SỬ DỤNG điều KIỆN cần và điều KIỆN đủ TRONG bài TOÁN CHỨA THAM số

Sử dụng điều kiện cần, điều kiện đủ để giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình chứa tham số Bài1: Tìm m để bất phơng trình sau víi mäi x    4;6   x   x   x  2x m Lời giải Điều kiện cần: Giả sử bất phơng trình với x 4;6 , nói riêng phải với x=1, tức ta phải có: m m Vậy điều kiện cần : m Điều kiện đủ: Giả sử m Theo bđt côsi, ta có với x 4;6 :   x   x     x    x 2 Mặt khác x x  m  x  1  m  5; (do : m 6)   x   x   x  x  m VËy víi mäi x  4;6 ta có Tóm lại giá trị cần tìm m m x  (2a  1) x  a y Bài 2: Tìm a để hệ cã nghiƯm nhÊt? (§S:   y  (2a  1) y  a   x a = - 2) HD: Đkc: Giả sử hÖ cã nhiÖm nhÊt ( x0; y0), suy (y0; x0) còng lµ nghiƯmcđa hƯ Do tÝnh nhÊt nên x0=y0 Mặt khác x0 nghiệm phơng trình : x02  (2a  1) x0  a   x0  x02  2( a  1) x0  a  0(*) (*) cÇn ph¶i cã nghiƯm nhÊt , suy '  0   a  1  (a 3) a 2 Đkđ: Khi a hệ có dạng x  x   y  x  x   y  y  0   y  y   x   x  1   y  1 0  x  y  VËy víi a  th× hƯ cã nghiệm Bài 3: Tìm m để phơng trình cã nghiÖm nhÊt: x   x  x   x m, (1) §kc: Gi¶ sư (1) cã nghiƯm nhÊt x0 suy (1- x0) nghiệm Vì nghiệm nhÊt nªn x0= 1-x0 suy x0=1/ Thay x0=1/ vµo (1) ta cã m   Vậy Đkc để phơng trình có nghiệm m Đkđ: Giả sư m   ®ã (1) cã d¹ng: x   x  x   x   , (2) Theo BĐT Bunhiacôpxki thì: x   x � 2,("  " � x   x) x   x �4 8,("  " � x   x) Tóm lại, điều kiện cần đủ để (1) cã nghiƯm nhÊt lµ m   VËy (2)  x 1  x  x Bài 4: Tìm m để phơng trình sau cã nghiÖm nhÊt:  x  x  m(1) Đkc: Giả sử (1) có nghiệm nhÊt x0 nªn ta cã  x0  x  m   (   x )  (   x0 ) m Điều có nghĩa (-1-x0) còng lµ nghiƯm cđa (1) Do x0 lµ nghiƯm nhÊt nªn x0=-1-x0 suy x0=-1/ Thay x0=-1/ vào (1) ta có: m 2 Điều kiện đủ: Giả sử m (1) cã d¹ng:  x  x  Theo BĐT Bunhiacỗpki ta có: x  x  � 2(4  x  x  5)  DÊu “=“ 4-x=x+5 hay x=-1/ Vậy điều kiện cần đủ để (1) cã nghiƯm nhÊt lµ: m   x   y  a  x y 3a Điều kiện cần: Giả sư hƯ cã nghiƯm nhÊt (x0,y0) Do (x0,y0) lµ nghiệm nên (y0+1,x0-1) nghiệm hệ Do tính nên x0=y0+1 Thay váo hệ ta có: y0   a � � a  2(2 y0  4)  2(3a   4) � y0   3a � � a  6a   0, (a �0) a 15 Bài 5: Tìm a ®Ĩ hƯ cã nghiƯm nhÊt: VËy ®iỊu kiƯn cÇn ®Ĩ hƯ cã nghiƯm nhÊt lµ a  15 Điều kiện đủ: Giả sử a 15 hệ có dạng: u  x  �0 � x   y    15 � (*), � � v  y  �0 �x  y   15 � � u  v   15 12  15 � (*) � � � uv  2 u v 12 15 Theo định lí Viét u,v hai nghiệm phơng trình 12  15  15 t  (3  15)t   �u  v  (  0) 2 � �3  15 � � 10  15 �x   � � �x  � � � � � �� �� � �3  15 � �y   15 y   � � � � � � � � Tãm lại Với a 15 hệ có nghiÖm nhÊt  x  y  xy m Bài 6: Tìm a để hệ có nghiệm nhất:  2  x  y m §iỊu kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm (x0,y0) suy (y0,x0) còng lµ nghiƯm Do tÝnh nhÊt nªn x0=y0 2 � x0  � �x0  x0  m � x02  x0  � � Thay vµo hƯ ta cã: � x0  2 x0  m � � NÕu x0= th× m= 0, nÕu x0= th× m = Vậy điều kiện cần là: m= m = Điều kiện đủ: a) Giả sử m= Khi hệ trở thành x y  xy  � x y0 �2 x  y  � VËy m= th× hƯ có nghiệm b) Giả sử m=8 hƯ trë thµnh: �x  y  xy  �x  y  xy  �� � x  y  4; x  y  6 �2 ( x  y )2  2( x  y )  24  �x  y  � i) NÕu x+y = ta cã: x+y=4 xy= suy x,y nghiệm phơng tr×nh: t2 - 4t +4 = suy t=2 hay x=y=2 ii) NÕu x+y = -6 ta cã: x+y=-6 xy= 14 suy x,y nghiệm phơng trình: t2 + 6t +14 = vô nghiệm (vì 32-14=-5