Trong chương trình THPT các môn học luôn có một mối liên hệ chặt chẽ biện chứng với nhau môn học này bổ trợ tích cực cho môn học khác và ngược lại. Đặc biệt là mối quan hệ chặt chẽ biện chứng giữa Toán học và Vật lý học đây là hai môn học không thể tách rời những thành tựu của Toán học được ứng dụng trong khoa học Vật Lý đồng thời những phát minh của Vật lý thúc đẩy sự phát minh của Toán học. Trên cơ sở đó tôi xin đề cập đến một vấn đề nhỏ của việc ứng dụng toán trong Vật Lý là: “Sử dụng số phức để tổng hợp các dao động điều hoà cùng phương cùng tần số”
Trang 1A- ĐẶT VẤN ĐỀ
I Mở đầu
Trong chương trình THPT các môn học luôn có một mối liên hệ chặt chẽ biện
chứng với nhau môn học này bổ trợ tích cực cho môn học khác và ngược lại Đặc biệt là mối quan hệ chặt chẽ biện chứng giữa Toán học và Vật lý học đây là hai môn học không thể tách rời những thành tựu của Toán học được ứng dụng trong khoa học Vật Lý đồng thời những phát minh của Vật lý thúc đẩy sự phát minh của Toán học Trên cơ sở đó tôi xin đề cập đến một vấn đề nhỏ của việc ứng dụng toán trong Vật Lý là:
“Sử dụng số phức để tổng hợp các dao động điều hoà
cùng phương cùng tần số”
Với mong muốn được trao đổi với các đồng nghiệp trong giảng dạy Đặc biệt mong muốn phát huy tư duy ứng dụng sáng tạo, tính chủ động trong học tập của học sinh
II Thực trạng của vấn đề
Bài toán tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số được SGK Vật
Lý lớp 12 đưa ra ở chương 2 và phương pháp giải là sử dụng giản đồ véc tơ Sau khi đã được học số phức thì học sinh có thể giải quyết vấn đề trên bằng việc ứng dụng số phức qua đó vấn đề sẽ được giải quyết đơn giản
B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1 Cơ sở lí thuyết
* Khái niệm về số phức
+ Số phức có dạng: x = a + bi ( a,b∈R)
Trong đó a là phần thực, b là phần ảo; i2 = -1
+ Biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức
Trong mặt phẳng tọa độ x0y điểm M(a,b)
Biểu diễn cho số phức x = a +bi hay 0M biểu diễn cho
Số phức trên
M b
a
x = 2 + 2 = 0
0
x
y
a
b
M
ϕ
Trang 2+ Dạng lượng giác của số phức
x = a + bi = r(cosϕ + i.sinϕ)
ϕ
=
ϕ
=
sin r b
cos r a
với r= a2 +b2 ,
a
b
= ϕ
tan
Theo công thức Ơle cosϕ + isinϕ = e i ϕ
⇒ x = a + bi = r(cosϕ + i.sinϕ)= re i ϕ
* Biểu diễn một hàm điều hoà dưới dạng số phức
Hàm điều hoà: x = Acos(ωt +ϕ) biểu diễn dưới
dạng véc tơ quay tại thời điểm t = 0:
=
ϕ
=
) x 0
,
A
(
A
A
ta thấy
ϕ
=
ϕ
=
sin A b
cos A a
Vậy t = 0 hàm điều hoà có thể biểu diễn bằng số phức
x = Acos(ωt + ϕ) ←→t = 0 x=a+bi= A(cos ϕ +isin ϕ ) = A.e iϕ
với a = Acosϕ, b = Asinϕ ,
a
b tanϕ= , A= a2 +b2
x
ϕ
y
a
b
0
A
Trang 3* Tổng,hiệu các số phức
