Sử dụng máy tính cầm tay trong tìm kiếm lời giải PT BPT mai xuân việt

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com B GIÁO D C VÀ ÀO T O TRUNG TÂM LUY N THI TH KHOA H Chí Minh - N m 2012 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com PH NG PHÁP NHÂN LIÊN H P PH N 1: XÁC NH S NGHI M C A PH NG TRỊNH Vi c bi t m t ph ng trình có nghi m, nghiêm nghi m vơ t hay h u t vô quan tr ng.ă bi t rõ h n ta tham kh o m t ph ng trình d i đây: Cho ph ng trình sau: x4  x3  x   x2  x  Phân tích: Ta th c hi n vi c tìm ki m l i gi i theo b c sau: B c 1: S d ng máy tính c m tay, truy c p vào ch c n ng TABLE (MODE 7) nh p vào hàm s : F  X   X  X  X   X  X  nh hình bênăd i: B c 2: n d u = ch n giá tr START = -2 START giá tr b t đ u,ăth v i u ki n đ xác đ nh B c 3: n d u = ch n giá tr END = END giá tr k t thúc,ăth ki n đ xác đ nh B c 4: n d u = ch n giá tr STEP = 0.5 STEP giá tr b gi a giá tr bi n s ng đ ngăđ c đ i chi u c đ i chi u v i u c nh y hay g i kho ng cách Mai Xuân Vi t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com B c 5: B m =ăđ nh n b ng giá tr c a hàm s v i giá tr x t ng ng đ ch n vào b ng giá tr ta th y x  f  x  hay x  m t nghi m c a hàm s Ngồi ta th y hàm s đ i d u x t 2ăđ n 2.5, suy ph nghi m kho ng  2; 2.5  nghi m x  th y trên Nhìn ng trình có nghi m m t Vì t b c nh y c a x t -0.5ăđ n có x  m t nghi m c a ph ng trình nên kho ng  0.5;0  ph ng trình có đ i d u hay không nên t i kho ng ta kh o sát k h n b ng TABLE xem Ch n START = -0.5, END = 0, STEP = 0.1 ta nh n th y ph ng trình nh t nghi m n m kho ng  0.5; 0.4  n a Mai Xuân Vi t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com B c 6: Bây gi ta dùng ch c n ng SOLVE c a máy tính c m tay ( s d ng 570VNLPUS)ăđ tìm nghi m c a ph ng trình hai kho ng  0.5;  0.4  2; 2.5   V i x  0.5; 0.4  ta ch n giá tr ban đ u đ máy tính dò nghi m,ăth bình c a kho ng nghi m ng giá tr trung  0.5   0.4   0.45 hay ta có th ch n b t k giá tr kho ng c ng đ c, ch n g n giá tr c a nghi m máy tính dò nhanh Ta tìm đ c nghi m c a ph ng trình x  0.414213562    V i x  2; 2.5  ta ch n giá tr ban đ u đ máy tính dò nghi m nh trên, ta có th ch n giá tr 2.2 hay 2.3 đ u đ c tu b n Ta tìm đ c nghi m c a ph ng trình x  2.414213562   Nh v y máy tính h tr ta tìm đ c nghi m c a ph Khi ph ng trình ta s gi i nh sau:  2.5  2.125 , t ng t ng trình x  0, x   4 x2  x    x  2x  x 1  4x  2x    2  x  x  x   x  x   x  x   x      x4  x3  x2  1    x4  x3  x2     2  x  x   4x  2x   x  1 Vì l i phân tích đ   c nh th ta l i ti p t c đ c ph n d i Ghi chú: Các b n h t s c ý tìm nghi m c n phân bi t đâu nghi m h u t , đâu nghi m vơ t dùng cách nhân liên h p bi u th c liên h p s khác hai lo i nghi m Các b n s th y rõ đ c u ph n hai PH N 2: PHÂN BI T NGHI M N - NGHI M B I VÀ CÁCH XÁC NH Nghi m đ n Nghi m đ n x  a nghi m mà t i ph ng trình f  x  đ c phân tích thành nhân t có d ng  x  a  g  x g  a   Mai Xuân Vi t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Ví d : Cho ph ng trình sau: 3x2  x 1   x 1 x2   * B ng vi c s d ng ch c n ngăTABLEăđ xác đ nh kho ng nghi m ch c n ng SOLVE c a máy tính ta xác đ nh đ c r ng ph ng trình có nghi m x  Gi ki m tra thêm nghi m nghi m đ n hay nghi m b i.ăTaăđ t f  x  3x2  x    x  1 x2  Ta tínhăđ c f '  x  x   x2   x  x  1 x2   f 1   x  nghi m đ n c a ph  f ' 1  Ta có h sau:  Ghi chú: Vi c tính đ o hàm c a hàm s ng trình f  x có th tính tr c ti p b ng máy tính v i ch c n ng tính đ o hàm mà khơng c n tính cơng th c c a f  x Nh ng trongătr s d ng máy tính c m tay b n nên tính ln nh th Ta có ph ng h p thi khơngăđ c   ng trình (*)   x  1 3x   x2    x  Nghi m kép Nghi m kép x  a nghi m mà t i ph ng trình f  x  đ c phân tích thành nhân t có d ng  x  a  g  x  g  a   Ví d : Cho ph ng trình sau: x3  3x2  12 x  20  x2  x    x  1 x2  x  ** B ng vi c s d ng TABLEăđ xác đ nh kho ng nghi m ch c n ng SOLVE c a máy tính ta tìm đ c nghi m c a ph ng trình x  Ta xác đ nh nghi m đ n hay nghi m b i c a ph ng trình.