Phương pháp quỹ đạo trong đại số tổ hợp và ý nghĩa hình học của số C

1 MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP 1.1 Tập hợp hữu hạn 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Mệnh đề 1.1.3 Định lý (Định lý Cantor-Bernstein) 1.1.4 Định nghĩa 1.1.5 Định nghĩa 1.1.6 Định nghĩa 1.1.7 Mệnh đề 1.1.8 Hệ 1.1.9 Hệ 1.1.10 Hệ 1.1.11 Hệ 1.1.12 Mệnh đề 1.1.13 Hệ 1.1.14 Định nghĩa (Tích Decartes suy rộng) 1.1.15 Hệ 1.2 Một số cấu hình tổ hợp đơn giản 1.2.1 Bổ đề 1.2.2 Bổ đề 1.2.3 Định nghĩa 1.2.4 Bổ đề 1.2.5 Định nghĩa 1.2.6 Mệnh đề 1.2.7 Mệnh đề 1.3 Một số toán áp dụng cấu hình tổ hợp đơn giản 1.4 Phương pháp giải toán tạo số 6 6 7 8 9 10 10 11 11 12 12 12 13 13 13 14 14 15 15 20 1.4.1 Đặt vấn đề 1.4.2 Một số dạng toán thường gặp 1.5 Một số phương pháp giải toán hình học hữu 1.5.1 Sử dụng kết đại số tổ hợp 1.5.2 Sử dụng nguyên lý Dirichlet 1.5.3 Sử dụng nguyên lý cực hạn 1.5.4 Sử dụng công thức phủ hạn Chương PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO TRONG ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA SỐ Cnk 2.1 Lưới điểm nguyên mặt phẳng tọa độ 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Áp dụng vào giải số toán số học 2.2 Bài toán cắt 2.2.1 Bài toán 2.2.2 Thí dụ 2.2.3 Bổ đề 2.2.4 Bổ đề 2.2.5 Mệnh đề 2.2.6 Mệnh đề 2.3 Phương pháp quỹ đạo đại số tổ hợp Ý nghĩa hình học số Cnk 2.3.1 Định nghĩa 2.3.2 Chú ý 2.3.3 Mệnh đề 2.3.4 Hệ 2.3.5 Hệ 2.3.6 Mệnh đề (Quy tắc Pascal) 2.3.7 Mệnh đề 2.3.8 Mệnh đề 2.3.9 Mệnh đề 2.3.10 Bài toán 2.4 Một số tính chất quỹ đạo ứng dụng 2.4.1 Định nghĩa 20 21 25 26 27 29 31 32 32 32 32 36 36 36 37 37 38 39 39 39 39 40 40 40 41 42 43 44 45 46 46 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 2.4.6 2.4.7 2.4.8 2.4.9 Mệnh đề Mệnh đề Mệnh đề Mệnh đề Mệnh đề Bài toán hàng Chú ý Bài toán bỏ phiếu KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 47 47 48 49 49 50 51 52 53 MỞ ĐẦU Tổ hợp ngành toán học rời rạc nghiên cứu cấu hình kết hợp phần tử tập hữu hạn Các cấu hình phép liệt kê, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp phần tử tập hợp Tổ hợp có liên quan đến nhiều lĩnh vực khác toán học đại số, lý thuyết xác suất hình học, ngành ứng dụng khoa học máy tính vật lý thống kê Các toán tổ hợp bao gồm: Bài toán rời rạc đại số tổ hợp, Bài toán tô màu, Bài toán trò chơi, Bài toán đồ thị Bản luận văn sâu tìm hiểu phương pháp thường sử dụng việc giải toán tổ hợp, phương pháp quỹ đạo Nội dung phương pháp quỹ đạo toán tổ hợp dựa lưới điểm nguyên mặt phẳng tọa độ để đưa cách giải thích hình học nhằm quy toán tổ hợp cho tính số đường (hay quỹ đạo) có số tính chất xác định Dựa phương pháp quỹ đạo, tìm hiểu ý nghĩa hình học số Cnk - tổ hợp chập k n phần tử Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm hai chương: Chương Một số kiến thức sở đại số tổ hợp Trong chương hệ thống số kiến thức sở