MỘT số bài HÌNH học PHẲNG và các ỨNG DỤNG

MỘT SỐ BÀI HÌNH HỌC PHẲNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG 1.Với ba điểm A, B, C ta ln có: a AB  BC �AC Dấu xảy A, B, C thuộc đường thẳng B thuộc đoạn AC b AB  BC �AC Dấu xảy A, B, C thuộc đường thẳng B không nằm A C 2.Cho điểm A không thuộc đường thẳng  , H hình chiếu A  Với điểm M � ta có AM �AH Dấu xảy M �H  A M H � , M �Ox Nếu M ' đối xứng với M Cho tia Ot phân giác góc xOy qua Ot M ' �Oy y M’ M x O Cho tam giác ABC nhọn có H1 , H , H chân đường cao hạ từ đỉnh A, B, C Khi AH1 , BH , CH đường phân giác �H H , H �H H , H �H H BC , CA, AB đường góc H 2 3 �H H , H �H H , H �H H phân giác góc H 2 3 1 A H2 H3 B C H1 Thật vậy, chẳng hạn � AH1 H  � ACH (vì ACH1 H tứ giác nội tiếp), � � ), � ACH  � ABH (cùng phụ với góc BAC ABH  � AH1 H (vì ABH1 H tứ �H H Và giác nội tiếp) Do AH1 đường phân giác góc H �H H BC  AH1 nên BC đường phân giác ngồi góc H ur uu r Cho tam giác ABC , gọi e1 , e2 vectơ đơn vị trục ur r uuur uuu r uu AB, AC ( e1 hướng với AB , e2 hướng với AC Khi đường phân ur uu r giác góc A có vectơ phương e1  e2 đường phân giác ngồi góc ur uu r A có vectơ phương e1  e2 Cho hai điểm A, B phân biệt cố định Tập hợp điểm M mặt phẳng thỏa mãn MA  MB đường trung trực đoạn thẳng AB Cho hai điểm A, B phân biệt cố định số thực k với  k �1 Tập hợp điểm M mặt phẳng thỏa mãn MA  k MB đường tròn Đường tròn có đường kính đoạn CD , C , D điểm chia điểm chia đoạn thẳng AB Đường tròn gọi đường tròn Apollonius tỉ số k dựng đoạn AB Bài toán 1: Cho hai điểm A( x A ; y A ), B( xB ; yB ) phân biệt Lập phương trình đường thẳng  qua A cho khoảng cách từ  đến B lớn Cách giải: r Cách 1: Gọi n(a; b) vectơ pháp tuyến ( a  b �0) Phương trình đường thẳng  là: a( x  x A )  b( y  y A )  Ta có d ( B, )  a ( xB  x A )  b ( y B  y A ) a2  b2 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì: a ( xB  x A )  b ( y B  y A ) � ( a  b ) � ( x  xA )2  ( y  y A )2 � � � Do : d ( B, ) � ( x  x A )  ( y  y A ) Dấu xảy � a xB  x A b 0 yB  y A b � a 0 � Chọn a, b thỏa mãn �xB  x A y B  y A suy phương trình đường thẳng  �2 a  b �0 � Cách 2: Gọi H hình chiếu B  , ta có d ( B, )  BH �BA Dấu xảy  H A Khi  đường thẳng qua A vng góc với AB uutức u r đường thẳng qua A nhận AB làm vectơ pháp tuyến  B A H Nhận xét: Rõ ràng lời giải thứ hai ưu việt Việc đánh giá phương pháp hình học mang tính trực quan, dễ hiểu việc lập phương trình đường thẳng dễ dàng Còn lời giải thứ mang nặng tính đại số, bất đẳng thức Bunhiacopxki trình bày phần đọc thêm sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao, nên không thông dụng cho đối tượng học sinh Sau số ví dụ vận dụng tốn Ví dụ 1: Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A(1; 2), B (3;1) phân biệt Lập phương trình đường thẳng  qua A cho khoảng cách từ B đến  lớn Giải: Gọi H hình chiếu B  , ta có d ( B, )  BH �BA Dấu xảy  H A Khi  đường uuu r thẳng qua A vng góc với AB tức đường thẳng qua A nhận AB (4; 1) làm vectơ pháp tuyến Do  có phương trình là: 4( x  1)  1( y  2)  hay x  y   Ví dụ 2: Trong hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (1; 2) đường thẳng  có phương trình mx  (1  2m) y  m   với m tham số Tìm