ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG TOÁN HỌC VÀ TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

BÀI ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG TOÁN HỌC VÀ TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ ThS Đồn Trọng Tuyến Trường Đại học Kinh tế Quốc dân v1.0014105206 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Cho biết hàm lợi nhuận nhà sản xuất sau:    Q3  14Q2  60Q  54 Trong đó:   lợi nhuận nhà sản xuất • Q mức sản lượng cho lợi nhuận  Hãy chọn mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa? v1.0014105206 MỤC TIÊU • Trình bày ứng dụng đạo hàm để tìm khoảng tăng, giảm cực trị hàm số; • Đưa phương án tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số [a, b]; • Tính nêu ý nghĩa kinh tế y’(x0); • Tính nêu ý nghĩa kinh tế hệ số co dãn cung, cầu theo giá; • Giải tốn tối ưu lợi nhuận (theo mức sản lượng tối ưu sử dụng mức lao động tối ưu) v1.0014105206 NỘI DUNG Đạo hàm xu hướng biến thiên hàm số Tìm điểm cực trị hàm số Ý nghĩa đạo hàm kinh tế Tính hệ số co dãn cung cầu theo giá Sự lựa chọn tối ưu kinh tế v1.0014105206 ĐẠO HÀM VÀ XU HƯỚNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ 1.1 Liên hệ đạo hàm xu hướng biến thiên hàm số 1.2 Xác định khoảng tăng, giảm hàm số v1.0014105206 1.1 LIÊN HỆ GIỮA ĐẠO HÀM VÀ XU HƯỚNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ • Định lý 1: (Điều kiện cần) Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm điểm thuộc khoảng (a;b)  f(x) đơn điệu tăng (a;b)  f ’(x)  0, x(a;b)  f(x) đơn điệu giảm (a;b)  f ’(x)  0, x(a;b) • Định lý 2: (Điều kiện đủ) Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm điểm thuộc khoảng (a;b)  f ’(x) > 0, x(a;b)  f(x) đơn điệu tăng (a;b)  f ’(x) < 0, x(a;b)  f(x) đơn điệu giảm (a;b)  f ’(x) = 0, x(a;b)  f(x) có giá trị không đổi (a;b) v1.0014105206 1.2 XÁC ĐỊNH CÁC KHOẢNG TĂNG, GIẢM CỦA HÀM SỐ Để xác định khoảng tăng, giảm hàm số y = f(x) ta thực bước sau: • Bước 1: Tìm miền xác định hàm số; • Bước 2: Tính đạo hàm y’; • Bước 3: Xét dấu đạo hàm y’; • Bước 4: Từ bảng xét dấu y’ đưa kết luận khoảng tăng, giảm hàm số y = f(x) v1.0014105206 VÍ DỤ Xác định khoảng tăng, giảm hàm số y = (2x – 3).e–2x TXĐ: D = R Tính đạo hàm: y = (2x – 3)’.e–2x + (2x – 3).(e–2x)’ = e–2x – 2(2x – 3).e–2x = 4e–2x(2 – x) Dấu y’ dấu nhị thức – x, bảng biến thiên: x y’ – + + – y Vậy hàm số tăng (–, 2) hàm số giảm (2, +) v1.0014105206 VÍ DỤ Xác định khoảng tăng, giảm hàm số y = (3x2 – 8x + 7)ex TXĐ: D = R Tính đạo hàm: y’ = (3x2 – 8x + 7)’.ex + (3x2 – 8x + 7).