ỨNG DỤNG đạo hàm PHIẾU ôn tập và GIẢNG dạy bài 1 đơn điệu PHIẾU 4 vận DỤNG CAO

http://dethithpt.com TỔNG BIÊN SOẠN VÀ TỔNG HỢP PHIẾU HỌC TẬP VÀ GIẢNG DẠY BÀI ĐƠN ĐIỆU PHIẾU VẬN DỤNG CAO http://dethithpt.com BÀI ĐƠN ĐIỆU PHIẾU SỐ MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu khoảng xác định Phương pháp Tìm điều kiện để hàm số y = f (x) = ax + bx + cx + d đơn điệu khoảng (α ; β ) Hàm số cho xác định D = ¡ Ta có: y′ = f ′(x) = 3ax + 2bx + c ′ Hàm số f đồng biến (α ; β ) ⇔ y ≥ 0,∀x ∈ (α ; β ) y′ = xảy số hữu hạn điểm thuộc (α ; β ) Trường hợp 1:  Nếu bất phương trình f ′(x) ≥ ⇔ h(m) ≥ g(x) f đồng biến (α ; β )   Nếu bất phương trình f ′(x) ≥ ⇔ h(m) ≤ g(x) (*) h(m) ≥ maxg(x) (α ;β ) (**) h(m) ≤ ming(x) (α ;β ) f đồng biến (α ; β )  Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ′(x) ≥ khơng đưa dạng (*) đặt t = x − α Khi 2 ta có: y′ = g(t) = 3at + 2(3aα + b)t + 3aα + 2bα + c a >  ∆≤0 g(t) ≥ 0,∀t < ( −∞ ;a) – Hàm số f đồng biến khoảng   a >  ∆ >  S > P ≥  a >  ∆ >  S < P ≥  a >  ∆≤0 – Hàm số f đồng biến khoảng (a; +∞)  g(t) ≥ 0,∀t >   y′ ≥ 0,∀x ∈ (α ; β ) ′=0 ( α ; β ) y 2.Hàm số f nghịch biến ⇔ xảy số hữu hạn điểm thuộc (α ; β ) Trường hợp 1:  Nếu bất phương trình f ′(x) ≤ ⇔ h(m) ≥ g(x) f nghịch biến (α ; β )   Nếu bất phương trình f ′(x) ≥ ⇔ h(m) ≤ g(x) (*) h(m) ≥ maxg(x) (α ;β ) (**) h(m) ≤ ming(x) (α ;β ) f nghịch biến (α ; β )  Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ′(x) ≤ khơng đưa dạng (*) đặt t = x − α Khi http://dethithpt.com 2 ta có: y′ = g(t) = 3at + 2(3aα + b)t + 3aα + 2bα + c – Hàm số f nghịch biến khoảng (−∞;a)  g(t) ≤ 0,∀t <  a <  ∆ ≤ a <  ∆≤0 g(t) ≤ 0,∀t > (a; +∞ ) – Hàm số f nghịch biến khoảng   Chú ý: Phương trình f ( x) = ax2 + bx + c = x1 < < x2 ⇔ P < (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 x1 ≤ ≤ x2 ⇔ P ≤ ∆ >  ≤ x1 < x2 ⇔ P ≥ S >  a <  ∆ >  S > P ≥  a <  ∆ >  S < P ≥  thỏa ∆ >  x1 < x2 ≤ ⇔ P ≥ S <  0 < x1 < x2  ∆ > ⇔   x1 < x2 < P > S = x1 + x2 = − b c , P = x1.x2 = a a Trong : Nếu hàm số f(x) có giá trị nhỏ tập D ,thế thì: ∀x ∈ D,f(x) ≥ ⇔ minf(x) ≥ x∈D Nếu hàm số f(x) có giá trị lớn tập D, ∀x ∈ D,f(x) ≤ ⇔ maxf(x) ≤ x∈D Cho hàm số y = f(x) liên tục D f(x) ≥ k ∀x ∈ D ⇔ minf(x) ≥ k * minf(x) ( tồn D D f(x) ≤ k ∀x ∈ D ⇔ maxf(x) ≤ k ) maxf(x) D * ( tồn D ) Bài tốn 01: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG K = ( −∞;α ) ( β;+∞ ) , ( −∞;α , , Phương pháp Chú ý 1: * Hàm số * Hàm số y = f ( x,m) y = f ( x,m) Chú ý 