ăTaăđ t g  x  x3  3x2  12 x  20  x2  x    x  1 x2  x  2x 1 x2  x    x  1 2x 1 x2  x   Ta tính đ c g '  x  x2  x  12  2 x  x 1 x  x 1  g  2   Ta có h sau:  g '    , suy x  nghi m kép c a ph ng trình (**)   g ''     2 Ta có ph ng trình (**)   x    x   0 x2 x  x 1   Nghi m b i ba Nghi m b i ba x  a nghi m mà t i ph ng trình f  x  đ c phân tích thành nhân t có d ng  x  a  g  x  g  a   Ví d : Cho ph ng trình sau: x3  x   3x2  3x  *** Ta c ng dùng TABLE đ rà sát kho ng nghi m SOLVE đ gi i tìm nghi m c a ph ng trình kho ng đư xác đ nh, ta đ c nghi m c a ph ng trình x  Ta xác đ nh nghi m đ n hay nghi m b i c a ph ng trình.ă t h  x  x3  x   3x2  3x  Ta tínhăđ 2x 1 c h '  x  3x2    3x  3x  1 Mai Xuân Vi t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com  3x  3x  1   x  1  x  1  x2  x  1  3x  x  1 h ''  x  x   3x  x  1 4 h     h '     x  nghi m b i ba c a ph ng trình (***) Ta có h sau:  h ''      3 h      0 x0 Ta có ph ng trình (***)  x3  x   3x2  3x   x3 1    x   3x  3x   Và c th t ng t b n s tìm đ c nghi m b i b c 4, b c 5, b c 6,ă… Nh ng khn kh ch ng trình THPT b n ch nên quan tâm t i lo i nghi m đ n, nghi m kép nghi m b i ba đ r i Chú ý: Nhi u b n s g p khó kh n xác đ nh nghi m b i đ o hàm nhi u c p c a bi u th c ch a c n th c nói chung r t ph c t p c ng t n r t nhi u th i gian nên s h ng d n b n làm m t khác ti t ki m th i gian h n r t nhi u C s lỦ thuy t: Nh b n đư bi t đ i v i nghi m b i l (nghi m b i 1,ă3,ă5,ă7,ă…)ăthì giá tr bi u th c s đ i d u qua nghi m đ i v i nghi m b i ch n (nghi m b i 2,ă4,ă6,ă8,ă…)ăthì giá tr bi u th c s khơngăđ i d u qua nghi m M c khác ch ng trình THPT ch c n quan tâm t i vi c phân bi t ba lo i nghi m : nghi m đ n, nghi m kép nghi m b i ba Trong nghi m đ n nghi m b i ba nghi m b c l , nghi m kép nghi m b c ch n V y ta s phân bi t nh sau: Ví d 1: Cho ph ng trình x2   x  Dùng ch c n ng SOLVE ta tìm đ c nghi m c a ph ng trình x  2.561552813 Giá tr s m c đ nh l u t i bi n X c a máy tính Ta thay bi n X b i bi n A đánh vào hình nh sau: B m CALC nh p X + 0.00000001 b m =ătaăđ c k t qu : B m CALC nh p X – 0.00000001 b m =ătaăđ c k t qu : Mai Xuân Vi t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com th y f  x  0.00000001 f  x  0.00000001 trái d u nhau, có ngh a qua nghi m x  2.561552813 bi u th c đ i d u ta ch n đ i l ng 0.00000001 m t đ i l ng an toàn đ đ m b o r ng kho ng  x; x  0.00000001 kho ng  x  0.00000001; x khơng th có nghi m khác T ta có kh ngăđ nh nghi m x  2.561552813 nghi m b i l c a ph ng trình, gi ta ch c n xác đ nh nghi m đ n hay b i ba n a xong Ta xác đ nh nh sau: - Gán nghi m X lúc cho bi n A đ l u tr D - Tính đ o hàm bi u th c f  x t i x  A Ta th y f '  x x2.561552813  suy x  2.561552813 nghi m đ n c a ph ng trình Ta b t đ u tìm đ i l ngăđ liên h p.ă ý th y m t nghi m vơ t khơng bi t xác giá tr c a nên khơng th tách liên h p  x  a  mà ta tách liên h p d a vào m t đ i l ng vơ t khác bi u th c có ch a x Ph ng pháp làm s tính giá tr t t c c n th c có ch a ph ng trình so sánh giá tr v i x đ đ a bi u th c liên h p v i t ng c n V i này, ta có: x  1.561552813 v i x  2.561552813 ta suy x    x 1 V y ph ng trình s đ c phân tích thành: x  x    x   x    x2  x      x   x 1   x2  x   1     x  x   1       x 1 x    x   x     Chú ý:ăTr c gi i nh ghi u ki n c a ph ng trình, nhi u b n h iă“v i vã”ănên th ng quên d n t i nh n d nghi m Nh u ki n c a ph ng trình Mai Xuân Vi t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com 5  x    x  ây cách n u s d ng đư “bí”ăh ng b ng t thu n tuý, giúp