số phức và ý nghĩa hinh học trong ct phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Thị Huyền SỐ PHỨC VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 601410 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN ÁI QUỐC Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CẢM ƠN Lời ñầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc ñến TS. Nguyễn Ái Quốc, người ñã tận tình hướng dẫn và ñộng viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn ñến quí thầy cô: PGS. TS. Lê Văn Tiến, PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh về những bài giảng didactic thú vị. Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot và TS. Alain Birebent về những lời góp ý cho luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, quí thầy cô và các em học sinh trường THPT Gia Định; Khoa Toán trường Đại học Nông Lâm và các sinh viên ngành quản lý môi trường khóa 2010 ñã luôn hỗ trợ và giúp ñỡ tôi ñể tôi hoàn thành tốt khóa học và hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Khoa Học Công Nghệ và Sau Đại Học, khoa Toán – Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh ñã tạo ñiều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn ñến các bạn và các anh chị cùng lớp didactic toán khóa 18 ñặc biệt là anh Đinh Quốc Khánh về những sẻ chia và giúp ñỡ trong thời gian học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn ñến gia ñình và những người bạn vì những sự quan tâm và ñộng viên giúp tôi hoàn thành khóa học. Lê Thị Huyền. DANH MỤC VIẾT TẮT SGK : Sách giáo khoa. SGV : Sách giáo viên. KNV : Kiểu nhiệm vụ. T1 : Giáo trình “A first Course in Complex Analysis” của Matthias Beck, Gerald Marchesi, and Dennis Pixton. T2 : Giáo trình “Introduction to complex analysis” của W W L Chen. T3 : giáo trình “Số phức” của TS Nguyễn Văn Đông, giáo trình dành cho sinh viên sư phạm. [P] : Mathématiques 12 ème , Ministère de l’Éducation et de la formation, Hanoi 2002. 1 M : TRẦN VĂN HẠO (tổng chủ biên), Giải tích 12, Nhà xuất bản giáo dục. 2 M : ĐOÀN QUỲNH (chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục. CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh Phúc BẢN XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN Tôi tên: Lê Thị Huyền Ngày sinh: 12/04/1985 Nơi sinh: Quảng Ngãi Là học viên cao học chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học Toán khóa: 18 Tôi đã bảo vệ luận văn thạc sĩ với đề tài: “Số phức và ý nghĩa hình học trong chương trình phổ thông” tại hội đồng chấm luận văn ngày 20 tháng 01 năm 2010 Tôi đã sửa chữa và hoàn chỉnh luận văn đúng với các góp ý, yêu cầu của Hội đồng và ủy viên nhận xét, gồm các ý chính như sau: + Phát biểu lại giả thuyết H3 thành: “Việc thiếu vắng định nghĩa hai số phức bằng nhau dưới dạng lượng giác gây khó khăn cho học sinh trong việc giải phương trình trong tập số phức bằng dạng lượng giác.” + Phát biểu lại Q4: “ Những khó khăn, những quan niệm sai lầm nào học sinh thường mắc phải khi học số phức? Những hợp đồng nào được hình thành giữa giáo viên và học sinh khi dạy học số phức” + Thêm một chiến lược trong phần phân tích thực nghiệm bài thực nghiệm số 3. + Sửa một số lỗi chính tả, một số phần diễn đạt ý…. Nay tôi xin báo cáo đã hoàn thành sữa chữa luận văn như trên và đề nghị Hội đồng chấm luận văn, cán bộ hướng dẫn xác nhận. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 07 tháng 3 năm 2011 Học viên Lê Thị Huyền Xác nhận của cán bộ hướng dẫn Xác nhận của chủ tịch Hội đồng Nguyễn Chí Thành 1 MỞ ĐẦU 1. Ghi nhận ban ñầu và câu hỏi xuất phát: Khái niệm số phức ñược ñưa vào cuối chương trình Toán giải tích lớp 12, sau khi hoàn thành chương Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng. Như ta ñã biết, mọi phương trình bậc hai với hệ số thực 2 0 Ax Bx C + + = mà biệt thức 0 ∆ < ñều không có nghiệm thực, sự phát triển của khoa học nói chung và toán học nói riêng ñòi hỏi phải mở rộng tập hợp các số thực thành một tập hợp số mới gọi là tập hợp các số phức, trong ñó các phép tính cộng và nhân các số phức với các tính chất tương tự phép toán cộng và nhân các số thực sao cho các phương tình nói trên ñều có nghiệm. Ở chương trình phổ thông, số phức ñã xuất hiện từ rất lâu trong chương trình toán ở nhiều nước trên thế giới. Tuy nhiên ở Việt Nam, ñối tượng số phức ñược ñưa vào giảng dạy trong chương trình SGK trước cải cách giáo dục và phân ban thí ñiểm năm 1998. Sau ñó ñến năm học 2008-2009 mới ñưa vào. Như vậy có một sự ngắt quãng. Tại sao có sự khác biệt và ngắt quãng này? Vị trí và vai trò của khái niệm số phức trong chương trình phổ thông Việt Nam giống và khác nhau như thế nào so với các nước khác? Ý nghĩa hình học của nó ñược ñưa ra như thế nào? Những ghi nhận ban ñầu nói trên ñưa chúng tôi ñến việc ñặt ra các câu hỏi sau: Q1’: Trong lịch sử toán học, khái niệm số phức ñã ñược hình thành và phát triển như thế nào? Q2’: Trường số phức ñược xây dựng như thế nào ở bậc ñại học? Q3’: Số phức ñược ñưa vào chương trình toán THPT với mục tiêu gì? Nó ñược tiếp cận ra sao? Ý nghĩa hình học của nó ñược ñề cập như thế nào và các ứng dụng của nó ra sao? Có sự tương ñồng hay khác biệt nào giữa lịch sử và hệ thống dạy học? 2 Q4:’ Những ràng buộc của hệ thống dạy học ảnh hưởng như thế nào trên giáo viên và học sinh về khái niệm số phức? Q5’: Học sinh hiểu như thế nào về khái niệm số phức; những khó khăn học sinh thường gặp phải khi học tập những kiến thức về số phức; có những hợp ñồng nào hình thành trong giáo viên và học sinh không; có những quan niệm sai lầm nào của học sinh trong khi học số phức? 2. Khung lý thuyết tham chiếu: Chúng tôi ñặt mình trong phạm vi lý thuyết của Didactic Toán. Cụ thể chúng tôi sử dụng thuyết nhân chủng học, hợp ñồng dạy học với các khái niệm sau: 2.1. Chuyển ñổi Didactic: Trong nhà trường phổ thông, ñối với một môn học, người ta không thể dạy cho học sinh toàn bộ tri thức có liên quan mà nhân loại ñã tích lũy ñược trong lịch sử. Hơn nữa, ñể tri thức bộ môn trở nên có thể dạy ñược, cần phải lựa chọn, sắp xếp và tái cấu trúc lại nó theo một kết cấu logic, phục vụ cho mục tiêu dạy học xác ñịnh. Chuyển ñổi didactic, nói khác hơn là quá trình biến ñổi một tri thức bác học thành một ñối tượng tri thức dạy học. Việc qui ñịnh các ñối tượng cần dạy ñược thể hiện thông qua chương trình, SGK, ñề thi, tài liệu ôn thi của Bộ giáo dục, các tiểu ban khoa học giáo dục và các tác giả SGK. Khái niệm này ñược vận dụng nhằm xác ñịnh khoảng cách giữa tri thức khoa học và tri thức cần dạy ñối với khái niệm số phức. Nó cũng giúp nghiên cứu tính hợp pháp của tri thức cần dạy và giải thích ñược một số ràng buộc của thể chế dạy học ở trường phổ thông ñối với các kiến thức nêu trên. 2.2. Quan hệ thể chế Quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác ñộng qua lại mà thể chế I có với tri thức O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở ñâu, có vai trò gì và tồn tại ra sao … trong I. 3 2.3. Quan hệ cá nhân Quan hệ R(X, O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác ñộng qua lại mà cá nhân X có với tri thức O. Quan hệ này cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác O ra sao? Muốn nghiên cứu R(X, O), ta cần ñặt nó trong R(I, O). 