(ex)’ = (6x – 8).ex + (3x2 – 8x + 7).ex = ex(3x2 – 2x – 1) Dấu y’ dấu tam thức 3x2 – 2x – 1, bảng biến thiên: x y’ –1/3 – + – + + y Vậy hàm số tăng (–, –1/3) (1, +) hàm số giảm (–1/3, 1) v1.0014105206 TÌM CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 2.1 Khái niệm cực trị địa phương 2.2 Điều kiện cần cực trị 2.3 Điều kiện đủ 2.4 Tìm điểm cực trị hàm số 2.5 Bài tốn cực trị tồn thể v1.0014105206 10 TÍNH HỆ SỐ CO DÃN CỦA CUNG VÀ CẦU THEO GIÁ • Hệ số co dãn cầu theo giá số đo lượng thay đổi tính theo % lượng cầu giá tăng 1% • Với hàm cầu QD = D(p) ta có: D  D'(p) p D(p) • Hệ số co dãn cung theo giá số đo lượng thay đổi tính theo % lượng cung giá tăng 1% • Với hàm cầu QS = S(p) ta có: S  S'(p) v1.0014105206 p S(p) 24 TÍNH HỆ SỐ CO DÃN CỦA CUNG VÀ CẦU THEO GIÁ Ví dụ: Giả sử hàm cầu người tiêu dùng loại sản phẩm có dạng Qd = 1200 – p2 Hãy tính D(10) cho biết ý nghĩa kinh tế kết Giải: • Ta có: Q’ = –2p P 2p2  D  Q'  Q 1200  p2 2  102 200  D (10)    0,18 1200  102 1100 • Ý nghĩa: mức giá p = 10, tăng giá thêm 1% lượng cầu người tiêu dùng giảm xấp xỉ 0,18% v1.0014105206 25 SỰ LỰA CHỌN TỐI ƯU TRONG KINH TẾ 5.1 Chọn mức sản lượng tối ưu 5.2 Lựa chọn tối ưu mức sử dụng yếu tố đầu vào v1.0014105206 26 5.1 CHỌN MỨC SẢN LƯỢNG TỐI ƯU • Tổng chi phí: TC = TC(Q) • Tổng doanh thu: TR = TR(Q) Hãy lựa chọn mức sản lượng Q cho lợi nhuận tối đa? Giải: • Tìm Q cho:  = TR(Q) – TC(Q) đạt cực đại Điều kiện cần:  ’ = TR’(Q) – TC’(Q) =  MR = MC • Lợi nhuận tối đa nếu: Doanh thu cận biên chi phí cận biên Điều kiện đủ: ” <  TR”(Q) < TC”(Q) Chú ý: Khi thực hành, ta kiểm tra điều kiện đủ theo dấu hiệu đạo hàm cấp v1.0014105206 27 5.1 CHỌN MỨC SẢN LƯỢNG TỐI ƯU Ví dụ: Xác định mức sản lượng tối ưu nhà sản xuất, cho biết hàm doanh thu hàm chi phí sau TR = 4000Q – 33Q2 TC = 2Q3 – 3Q2 + 400Q + 5000 Giải: • Hàm lợi nhuận là:  = TR – TC = (4000Q – 33Q2) – (2Q3 – 3Q2 + 400Q + 5000) = –2Q3 – 30Q2 + 3600Q – 5000 • Xét: ’ = –6Q2 – 60Q + 3600 Q1  30 '    Q2  20 v1.0014105206 28 5.1 CHỌN MỨC SẢN LƯỢNG TỐI ƯU • Bảng biến thiên: Q ’ 20 + –  • Theo bảng biến thiên, ta suy  đạt giá trị lớn Q = 20 → Mức sản lượng để tối ưu (sản lượng cho lợi nhuận tối đa) Q = 20 Chú ý: Ở ví dụ đây, ta khảo sát trực tiếp hàm , với miền xác định D = (0, +) v1.0014105206 29 5.2 LỰA CHỌN TỐI ƯU MỨC SỬ DỤNG YẾU TỐ ĐẦU VÀO • Hàm sản xuất ngắn hạn: Q = f(L) • Giá bán sản phẩm: p; giá lao động: wL; chi phí cố định: C0 Hãy lựa chọn mức sử dụng lao động cho lợi nhuận tối đa? Giải: Tìm L cho:  = p.f(L) – wL.L – C0 đạt cực đại • Điều kiện cần:  ’ =  p.MPPL – wL = Lợi nhuận tối đa nếu: Giá trị tiền sản phẩm vật cận biên lao động giá thuê lao động • Điều kiện đủ: ” <  f ”(L) < Tương tự đây, điều kiện đủ xét thao dấu