tập hợp hữu hạn số cấu hình tổ hợp đơn giản Sau tìm hiểu ứng dụng chúng việc phân loại xây dựng phương pháp giải toán tạo số Phần cuối chương trình bày số phương pháp giải toán hình học hữu hạn Chương Phương pháp quỹ đạo đại số tổ hợp ý nghĩa hình học số Cnk Trong chương này, trước hết trình bày khái niệm lưới điểm nguyên mặt phẳng tọa độ phương pháp quỹ đạo Từ làm sáng tỏ ý nghĩa hình học số Cnk (Tổ hợp chập k n phần) Sau sâu tìm hiểu số tính chất quỹ đạo ứng dụng chúng vào việc giải toán tiếng xác suất toán xếp hàng, toán bỏ phiếu Bertrand Luận văn hoàn thành bảo tận tình PGS.TS Lê Quốc Hán Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, khoa Toán học phòng Đào tạo Sau Đại học trường Đại học Vinh giúp đỡ có điều kiện thuận lợi Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè học viên lớp Cao học 19 - Đại số lý thuyết số Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tác giả Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP 1.1 1.1.1 Tập hợp hữu hạn Định nghĩa Hai tập hợp A B gọi tương đương với nhau, ký hiệu A ∼ B, tồn song ánh từ A lên B 1.1.2 Mệnh đề Quan hệ ∼ xác định Định nghĩa 1.1.1 quan hệ tương đương tập hợp Chứng minh Giả sử A tập hợp tùy ý Khi ánh xạ đồng idA : A −→ A a −→ a song ánh, A ∼ A nên ∼ có tính chất phản xạ Giả sử A ∼ B Thế tồn song ánh f : A −→ B Khi ánh xạ ngược f −1 : B −→ A song ánh Do B ∼ A nên ∼ có tính chất đối xứng Giả sử A ∼ B B ∼ C Khi có song ánh f : A −→ B g : B −→ C Thế tích h = g ◦ f : A −→ C song ánh nên A ∼ C Vậy ∼ có tính chất bắc cầu từ đó, ∼ quan hệ tương đương ✷ Như vậy, A ∼ B B ∼ A, điều giải thích thuật ngữ "tương đương với nhau" Định nghĩa 1.1.3 Định lý (Định lý Cantor-Bernstein) Cho A B tập hợp, phải xảy hai trường hợp sau: i) A tương đương với tập B; ii) B tương đương với tập A Nếu hai trường hợp đồng thời xảy A B tương đương với Định lý 1.1.3 Cantor nêu lên nghiên cứu lý thuyết tập hợp, Cantor không chứng minh Phần thứ hai định lý Bernstein chứng minh năm 1897, nên gọi định lý CantorBernstein Phần thứ Định lý 1.1.3 Zermelo chứng minh vào năm 1901 sau đưa tiên đề chọn vào lý thuyết tập hợp Chúng ta không trình bày chứng minh định lý Chú ý : nói A tương đương với tập B đồng nghĩa với nói có đơn ánh từ A vào B 1.1.4 Định nghĩa Giả sử A B hai tập hợp tương đương với Khi ta nói A B có lực lượng Để ký hiệu lực lượng tập hợp A ta dùng ba ký hiệu |A|, #A hay cardA Trong luận văn này, sử dụng ký hiệu |A| 1.1.5 Định nghĩa Một tập hợp không tương đương với tập thực gọi tập hợp hữu hạn Một tập hợp tập hợp hữu hạn gọi tập hợp vô hạn Như vậy, tập hợp A vô hạn có tập thực A có lực lượng với A; nói cách khác; có đơn ánh f : A −→ A cho f (A) = A 1.1.6 Định nghĩa Lực lượng tập hợp hữu hạn gọi số tự nhiên Tập rỗng tập hợp hữu hạn, lực lượng số tự nhiên, ta gọi số không ký hiệu Tập hợp A = {a} chứa phần tử tập hợp hữu hạn lực