m để khoảng cách từ M đến  lớn Giải: Nhận xét: đường thẳng  qua điểm A(3;5) m Gọi H hình chiếu M  , ta có d ( M , )  MH �MA Dấu xảy  H A Khi r uuuu r m  2m �m   AM � n( m;1  2m) AM (2;3) phương �  Ví dụ 3: Trong hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng  : mx  y  2m   đường tròn (C ) : x  y  x  y   Tìm m để đường thẳng  cắt đường tròn (C ) theo cát tuyến có độ dài nhỏ Giải: Nhận xét: : đường thẳng  qua điểm A(2;1) m điểm A nằm đường tròn (C ) Do  ln cắt đường tròn (C ) I hai điểm phân biệt M , N Đường tròn (C ) có tâm I (1; 2) bán kính A N M H R  Gọi H hình chiếu I  , ta có MN  HM  IM  IH mà IH �IA nên MN �2 IM  IA2  2 Dấu xảy  H A Khi   AI r uur m  � m  1 Vậy với m  1 � n(m;1) AI ( 1;1) phương � 1 MN nhỏ  Bài toán 2: Trong hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A( x A , y A ), B( xB , yB ), C ( xC , yC ) Lập phương trình đường phân giác phân giác ngồi góc � BAC Cách giải: ur r uu r uuu uuur AB, e2  AC - Đặt e1  AB AC ur ur uu r - Đường phân giác góc A qua A nhận vectơ e3  e1  e2 làm vectơ phương uu r ur uu r - Đường phân giác góc A qua A nhận vectơ e4  e1  e2 làm vectơ phương B u r ur u u r e e e4 u u r A e2 C Nhận xét: Bài toán có nhiều cách giải Cách giải rõ ràng đơn giản ngắn gọn Ví dụ 4: Trong hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A(2; 14), B (2;14), C ( 5; 7) Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Giải: Đường phân giác góc A có vectơ phương r r uuu uuur �6 12 � u AB  AC  � ; � AB AC �5 � r Do có vectơ pháp tuyến n(2;1) Suy có phương trình: 2( x  2)  ( y  14)  � x  y  10  Tương tự, đường phân giác góc B có phương trình x   Tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC giao điểm hai đường phân giác góc A,B nên có tọa độ I(-2;-6) Bài toán 3: Trong hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nhọn có tọa độ chân ba đường cao hạ từ đỉnh A, B, C H1 ( x1 , y1 ), H ( x2 , y2 ), H ( x3 , y3 ) Lập phương trình cạnh đường cao tam giác ABC Cách giải: Theo lưu ý phần ta có đường cao AH1 phân giác �H H cạnh BC góc H A H2 �H H phân giác ngồi góc H Từ ta lập đường phân giác phân giác ngồi góc �H H ta suy phương trình H đường cao AH1 cạnh BC Tương tự cho đường cao lại cạnh lại H3 B C H1 Nhận xét: Nếu khơng lưu ý đến tính chất chân đường cao tốn khó Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC có chân 16 12 � � , P (0; 4) Tìm đường cao hạ từ A, B, C theo thứ tự M (2;0), N � ;  � 5� �5 tọa độ trực tâm tam giác ABC Giải: � Vì AM phân giác góc PMN nên ta tìm phương trình AM � x   CP phân giác góc MPN nên ta tìm phương trình CP x  y   Trực tâm H tam giác ABC giao điểm AM CP nên có tọa độ H (2; 2) Bài tốn 4: Trong hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC khơng cân A có B ( xB , yB ), C ( xC , yC ) phương trình đường thẳng chứa đường phân giác (hoặc phân giác ngồi) góc A  : ax  by  c  0(a  b �0) Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC Cách giải: uuur -Cạnh BC qua B nhận BC vectơ phương uuuur -Gọi B ' đối xứng với B qua  B ' �AC Cạnh AC qua C nhận B ' C vectơ phương uuu r - A giao điểm AC  Cạnh AB qua B nhận AB vectơ phương uuur uuuu r Chú ý: Nếu  phân giác góc A AC , AB ' hướng  uuur uuuu r phân