thuận nghịch học sinh. .. giải, biện luận phương trình, bất phương trình, sở đề xuất số biện pháp phù hợp để phát triển lực tư cho học sinh trình dạy học chủ đề phương trình, bất phương trình bậc trung học phổ thơng nhằm... bồi dưỡng tư thuận nghịch cho học sinh dạy học giải phương trình, bất phương trình trường trung học phổ thông Qua tham khảo tài liệu thực trạng phương pháp dạy học toán trường phổ thông, qua