lượng A số tự nhiên, gọi số ký hiệu Nếu A tập hợp với lực lượng n ta nói tập hợp A∪{a} có lực lượng n + Tập hợp số tự nhiên ký hiệu N Đó tập hợp vô hạn viết (có thứ tự) : N = {0, 1, 2, , n, n+1, } Như vậy, tập A tương đương với tập gồm n số nguyên dương ta nói số phần tử tập A n (hay nói tập A có n phần tử ) Sau số tính chất tập hợp hữu hạn 1.1.7 Mệnh đề Nếu A B hai tập hợp hữu hạn rời (nghĩa A ∩ B = ø) |A ∪ B| = |A| + |B| Chứng minh Nếu hai tập hợp A, B tập rỗng khẳng định hiển nhiên Nếu A = ø, B = ø tồn số tự nhiên m, n khác cho |A| = m, |B| = n Khi tồn song ánh f : A −→ {1, 2, , m} g : B −→ {1, 2, , n} Vì A ∩ B = ø nên với t ∈ A ∪ B xảy hai khả năng: (i) t ∈ A t ∈ / B (ii) t ∈ / A t ∈ B.Do ta thiết lập ánh xạ h : A ∪ B −→ {1, 2, , m + n} t∈A∪B −→ f (t) t ∈ A g(t) + m t ∈ B Khi h song ánh nên A ∪ B ∼ {1, 2, , m + n} Từ đó: |A ∪ B| = m + n = |A| + |B| ✷ Bằng phương pháp quy nạp theo n, ta chứng minh : 1.1.8 Hệ Nếu A1, A2, , An(n ≥ 2) n tập hữu hạn đôi rời |A1 ∪ A2 ∪ ∪ An | = |A1| + |A2| + + |An | 1.1.9 Hệ Nếu B tập tập hữu hạn A |A \ B| = |A| − |B| Chứng minh Vì B ⊆ A nên A = (A \ B) ∪ B (A \ B) ∩ B = ø Do theo Mệnh đề 1.1.7, có |A| = |A \ B| + |B| từ |A \ B| = |A| − |B| ✷ 1.1.10 Hệ Với A, B hai tập hữu hạn bất kỳ, ta có |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| 10 Chứng minh Ta có A ∪ B = A ∪ (B \ (A ∩ B)) A ∩ B ⊆ B A ∩ (B \ (A ∩ B)) = ø nên từ Mệnh đề 1.1.7 Hệ 1.1.9 có |A ∪ B| = |A| + |B \ (A ∩ B)| = |A| + |B| − |A ∩ B| ✷ 1.1.11 Hệ Với A1, A2, , An(n ≥ 2) n tập hợp hữu hạn bất kỳ, ta có n | i=1 n Ai | = (−1)k−1 i=1 1≤i1 b) Cử tri bỏ phiếu liên tiếp Hỏi có cách bỏ phiếu để ứng cử viên A dẫn đầu số phiếu bầu cho mình? Lời giải Ta đặt ei = phiếu thứ i bầu cho A −1 phiếu thứ i bầu cho B Đặt Sk = e1 + +ek Ta xét quỹ đạo với điểm O(0, 0), (1, S1), (k, Sk ), , (a + b, Sa+b) Ở Sa+b = a − b Rõ ràng cách bỏ phiếu tương ứng với quỹ đạo xác định Mỗi quỹ đạo gồm a + b đoạn thẳng, có a đoạn hướng lên Tổng a Ứng cử viên A dẫn đầu quỹ đạo số quỹ đạo Ca+b tương ứng qua điểm (1, 1) không cắt trục hoành Số quỹ đạo : n+1−m m Cm+n n = a − 1, m = b n+1 Do đó, số cách bỏ phiếu phải tìm a−b a a − + − b a−1 Ca+b−1 = C a−1+1 a + b a+b ✷ 52 KẾT LUẬN Nội dung luận văn gồm vấn đề sau: Hệ thống kiến thức sở tập hợp hữu hạn, cấu hình tổ hợp đơn giản số ứng dụng chúng Đặc biệt sâu tìm hiểu phân loại cách giải toán tạo số Trình bày số phương pháp giải toán hình học hữu hạn Trình bày phương pháp quỹ đạo xét ý nghĩa hình học số Cnk Trình bày tính chất quỹ đạo vận dụng vào toán tiếng toán xếp hàng, toán bỏ phiếu Bertrand 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Hữu Anh (1999), Toán rời rạc , Nhà xuất Giáo dục [2] Trần Nam Dũng (chủ biên) (2011), Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán, Tuyển chọn giảng hội thảo "Gặp gỡ Toán học lần thứ III"- Thành phố Hồ Chí Minh, 