m t s b n trìnhăđ v a ph i nh ng v n gi i đ c m y ph ng trình - b t ph ng trình vơ t h i ph c t p b ng s h tr c a máy tính c m tay Ngồi c ng xin gi i thi u v i b n cách gi i khác s d ng t bình th khơng có s h tr c a máy tính c m tay, b n có th tham kh o bênăd i: ng Cách 1: S d ng ph ng pháp đ t n ph Gi i ph ng trình: x2   x  i u ki n: 5  x    x  t y  x   , ta có h ph  x   y   x  y x  y  1  y x     ng trình sau:   x    21  x   x5  x x x           x  1 17       x x   x    x2  x    Cách 2: S d ng ph ng pháp d n t ng bình ph Gi i ph ng trình: x2   x  i u ki n: 5  x    x  ng 2 1 1  1   x5 x5    x    x   4 2  2   x   1  21   x  x   x    x5  x x x          1  17 x    x    x    x    x  1 x    2    x  x   x2   x   x2  x  Cách 3: S d ng ph ng pháp tách liên h p thông qua h ng đ ng th c Gi i ph ng trình: x2   x  i u ki n: 5  x    x       x2   x    x2   x  5   x  x    x  x  x  x     x    21  x   x5  x x x         1  17  x    x    x  1 x     x2  x    Cách 4: S d ng bình ph ng c n b n vƠ gi i ph ng trình b c  x    x    x  x2   x         x  10 x  x  20   x    x  5 x    x  x    x    2     81   1 9  1 2       x x x x    x x         0 4  4 2  2   Mai Xuân Vi t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com   21      5 x x x   x    x         21 17  1  17  x  x  x   x  x    x  x   2  Nh n xét: Các b n th y đó, n u s d ng đ c t m t cách linh ho t ta có th t o nhi u l i gi i hay đ p Cách gi i d i s h tr c a máy tính cho ta m t h ng điăđ có th gi i đ c nh ng không làm cho gi i Tốn h n Ví d 2: Gi i ph ng trình x2  3x   x x    x  1 3x  Dùng ch c n ng SOLVE c a máy tính ta tìm đ c m t nghi m x  1.618033961 Ta ti n hành ki m tra nghi m đ n hay nghi m b i C ng t nh sau: - Gán giá tr x tìm đ c cho bi n A đ l u tr - ng t nh ví d 1, ta làm t f  x  x2  3x   x x    x  1 3x  Ta tínhăđ c f  A 0.00000001  1.3425  1010 Ta tính đ c f  A 0.00000001  1.3399  1010 Ta có f  A 0.00000001  f  A 0.00000001  hay nghi m x  A m t nghi m b i b c ch n c a ph ng trình, khn kh c a ch ng trình THPT ta suy ch nghi m b i ch n b c Ta ti n hành tìm t t c đ i l ng liên h p c a c n th c ch a ph tính giá tr t t c c n v i giá tr nghi m x  1.618033961 v a tìm đ c ng trình b ng cách Mai Xuân Vi t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Thay vào c n th c ta tínhăđ c:   x   1.61803398    3x   2.61893397 B ng nhìn tr c quan, ta có đánh giá sau:  x   x   3x   x  V y đ iăl        ng liên h p cho c n là: x 1  x   3x   x  ng trình c a có nghi m b i nên nhân t tách liên h p s có d ng Vì ph  x 1  x   x2  x   x x  Ta b t đ u trình bày l i gi i ph   x   x   x2  x    x  1 x  ng trình nh sau: x  3x   x x    x  1 3x   x2  x   x x    x  1 3x  2      x2  x   x x   x2  x    x  1 3x       x 1  x   x  1  x 1  x  3x   x       x x x    x x         Nh n xét: N u t khơng t t s r t khó gi i đ c này, nh ng v i s h tr c a máy tính c m tay, đư tìm đ c l i gi i m t cách t nhiên mà khơng q khó kh n v i nh ngăng i tr c “y u”ătrongăvi c gi i ph ng trình vơ t Ví d 3: Gi i ph ng trình x  x2  x  3   x3  x2  x  1 Phân tích:ă u tiên ta c ng s d ng ch c n ng SOLVE c a máy tính c m tay gi i ph tìm đ c nghi m x  Ta ki m tra nghi m nghi m đ n hay nghi m b i c a ph - ng trình ng trình Ta làm nh sau: t f  x  x  x2  x  3   x3  x2  x  1 Ta đ nh gán nghi m cho m t bi n máy tính nh nghi m h u t nên ta nh p ln vơ q trình tính tốn hai lân c n cho ti t ki m th i gian Ta có: f 1  0.0001  1.5 1012 f 1  0.0001  1.5 1012 Mai Xuân Vi t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com PH NG PHÁP CÂN B NG TệCH C s lỦ thuy t: Choăph ngătrìnhăcóăd ngă g  x  h  x n f  x v iă f  x , g  x , h  x làăcácăđaăth c.