2: Đặt tăng ¡ ⇔ y' ≥ ∀x ∈ ¡ ⇔ y' ≥ giảm x∈¡ ¡ ⇔ y' ≤ ∀x ∈ ¡ ⇔ max y' ≤ f ( x) = ax + bx + c ( a ≠ 0) ) β;+∞  x∈¡ http://dethithpt.com • f ( x) = có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn : x1 < α < x2 Đặt t = x − α , g ( t) = f ( t + α ) Bài g ( t) = t1 < < t2 ⇔ P < tốn trở thành có hai nghiệm trái dấu tức tốn trở thành có hai nghiệm âm nghĩa • f ( x) = có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn : x1 ≤ x2 < α Đặt t = x − α , g ( t) = f ( t + α ) Bài g ( t) = t1 ≤ t2 < ⇔ ∆ ≥ 0, S < 0, P > • f ( x) = có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn β < x1 ≤ x2 Đặt t = x − β , g ( t ) = f ( t + β ) Bài toán g ( t) = 0 < t1 ≤ t2 ⇔ ∆ ≥ 0, S > 0, P > trở thành • Để ý f ( x) = có hai nghiệm dương nghĩa có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn: x1 < α < x2 ⇔ ( x1 − α ) ( x2 − α ) < ⇔ x1.x2 − α ( x1 + x2 ) + α < ∆ > ∆ >   α < x1 < x2 ⇔  x1 + x2 > 2α x1 < x2 < α ⇔  x1 + x2 < 2α  x −α x −α >0  x −α x −α >0 )( ) )( ) ( ( α < x1 < x2 < β ⇔ ∆ > 0, 2α < x1 + x2 < 2β, ( x1 − α ) ( x2 − α ) > 0, ( x1 − β ) ( x2 − β ) > Ví dụ Ví dụ Cho hàm số y= (m + 1)x2 − 2mx + 6m x−1 Tìm giá trị tham số m để hàm số: ( 4;+∞ ) Đồng biến khoảng xác định nó; Lời giải Đồng biến khoảng {} TXĐ: Xét hai trường hợp D=¡ \ y= 2x − y' = (x − 1)2 > với x ∈ D x − TH1: Khi m = −1 , ta có hàm số Do hàm số đồng biến khoảng xác định Vậy, m = −1 thỏa yêu cầu toán TH2: Khi m ≠ −1 , ta có y' = (m + 1)x2 − 2(m + 1)x − 4m (x − 1)2 Đặt g(x) = (m + 1)x − 2(m + 1)x − 4m ta có y' dấu với g(x) Hàm số đồng biến khoảng xác định ⇔ ∀x ∈ D,y' ≥ ⇔ ∀x ∈ D ,g(x) ≥  ∆ ' = (m + 1)2 + 4m(m + 1) ≤ (m + 1)(5m + 1) ≤ ⇔ ⇔ ⇔ −1 < m ≤ − m > − m + 1>    1  −1; − 5  Vậy tập hợp giá trị tham số m thỏa yêu cầu toán  Theo câu m = −1 thỏa mãn đề http://dethithpt.com Với m ≠ −1 Khi hàm số đồng biến khoảng ( 4; +∞ ) ⇔ ∀x ∈ (4; +∞),g(x) ≥ ⇔ ∀x ∈ (4; +∞), 2x − x2 x2 − 2x − h ( x) = Xét hàm (4; +∞) h'(x) = ≤m (do x2 − 2x − > ∀x ∈ (4; +∞)) 2x − x2 x2 − 2x − , (1) ⇔ ∀x ∈ (4; +∞),h(x) ≤ m ta lập bảng biến thiên h ( x) 8x − (x − 2x − 4)2 > ∀x ∈ (4; +∞ ) 2  x2  − 1÷ −1 x   = lim x lim h(x) = lim = −1 x→+∞ x→+∞   x→+∞ 1− − x  1− − ÷ x x2 x x2   Dựa vào bảng biến thiên ( ) suy ∀x ∈ (4; +∞) , h(x) ≤ m ⇔ −1≤ m Vậy tập hợp giá trị tham số m thỏa yêu cầu toán [−1; +∞) Bài tốn 02: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG XÁC h x ( α;β ) α;β  ĐỊNH ,  Phương pháp Ví dụ − 1;1) Ví dụ : Định m để hàm số y = x + 3x + (m − 