2.4. Tổ chức toán học: Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần [ ] , , , T τ θ Θ , trong ñó T là kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , còn Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ . Một praxéologie mà các thành phần ñều mang bản chất toán học ñược gọi là một tổ chức toán học (TCTH). Việc phân tích các TCTH liên quan ñến ñối tượng tri thức O cho phép ta làm rõ mối quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O, từ ñó hiểu ñược quan hệ mà các nhân X duy trì với tri thức O. 2.5. Hợp ñồng Didactic: Hợp ñồng didactic là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ tiềm ẩn của học sinh và giáo viên về các ñối tượng tri thức toán học. Thông thường, nó là tập hợp các quy tắc phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi thành viên – học sinh và giáo viên – về một tri thức toán học ñược giảng dạy. Hợp ñồng didactic là qui tắc giải mã các hoạt ñộng của quá trình học tập. Chỉ có thể hiểu thấu ý nghĩa của những gì ñịnh hướng cách ứng xử của giáo viên và học sinh khi giải thích một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện ñã quan sát bằng những khuôn khổ của hợp ñồng. 3. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết tham chiếu ñã lựa chọn, câu hỏi xuất phát ñã ñược chúng tôi cụ thể hóa như sau: 4 Q1: Trong lịch sử toán học, khái niệm số phức ñược hình thành và phát triển như thế nào? Các mô hình hình học của nó ñược xây dựng ra sao? Q2: Trường số phức ñược xây dựng như thế nào trên bậc ñại học? Q3: Số phức ñược ñưa vào chương trình trung học phổ thông với mục tiêu gì? Nó ñược tiếp cận ra sao? Sự ràng buộc của thể chế có ảnh hưởng như thế nào ñến việc dạy và học của giáo viên và học sinh về khái niệm số phức? Q4: “ Những khó khăn, những quan niệm sai lầm nào học sinh thường mắc phải khi học số phức? Những hợp ñồng nào ñược hình thành giữa giáo viên và học sinh khi dạy học số phức” 4. Mục ñích và phương pháp nghiên cứu. Mục ñích nghiên cứu của chúng tôi là ñi tìm câu trả lời cho những câu hỏi ñã ñặt ra ở mục 2. Để ñạt ñược mục ñích ñề ra, chúng tôi xác ñịnh phương pháp nghiên cứu như sau: - Tìm hiểu quá trình hình thành và phát triển của số phức trong lịch sử toán học, trong ñó làm rõ mối liên hệ giữa hình học và số phức. Số phức ñược xây dựng như thế nào, các mô hình hình học của số phức ñược các nhà toán học xây dựng như thế nào? - Tìm hiểu việc xây dựng số phức trong các giáo trình ñại học. Cụ thể là giáo trình của Mỹ, Anh và Việt Nam. Từ ñó làm tham chiếu cho việc nghiên cứu thể chế trong chương sau. - Phân tích chương trình và sách giáo khoa Song ngữ Pháp Việt về vấn ñề số phức ñể thấy ñược mong muốn của thể chế ñưa ra ở ñây là gì? Từ ñó so sánh với thể chế dạy học toán ở Việt Nam về khái niệm số phức. - Xây dựng và tiến hành thực nghiệm ñối với học sinh ñể cho phép tìm câu trả lời cho các giả thuyết nghiên cứu ñã ñặt ra. 5 5. Tổ chức của luận văn. Luận văn gồm 6 phần: Phần mở ñầu, 4 chương và phần kết luận chung. Trong phần mở ñầu, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban ñầu, khung lý thuyết tham chiếu; mục ñích và phương pháp nghiên cứu; tổ chức của luận văn. Chương 1, dành cho