ăN uăph ngă trìnhăcóănghi mă x  x0 làănghi măc aăbi uăth că n f  x  A x thìălnăt năt iăm tăphânătíchăcóă d ng: g  x  h  x n f  x   A x  n f  x  B  x   Trong tốn xét thì:  B c c a c n th c b c ho c b c  a th c f  x , h  x g  x  có b c bé h n ho c b ng  Ph B a th c A x th ng s m t bi u th c b c 1: A x  ax  b ng pháp s d ng: c 1: S d ng máy tính c m tayăđ tìm bi u th c A x : S d ng ch c n ng SOLVE c a máy tính c m tayăđ tìm nghi m g  x  h  x n f  x , sau l u nghi m tìm đ c vào m t bi n b t k máy, ch ng h n s l u vào bi n A S d ng ch c n ng TABLE c a máy tính c m tayăđ kh o sát hàm s sau: n f  A  AX v i giá tr kh i đ u START -10, giá tr k t thúc END 10, b c nh y l p nghi m STEP Ta s đ c m t b ng giá tr v i m t bên giá tr c a X , m t bên giá tr c a f  X  T i ta s l y giá tr mà t i X f  X  hai s h u t ( u tiên ch n s nguyên nh ) B c 2: Cân b ng tích: Ta s cân b ng hai v v i bi u th c ph ng trình v d ng: n n f  x , A x  n f  x   f  x , An  x đ đ a   k  x An  x  h  x A x  k  x f  x  h  x n f  x Trong g  x  k  x  An  x  f  x   h  x A x Tu vào bi u th c g  x  mà ta s l a ch n k  x phù h p đ cân b ng Thôngăth h s a , bi u th c b c nh t ax  b , bi u th c b c ax2  bx  c hay phân th c Chú ý:  Bi uăth că A x thơngăth ng k  x s m … ax  b ngălàăb cănh tănh ngăc ngăcóăth ălàăbi uăth căb căcaoăvàătaăphán đốnă A x d aăvàoăt ngăbàiătốn Ki tốn cóănhi uănghi măl ăthìătaăcóăth ăs ăd ngă1 nghi măb tăk ătrongăđóăđ ăcânăb ng,ăthơngăth ngăm iănghi măl ăs ăchoătaăm tăbi uăth c cânăb ngăkhácănhau.ăDùăbi uăth căcânăb ngăkhácănhauănh ngăk tăqu ăcu iăcùngăđ uăđúng  V i toán sau kh o sát b ng TABLE ta th y có r t nhi u c p nghi m nguyên vi c l a ch n bi u th c cân b ng ph thu c vào h s c a lu th a l n nh t có tốn, ta ch n h s c a x c c a h s lu th a l n nh t N u ch n h s khơng ta khơng c n b ng đ c m c dù bi u th c c a ta v n ch a nghi m nh ng s d n t i nghi m đ c gi i không tri t đ r t khó khai tri n cho bi u th c l i i u em có th d dàng ki m nghi m v i m t ph ng trình có nghi m ngun nhi u c p  x; f  x  s nguyên 21 Mai Xuân Vi t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com BƠi t p áp d ng: Ví d 1: Gi i ph ng trình x    x2 * Phân tích: S d ng ch c n ng SOLVE c a máy tính c m tay, ta tìm đ c m t nghi m c a ph ng trình x  0.6180339887 ta gán nghi m tìm đ c cho bi n A S d ng ch c n ng TABLE c a máy tínhăđ kh o sát hàm s F  X   A  AX v i giá tr START = -10, END = 10 STEP = Xem xét b ng giá tr nh n đ c ta có c p giá tr nguyên X  F  X   Khi ta suy A x  x  hay x   x  Ta vi t l i ph ng trình cân b ng nh sau: *   x2  x  x x  :  x  1  x  u tiên ta cân b ng cho Khi v trái th a l i   x2    x  1   x  x2 Do bi u th c cân b ng có b c b c c a bi u th c th a c ng nên ta s cân b ng nh sau: a  x  1   x  1  a  x    x  ** ng trình (*) a  x  1  a  x     x  x2 ,ăđ ng nh t hai Khi đ (**) t ng đ ng v i ph v taăđ c a  1 L i gi i: i u ki n: x  2 Ta có: *    x  1   x  1    x    x  2   x     x  1    x    x  1        x   x 1  x   x 1 x  x     x    x    x  1   1  x  x  x       x0     x    x2  x     V y ph ng trình đư cho có nghi m x  1;  1        ng trình: x2  x    x  1 x  * Phân tích: Làm t ng t ta tìm đ c bi u th c cân b ng A x  x  hay x   x  Ta ti n hành cân b ng cho x x  nh sau:  x  1 x  1   x  1 x  Do x nhân v i  x  1 nên v trái ta c ng nhân v i  x  1 Lúc bi u th c th a l i v trái  x2  x     x  1 x  1  x2  x  Ví d 2: Gi i ph Ta ti p t c c n b ng cho  x  n  x   x  1 (chính cân b ng  n f  x  An  x )   Do b căc aăbi u th c cân b ng bi u th c th a đ u b c nên ta cân b ng: a  x  1   x  1 x  1  a  x     x  1 x  2 Khi ta suy a  x  1  a  x    x2  x  ă L i gi i: i u ki n x  2 Ta có: 22 ng nh t h s taăđ c a  Mai Xuân Vi t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com *   x  1   x  1 x  1   x     x  1 x  2   x  1   x      x  1  x  1  x       x   x 1  x 1 x  2x  x      x   2 x   x  1  1   x    