1)x + 4m nghịch biến ( Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ Ta có: y' = 3x + 6x + m − Cách 1: Hàm số nghịch biến khoảng ( − 1;1) ( x1 + 1) ( x2 + 1) < m < ⇔ ⇔ ( x1 − 1) ( x2 − 1) < m < −8 ⇒ m < −8 ⇔ y' ≤ x1 < −1< 1< x2 − 1;1) Vậy, với m < −8 hàm số ln nghịch biến khoảng ( Cách 2: Hàm số nghịch biến khoảng ( − 1;1) m ≥ −3x2 − 6x + 1, ∀x ∈ ( − 1;1) Xét hàm số Với g ( x) = −3x2 − 6x + ∀x ∈ ( − 1;1) , có ⇔ y' ≤ , ∀x ∈ ( − 1;1) tức phải có: g'( x) = −6( x + 1) ∀x ∈ ( − 1;1) ⇒ x + > ⇒ g'(x) < ∀x ∈ ( − 1;1) , ∀x ∈ ( − 1;1) ⇔ m < −8 Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m ≥ g(x) với − 1;1) Vậy, với m < −8 hàm số ln nghịch biến khoảng ( Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu khoảng có độ dài k cho trước Phương pháp http://dethithpt.com + Tìm TXĐ + Tính y’ x ,x + Hàm số có khoảng đồng biến ( nghịch biến ) ⇔ y' = có nghiệm phân biệt đồng x − x1 = k thời Chú ý: x1,x2 x1 < x2 x1 = −b − ∆ −b + ∆ , x2 = 2a 2a ax + bx + c = có nghiệm (giả sử ) thỏa ∆ 2 ⇒ x2 − x1 = 2a , ∆ = b2 − 4ac x2 − x1 = k ⇔ ( x1 + x2 ) − 4x1.x2 = k ( a > ) Các ví dụ Ví dụ : Định m để hàm số y = x + 3x + mx + m nghịch biến khoảng có độ dài nhỏ Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ Ta có: y' = 3x + 6x + m x −x , hàm số cho khơng nghịch biến ¡ x; x Nếu m < −9 m > 12 tức ∆ ' > y' = có nghiệm phân biệt Lập bảng xét dấu, x ∈ ( x1;x2 ) x ∈  x1;x2  ta thấy y' < với suy hàm số nghịch biến với x −x =4 Hàm số nghịch biến khoảng có độ dài tức m2 − 3m − 108 =4 , bình phương hai vế rút gọn ta phương trình: m − 3m − 180 = ⇔ m = −12 m = 15 ( thỏa điều kiện ) Vậy, với m = −12 m = 15 yêu cầu toán thỏa mãn BÀI TẬP TỰ LUYỆN http://dethithpt.com f ( x) =- Câu Tìm tham số m để hàm số 12 12 m³ m> 7 A B 12 12 m£ m= 7 C D f ( x) = Câu Tìm tham số m để hàm số A m³ B m< C m> D m> Câu Tìm tham số m để hàm số A - < m m³ - D - 2£ m£ - f ( x) = y =- x3 + (m- 2)x2 - m(m- 3)x3 nghịch biến Câu Tìm tham số m để hàm số ( 1;+¥ ) khoảng ìï m< ém³ ïï ê ê í 5 êm£ 5- ïï m> ê 2 A ïïỵ B ë ïìï m³ ïìï m> ï ï í í ïï m£ 5- ïï m< 5- 2 C ïïỵ D ïïỵ Câu Tìm tham số m để hàm số y = x + 3x + mx + m nghịch biến khoảng có độ dài 9 9 m= m> m< m³ 4 4 A B C D y =- x3 + 2mx2 +( m- 15) x + ( 1;3) ? Câu 6: Với giá trị m hàm số đồng biến 18 m³ A m³ B 18 18 3< m< m> 5 C D ( 0;+¥ ) Câu 7: Tìm m để hàm số y =- x + 3x + 3mx - nghịchbiến khoảng A m> B m ≤ - C m ≤ D m ≥ http://dethithpt.com Câu 8: Hàm số A m C " mỴ R D - 1< m C m< D m