hiệu đạo hàm cấp v1.0014105206 30 5.2 LỰA CHỌN TỐI ƯU MỨC SỬ DỤNG YẾU TỐ ĐẦU VÀO (tiếp theo) Ví dụ: Một nhà sản xuất tiêu thụ sản phẩm thị trường cạnh tranh với giá p = 20USD Cho biết hàm sản xuất Q  12 L giá thuê lao động wL = 40USD Hãy xác định mức sử dụng lao động cho lợi nhuận tối đa Giải: • Hàm lợi nhuận nhà sản xuất là:   TR  TC  p.Q  w L L  20  12 L2  40L  240 L2  40L • Đạo hàm: '  160  40 L  '   L  64 v1.0014105206 31 5.2 LỰA CHỌN TỐI ƯU MỨC SỬ DỤNG YẾU TỐ ĐẦU VÀO (tiếp theo) • Bảng biến thiên: Q ’ 64 + –  • Theo bảng biến thiên, ta suy  đạt giá trị lớn L = 64 Chú ý: Trong ví dụ trên, ta sử dụng điều kiện đủ theo dấu đạo hàm cấp để kiểm tra Ta sử dụng điều kiện đủ theo đạo hàm cấp v1.0014105206 32 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG • Thực ta cần khảo sát để tìm giá trị lớn  ( hàm số theo biến Q) • Bước 1: Tập xác định D = (0, +) • Bước 2: Tính đạo hàm ’ = –Q2 + 28Q + 60 • Bước 3; Lập bảng biến thiên '   Q2  28Q  60  (loại) Q1  2  Q2  20 Q ’ 20 + –  • Bước 4: Hệ số  đạt giá trị lớn Q = 20 v1.0014105206 33 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Số điểm tới hạn hàm số y = (5x2 – 3x + 5) ex là: A B C D Trả lời: • Đáp án là: C • Vì: y’ = ex(5x2 + 7x + 2) y’ = ↔ 5x2 + 7x + = (*) Phương trình (*) có nghiệm phân biệt: x1 = –1; x2 = –2/5 → y có điểm tới hạn v1.0014105206 34 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Cho hàm sản xuất ngắn hạn: Q  50 L2 Giá trị MPPL L = 27 là: A 11,11 B 32,71 C 40,53 D 29,17 Trả lời: • Đáp án là: A 11,11 • Vì: Q'  50  33 L  100 33 L 100  Q'(27)   11,11 → MPPL L = 27 11,11 v1.0014105206 35 CÂU HỎI TỰ LUẬN Tìm khoảng tăng giảm cực trị hàm số: y  x 5x  Giải: • Tập xác định: D = R • Tính đạo hàm: y '  (x)' 5x   x  • 3(5x  1)  5x 3 (5x  1)2  3 (5x  1)2 20x  3 (5x  1)2 y’ = ↔ x = 3/20, hàm số có điểm dừng x = 3/20 v1.0014105206 36 CÂU HỎI TỰ LUẬN • Bảng biến thiên: dấu y’ dấu nhị thức 20x – x y’ 3/20 – – 1/5 + + + y  20 • Vậy hàm só giảm (–, 3/20), tăng (3/20, 1/5); (1/5, +) • Hàm số đạt cực tiểu tại: x CT  v1.0014105206 3 ; y CT   20 20 37 TĨM LƯỢC CUỐI BÀI • Trên miền: Nếu đạo hàm y’ > hàm số đơn điệu tăng Nếu y’ < hàm số đơn điệu giảm • Hàm số đạt cực trị điểm tới hạn Tới hạn loại điểm:  Điểm dừng  Điểm mà hàm liên tục khơng có đạo hàm • Tại điểm tới hạn, qua đạo hàm đổi dấu điểm tới hạn điểm cực trị  + → –  điểm cực đại  – → +  điểm cực tiểu • Nếu qua điểm tới hạn, hàm số y’ không đổi dấu  khơng cực trị • y’(x0) giá trị y – cận biên x x0 • Hệ số co dãn cung, cầu theo giá: p p S (p0 )  S '(p0 ) ; D (p0 )  D'(p0 ) D(p0 ) S(p0 ) • Bài tốn tối ưu kinh tế:  = TR – TC → max v1.0014105206 38