x    x  1     33   x  x      x    2 x   1   33   ng trình đư cho có nghi m x   ;       V y ph Ví d 3: Gi i ph   ng trình: x3  3x2  3x   x  1 0 * Phân tích: Ta s d ng ch c n ng SOLVE c a máy tính c m tayăđ tìm nghi m ch c n ng TABLE đ tìm bi u th c cân b ng nh ng sau xem xét b ng giá tr X , f  X  nh n th y khơng có c p giá tr h u t c Th c ch t làm nh ví d tr c taăđã m c đ nh h s ng v i c n nh ng th c t bi u th c cân b ng c a c n th c ph i có d ng k f  x  ax  b toán này, v i giá tr k  ta khơng tìm th y bi u th c cân b ng cho x   ax  b , ta ti p t c th v i k  , t c bi u th c ta c n kh o sát TABLE s f  X   A  AX v i A nghi m c a ph ng tìm đ c b ng SOLVE Lúc ta đư thu C th đ c bi u th c cân b ng x    x Ta ti n hành cân b ng tích nh sau: *  x3  3x2  3x  2  x  1 x  Ta cân b ng cho x x  :   x  1  x    x  1 x  Bi u th c th a l i c a v trái là:  x3  3x2  3x   x  1 x  x3  x2  x   Ta cân b ng ti p cho   x  x    x  1 Nh ng bi u th c th a b c mà l ng cân b ng ch b c nên ta ti n hàng cân b ng v i bi u th c b c nh t ax  b :  ax  b  x2   x  1  x   ax  b   x  1   x  1 x 1 a  b  Chuy n v đ ng nh t h s :  ax  b  x2   ax  b   x  1  x3  x2  x   L i gi i: i u ki n: x  1, ta có: *  x.x2   x  1  x  x.4  x  1   x  1  x  x2   x  1    x  1  x  x      x   x   x 1   x x  x  x  x    x  1 x  x     x     x  1 2x x    x  x 1 x  x 1  x  x 1  2 x    x 0   x  x    x   x 23 Mai Xuân Vi t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com   x   x    x   2  4  x  1  x  x  x       1  x  x    x    2   x   x2  x x        1   V y ph ng trình đư cho nghi m x  2  2;      Ví d 4: Gi i ph ng trình: x3   x  * Phân tích: S d ng máy tính c m tayătaăđ c m t nghi m x  x  0.6180339887 , ta l u nghi m l vào bi n A, ti n hành kh o sát b ng TABLE tìm đ c bi u th c cân b ng 2x 1  x Ta b t đ u cân b ng cho 2x1 x nh sau: 2x  x 1 Khi v trái th a l i:  x3  1  x  x3  x  Do bi u th c th a l i b c v i bi u  2x 1  th c c n cân b ng th hai x3 Ta ti p t c cân b ng cho  2x 1  nên ta cân b ng v i h s b c a  x  x3 : ax3  x  a  x  1  x  Chuy n vé đ ng nh t h s : ax3  a  x  1  x3  x   a  L i gi i: i u ki n x , ta có: *  x3  x   x  1  x    x3   x  1   x  x       x  x   x2  x x    x  1        x  x   x2  x x    x  1   x  x   x  2x 1     x  1   V y ph   1         ng trình đư cho có nghi m x  1; Ví d 5: Gi i ph ng trình x3  x2  5x  5x2  * Phân tích: S d ng ch c n ng SOVLE c a máy tính c m tay ta tìm m t nghi m c a ph ng trình x  Vì m t nghi m nguyên nên trình kh o sát nghi m b ng TABLE, ta nh n th y có xu t hi n r t nhi u c p nghi m nguyên  x, f  x   , v y v n đ đ t ta nên ch n bi u th c phù h p nh t Do bi u th c c n tìm có d ng x2   ax  b Vi c l a ch n a tu thu c vào h s c a lu th a l n nh t x3 , a m t c c a h s này, v i h s c a x3 a s c c a 1, ta ch n a  Nh v y ta ch n bi u th c cân b ng x2   x  Ta ti n hành cân b ng tích cho x  x2  nh sau:  x  1  5x2  Khi v trái th a l i: x3  x2  x   x  1  x3  x2  3x  Ta cân b ng ti p cho  x2    5x  3x  x  1 3 : a  x  1   x  1  a  x2  3  x2  3 24 Mai Xuân Vi t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chuy n v đ ng nh t h s : a  x  1  a  5x2  3  x3  x2  3x   a  L i gi i: i u ki n x , ta có: *   x  1     x  1   5x2  3  5x2    x  1   5x2  3  x   5x2     2    x   x2   x  1   x  1 x2    x2  3       x   x2   x3  x2  3x    x  V y ph ng trình đư cho có nghi m x 1 Ví d 6: Gi i ph ng trình: x2  x    x2  x x  x * Phân tích: Do bi u th c d i c n có d ng phân th c nên ta nhân thêm x vào đ đ a v d ng đa th c , t c ph ng trình  x2  x    x   x3  3x v i l u ý x  S d ng ch c n ng SOLVE c a máy tính c m tay ta tìm đ c hai nghi m c a ph ng trình x  x  Do bi u th c cân b ng c a có d ng: x3  3x  ax  b , thay l n l t hai nghi m vào taăđ  13  3.1  a 1 b a  b  a     x3  x  x 3a  b  