Cho các số phức
x1 = a1 + b1 i
x2 = a2 + b2 i
x3 = a3 + b3 i
xn = an + bn i
Tổng của các số phức trên:
x = x1+x2 +x3+ +xn có dạng x = a + bi ⇔
+ + + +
=
+ + + +
=
n
n
b b
b b b
a a
a a a
3 2 1
3 2 1
Hiệu của các số phức trên:
x’ = x1 - x2 - x3 - xn có dạng x’ = a’ + b’i ⇔
−
−
−
=
−
−
−
=
n
n
b b b b b
a a
a a a
'
'
3 2 1
3 2 1
2 Sử dụng số phức để tổng hợp các dao động điều hòa
cùng phương ,cùng tần số
* Trường hợp vật tham gia đồng thời hai dao động
x1 = A1Cos( ω +t ϕ1)
x2 = A2Cos( ω +t ϕ2)
Chúng ta tìm biểu thức tổng hợp của chúng
x=x1 +x2
Phương trình tổng hợp có dạng
x= ACos( ω +t ϕ )
Bằng phương pháp sử dụng số phức Ta có
x1 =a1+b1i= A1(Cosϕ1+iSinϕ1)
x2 =a2 +b2i = A2(Cosϕ2 +iSinϕ2)
Trang 4Khi đó phương trình tổng hợp
x =a +b i= A(Cosϕ +iSinϕ )
Trong đó
ACosϕ = A1Cosϕ 1 +ACosϕ 2
ASinϕ = A1Sinϕ 1 +A2Sinϕ 2
Từ đây ta tìm được A và ϕ
*Trường hợp vật tham gia đồng thời nhiều dao động
x1 = A1Cos( ω +t ϕ1)
x2 = A2Cos( ω +t ϕ2)
x3 = A3Cos( ω +t ϕ3)
x n = A n Cos( ω +t ϕn)
Chúng ta tìm biểu thức tổng hợp của chúng
x=x1+x2 +x3 + +x n
Phương trình tổng hợp có dạng
x= ACos( ω +t ϕ )
Bằng phương pháp sử dụng số phức Ta có
x1 =a1+b1i= A1(Cosϕ1+iSinϕ1)
x2 =a2 +b2i = A2(Cosϕ2 +iSinϕ2)
x3 =a3 +b3i= A3(Cosϕ3 +iSinϕ3)
x n =a n +b n i= A n(Cosϕ +n iSinϕn)
Khi đó phương trình tổng hợp
x =a +b i= A(Cosϕ +iSinϕ )
Trang 5Trong đó
ACosϕ = A1Cosϕ1+A2Cosϕ2 +A3Cosϕ3 + + A n Cosϕn
ASinϕ = A1Sinϕ1+A2Sinϕ2 +A3Sinϕ3 + + A n Sinϕn
Từ đây ta tìm được A và ϕ
3 Các bài toán ví dụ
Ví dụ 1: Một vật thực hiện hai dao động điều hoà cùng phương cùng tân số với
2 t 2 cos(
3 x
), cm )(
t 2 cos(
Viết phương trình dao động tổng hợp
Giải:
Pương trình dao động tổng hợp có dạng
x= ACos( 2 π +t ϕ )cm
Trong đó
2 (
+
ϕ Cos Cos
ACos
2 (
+
ϕ Sin Sin
ASin
Suy ra A=2cm;
3
2 π
ϕ − =
Vậy phương trình dao động tổng hợp là: )
3
2 t 2 cos(
2
(cm)
Trang 6Ví dụ 2: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hoà cùng phương cùng tần
2 t cos(
4
2 t cos(
6
x2 = π + π cm, x 2cos( t)
3 = π ,
cm Viết phương trình dao động tổng hợp
Giải:
Phương trình dao động tổng hợp có dạng
x= ACos( π +t ϕ )cm
Trong đó
2 6 ) 2 (
= Cos Cos Cos
2 6 ) 2 (
= Sin Sin Cos
Suy ra
4
; 2
= cm
A
Vậy phương trình dao động tổng hợp: )
4 t cos(
2 2
cm
Ví dụ 3: Tìm dao động tổng hợp của bốn dao động cùng phương sau:
) cm )(
6
5 t 20 cos(
8 x ), cm )(
3 t 20 cos(
3 4 x
) cm )(
2 t 20 cos(
3 6 x ), cm )(
6 t 20 cos(
10 x
4 3
2 1
π + π
=
π + π
=
π
− π
=
π
− π
=
Giải:
Phương trình dao động tổng hợp có dạng
x= ACos( 20 π +t ϕ )cm
Trong đó
Trang 73 3
6
5 8 3 3 4 ) 2 ( 3 6 ) 6 (
ACos
6
5 8 3 3 4 ) 2 ( 3 6 ) 6 (
ASin