8.8.2011 đến 14.8.2011 [3] Lê Quốc Hán, Nguyễn Lê Gia, Một số phương pháp giải toán hình học hữu hạn, Tạp chí Toán tuổi thơ 2, số 122 - 123 - 124 [4] Vũ Đình Hòa (2002), Lý thuyết tổ hợp toán ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [5] Phan Huy Khải (2002), Các phương pháp giải toán giải tích tổ hợp, Nhà xuất Hà Nội [6] Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Vũ Đình Hòa, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng (2008), Chuyên đề chọn lọc tổ hợp toán rời rạc, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [7] Đặng Huy Ruận (2001), Lý thuyết đồ thị ứng dụng, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [8] Tạp chí Toán học tuổi trẻ (2010), Tuyển chọn theo chuyên đề, 5, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Tiếng Anh [9] M.Burton (2002), Elementary number theory , Tacta McGraw - Hill Company, New Delhi 54 [10] K.H.Rosen (1994), Discrete mathematics and its applications, McGraw - Hill Company, New York [...]... thấy: k C n c ch chọn chữ số xuất hiện k lần và c Cm c ch chọn k trong m vị trí cho chữ số đó Sau đó, c n − 1 c ch chọn chữ số xuất hiện q q lần (kh c với chữ số trên) và c Cm−k c ch chọn m − k vị trí c n lại cho chữ số đó Theo nguyên lý nhân, ta tính đư c số c c số đó bằng q q k S = n.Cm (n − 1).Cm−k (n − 2), trong đó Cm−k = q + 1 Bư c 2 Vì vai trò c a n chữ số như nhau nên số c c số c chữ số đầu... chữ số định trư c nào đó không đứng c nh nhau ? Lời giải Số tạo thành c dạng a1 a2 am và hai chữ số định trư c là x, y (thu c n chữ số đã cho) Ta xét ba trường hợp tùy theo c c khả năng c a giả thiết về chữ số x, y và chữ số 0 như sau: 1)Giả thiết n chữ số đã cho chứa chữ số 0 và hai chữ số định trư c x, y kh c không Bư c 1 Tính số c c số tạo thành chưa xét đến hai chữ số định trư c: c n − 1 c ch chọn... c ng th c chỉnh hợp và tổ hợp (xem 1.2) 1.4.1.1 Mệnh đề Giả sử ta viết c c chữ số theo hàng ngang và m, n là c c số nguyên dương với m ≤ n thì: i) Số c ch viết m chữ số trong n chữ số kh c nhau vào m vị trí định trư c Am n ii) Số c ch viết m chữ số kh c nhau vào m vị trí trong n vị trí định trư c bằng Am n (ở n − m vị trí c n lại chưa xét sự thay đổi chữ số. ) iii) Số c ch viết m chữ số giống nhau vào... đư c tất c bao nhiêu số c 15 chữ số mà trong mỗi số, mỗi chữ số đều c mặt đúng 3 lần và không c chữ số nào chiếm ba vị trí liên tiếp trong số đó ? Lời giải Gọi A∗ là tập hợp gồm tất c c c số thỏa mãn yêu c u đề bài và A là tập hợp đư c lập nên bởi c c chữ số 1, 2, 3, 4, 5 mà mỗi chữ số c mặt đúng 3 lần trong số đó Thế thì 5 ∗ A =A\( Ai ) (1) i=1 trong đó Ai là tập gồm tất c c c số thu c A mà trong. .. gặp 1.4.2.1 Số tạo thành chứa c c chữ số định trư c Bài toán 1 Cho tập hợp gồm n chữ số, trong đó c chữ số 0, từ chúng c thể viết đư c bao nhiêu số c m chữ số kh c nhau sao cho trong 22 đó c k chữ số định trư