giác ngồi góc A AC , AB ' ngược hướng Nhận xét: Nếu khơng lưu ý đến tính đối xứng mà sử dụng điều kiện hai góc thu biểu thức nhiều ẩn tương đối phức tạp Ví dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vng góc C đường thẳng AB điểm H ( 1; 1) , đường phân giác góc A có phương trình x  y   đường cao kẻ từ B có phương trình x  y   Giải: Gọi H ' điểm đối xứng với H qua đường A phân giác góc A Đường thẳng  qua H vng góc với đường phân giác H’ góc A có phương trình  : x  y    cắt đường phân giác góc A H I (2;0) Vì I trung điểm HH ' nên tìm H '( 3;1) Đường thẳng AC qua điểm H ' vng góc với đường cao qua C đỉnh B nên có phương trình B x  y  13  A giao điểm đường phân giác góc A đường thẳng AB nên A(5;7) Đường thẳng CH qua hai điểm A, H nên có phương � 10 �  ; � trình x  y   C giao điểm AC CH nên C � Thử lại � 4� uuur uuuur thấy AC , AH ' hướng nên thỏa mãn Ví dụ 7: Trong hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh B (4;1) , trọng tâm G (1;1) đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x  y   Tìm tọa độ đỉnh A C (trích đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2011) Giải: Gọi D( x; y ) trung điểm AC Vì B uuur uuur BD  3GD nên ta tìm D( ;1) Gọi E điểm đối xứng với B qua phân giác góc A , ta tìm E (2; 5) Đường thẳng G AC qua A E nên có phương trình x  y  13  A giao điểm AC A D đường phân giác góc A nên có tọa độ A(4;3) C đối xứng với A qua D nên uuur uuur C (3; 1) Thử lại thấy AC , AE hướng nên thỏa mãn E C Ví dụ 8: Trong hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vng A , có đỉnh C ( 4;1) , phân giác góc A có phương trình d : x  y   Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương (trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2010) Giải: Gọi D điểm đối xứng với điểm C qua đường thẳng d , ta tìm D(4;9) A A giao điểm d đường tròn đường kính CD đồng thời có hồnh độ dương nên ta tìm A(4;1) Cạnh AB qua A D nên có phương trình x   C B D d 2.SABC  Gọi B (4; y ) , từ AC AB  ta tìm B (4;7) B (4; 5) Do d phân giác góc A uuu r uuur nên AB, AD hướng Suy B (4;7) Ta có AC  8; AB  Bài toán 5: Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A( x A , y A ), B ( xB , yB ) đường thẳng  : ax  by  c  0(a  b �0) không qua A, B Tìm tọa độ điểm M đường thẳng  cho MA  MB nhỏ Cách giải: - Nếu A, B nằm hai phía  MA  MB �AB Dấu xảy M giao điểm  AB - Nếu A, B nằm phía  gọi A ' đối xứng với A qua  Ta có MA  MB  MA '  MB �A ' B Dấu xảy M giao điểm  A ' B B A  M A’ Nhận xét: Bằng cách tương tự ta giải tốn sau: “Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A( x A , y A ), B ( xB , yB ) đường thẳng  : ax  by  c  (a  b �0) không qua A, B Tìm tọa độ điểm M đường thẳng  cho MA  MB lớn Ví dụ 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1; 2) đường thẳng d : x  y  23  Hai điểm B C di chuyển d cho đoạn BC có độ dài Tìm B C cho chu vi tam giác ABC nhỏ Giải: Gọi d’ đường thẳng A D d’ qua A song song với d, d’ có phương trình: 4x  3y   Lấy d D (4;6) thuộc d ' thỏa B C mãn AD  Khi AD / / BC AD  BC , tức ABCD hình A’ ACBD bình hành hình bình hành - Nếu ABCD hình bình hành, gọi A ' đối xứng với A qua d , ta tìm A '(9; 4) Ta có chu vi tam giác ABC AB  BC  