Bài soạn Ung dung cua dinh ly Vi-et

ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập A. lý do chọn đề tài Đại số là một phần không thể thiếu trong chơng trình toán học THCS. Một trong những kiến thức quan trọng của Đại số 9 là phơng trình bậc hai. Với nội dung này, học sinh đã giải đợc phơng trình nhờ vào công thức nghiệm hay vận dụng định lý Viet vào tính nhẩm nghiệm của phơng trình. Tuy nhiên với định lý Viet, ứng dụng của nó không chỉ đơn thuần là tìm tổng và tích của hai nghiệm hay là tính nhẩm nghiệm của phơng trình. Qua việc dạy toán 9 chúng tôi nhận thấy các em vận dụng định lý Viet vào giải toán cha thật linh hoạt, cha biết khai thác và vận dụng đợc nhiều nội dung của định lý vào các dạng bài toán; trong khi đó định lý Viet có tính ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán đại số. Qua những năm giảng dạy và tìm hiểu chơng trình đại số 9, chúng tôi nhận thấy đợc định lý Viet có vai trò quan trọng và ứng dụng nhiều trong việc giải các bài tập, đặc biệt là phơng trình bậc hai có chứa tham số. Nó có ý nghĩa quan trọng không những giúp cho học sinh có đợc phơng pháp giải phơng trình bậc hai, tính nhẩm nghiệm của phơng trình, tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng mà còn là công cụ quan trọng trong việc giải các bài toán phức tạp thờng hay gặp trong các sách tham khảo, tài liệu nâng cao hay trong các đề thi vào lớp 10, thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh. Đồng thời đó cũng là kiến thức đợc sử dụng rộng rãi trong chơng trình toán học THPT. Trớc vấn đề đó, chúng tôi đã mạnh dạn đi sâu vào nghiên cứu về những ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập. Với đề tài này chúng tôi mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và sử dụng thành thạo định lý Viét vào giải bài tập, đồng thời làm tăng khả năng học toán và kích thích hứng thú học tập của học sinh. 1 ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập Xin đợc giới thiệu với các thầy cô và các bạn đồng nghiệp một số ứng dụng của định lý Viet vào giải bài tập mà chúng tôi đã đa vào áp dụng trong các buổi ôn tập và bồi dỡng học sinh trong những năm gần đây. 2 ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập B. Nội dung Sự kết hợp của định lý Viet vào dấu các nghiệm số tạo nên nhiều bài toán phong phú gây nên những ý muốn tìm tòi và khám phá của các em học sinh. Trớc hết, hãy nhắc lại nội dung của định lý: I. Định lý Vi-ét: Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình: ax 2 + bx + c = 0 (a 0) Thì x 1 + x 2 = a b Và x 1 . x 2 = a c * Hệ quả: a) Nếu phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) có a + b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm là x 1 = 1 còn nghiệm kia là x 2 = a c b) Nếu phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) có a - b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm là x 1 = - 1 còn nghiệm kia là x 2 = - a c * Nếu có hai số u và v thoả mãn điều kiện: = =+ Pu.v Svu thì u và v là hai nghiệm của phơng trình: x 2 - Sx + P = 0 Điều kiện để có hai số u và v là: S 2 - 4P 0 Dựa vào tổng và tích hai nghiệm (nếu có) của phơng trình bậc hai, ta xét đợc các trờng hợp về dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai. II. Bảng tóm tắt về dấu các nghiệm của phơng trình: Cho phơng trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a 0) (1) Với 0 , x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình (1), giả sử x 1 x 2 , ta có: == =+= a c xxP a b xxS 21 21 . 