việc nghiên cứu khoa học luận; Vài nét về lịch sử xuất hiện số phức; các mô hình học của số phức trong lịch sử. Chương 2, chúng tôi giới thiệu một số quan ñiểm về xây dựng số phức trong lịch sử và trong một số giáo trình của Mỹ, Anh và Việt Nam. Chương 3, chúng tôi phân tích chương trình và sách giáo khoa của hai thể chế Pháp (chương trình song ngữ) và Việt Nam về khái niệm số phức. Từ ñó so sánh và ñưa ra một số hợp ñồng didactic, sai lầm của học sinh và các giả thuyết nghiên cứu. Chương 4, nghiên cứu thực nghiệm ñối với học sinh nhằm kiểm chứng các hợp ñồng didactic và giả thuyết của luận văn. Trong phần kết luận chung, chúng tối tóm tắt các kết quả ñã ñạt ñược ở chương 1,2, 3 và 4 và nêu ra một số hướng mở ra từ luận văn. 6 Chương 1 NGHIÊN CỨU SỐ PHỨC VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA NÓ TRONG LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN. Mở ñầu Nghiên cứu thực hiện ở chương này với mục ñích trả lời câu hỏi Q1: “Trong lịch sử toán học, khái niệm số phức ñược hình thành và phát triển như thế nào? Các mô hình hình học của nó ñược xây dựng ra sao?”. Chúng tôi tiến hành nghiên cứu, phân tích và tổng hợp một số tài liệu về sự hình thành và phát triển của toán học nói chung cũng như số phức nói riêng. Các tài liệu chúng tôi chọn làm tư liệu trong chương này gồm có: 1. LÊ THỊ HOÀI CHÂU – LÊ VĂN TIẾN (2003), Vai trò của phân tích khoa học luận lịch sử toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy – học môn Toán, Báo cáo tổng kết ñề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ, tp Hồ Chí Minh. 2. HOWARD EVES (NGUYỄN TẤT THẮNG dịch) (1993), Giới thiệu lịch sử toán học, Nhà xuất bản khoa học kĩ thuật, công ty sách thiết bị trường học thành phố HCM. 3. NGUYỄN CẢNH TOÀN (1997), Tập cho học sinh giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu toán học, Nhà xuất bản giáo dục. 4. NGUYỄN CANG (2004), Những nhà toán học Triết học, Nhà xuất bản ñại học quốc gia thành phố HCM. 5. NGUYỄN CANG (1999), Lịch sử toán học, Nhà xuất bản trẻ. 6. WILLIAM P.BERLINGHOFF and FERNANDO Q.GOUVÊA, Math through the Ages, a gentle history for teachers and others. 7. Remark on the history of Complex Numbers 8. FLORIAN CAJORI, A history of Mathematics, The Macmillan Company, London 1909. [...]... bi n ( x, y ) = ( 1, 0 ) cú nghi m l c p (0,1), Hamilton vi t trong lý thuy t v cỏc s ủn gi n (simple number) thỡ ký hi u nhng trong lý thuy t cỏc c p s thỡ ký hi u 1 l vụ lý, 1 cú m t ý ngha, nú ch ra m t khai cn cú ý ngha hay m t c p th c Trong lý thuy t ny ta cú th dựng ký hi u m tr c ủõy ta cho l vụ lý Tuy ủó ủ t ủ n ủ nh khỏ cao c a lý thuy t s ph c nhng Cauchy v n luụn ỏm nh b i tớnh ch t k di... ủ c ủa ra nh l m t ký hi u ng n g n cho s (0, 1) V bi u di n hỡnh h c N u xem ký hi u (x, y) nh m t c p s th c 2 chi u Khi bi u di n nh ng vect ny trong m t ph ng R 2 , ta g i tr c x l tr c th c, tr c y l tr c o Phộp c ng m ta ủ nh ngha cho s ph c hon ton tng t nh phộp c ng t a ủ trong vect Nhng phộp nhõn thỡ khụng cú tng t , nhõn hai s ph c l m t s ph c, nhng nhõn vụ h ng hai vect thỡ l m t s th c... hi n trong l i gi i Cng chớnh trong quỏ trỡnh tỡm cỏch bi u di n hỡnh h c c a s ph c m h th ng tớnh toỏn vect ủó ủ c t o ra K t lu n Trong phõn tớch trờn chỳng ta th y rừ n u ch cú cỏc s th c thỡ ta s g p b t c trong vi c gi i cỏc phng trỡnh b c ba v vi c gi i quy t b t c ny ủó ủa ủ n vi c phỏt minh ra s ph c V cng t s ph c ng i ta ch