Trong một lần bầu cử, ứng cử viên A được a phiếu bầu, ứng cử viên B được b phiếu bầu (a > b). Cử tri bỏ phiếu liên tiếp. Hỏi có bao nhiêu cách bỏ phiếu để ứng cử viên A luôn dẫn đầu về số phiếu bầu cho mình?
Lời giải. Ta đặt ei =
(
1 nếu phiếu thứ i bầu cho A
−1 nếu phiếu thứ i bầu cho B
ĐặtSk = e1+...+ek. Ta xét quỹ đạo với các điểmO(0,0),(1, S1),(k, Sk), ..., (a+b, Sa+b). Ở đây Sa+b = a−b.
Rõ ràng mỗi cách bỏ phiếu tương ứng với một quỹ đạo xác định. Mỗi quỹ đạo gồm a+b đoạn thẳng, trong đó có a đoạn hướng lên trên. Tổng số các quỹ đạo bằng Caa+b. Ứng cử viên A luôn dẫn đầu nếu quỹ đạo tương ứng đi qua điểm (1,1) và không cắt trục hoành. Số quỹ đạo như vậy bằng : n+ 1−m n+ 1 C m m+n trong đó n = a−1, m = b. Do đó, số cách bỏ phiếu phải tìm là a−1 + 1−b a−1 + 1 C a−1 a+b−1 = a−b a+bC a a+b. 2
KẾT LUẬN
Nội dung chính của luận văn gồm những vấn đề sau:
1. Hệ thống các kiến thức cơ sở về tập hợp hữu hạn, các cấu hình tổ hợp đơn giản và một số ứng dụng của chúng. Đặc biệt đi sâu tìm hiểu về sự phân loại và cách giải bài toán tạo số.
2. Trình bày một số phương pháp giải toán trong hình học hữu hạn. 3. Trình bày phương pháp quỹ đạo và xét ý nghĩa hình học của số
Ck n.
4. Trình bày các tính chất quỹ đạo và vận dụng vào các bài toán khá nổi tiếng như bài toán xếp hàng, bài toán bỏ phiếu của Bertrand...
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt
[1] Nguyễn Hữu Anh (1999), Toán rời rạc , Nhà xuất bản Giáo dục. [2] Trần Nam Dũng (chủ biên) (2011), Các chuyên đề bồi dưỡng học
sinh giỏi toán, Tuyển chọn các bài giảng tại hội thảo "Gặp gỡ Toán học lần thứ III"- Thành phố Hồ Chí Minh, 8.8.2011 đến 14.8.2011. [3] Lê Quốc Hán, Nguyễn Lê Gia, Một số phương pháp giải toán trong
hình học hữu hạn, Tạp chí Toán tuổi thơ 2, số 122 - 123 - 124. [4] Vũ Đình Hòa (2002), Lý thuyết tổ hợp và các bài toán ứng dụng,
Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
[5] Phan Huy Khải (2002), Các phương pháp giải toán giải tích và tổ hợp, Nhà xuất bản Hà Nội.
[6] Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Vũ Đình Hòa, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng (2008), Chuyên đề chọn lọc tổ hợp và toán rời rạc, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
[7] Đặng Huy Ruận (2001), Lý thuyết đồ thị và ứng dụng, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.
[8] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ (2010), Tuyển chọn theo chuyên đề, quyển 5, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.
Tiếng Anh
[9] M.Burton (2002), Elementary number theory , Tacta McGraw - Hill Company, New Delhi.
[10] K.H.Rosen (1994), Discrete mathematics and its applications, Mc- Graw - Hill Company, New York.