CA  CD   CA  CD  CA ' �DA ' Dấu xảy C giao điểm d uuur uuur 13 ;1) BC  AD � B ( ; 3) 2 13 -Nếu ACBD hình bình hành, tương tự ta tìm B( ;1), C ( ; 3) 2 DA ' Từ tìm C ( Ví dụ 10: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đường thẳng  : x  y   hai x2 y x2 y elíp ( E1 ) :   , ( E2 ) :   (a  b  0) có tiêu điểm Biết 25 16 a b ( E2 ) qua điểm M thuộc đường thẳng  Tìm toạ độ điểm M cho elíp ( E2 ) có độ dài trục lớn nhỏ (trích đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm 2010-2011) Giải Điểm M �( E2 ) � MF1  MF2  2a Vậy ( E2 ) có độ dài trục lớn nhỏ MF1  MF2 nhỏ Hai elíp có tiêu điểm F1 (3;0), F2 (3;0) Gọi N ( x; y ) điểm đối xứng với F1 qua  , suy N (5; 2) Ta có: MF1  MF2  NM  MF2 �NF2 (không đổi) Dấu xảy � 17 �  ; � M  NF2 � suy M � � 5� Ví dụ 11: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hai đường thẳng 1 : x  y   0;  : y   điểm C (5; 2) Tìm điểm A �1 , B � cho chu vi tam giác ABC nhỏ Giải M 2 1 A C B N Nhận xét: C thuộc góc nhọn tạo hai đường thẳng 1 ,  Gọi M , N điểm đối xứng với C qua 1 ,  Ta có M (1;6), N (5;0) Nhận thấy ba điểm C , M , N không thẳng hàng Chu vi tam giác ABC AC  AB  BC  MA  AB  BN �MN Dấu xảy Phương trình A  MN �1 ; B  MN � đường thẳng MN x  y  15  , suy 13 18 � � 13 � � A� ; � ; B � ;1� �5 � �3 � Bài toán 5: Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A( x A , y A ), B ( xB , yB ) nằm (C ) : ( x  x0 )  ( y  y0 )  R số thực k với k  đường tròn IA  (2k  1) R Tìm tọa độ điểm M đường tròn (C ) cho MA  k MB nhỏ 10 Cách giải: -Ta chứng minh tồn điểm J bên B đường tròn cho với điểm M �(C ) ta M có: MA  k MJ Thật vậy, gọi I tâm đường tròn (C ) , D giao điểm AI I ( C ) đường tròn D nằm A I A J D uuu r u u u r Lấy J cho DJ   DA tức k uuu r uuu r DA  k DJ Vậy D điểm chia đoạn 1 AJ Hơn nữa, DJ  DA  ( IA  R )  �  2k  1 R  R � � R nên J nằm k k k� đường tròn Theo lưu ý phần đường tròn (C ) đường tròn Apollonius tỉ số k dựng đoạn AB Vậy với điểm M �(C ) ta có: MA  k MJ -Ta có MA  kMB  k MJ  k MB  k (MJ  MB ) �k JB Dấu xảy M  (C ) �BJ M nằm BJ Nhận xét: uuu r uuur - Với trường hợp  k  ta lấy DJ   k DB ( D giao điểm BI đường tròn (C ) D nằm B I ) phải có điều kiện k IB để J nằm đường (C ) - Nếu A, B nằm đường tròn ln tồn J nằm ngồi đường tròn (C ) để đường tròn (C ) đường tròn Apollonius tỉ số k dựng đoạn AJ đường tròn (C ) đường tròn Apollonius tỉ số dựng đoạn JB k Ví dụ 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(7;9), B (0;8) đường tròn (C ) : ( x  1)  ( y  1)  25 Tìm tọa độ điểm M thuộc (C ) cho biểu thức P  MA  2MB đạt giá trị nhỏ (trích đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Nghệ An - Bảng A 2011-2012) Giải: Đường tròn (C ) có tâm I (1;1) bán kính R  Gọi J ( ;3) Ta chứng minh với điểm M thuộc (C ) ta có MA  MJ Thật MA  MJ 11 uuu r uu r ur uuu r uu r uuu r uu r 2 MI  IA  MI  IJ � 2MI IA  4IJ  3R  IJ uu r ur r  IA2 Đẳng thức IA  4IJ  3R  IJ  IA2  � MA2  4MJ �       Vì với điểm M thuộc (C) ta có: MA  2MB   MJ  MB  �2 BJ Dấu xảy M thuộc đoạn thẳng BJ (Vì B nằm ngồi đường tròn (C); J nằm đường tròn (C)) B M Do MA + 2MB nhỏ M giao điểm đường tròn (C) đoạn thẳng BJ BJ có phương trình x  y   I J A Tọa độ giao điểm BJ (C) nghiệm