Một Úng dụng của Đạo hàm trong bài toán chứa tham số

Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán MỤC LỤC 1/ Lý do chọn đề tài Trong chương trình toán cấp THPT hiện nay, các bài toán liên quan đến tham số cóthể xếp vào nhóm kỷ năng bậc cao trong tư duy và thực hành của học sinh. Do đó không ít học sinh e ngại khi đúng tới các vấn đề liên quan đến tham số. Để giải các bài toán dạng : Điều kiện có nghiệm; số nghiệm, nghiệm đúng với mọi x thuộc K của phương trình; bất phương trình; hệ phương trình, hệ bất phương trình đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp , khả năng suy xét phán đoán và tính chặt chẽ khi giải loại toán này. 1 Trang Phần mở đầu 2 1. Lý do chọn đề tài 2 2.Mục đích , nghiệm vụ và phạm vi nghiên cứu 2 3. Nội dung nghiên cứu 2 Phần A: Cở sở lý thuyết 3 Phần B : Nội dung đề tài 4 I/ Dùng đạo hàm để xét nghiệm của phương trình có chứa tham số 4 1. Phương trình đa thức 4 2. Phương trình vô tỉ 5 3. Phương trình mũ và logarít 9 4. Phương trình lượng giác 10 II/ Dùng đạo hàm để xét nghiệm của bất phương trình có chứa tham số 13 1. Bất phương trình vô tỉ 12 2. Bất phương trình mũ và logarít 13 III/ Dùng đạo hàm để xét nghiệm của hệ phương trình và hệ bất phương trình có chứa tham số 16 1. Hệ phương trình 16 2. Hệ bất phương trình 17 Phần C: Kết luận 21 Phần D : Hướng nghiên cứu mới 22 Phần đánh giá của hội đồng các cấp 23 Tài liệu tham khảo 25 PHẦN MỞ ĐẦU Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán Cách giải loại toán này là thường quy về tam thức bậc hai,biện luận các khả năng xảy ra rồi sử dụng các điều kiện so sánh nghiệm, xét dấu các nghiệm để đi tìm đáp số, cũng có thể giải bằng phương pháp đánh giá tuỳ theo từng bài toán. Xong, giải quyết các bài toán dạng trên chúng ta còn một công cụ rất mạnh nữa là dựa vào chiều biến thiên của hàm số , giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số thông qua việc ứng dụng đạo hàm để giải. Hiện nay, với chương trình phân ban sách giáo khoa viết theo tinh thần giảm tải cho học sinh đã lït bỏ các nội dung về so sánh một số với các nghiệm tam thức bậc hai ở chương trình đại số 10, nên việc giải các bài toán liên quan đến so sánh nghiệm thường quy về xét dấu nghiệm. Cách làm này không né tránh khỏi phức tạp ở đa số bài toán chứa tham số. Với lý do đó nên khi giảng dạy cho học sinh trong lớp 12 ôn tập chương trình tôi đã đònh hướng cho học sinh khai thác ứng dụng đạo hàm trong giải toán , đặc biệt là” Ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán có chứa tham số “, nhằm trang bò thêm cho các em về phương pháp giải và giảm nhẹ mức sai sót cho học sinh khi giải toán. Huy vọng giúp ích được nhiều cho các em trong quá trình ôn tập kiến thức 2/ Mục đích và nhiệm vụ nghiện cứu Với mục đích giúp học sinh ôn lại, nắm vững kiến thức một cách hệ thống và giúp học sinh hiểu sâu rộng thêm về ứng dụng của đạo