3 ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập Dới đây là một số ứng dụng của định lý Viet vào giải phơng trình bậc hai có chứa tham số 4 - - + +++ - - a c P = 21 xx < 21 xx = 0 21 < xx 21 0 xx < a b S = a b S = a b x x = = 2 1 0 0 2 1 = = x a b x 21 0 xx << 0. 21 > xx 21 xx > a b S = ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập IIi. Một số ví dụ minh hoạ việc ứng dụng định lý Viet trong giải toán (Chú ý: Các ví dụ dới đây đợc viết cho phơng trình bậc hai với ẩn số x, tham số m). 1. Vận dụng của định lý Viet trong giải toán về mối liên hệ giữa các nghiệm của ph ơng trình bậc hai . Từ bảng tóm tắt ta tìm ra phơng pháp giải một số dạng sau: a. Dạng 1: Tìm điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu. Phơng pháp: Phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu < > 0 a c 0 Ví dụ: Với giá trị nào của m thì phơng trình sau có hai nghiệm trái dấu: x 2 2(m + 1)x m + 3 = 0 (1) Giải: Phơng trình có nghiệm 0)3()1(0' 2 + mm ; Ta có m = 3 a c Phơng trình (1) có hai nghiệm khác dấu a c < 0 3 m < 0 m > 3 b. Dạng 2 : Tìm điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm khác dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dơng ( 21 xx > ) Phơng pháp: Điều kiện: < < 0 0 a b a c 0 Ví dụ: Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có hai nghiệm khác dấu trong đó nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dơng. Giải: Điều kiện < < > 0 0 a b a c 0 ( ) < > <+ < > -1m 3m 1m 0m 0 02 3 Vô lý. 5 ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập Vậy không có giá trị nào của m thoả mãn bài toán. c. Dạng 3 : Tìm điều kiện của m để phơng trình (1) có hai nghiệm đối nhau. Phơng pháp: Điều kiện = < > 0 0 0 a b a c Ví dụ: Tìm giá trị của m để phơng trình sau có hai nghiệm đối nhau: x 2 (m 2)x + m 3 = 0 Giải: Phơng trình có hai nghiệm đối nhau khi và chỉ khi: < = < = < = < ==+ <= > 3m 2m 3m 02-m 03-m a b a c 0 0 0 0. 0 21 21 a b xx a c xx d. Dạng 4 : Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu. Phơng pháp: Điều kiện: > 0 0 a c Ví dụ: Cho phơng trình (m 1)x 2 + 2(m 1)x + m = 0 (2) Với giá trị nào của m thì phơng trình (2) có hai nghiệm cùng dấu. Giải: Phơng trình (2) có hai nghiệm cùng dấu > 0 a c 0 0a ( ) ( ) < <> + > 0m 0m hoặc1m 01m- 1m 1-m m 1-mm1-m 01-m 0 0 2 Dạng 5 : Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) luôn có hai nghiệm cùng âm. 6 ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập Phơng pháp: Phơng trình (1) luôn có hai nghiệm cùng âm < > 0 0 a b a c 0 0a Ví dụ: Cho phơng trình (m 1)x 2 + 2(m 1)x m = 0 Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm. Giải: Phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) << < > > < > >= <=+ >+= 1m m 1m 1-mm 1-m1-m 1m 1-m m xx 1-m 1-m xx 1-mm1-m' 01-m 21 21 0 2 1 0 02 02 0. 