Suy ra A= 7 49cm; ϕ = 0 8rad
Vậy phương trình dao động tổng hợp là: x=7,49cos(20πt −0.8)(cm)
Ví dụ 4: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần
số với phương trình )(cm)
2 t cos(
a
x1 = π + π
và x2 Biết phương trình dao động tổng
6 t cos(
a
2
Xác định dao động thành phần x2
Giải:
Ta có x2 = x – x1
Phương trình dạng x2 = A2Cos( π +t ϕ2)
Trong đó
2 6
2
2
2Cos aCos aCos a
A ϕ = π − π =
2 6
2
2
2Sinϕ = aSinπ −aSinπ =
A
Suy ra A2 =a 3cm; ϕ = 0
Vậy x2 =a 3cos(πt)cm
Ví dụ 5: Hai chất điểm M1, M2 chuyển động trên hai đường thẳng song song rất gần nhau (coi như trùng nhau và trùng với trục Ox) có phương trình lần lượt là
Trang 8cm )(
t 2 cos(
3 3 x ), cm )(
2 t 2
cos(
3
giữa hai chất điểm trong quá trình dao động
Giải:
Khoảng cách giữa hai điểm là M1M2 = ∆x = x2 −x1
Suy ra
∆x= ACos( 2 π +t ϕ ) cm
2 (
ACosϕ π
2 (
ASinϕ π
Ta tính được :
6
;
6 ϕ =π
= cm A
6 t 2 cos(
6 M
(cm) ⇒ khoảng cách lớn nhất bằng 6 cm
4 Kết quả
Trong quá trình dạy học cho học sinh ôn thi Tốt nghiệp và ôn thi đại học, cao đẳng Tôi đã đưa vấn đề trên vào giảng dạy kết quả cho thấy học sinh làm bài tốt hơn ,kỷ năng phối hợp giữa các môn học trong học tập của học sinh được nâng lên,phát huy khả năng sáng tạo trong tư duy khoa học của học sinh
C.KẾT LUẬN
Trên đây tôi đã giới thiệu với các em học sinh phương pháp vận dụng số phức để tổng hợp các dao động điều hòa cùng phương cùng tần số Nhằm giúp các em học sinh có cách nhìn sáng tạo khi vận dụng kiến thức toán để làm bài tập Vật Lý Thông qua đó giúp các em phát huy tốt hơn nữa kỷ năng Toán học , Vật Lý và đặc
Trang 9biệt qua đây tôi muốn các em học sinh nhận ra được mối quan hệ biện chứng giữa các môn học, giúp các em trong quá trình học không tách rời mối liên quan giữa các môn học mà nghiên cứu môn học này cần dựa trên các môn học khác nhằm thúc đẩy tư duy của các em một cách toàn diện,khi học bài không vận dụng kiến thức một cách dập khuôn máy móc,phát huy khả năng kế thừa và kỷ năng vận dụng kiến thức trong từng giai đoạn có tính sáng tạo Từ đó đạt kết quả cao trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi chuyên nghiệp,đại học
Do khả năng có hạn, nên chắc chắn đề tài không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Rất mong sự đóng góp ý kiến của quý thầy, cô giáo Và hy vọng rằng, đề tài này sẽ là tài liệu giúp các em học sinh yêu thích môn Vật lý hơn và qua đó phát huy hơn nữa tư duy sáng tạo của học sinh trong nghiên cứu và lĩnh hội kiến thức khoa học /
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 30 tháng5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác
Người viết
Chu Đình Đức