hàm, nên trong phạm vi của đề tài này tôi xin trình bày một ứng dụng của đạo hàm trong việc nghiên cứu nghiệm của các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và bất phương trình đại số có chứa tham số. Xuất phát từ cơ sở lý thuyết về ứng dụng đạo hàm xét chiều biến thiên, giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số từ đó giới hạn phạm vi giá trò tham số thoả mãn yêu cầu, nhiệm vụ của bài toán. 3/ Nội dung Tài liệu này được trình bày thông qua việc phân loại theo nhóm dạng bài toán: * Phần A: Cơ sở lý thuyết * Phần B: Nội dung : I/ Sử dụng đạo hàm để xét số nghiệm phương trình có chứa tham số II/ Sử dụng đạo hàm để xét số nghiệm của bất phương trình có chứa tham số III/Dùng đạo hàm để xét nghiệm của hệ phương trình và hệ bất phương trình có chứa tham số NỘI DUNG ĐỀ TÀI PHẦN A : CƠ SỞ LÝ THUYẾT Mệnh đề 1: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên miền D và đạt được giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất trên D. 2 Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán Khi đó hệ phương trình ( )f x x D α =   ∈  có nghiệm khi và chỉ khi min ( ) max ( ) x D x D f x f x α ∈ ∈ ≤ ≤ Mệnh đề 2: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên [ ] ;D a b= và đạt được giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất trên D. Nếu f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên ( ) ;a b Mệnh đề 3: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên miền D và đạt được giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất trên D. 1. Bất phương trình : ( ) ,f x α ≥ có nghiệm trên D khi và chỉ khi max ( ) x D f x α ∈ ≥ 2. Bất phương trình : ( ) ,f x α ≥ nghiệm đúng với mọi x thuộc D khi và chỉ khi min ( ) x D f x α ∈ ≥ Mệnh đề 4: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên miền D và đạt được giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất trên D. 1)Bất phương trình : ( ) ,f x β ≤ có nghiệm trên D khi và chỉ khi min ( ) x D f x β ∈ ≤ 2) Bất phương trình : ( ) ,f x β ≤ nghiệm đúng với mọi x thuộc D khi và chỉ khi max ( ) x D f x β ∈ ≤ Mệnh đề 5: Cho phương trình f(x) = g(x) với ∀x∈D. Giả sử trên miền x∈D hàm f(x) luôn luôn đồng biến còn hàm g(x) luôn nghòch biến . Khi đó nếu phương trình trên có nghiệm, thì có nghiệm duy nhất Đònh Lí (Điều kiện đủ của tính đơn điệu) Giả sử hàm số f có đoạ hàm trên khoảng I a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc I thì hàm số f nghòch biến trên khoảng I c) Nếu f’(x) =0 với mọi x thuộc I thì hàm số f không đổi trên khoảng I PHẦN B: NỘI DUNG I/ DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ 1/ Phương trình đa thức: Ví dụ1: Tìm m để phương trình mx 2 + 2mx -3 = 0 có nghiệm [ ] 1;2x ∈ Giải : Phương trình được viết lại dạng: (x 2 +2x)m = 3 (1) * Dễ thấy x=0 không là nghiệm của phương trình (1) * x ≠ 0, chia hai vế phương trình ta được 2 3 2 m x x = + Xét