b    3.3  a  b ch :  Ta cân b ng tích cho 2x x3  x nh sau:  x   x   x   x3  3x Khi v trái th a l i x2  x    x   x  x2  x  Ta cân b ng ti p cho  x2   x2  x3  3x   x3  3x Do ph n th a l i c a v trái b c mà bi u th c c n cân b ng l i b c nên ta s cân b ng v i phân th c a (doăhaiăl x ng cân a a x   x   x   x3  3x   x   x3  3x x x a a Chuy n v đ ng nh t h s : x   x  3x  x2  x   a  2 x x L i gi i: i u ki n: x  2 *   x2   x   x    x3  3x   x   x3  3x x x 2      x2   x3  3x    x   x  x3  3x   x  x3  3x  x   x  3x   x x    x    x3  3x  x x   x  x  3x   (do u ki n x  )     x3  3x  x2  3x   x  3  x  x     x4  x3  x2  12 x  V y ph ng trình đư cho có nghi m x 1;3 b ng có nhân t x ) :     Ví d 7: Gi i ph ng trình:  x  1 x  1   x  1 3x   x  x2 * Phân tích: S d ng ch c n ng SOLVE c a máy tính c m tay ta tìm đ c hai nghi m c a ph trình x  x  Ta tìm đ c bi u th c cân b ng 3x   x  x2 *  x4  2x3  x2  5x 1    2x  1 ng 3x  25 Mai Xuân Vi t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Khi ta cân b ng cho 7x  x2 3x :   x  1 x  1    x  1 3x  Khi v trái th a l i:  x4  x3  x2  x  1   x  1 x  1  x4  x3  3x2  x Ta cân b ng ti p cho  x  1 l  3x    x  Do bi u th c th a v trái b c mà ng cân b ng l i ch b c nên ta cân b ng v i bi u th c ax2  bx  x nh sau:  ax  bx  c   x  1   x  1 x  1   ax2  bx  c   3x  1   x  1 3x  Chuy n v đ ng nh t:  ax2  bx  c   x  1   ax2  bx  c   3x  1  x4  2x3  3x2  2x Ta tìm đ c a  1, b  1, c  hay bi u th c cân b ng x2  x  2 *  x  x   x  1   x  1 x  1  x2  x  3x  1   x  1 3x  L i gi i: i u ki n: x           x2  x    x  1   3x  1    x  1 x   3x        x   3x   x3  x    x2  x   3x    1   x   3x    x3  x    x2  x   3x   x    3   x  1  x  1 x   3x   x      x   x  x  x  x  V y ph ng trình đư cho có nghi m x  0;1 Ví d 8: Gi i ph ng trình  x  1 x  1  x2  x  x3  * Phân tích: Dùng ch c n ng SOLVE c a máy tính c m tay, ta gi i đ c m t nghi m c a ph ng trình x  2.7320 S d ng ch c n ng TABLE c a máy tính ta tìm đ c đ i l ng cân b ng x3   x  Khi ph n th a c a v trái  x  1 x  1  x2  x   x4  x3  x2  x  Ta ti p t c cân b ng cho  x3    x3   x  1 Do đ i l ph n d c a v trái l i b c nên ta cân b ng v i m t l  ax  b  x  1   x  1   ax  b   x  1  x  ng cân b ng b c mà ng ax  b nh sau: Chuy n v đ ng nh t:  ax  b  x  1   ax  b   x3  1  x4  x3  x2  x  2 Sauăkhiăđ ng nh t ta khơng tìm đ c giá tr a , b tho mãn Khi u x y có th hi u r ng bi u th c ta tìm đ c ch a Ta s thayăđ i suy ngh m t chút: Ta bi t r ng ph ng trình s ln có nhân t d ng x3   A x nh ng không ph i bi u th c b c 1: A x  ax  b , b c c a ph ng trình nên ta ngh ngayăđ n A x  ax2  bx  c ngh a bi u th c cân b ng b c ý th y b c c a lu th a l n nh t  x4  nên ta s ch n a  , bi u th c cân b ng có d ng: x3   x2  bx  c Ta s kh o sát b ng TABLE v i hàm f  X   A3   A2  AX v i A nghi m c a ph ng trình tìm đ th c cân b ng c n tìm s trên, ta tìm đ c m t giá tr X  1, f  X   1 Ta suy bi u x3   x2  L i gi i: i u ki n: x   c , ta có: 26 Mai Xuân Vi t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com *  x4  x3  x2       x3    x4   x3  1   x2  x3     x2  x3  x2   x3   x   x2   x3   2 x3     x2    x3   x2     x  1 3  x  x  x  V y ph   ng trình đư cho có nghi m x   Ví d 9: Gi i ph ng trình:  x  1 x     x * Phân tích: Bài tốn ch a c n không ph i d ng đ ta cân b ng tích nh ng bi u th c d i c n c ng nh c năđ u b c 1, đ n gi n bình ph ng bi u th c thuăđ c t i đa b c Nên ta s bình ph ng hai v đ đ aăv d ng cân b ng tích nh sau: *  2  x  1 x   1   x  x3  x2   x  1 x   S d ng ch c n ng SOLVE c a máy tính c m tayăđ gi i ph ng trình ta tìm đ c nghi m x  0.809016994 Dùng TABLE kh o sát ta tìm đ c bi u th c cân b ng 2x   2x L i gi i: i u ki n:   x  , ta có: *  x3  3x2   x  1    x    x  x  x2  x   x x     x  x    x2  x   x x    