0 2 0 2 Vậy 0 < m < 2 1 * Có những phơng trình bậc hai, không cần giải phơng trình ta vẫn có thể tìm đ- ợc mối liên hệ giữa hai nghiệm của chúng: Dạng 6: Liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình Ví dụ 1: Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình x 2 x 1 = 0. Không giải phơng trình, hãy tính: a) x 1 2 + x 2 2 b) x 1 4 + x 2 4 c) x 1 8 + x 2 8 . . . Giải: Vì a và c trái dấu nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt Theo định lý Viet ta có: == ==+ 1. 1 21 21 a c xx a b xx a) x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 2.x 1 x 2 = 1 2.(-1) = 3 b) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2 ) 2 2.x 1 2 .x 2 2 = 3 2 - 2.(-1) 2 = 7 . . . . . . . . . . . . Ví dụ 2: Tìm m để hai nghiệm của phơng trình x 2 2(m + 1)x + 2m + 3 = 0 thoả mãn điều kiện (x 1 x 2 ) 2 = 4 7 ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập Giải: Phơng trình có hai nghiệm 0 (m + 1) 2 2m 3 0 2 2 m m Theo định lý Viet ta có 4 = (x 1 x 2 ) 2 = (x 1 + x 2 ) 2 - 4.x 1 x 2 = 4(m + 1) 2 4.(2m + 3) Suy ra 3 = m thoả mãn điều kiện 0. Ví dụ 3: Cho phơng trình : (m 2)x 2 2(m + 2)x + 2(m 1) = 0. Khi phơng trình có nghiệm, hãy tìm mối liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m. Giải: Điều kiện để phơng trình có nghiệm là 0 (m + 2) 2 2(m 1)(m 2) 0 - m 2 + 10m 0 (m - 5) 2 25 0 m 10 Khi đó, áp dụng định lý Viet ta có: . . 2 2 2 2 22 . 2 8 2 2 42 21 21 += == += + =+= mm m xxP mm m xxS Suy ra S 4P = - 6 hay (x 1 + x 2 ) 4.x 1 x 2 + 6 = 0 Bài tập áp dụng: Bài 1. Tìm m để phơng trình x 2 mx + m 2 7 = 0 có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. Bài 2. Tìm m để phơng trình bậc hai sau có hai nghiệm trái dấu: (m 1)x 2 (m + 3)x + m 2 = 0 Bài 3. Cho phơng trình (m 1)x 2 2(m - 4)x + m 5 = 0 . Khi phơng trình có nghiệm, hãy tìm mối liên hệ giữa hai nhiệm không phụ thuộc tham số m. * Qua định lý Viet, ta có thể biểu diễn luỹ thừa bậc cao của một nghiệm thông qua luỹ thừa bậc thấp hơn của nghiệm đó. 8 ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập Cụ thể: x 1 2 = (x 1 + x 2 )x 1 - x 1 x 2 = Sx 1 - P x 1 3 = x 1 x 1 2 = x 1 (Sx 1 - P) = Sx 1 2 - Px 1 = S.(Sx 1 P) Px 1 = (S 2 P)x 1 - SP x 1 4 = x 1 x 1 3 = (S 3 -2.SP)x 1 - P(S 2 P). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hoàn toàn tơng tự đối với nghiệm x 2. Với tính chất trên, việc xác định các biểu thức chứa nghiệm của phơng trình bậc hai đôi khi thuận lợi hơn nhiều. Ví dụ: Cho phơng trình: x 2 2x 1 = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 (x 2 < 0) Tính giá trị của biểu thức: 1098 8 2 3 13 8832 21 4 2 5 1 2 4 21 2 1 5 1 2 2 1 3 2 4 1 ++= ++= +++= xxxxC xxxxxB xxxxA Giải: Theo định lý Viet ta có: S = 2 ; P = - 1, áp dụng các hệ thức trên ta có: x 2 1 = 2x 1 + 1 ; x 2 2 = 2x 2 + 1 ; x 3 2 = (4 + 1)x 2 + 2.1 = 5x 2 + 2 x 4 1 = (8 + 2.2.1)x 1 + 1(4 + 1) = 12x 1 + 5 ; x 4 2 = 12x 2 + 5 x 5 1 = x 1 x 4 1 = x 1 (12x 1 + 5) = 12x 2 1 + 5x 1 = 12(2x 1 + 1) + 5x 1 = 29x 1 + 12 Ta có: 8832 2 2 1 3 2 4 1 +++= xxxxA = 12x 1 + 5 + 2(5x 2 + 2) + 3(2x 1 + 1) + 8x 2 8 = 18x 1 + 18x 2 + 4 = 18S + 4 = 40 2 4 21 2 1 5 1 8 2 3 13 xxxxxB ++= = 2 2 21 2 11 2 1 8)12( 2 3 13512 xxxxxx ++++ = 144 2 3 169 2 2 21 2 1 +++ xxxx = )12( 2 3 1312 2 3 13 2121 ++=+ xxxx (phơng trình có ac = - 1 < 0 nên x 1 và x 2 trái dấu, mà x 2 < 0 nên x 1 > 0) 9 ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập = 3(x 1 + x 2 ) - 9 11 2 1 3 2 1 == S 1098 21 4 2 5 1 ++= xxxxC 10985121229 2121 ++++= xxxx 4972172121 21 =+=++= Sxx Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho phơng trình x 2 2x + 3 m = 0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: 2x 3 1 + (m + 1)x 2 2 = 16 Bài 2: Cho phơng trình: x 2 x 1 = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 . Không giải phơng trình, hãy tính giá trị các biểu thức: A = x 1 3x 2 ; B = x 8 1 + x 6 2 + 13x 2 2. ứ ng dụng định lý Viet trong bài toán lập ph ơng trình bậc hai một ẩn Ví dụ 1: Cho hai số x 1 2 13 + = , x 2 = 31 1 + Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là x 1 , x 2 Ta có: x 1 2 13 + = , x 2 = ( )( ) 2 13 3131 31 31 1 = + = + Nên x 1 .x 2 2 1 31 1 . 2 13 = + + = x 1 + x 2 2 13 + = + 31 1 + 2 13 2 13 + + = = 3 Vậy phơng trình bậc hai cần lập là: x 2 - 3 .x + 2 1 = 0 hay 2x 2 - 2 3 .x + 1 = 0 Ví dụ 2: Cho phơng trình: x 2 + 5x 1 = 0 Không giải, hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm phơng trình trên. Cách giải: Gọi x 1 , x 2 là các nghiệm của phơng trình đã cho, theo hệ thức Viet ta có: x 1 + x 2 = - 5 x 1 .x 2 = - 1 Gọi y 1 , y 2 là các nghiệm của phơng trình phải lập, ta có: y 1 + y 2 = 4 2 4 1 xx + y 1 .y 2 = 4 2 4 1 xx . 10 [...]... định hớng chung cho mỗi dạng bài tập - Khi làm một bài tập, cần phân tích kỹ đề bài, tìm mối liên hệ các điều kiện bài toán để tìm ra lời giải Từ các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập cũng nh sách tham khảo, cần biết khai thác, phát triển đặt ra những câu hỏi khó hơn, xây dựng bài toán tổng quát (nếu có thể) Nên đặt bài toán dới nhiều dạng khác nhau để từ đó rút ra phơng pháp giải chung Hệ thống... Viet trong giải bài tập bồi dỡng Các em đã biết vận dụng định lý Viet và hệ quả của nó vào giải các dạng bài tập một cách nhuần nhuyễn, trên cơ sở đó vận dụng vào giải đợc các bài tập tơng tự nâng cao Trong các buổi lên lớp, với lớp đại trà chúng tôi đã đa ra những bài tập dễ hơn, bổ sung nhiều bài tập tơng tự để học sinh nhận dạng, vận dụng rút ra phơng pháp giải Đối với học sinh khá giỏi bài tập đợc... lập suy nghĩ, tìm tòi sáng tạo, cẩn thận chính xác khi làm bài Trình bày bài làm chặt chẽ đầy đủ, biết phân chia các dạng bài tập, có nhiều em còn tìm ra đợc những lời giải hay và đặt ra những câu hỏi mới khá độc đáo Chất lợng học toán nói chung và giải bài tập đại số nói riêng đợc nâng lên rõ rệt, điều đó đợc thể hiện thông qua kết quả của các bài kiểm tra định kỳ, đặc biệt là qua các kỳ thi khảo sát... mãn 15 ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập 2 10x1x2 + x 1 + x 2 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó 2 * Nhờ định lý này, ta đã giải đợc một số bài toán