hàm số 2 3 ( ) 2 f x x x = + trên đoạn [ ] 1; 2 , f(x) xác đònh và liên tục trên đoạn [ ] 1; 2 3 Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán Ta có ( ) [ ] 2 2 6( 1) '( ) 0, 1; 2 2 x f x x x x − + = < ∀ ∈ + ⇒ f(x) giảm trên đoạn [ ] 1; 2 ⇒ [ ] [ ] 1;2 1;2 3 min ( ) (2) ; max ( ) (1) 1 8 x x f x f f x f ∈ ∈ = = = = Phương trình (1) có nghiệm trên đoạn [ ] 1; 2 khi và chỉ khi [ ] [ ] 1;2 1;2 min ( ) max ( ) x x f x m f x ∈ ∈ ≤ ≤ 3 1 8 m⇔ ≤ ≤ . Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 2 2 ( 2 ) 4 ( 2 ) 3 1 0x x m x x m+ − + + + = (1) Giải : * Đặt 2 2 2 ( 1) 1 1t x x x t= + = + − ⇒ ≥ − Ta có phương trình theo t: t 2 - 4mt + 3m +1 = 0 ⇔ t 2 +1 = m(4t-3) (2) * 3 4 t = không là nghiệm phương trình, do đó 2 1 (2) 4 3 t m t + ⇔ = − (3) * Xét hàm số 2 1 ( ) 4 3 t f t t + = − trên [ ) 3 1; \ 4   − +∞     Đạo hàm 2 2 2(2 3 2) 1 '( ) ; '( ) 0 2 (4 3) 2 t t f t f t t t t − − = = ⇒ = − ∨ = − Bảng biến thiên t -1 1 2 − 3 4 2 + ∞ f’(t) + 0 - - 0 + 1 4 − + ∞ + ∞ f(t) 2 7 − - ∞ 1 (1) có nghiệm khi (3) có nghiệm t∈ [ ) 3 1; \ 4   − +∞     . Dựa vào bảng biến thiên Ta được 1 1 4 m m≤ − ∨ ≥ Nhận xét: Vớùi cách giải này học sinh né được vấn đề phải so sánh nghiệm mà chương trình mới không trang bò 2/ Phương trình vô tỉ Ví dụ 1 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 2 1 1x m x+ = + Giải : * Phương trình xác đònh với mọi số thực x Chia hai vế phương trình cho 2 1x + , ta được: 2 1 1 x m x + = + 4 Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán * Xét hàm số 2 1 ( ) 1 x f x x + = + , liên tục trên R * 2 2 1 1 1 lim lim 1 1 1 1 x x x x x x →−∞ →−∞ + + = = − + − + và 2 2 1 1 1 lim lim 1 1 1 1 x x x x x x →+∞ →−∞ + + = = + + Ta có 2 2 1 '( ) ( 1) 1 x f x x x − = + + ; f’(x) =0 ⇒ x = 1 Bảng biến thiên x - ∞ 1 + ∞ f’(x) + 0 - 2 f(x) -1 1 Dựa vào bảng biến thiên , số nghiệm của phương trình tuỳ thuộc vào giá trò m như sau : m ≤ -1 hoặc m > 2 phương trình vô nghiệm -1<m≤ 1hoặc m = 2 Phương trình có một nghiệm 1 < m < 2 Phương trình có hai ngiệm phân biệt Ví dụ 2 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 2 1x m m x+ = + Giải : * Phương trình xác đònh với mọi x ∈R Phương trình đưa về dạng 2 ( 1 1)x m x= + − Nhân hai vế phương trình với 2 1 1x + + ta được : 2 2 ( 1 1)x x mx+ + = (1) * Dễ thấy x = 0 là một nghiệm của phương trình (1) * x≠ 0 , chia hai vế x 2 , đưa phương trình về dạng : 2 1 1x m x + + = * Xét hàm số 2 1 1 ( ) x f x x + + = , trên { } \ 0R . Hàm số liên tục trên từng khoảng xác đònh * Dễ dàng tính được lim ( ) 1; lim ( ) 1 x x f x f x →−∞ →+∞ = − = và 0 0 lim ( ) ; lim ( ) x x f x f x − + → → = −∞ = +∞ { } 2 2 2 1 1 '( ) 0, \ 0 1 x f x x R x x − − + = < ∀ ∈ + ⇒ Hàm số nghòch biến trên các khoảng ( ) ( ) ;0 ; 0;−∞ +∞ 5 Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán Bảng biến thiên x - ∞ 0 + ∞ f’(x) - - -1 + ∞ f(x) - ∞ 1 Dựa vào bảng biến thiên, số nghiệm