hệ � �x  �x  � 2x  y   � � � � 2  x  1   y  1  25 �y  �y  2 � Thử lại ta có điểm M(1;6) thuộc đoạn JB thỏa mãn toán Bài tập đề nghị Bài Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A(5; 2), B (4;1) phân biệt Lập phương trình đường thẳng  qua A cho khoảng cách từ B đến  lớn Bài Trong hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (1;3) đường thẳng  có phương trình (m  2) x  (1  m) y  3m   với m tham số Tìm m để khoảng cách từ M đến  lớn Bài Trong hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng  qua điểm E ( 1;0) cắt đường tròn (C ) : x  y  x  y  16  hai điểm A, B cho độ dài AB nhỏ Bài Tìm m để đường thẳng  : (2m  1) x  (m  1) y  m   cắt đường tròn (C ) : x  y  x  y   theo cát tuyến có độ dài nhỏ Bài Trong hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A( ;3), B (1; 2), C ( 4;3) Lập phương trình đường phân giác ngồi góc A tam giác ABC 12 Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC có chân đường cao hạ từ A, B, C theo thứ tự M (1; 2), N  2;  , P (1; 2) Lập phương trình cạnh tam giác ABC Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có B (3;5) , C (4; 3) đường phân giác góc A có phương trình x  y   Lập phương trình cạnh tam giác ABC Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có A(0;1) , đường trung tuyến qua B có phương trình x  y   , đường phân giác góc C có phương trình x  y   Lập phương trình cạnh BC Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình hai cạnh AB : x  y   0, BC : x  y   , đường phân giác góc A có phương trình x  y   Tìm tọa độ đỉnh C Bài 10 Trong hệ tọa độ Oxy , xác định toạ độ đỉnh tam giác nhọn ABC biết chân đường cao hạ từ đỉnh A, B, C H1(4;-1), H2(1;5), H3(-4;-5) Bài 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc  Oxy  cho tam giác ABC đường thẳng  có phương trình  : x  y   Giả sử D  4;  , E  1;1 , N  3;3 theo thứ tự chân đường cao kẻ từ A, chân đường cao kẻ từ B trung điểm cạnh AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết trung điểm M cạnh BC nằm đường thẳng  điểm M có hồnh độ lớn Bài 12 Tìm trục hồnh điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến điểm A(1; 2), B (3; 4) nhỏ Bài 13 Tìm trục đường thẳng x  y   điểm M cho MA  MB lớn với A(4;1), B(5;7) Bài 14 Cho hai đường thẳng song song d1 : x  y   0; d : x  y   hai điểm M (6; 4), N (2; 1) Lập phương trình đường thẳng  vng góc với d1 , d cắt hai đường thẳng A, B cho MA  NB nhỏ Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(4; 4), B (0;6) đường tròn (C ) : x  y  Tìm tọa độ điểm M thuộc (C ) cho biểu thức P  2MA  3MB đạt giá trị nhỏ 13 ... Apollonius tỉ số k dựng đoạn AB Bài toán 1: Cho hai điểm A( x A ; y A ), B( xB ; yB ) phân biệt Lập phương trình đường thẳng  qua A cho khoảng cách từ  đến B lớn Cách giải: r Cách 1: Gọi n(a;... không thông dụng cho đối tượng học sinh Sau số ví dụ vận dụng tốn Ví dụ 1: Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A(1; 2), B (3;1) phân biệt Lập phương trình đường thẳng  qua A cho khoảng cách từ B... hình học mang tính trực quan, dễ hiểu việc lập phương trình đường thẳng dễ dàng Còn lời giải thứ mang nặng tính đại số, bất đẳng thức Bunhiacopxki trình bày phần đọc thêm sách giáo khoa Đại số