đại số Còn phong phú hơn nếu nh ta biết khai thác thành nhiều bài toán khác từ một bài toán 5 Một số dạng toán khác Trong giảng dạy, tôi đã giới thiệu cho học sinh bắt đầu từ bài toán tổng quát: Bài toán mở đầu: Cho phơng trình: ax2 + bx +... lúng túng trong việc tìm ra cách giải Điều đó dẫn đến những sai lầm thờng gặp khi làm bài Sau khi áp dụng, học sinh giải toán có hứng thú hơn, các em nắm đợc kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa - các kiến thức bổ trợ đợc giáo viên cung cấp và vận dụng linh hoạt vào giải các bài tập Thông qua đó học sinh nắm vững nội dung của định lý Viet và hệ quả của nó hơn Qua việc thực hành giải toán học sinh hình... không vợt quá (4 + 15 ) 7 là Bài tập áp dụng: Bài 1: cho phơng trình x2 + 5(m2 + 1)x + 1= 0 17 1874887 ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập a Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 b Chứng minh rằng Sn = x1n + x2n (n N*) là số nguyên c Tìm số d trong phép chia S2005 cho 5 Ngoài việc ứng dụng định lý Viet vào giải bài tập, ta còn giải đợc bài tập dựa vào định lý Viet... Sau khi áp dụng Giỏi Khá T.bìn Yếu h Lớp 20 ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập đại 38 0 6 25 7 2 10 23 3 40 2 10 25 3 6 16 18 0 trà Lớp chọn 21 ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập D bài học kinh nghiệm Qua đây cho thấy: - Để giải một bài toán thì trớc hết cần phải nắm chắc lý thuyết, qua đó phân dạng bài tập; suy luận, sáng tạo bằng cách tự đặt ra vấn đề trên cơ sở đó giải quyết những... 2 + x2n + 2 = (x1n + 1 + x2n + 1)(x1 + x2) - x1x2(x1n + x2n) = b c S n +1 S n a a Từ đó suy ra hệ thức (*) Với bài toán mở đầu ta giải đợc các bài toán khác nhờ ứng dụng bài toán trên: Bài toán 1: Cho x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình: x2 - 2x - 2 = 0 Hãy tính x17 + x27 Giải: Theo bài toán mở đầu ta có: Sn + 2 - 2Sn + 1 - 2Sn = 0 S 7 - 2S 6 - 2S5 = 0 Mà: S1 = x1 + x2 = b a =2 S2 = x12 + x22... 2)2 4(a2 + 2a + 1) 0 12 ứng dụng của định lý Viet trong giải bài tập 4 3 a(3a + 4) 0 a 0 Chứng minh tơng tự ta đợc: 4 b 0 3 ; 4 c 0 3 Bài tập áp dụng: Bài 1: Gọi a, b là hai nghiệm của phơng trình bậc hai: x2 + px + 1 = 0 Gọi c, d là hai nghiệm của phơng trình: y2 + qy + 1 = 0 Chứng minh hệ thức: (c a)(a b)(b c)(b d) = (p q)2 Bài 2: Chứng minh rằng khi viết số x = ( 3, 2 ) 200 dới dạng... 1: Giá trị nhỏ nhất của S là 1 3 , khi đó (*) có nghiệm kép m = -1 Vậy m {1: -1} Bài tập áp dụng: Bài 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình x2 + 2(m-2)x 2m + 7 = 0 Tìm m để x2 + y2 có giá trị nhỏ nhất Bài 2: Cho phơng trình: x2 mx + (m 2)2 = 0 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bài 3: Cho phơng trình: x2 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 ( m là tham số) Tìm m sao cho . dụng của định lý Viet trong giải bài tập B. Nội dung Sự kết hợp của định lý Viet vào dấu các nghiệm số tạo nên nhiều bài toán phong phú gây nên những ý. thành nhiều bài toán khác từ một bài toán. 5. Một số dạng toán khác. Trong giảng dạy, tôi đã giới thiệu cho học sinh bắt đầu từ bài toán tổng quát: Bài toán