phương trình 1 tuỳ theo giá trò m như sau: m< -1 hoặc m > 1 Phưong trình có 1 nghiệm -1 ≤ m ≤ 1 Phương trình vô nghiệm Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi giá trò dương của tham số m phương trình sau luôn có hai nghiệm thực phân biệt 2 2 8 ( 2)x x m x+ − = − ( Đề ĐH khối B -2007) Gi ả i * Giả thiết m>0 , do đó điều kiện 2x ≥ * Với 2x ≥ ⇒ x 2 +2x +8 ≥ 0, bình phương hai vế phương trình ta được: ( ) ( ) 2 2 4 2 ( 2)x x m x+ − = − (1) ( ) 2 2 4 ( 2) (2) x x x m =  ⇔  + − =   Phương trình (1) luôn có một nghiệm x= 2 * Xét hàm số f(x) = (x+4) 2 (x-2) = x 3 + 2x 2 + 8x - 32 trên ( 2; +∞ ), là hàm số liên tục Ta có 2 2 2 20 '( ) 3 4 8 3 0, 3 3 f x x x x x   = + + = + + > ∀  ÷   ⇒ hàm số luôn đồng biến f(2) = 0, lim ( ) x f x →+∞ = +∞ . Bảng biến thiên : x 0 2 +∞ f’(x) + +∞ f(x) 0 -32 Dựa vào bảng biến thiên, dễ thấy với m > 0 đồ thò hàm số y= m cắt đồ thò y = f(x) tại một điểm duy nhất , do đó với m > 0 phương trình (2) luôn có nghiệm duy nhất . Vậy, với m > 0 phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực dương phân biệt  Nhận xét : Những bài toán tương tự thế này học sinh thường mắc lỗi khi không xác đònh giá trò giới hạn của hàm số khi x tiến ra ±∞ hoặc x tiến đến giá trò không xác đònh 6 Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán của hàm số . Do đó ta cần nhấn mạnh phải kiểm tra giới hạn của hàm số trước khi lập bảng biến thiên . * Tiếp theo ta xét thêm các bài toán phải đặt ẩn phụ Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + − − + − = (1) Gi ả i: Nhận xét: Trong một phương trình chứa tổng và tích, thông thường ta đặt t bằng tổng khi đó tích có thể biểu diễn qua tổng. Điều này có thể khắc sâu trong lối mòn tư duy cho học sinh. Bài toán trên có thể giải như sau: * Điều kiện xác đònh của phương trình : 3 6x − ≤ ≤ * Đặt 3 6t x x= + + − Vì t là hàm số theo x, nên ngoài cách tìm điều kiện của t qua đánh giá chúng ta có thể sử dung đạo hàm để tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của t Ta có : 6 3 '( ) 2 ( 3)(6 ) x x t x x x − − + = + − ; trên đoạn [ ] 3; 6− , 3 '( ) 0 3 2 t x x≥ ⇔ − ≤ ≤ Bảng biến thiên : x -3 3 2 6 t’(x) + 0 - 3 2 t(x) 3 3 Dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện t 3 3 2t≤ ≤ 2 1 9 3 6 ( 3)(6 ) 2 2 t x x x x t= + + − ⇒ + − = − Ta có phương trình theo t: 2 1 9 2 2 t t m− + + = (2) * Xét hàm số 2 1 9 ( ) 2 2 f t t t= − + + trên đoạn 3;3 2     '( ) 1 '( ) 0, 3;3 2f x t f x t   = − + ⇒ < ∀ ∈   do đó hàm số nghòch biên trên đoạn 3;3 2     ; ⇒ 3;3 2 3;3 2 6 2 9 max ( ) (3) 3; min ( ) (3 2) 2 f t f f t f         − = = = = Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm trên đoạn 3;3 2     Điều đó có khi 3;3 2 3;3 2 6 2 9 min ( ) max ( ) 3 2 f t m f t m         − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 2 4 2 2 ( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − − (1) Gi ả i: 7 Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán Nhận xét: Bài toán chứa hiệu và tích của 2 2 1 ; 1x x+ − . Do đó có thể đặt t bằng hiệu, tích hoàn toàn có thể biểu diễn qua hiệu. * Điều kiện: 1 1x− ≤ ≤ * Đặt 2 2 1 1t x x= + − − ; t≥ 0 2 2 2 2 2 2 1 2 2; 2 1 2t x t x t= − − ≤ ⇒ ≤ − = − Vậy điều kiện theo t : 0 2t≤ ≤ Ta có phương trình theo t : m(t+2) = 2-t 2 +t 2 2 2 t t m t − + + ⇔ = + (2) * Xét 2 2 ( ) 2 t t f t t − + + = + , trên đoạn 0; 2     . Hàm số liên tục ( ) 2 2 4 '( ) 2 t t f t t − − = + ⇒ trên ( ) 0; 2 , f’(t) < 0 , hàm số nghòch biến trên ( ) 0; 2 0; 2 0; 2 min ( ) ( 2) 2 1; max ( ) (0) 1f t f f t f         = = − = = Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm trên đoạn 0; 2     . Điều đó có khi 0; 2 0; 2 min ( ) max ( ) 2 1 1f t m f t m         ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ Ví dụ 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 2 4 3 1 1 2 1x m x x− + + = − (1) Giải : * Điều kiện x ≥ 1 2 4 3 1 1 2 1x m x x− + + = − 4 1 1 3 2 1 1 x x m x x − − ⇔ = − + + + * Đặt 2 4 1 1 (0 1) 1 1 x x t t t x x − − = ≤ < ⇒ = + + . Ta có phương trình theo t m =-3t 2 +2t (2) * Xét f(t) = -3t 2 +2t trên [ ) 0;1 ; f’(t)= -6t+2 , f’(t) =0 ⇒ 1 3 t = Bảng biến thiên x 0 1 3 1 f’(t) + 0 - 1 3 f(t) 0 -1 (1) có nghiệm khi phương trình (2) có nghiệm trên nửa khoảng [ ) 0;1 . Dựa vào bảng biến thiên, điều đó có khi 1 1 3 m− < ≤ 8 Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán 3/ Dạng phương trình mũ và logarít Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trò của tham số m để phương trình 2 1 1 2 2 ( 1) log ( 2) ( 5)log ( 2) 1 0m x m x m− − − − − + − = (1) có hai nghiệm thoả mãn điều kiện 1 2 2 4x x< ≤ < Giải : * Điều kiện x > 2 * Đặt 1 2 log ( 2)t x= − ; 2 4 1x t < < ⇔ > − Ta có phương trình theo t: (m-1)t 2 – (m-5)t +m-1 = 0 ⇔ (t 2 - t+1)m = t 2 -5t+1 ⇔ 2 2 5 1 1 t t m t t − + = − + (2) *Xét hàm 2 2 5 1 ( ) 1 t t f t t t − + = − + trên khoảng ( ) 1;− +∞ . f(t) là hàm số liên tục và xác đònh trên ( ) 1;− +∞ 2 2 5 1 1 lim ( ) lim 1 1 1 1 x x t t f t t t →+∞ →+∞ − + = = − + ; 2 2 2 4 4 '( ) ( 1) t f t t t − = − + , trên ( ) 1;− +∞ f’(t)=0 ⇒ t=1 Ta có bảng biến thiên t -1 1 +∞ f’(t) 0 - 0 + 7 3 1 f(t) -3 (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả 1 2 2 4x x< ≤ < , khi (2) có hai nghiệm t 1, t 2 thoả -1< t 1 ≤t 2 . Dựa bào bảng biến thiên ta được -3≤ m <1 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 2 1 1 1 1 9 ( 2)3 2 1 0 x x m m + − + − − + + + = (1) Giải: * Điều kiện : 1 1x − ≤ ≤ * Đặt 2 1 1 3 x t + − = , 3≤ t ≤ 9 Ta có phương trình theo t: 2 ( 2) 2 1 0t m t m− + + + = 2 2 1 ( 2)t t m t⇔ − + = − (*) Vì 3≤ t ≤ 9 nên t-2 ≠ 0 (*) 2 2 1 2 t t m t − + ⇔ = − * Xét 2 2 1 ( ) 2 t t f t t − + = − ; trên [ ] 3;9 . Ta có 2 2 4 3 '( ) ( 2) t t f t t − + = − ; f’(t) =0 ⇒ t=1 hoặc t=3 9 Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán Trên đoạn [ ] 3;9 , Ta có bảng biến thiên t 3 9 f’(t) 0 + f(t) 64 7 4 Phương trình (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t∈ [ ] 3;9 Dựa vào bảng biến thiên, ta được 64 4 7 m≤ ≤ 4/ Dạng phương trình lượng giác Ví dụ 1: Cho phương trình 2cos .cos 2 .cos3 7 cos 2x x x m x+ = Xác đònh m để phương trình trên có nhiều hơn một nghiệm thuộc đoạn 3 ; 8 8 π π   − −     Giải : * Biến đổi phương trình về dạng : 3 2 2cos 2 cos 2 8cos 2x x x m− − + = * Với 3 3 2 2 ; 2 ; cos 2 ; 8 8 4 4 2 2 x x x π π π π       ∈ − − ⇒ ∈ − − ⇒ ∈ −             * Đặt t = cos2x 2 2 ; 2 2 t   ⇒ ∈ −     Ta có phương trình theo t: -2t 3 –t 2 +8t = m * Xét hàm số f(t)= -2t 3 –t 2 +8t ; 2 2 ; 2 2 t   ∈ −     Ta có f’(t) = -3t 2 -2t +8 ; f’(t) = 0 ⇒ t=1 hoặc t= 4 3 − Do đó ∀t 4 2 2 '( ) 0, ;1 '( ) 0, ; 3 2 2 f t t f t t     > ∀ ∈ − ⇒ > ∀ ∈ −         ⇒ f(t) đồng biến trên đoạn 2 2 ; 2 2   −     * Bảng biến thiên: t 2 2 − 2 2 f’(t) + 7 2 1 2 − f(t) 10 [...]... một số bài toán cóÙ chứa tham số PHẦN C Môn : Toán KẾT LUẬN Các em đã được trang bò thêm một tư duy ứng dụng của đạo hàm khi giải các bài toán chứa tham số khi học xong chương hàm số và ứng dụng đạo hàm của chương trình giáo khoa lớp 12 Từ đó các em sẽ có những cách giải hợp lí trong quá trình ôn tập và luyện thi Biết cách chọn phương án tối ưu để giải bài toán và né tránh sai sót thiếu trường hợp trong. .. cấp học mà khi giải kết hợp với đạo hàm dễ dẫn đến kết quả hơn Cho nên trong chuyên đề tới tôi có ý 21 Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán cóÙ chứa tham số Môn : Toán đònh bổ sung “Ứng dụng đạo hàm vào các bài toán xét tính đơn điệu của hàm số và các bài toán cực trò “ Nhằm giúp các em học có hiệu quả hơn PHẦN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CÁC CẤP  TỔ TOÁN & BAN CHUYÊN MÔN TRƯỜNG KẾT... TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MỘT KHOẢNG CHO TRƯỚC 3 2 Bài: Cho hàm số y = x + 3x + (m + 1) x + 4m Tìm m để hàm số nghòch biến trên khoảng (-1;1) m.x 3 1 − (m − 1) x 2 + 3(m − 2) x + Bài : Cho hàm số : y = 3 3 Tìm m để hàm số đồng biến trên [ 2; +∞ ) Bài ; Cho hàm số y = x − 3(m − 1) x + (m + 3) x − 4 Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng chứa x sao cho 1 ≤ x ≤ 2 3 Bài : Cho hàm số :... hàm số đồng biến trên khoảng ( 3; +∞ ) Bài tập tương tự: 1 3 3 2 1/ Cho hàm số y = x − mx + (2m − 1) x − m + 2 Tìm m để hàm số nghòch biến trên khoảng (-2;0) 1 3 3 2 2/ Cho hàm số y = − x + (m + 1) x + (m + 3) x − 4 Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0;3) 3/ Cho hàm số y = đònh của nó x 2 − 2mx + m + 2 Tìm m để hàm số nghòc biến trên từng khoảng xác x−m 20 Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một. .. nghiệm của (2) nên (2) ⇔ 8t −3t 2 + 4 * Xét hàm số f (t ) = trên ( −1;0 ) ∪ (0;1) 8t 3 1 Đạo hàm f '(t ) = −( + 2 ) < 0, ∀t ∈ (−1;0) ∪ (0;1) 8 2t * Ta có bảng biếng thiên: t -1 0 f’(t) 1 − - 1 8 +∞ -∞ Dựa vào bảng biến thiên thì khi m > 1 thì phương trình sẽ có nghiệm 8 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: 11 1 8 Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán cóÙ chứa tham số Môn : Toán 1/ Tìm tất cả các giá trò của tham. .. t=1 là một nghiệm của bất phương trình t> 1, (t-1)2 >0 Chia hai vế bất phương trình cho (t-1)2 ta được m≤ 2t ( t − 1) (2) 2 2t * Xét hàm số f (t ) = t − 1 2 , Hàm số f(t) liên tục trên (1; +∞) ( ) 2t 2t * lim (t − 1) 2 = +∞; tlim (t − 1) 2 = 0 →+∞ t →1 + f '(t ) = −2(t + 1) ( t − 1) 3 < 0, ∀t > 1 ⇒ Hàm số nghòch biến trên (1; +∞) 14 Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán cóÙ chứa tham số Môn... Dễ thấy xlim f (t ) = 0 →+∞ * Xét hàm số f(t)= Ta có f '(t ) = 2 -4t 2 -2t < 0, ∀t ∈ (0; +∞) ⇒ f(t) giảm trên ( 0; +∞ ) (t 2 + 4t +1) 2 * Bảng biến thiên : t 0 f’(t) 1 f(t) +∞ - 0 Dựa vào bảng biến thiên Bất phương trình (1) nghiệm úng với mọi x ⇔ (2) nghiệm úng ∀t > 0 Điều đó có khi m >1 13 Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán cóÙ chứa tham số Môn : Toán Ví dụ2 : Cho bất phương trình...Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán cóÙ chứa tham số Môn : Toán −7 2 −1 2  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình theo t có úng một t ∈  −   Vì mỗi t ∈  −  2 2 ;  2 2  2 2  3π π  ;  , tương ứng duy nhất một giá trò x ∈  − ; −  2 2  8  8 Vậy không tồn tại giá trò m để phương trình đã cho có nhiều hơn một nghiệm thuộc  3π π  − ; −  ... áp dụng với SK đã áp dụng) Có phương pháp nghiên cứu, cải tiến phù hợp với nghiệp vụ và tổ chức hiện nay của đơn vò ( NĐ 20 CP / 08.2.1965) Đạt lôgic, nội dung văn bản SKKN dễ hiểu Có thể áp dụng SKKN cho nhiều người, ở nhiều nơi Hình thức văn bản theo quy đònh của các cấp quản lý thi đua đã quy đònh TỔNG CỘNG : XẾP LOAI : 22 ĐIỂM ĐẠT Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán cóÙ chứa tham số. .. [ −1;1) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 1/ Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 2 x − y − m = 0    x + xy = 1  (Đề dự bò ĐH khối D 2007) 2/ Tìm m để hệ sau có nghiệm 2 x 2 − 7 x + 3 ≤ 0   2  x − mx + m ≤ 0  3/ Tìm m để hệ sau có nghiệm  x 2 − 3x ≤ 0   3 2  x − 2 x x − 2 − m − 20m ≥ 0  19 1 Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán cóÙ chứa tham số Môn : Toán IV/ DÙNG ĐẠO HÀM TÌM . Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán IV/ DÙNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MỘT KHOẢNG CHO TRƯỚC Bài: Cho hàm số 3 2 3. trình có chứa tham số II/ Sử dụng đạo hàm để xét số nghiệm của bất phương trình có chứa tham số III/Dùng đạo hàm để xét nghiệm của hệ phương trình và hệ bất phương trình có chứa tham số NỘI. giá trò giới hạn của hàm số khi x tiến ra ±∞ hoặc x tiến đến giá trò không xác đònh 6 Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán có Ù chứa tham so á Môn : Toán của hàm số . Do đó ta