ng minh ủ c m i phng trỡnh b c n ủ u cú n nghi m õy l ủ nh lý m ngy... nh ng k r i vi c Trong m t cu n sỏch khỏc, ụng núi r ng 9 cng l 3 hay -3 v 9 cng l +3 hay -3 nhng chỳng l s 3 khụng cú gỡ c Trong m t vớ d ủ u th k 17, Descartes lu ý r ng khi tỡm giao ủi m c a m t ủ ng trũn v m t ủ ng th ng ta ph i gi i m t phng trỡnh b c hai Cụng th c nghi m c a phng trỡnh b c hai d n ủ n cn b c hai c a s õm khi ủ ng th ng trong th c t khụng c t ủ ng trũn Vỡ v y trong h u h t cỏc... ủú ủ c g i l nh ng ủ i l ng o vỡ nú t n t i trong s t ng t ng M i ký hi u 1; 2 , 3 l nh ng s khụng th , s o V chỳng ta th a nh n nh ng s ny khụng l gỡ c , khụng l n hn hay nh hn b t c th gỡ i u ủú cú ngha chỳng l o hay khụng t n t i Nhng dự sao ủi n a, nh ng s ny v n trong ủ u chỳng ta, chỳng t n t i trong s t ng t ng c a chỳng ta v chỳng ta v n cú nh ng ý t ng v chỳng Quan ủi m c a h u h t cỏc nh... cỏi gỡ ủú m i cho nú M t trong lý thuy t m i ủú l s tng ủng ủ i s Cauchy vi t: Lý thuy t s ph c ngy nay ủó quỏ rừ rng, trong sỏng, d hi u v s thớch h p v i m i t m c hi u 18 bi t n u chỳng ta b t ủ c bi u th c o, khụng cũn ch i n a, v thay vo ủú l m t l ng th c Cauchy phỏt bi u: hai ủa th c l tng ủng ngha l cựng bi u di n m t s ph c n u hi u c a chỳng chia h t cho x 2 + 1 Lý thuy t tr ng ra ủ i vo... v J Larange v lý thuy t nhúm v c a nh bỏc h c c K Gauss v lý thuy t s ủó cho th y rừ s c n thi t kh o sỏt b n ch t c a chớnh h th ng s Nh bỏc h c c R Dedekind ủó ủa ra khỏi ni m t ng quỏt ủ u tiờn v tr ng, m ụng g i l mi n h u t Thu t ng tng ng v i tr ng xu t hi n l n ủ u nm 1871 trong cụng trỡnh lý thuy t s c a nh Bỏc h c c P Dirichlet 2 Cỏc cỏch xõy d ng s ph c theo quan ni m lý thuy t tr ng... s v lý thuy t s 11 Hamilton ủó ủỳc k t nh ng ng d ng c a s ph c trong v t lý Cauchy v Gauss cng ch ra r ng cú th phỏt minh ra 1 phng phỏp tớnh ng d ng cho s ph c Phộp tớnh ph c ny ủúng vai trũ to l n, m t ph n b i vỡ nú ch ng minh d dng hn phộp tớnh ch ủn thu n d a vo s th c Trong s tay c a Riemann,Weierstrass v nh ng ng i khỏc, s ph c tr thnh m t cụng c h t s c m nh m , ủúng vai trũ trung tõm trong. .. chớnh l phộp nhõn s ph c ny v i ngh ch ủ o c a s ph c kia 30 2.2 í ngha hỡnh h c c a cỏc phộp toỏn T ng c a hai vect cú bi u di n hỡnh h c l vect t ng c a hai vect bi u di n hai s ph c ủú Phộp bi n ủ i trờn m t ph ng ph c t M ( z ) M ' ( z + ) l m t phộp t nh ti n theo vect u , l vect bi u di n c a s ph c [P] ủa ra nh n xột - T p C v i hai phộp toỏn c ng v nhõn trờn th a món tớnh giao hoỏn, k... W W L CHEN, Introduction to complex analysis, University of London 7 NGUY N VN ễNG, S ph c, Giỏo trỡnh dnh cho sinh viờn s ph m, i h c s ph m thnh ph H Chớ Minh 1 Cỏc quan ủi m v xõy d ng khỏi ni m s ph c trong l ch s Nm 1799, Gauss ủa ra m t cỏch ch ng minh ủ nh lý c b n c a i s h c Nhng Gauss cú thúi quen khụng hay v i vó cụng b cụng trỡnh c a mỡnh Mói 17 ủ n nm 1831 nh ng ý t ng c a ụng v s ph . hình thành và phát triển của số phức trong lịch sử toán học, trong ñó làm rõ mối liên hệ giữa hình học và số phức. Số phức ñược xây dựng như thế nào, các mô hình hình học của số phức ñược các. khoa học luận; Vài nét về lịch sử xuất hiện số phức; các mô hình học của số phức trong lịch sử. Chương 2, chúng tôi giới thiệu một số quan ñiểm về xây dựng số phức trong lịch sử và trong một số. VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Thị Huyền SỐ PHỨC VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học