c (thu c n chữ số trên) với k < m ≤ n ? Lời giải Số tạo thành gồm m vị trí c dạng a1 a2 am với a1 = 0 Gọi tập hợp k chữ số định trư c là X Ta xét hai trường hợp theo c c khả năng c a giả thiết... là c c bài toán hình h c trong đó c c tập hợp đư c xét là tập hợp c hữu hạn phần tử (như hữu hạn điểm, hữu hạn đường thẳng ) Sau đây là một số phương pháp thường dùng để giải c c bài toán đó 26 1.5.1 Sử dụng c c kết quả về đại số tổ hợp Bài toán 1.Tính số đường chéo c a một đa gi c lồi n c nh Lời giải Giả sử A1A2 An là đa gi c lồi n c nh Khi đó tổng số c nh và đường chéo c a đa gi c đó là tổ hợp chập... thiết về tập hợp X và chữ số 0 như sau: 1)Giả thiết trong X chứa chữ số 0 Ta c m − 1 c ch chọn vị trí cho chữ số 0; số c ch viết k − 1 chữ số kh c 0 thu c X vào k − 1 vị trí trong m − 1 vị trí c n lại bằng Ak−1 m−1 theo Mệnh đề 1.4.1.1 (ii); số c ch viết m − k trong số n − k chữ số không m−k thu c X vào m − k vị trí c n lại bằng An−k theo Mệnh đề 1.4.1.1 (i) Theo nguyên lý nhân, ta đư c số c c số tạo thành... trường hợp này bằng m−k S = (m − 1).Ak−1 m−1.An−k 2)Giả thiết trong X không chứa chữ số 0 Ta tính theo từng bư c : Bư c 1 Tính số c c số tạo thành chứa chữ số 0 Lần lượt c m − 1 c ch chọn vị trí cho chữ số 0; số c ch viết k chữ số thu c X vào k vị trí trong m − 1 vị trí c n lại bằng Akm−1 theo Mệnh đề 1.4.1.1 (ii), số c ch viết m − k − 1 trong số n − k − 1 chữ số kh c 0 m−k−1 mà không thu c X vào m... cho chữ 0 và áp dụng Mệnh đề 1.4.1.1 (ii) ta nhận đư c số c c số đó bằng m−1 S1 = (n − 1).An−1 Bư c 2 Tính số c c số c hai chữ số c nh nhau x, y theo thứ tự xy và yx • Với a1 a2 = xy Khi đó mỗi số a3 am ứng với một chỉnh hợp chập m − 2 c a n − 2 chữ số kh c x, y Theo Mệnh đề 1.4.1.1 (i), số c c số đó bằng m−2 S2 = An−2 • Với a1 kh c 0, x, y mà số đó chứa xy Lần lượt ta c : n − 3 c ch chọn chữ số. .. lý c c hạn Nguyên lý c c hạn đư c phát biểu như sau: Trong một tập hợp hữu hạn kh c rỗng bất kỳ c c số th c, luôn c phần tử nhỏ nhất Trong một tập hợp kh c rỗng bất kỳ c c số tự nhiên luôn c phần tử nhỏ nhất Nguyên lý này thường đư c sử dụng để chỉ sự tồn tại c a phần tử lớn nhất hay phần tử nhỏ nhất trong c c tập hợp sắp thứ tự C c phần tử đó đư c gọi là c c phần tử c c hạn Bài toán 9 Bên trong hình ... pháp giải toán tạo số Phần cuối chương trình bày số phương pháp giải toán hình h c hữu hạn Chương Phương pháp quỹ đạo đại số tổ hợp ý nghĩa hình h c số Cnk Trong chương này, trư c hết trình bày... c chữ số Bư c Nếu kể trường hợp chữ số đứng bên trái, ta thấy: k C n c ch chọn chữ số xuất k lần c Cm c ch chọn k m vị trí cho chữ số Sau đó, c n − c ch chọn chữ số xuất q q lần (kh c với chữ... thiết chữ số x, y chữ số sau: 1)Giả thiết n chữ số cho chứa chữ số hai chữ số định trư c x, y kh c không Bư c Tính số số tạo thành chưa xét đến hai chữ số định trư c: c n − c ch chọn vị trí cho chữ