x  1  x  x   x  1  2x   2x    x 4 x  x   1   V y ph ng trình đư cho có nghi m x      Ví d 10: Gi i b t ph ng trình x3  x2   x         * 2x   Phân tích: Xem b t ph ng trình c ng nh ph ng trình, ta c ng dùng ch c n ng SOLVE c a máy tính c m tay gi i raăđ c nghi m x  1 x  1.4142 L u nghi m l vào bi n A dùng TABLE kh o sát ta tìm đ c bi u th c cân b ng 2x   x  L i gi i: i u ki n: x   , ta có:  *  x3  x2  x    x     x   x   x  x2  x   x x    x   2x   2    x   x   x  1  x  x  0    x  12  x  x   V y b t ph ng trình đư cho có nghi m x   2;   1      Ví d 11: Gi i b t ph Phân tích: D th y b t ph *   x  1 2 x   x    0  x  1 ng trình  x2  1 x    x3  x2  * ng trình có nhân t chung x  1, ta có th tách đ   x  1 x    27 c thành: Mai Xuân Vi t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com   c x2   x  1 x   x   2 x  x   x  Dùng k thu t cân b ng tích ta tính đ nên x   x   ,ăkhiăđó b t ph ng trình c a t v i  x  1 x   2 x   Bài toán đư tr nên đ n gi n h n nhi u Do u ki n x    ng đ  ng  L i gi i: i u ki n: x   Ta có: *   x  1 2 x2   x  1    x      x  1 x   2 x  x   x   nên b t ph ng trình t ng đ ng v i:   x    x    x   2 x     x  1 x   2 x      x    x 3        x   2 x    Do 2x   2x   v i x      V y b t ph Ví d 12: Gi i b t ph cân b ng tích *   x2  x  x  Dùng máy tính c m tay tìm đ        ng trình v i h s a nh sau: x2  x  x3  x2  x   Chuy n v đ ng nh t h s : a x   a L i gi i: i u ki n: x   Ta có:  x 1  2x     x  x  x2  x Vì bi u th c d b c trùng v i b c v i ng cân b ng nên ta cân b ng b t ph a x 1  2x   a   2 x3  x2  x  x   x2  x  x  x3  x2  x : x   x3  x2  x Ta ti p t c cân b ng cho x  *    ng trình đ a v c n th c nh t áp d ng v trái là:  x2  x     x    x2  x  Bi u th c d  *   x2  x    x2  x   x3  x2  x c bi u th c cân b ng Ta cân b ng tích cho  x     x2  x  x    x2  x   ng trình ng hai v cho b t ph Phân tích: Ta s bình ph đ il   ng trình đư cho có nghi m x   3;1   3;      x2  x  x2  x   a  1 x2  x  x3  x2  x     x   x2  x x   x2  x  x  x   x2  x  x 1   x   x2  x   x   x2  x   x2  6x      x   13 V yăb t ph ng trình đư cho có nghi m x 1  3;3  13  28 Mai Xuân Vi t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com BƠi t p t luy n:  Bài 1: 2x 1  x2  3x    Bài 2: 4x2 13x   3x    Bài 3: x2  15 x   x2   Bài 4: x2  x    x  2 x2  x   Bài 5: 4x2  2x   8x   Bài 6: 3x2  3x    x   3x2  x   Bài 7:  x  2 x2  x   x2  5x   Bài 8: x2  x  10   x   x    Bài 9: x2  x   3x2  3x  3x   Bài 10: x2  3x    x  3 x2   Bài 11:  x  1 x3   x3  x   Bài 12: 2 x    x  x2  16  Bài 13: x3 15x2  78x 141  2x   Bài 14: x3  x2  12 x    x3  x2  19 x  11  Bài 15: 2 x3  10 x2  17 x   x2 x  x2  Bài 16: x2  3x  x   x x   x  Bài 17: x3  3x2  x    x2  3x x2   Bài 18:  x  1  3x2  1   x  1 x2  x  1 x  Bài 19: x3  x    x2  x   x2   Bài 20:  5x   x    x  5 3x    Bài 21: x3  3x2  x   x2  x   Bài 22:  x2  x    x3   Bài 23: x2  15 x   x2  x  20  x   Bài 24: x2  x   x   3x2  x  19   Bài 25: x3  x    x2  x  1 x2    Bài 26: x2  x    x  3 x   Bài 27: x4  x3  x  x x  x2  x  Bài 28:  x2    x3  x2  x   x3  x2  x x  x3  x2  Bài 30: x     x  1  x  1  Bài 29: 29 Mai Xuân Vi t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com PH NG PHÁP T O TÍCH NHÂN T C s lỦ thuy t: a m t ph ng trình vơ t v d ng tích c a ph ng trình vô t c b n Ph ng pháp ch y u d a vào vi c nhóm nhân t thơng qua ph ng pháp liên h p hay có nói cách khác cách ng c đ tìm liên h p u m c a ph ng pháp s h n ch vi c b n đánh giá bi u th c sau liên h p Chú ý: Ph ng pháp th c s r t hi u qu v i ph ng trình - b t ph ng trình vơ t d ng c n th c nên mu n s d ng ph ng pháp c n chu n hố ph ng trình - b t ph ng trình đ a v m t c n th c h t đ c Ph ng pháp áp d ng: B c 1: S d ng ch c n ng SOLVE c a máy tính c m tay tìm nghi m c a ph ng trình vơ t l u nghi m vô m t bi n nh b t k c a máy tính t Aăđ n M s l u bi n A ch ng h n Còn b n thích l u bi n s d ng bi n nhé, khơng b t bu c Ví d tìm nghi m ph ng trình: x   2x2  x  30 Mai Xuân Vi t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com B c 2: Tìm nhân t chung c a ph ng trình - b t ph ng trình N u ph ng trình có nghi m vơ t S d ng ch c n ng TABLE c a máy tính c m tay kh o sát hàm f  X  có d ng nh sau: f  X   n g  A  AX A nghi m ph ng trình tìm đ c l u vào đây, g  x  bi u th c c n L u ý ph ng pháp ch gi i quy t đ c nghi m đ n nghi m kép, nghi m b i ba tr lên khơng nên s d ng ph ng pháp V i giá tr START 20, END -20 STEP Ta ch n s t ngăđ i l n th đ đ m b o kh o sát h t, tránh xót tr ng h p Xem xét b ng giá tr c a TABLE, ch n giá tr TABLE mà f  X  ngun, ví d ta có c p  X  m, f  X   n  nguyên, bi u th c liên h p c a c n tìm đ c s n g  x  mx  n Ví d : Tìm liên h p c a ph ng trình:  x   x   x3  x2  x  S d ng ch c n ng SOLVE c a máy tính c m tay, ta tìm đ c m t nghi m ph x  3.302775638 l u nghi m vào bi n A Dùng ch c n ng TABLE kh o sát hàm s ng trình f  X   A  AX Cu i ta có b ng giá tr c a TABLE, ch n giá tr f  X  nguyênăđ t o nhân t D a vào b ng giá tr c a TABLE ta th y v i x  1 f  x  1 c p s ngun ta c n tìm Khi nhân t c n nhóm c a s là: x   x 1 Chú ý: N u nghi m nghi m b i b c n nhân t s có d ng:   n f  x  ax  b N u ph ng trình có nghi m h u t : *** N u ph ng trình có m t nghi m h u t a nghi m nghi m b i n c a ph n ph ng trình ln có nhân t  x  a  phân tích 31 ng trình Mai Xn Vi t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Ví d 1: Gi i ph ng trình sau: x   x2  x  * Phân tích: Dùng ch c n ngăTABLEăkh oăsát kho ng nghi m dùng ch c n ng SOLVE c a máy tính c m tay ta tìm đ c m t nghi m c a ph ng trình x  Sau ki m tra ta nh n th y m t nghi m đ n c a ph ng trình Ta thay nghi m x  vào c n x ta có x  , ph ng trình có nhân t x  L i gi i: i u ki n: x  2 , ta có:  *  x2 x    x2  x  10  x    x   x        x  2  2x       x   2  x    x  2   x  1 V i x  2  x    V y ph x   nên ph x  1  0 x   2 ng trình đư cho s  x    x  ng trình đư cho có nghi m x  2 Ví d 2: ng trình sau:  x2  x  10  x   x3  x2  x  85  * Gi i ph Phân tích: Dùng ch c n ngăTABLEăkh oăsát kho ng nghi m dùng ch c n ng SOLVE c a máy tính c m tay ta tìm đ c m t nghi m c a ph ng trình x  Sau ki m tra ta nh n th y m t nghi m kép c a ph ng trình, t c ph ng trình s có nhân t  x   Thay x  vào c n có ph trình thành  x 1   *   x2  x  10   x    x  x  10  x   x 1 Ta có 3x   Khi ph ng  x    x3  x2  x  85    x    x2  x  10  x2  x  10  2    x  5  3x  8   x    3x   0 x   x 1   x2  x  10 x   x 1 ng trình t x   hay ta s tách nhân t c a ph  x   x  tính ch t nghi m kép L i gi i: i u ki n: x  Ta có:  x  5 ng trình, ta có  ngăđ x2  26 x  14   3x  8 x  x   x 1 ng v i  x  5   x   v i x  V y ph ng trình đư cho có nghi m x  5 *** N u ph ng trình có nhi u h n nghi m h u t , s xét tr ng h p hai nghi m h u t , tr ng h p nhi u h n nghi m s t ng t nh tr ng h p Gi s ph ng trình có hai nghi m h u t x   x   th c t ta c ng có th phân tích l n l t t ng nghi m theo nhân t  x     x    v i m, n b c nghi m t ng ng c a  ,  nh tr ng h p nghi m nh trên, nh ng làm nh v y s n t n nhi u th i gian phân tích nhân t gi i s khôngăđ c ng n g n.ă giúp quy t u s đ a m t gi i pháp đ t nhân t mang tính t i u tri t đ cho toán đ n gi n ng n g n nh t Ta có m  n t ng b c c a hai nghi m, c n th c có c n s liên h p v i m t đa th c có c ng có b c m  n  , t c ph ng trình s có nhân t c năđ c vi t d i d ng  p g  x   a xm n 1  a1 xm n 2   a m n 1   m n   Ví d 1: Gi i ph ng trình x   3x  8x  * Phân tích: Kh o sát b ng ch c n ngăTABLEăđ xác đ nh kho ng nghi m c a ph ng trình, dùng ch c n ng SOLVE c a máy tính c m tay ta gi i tìm đ c hai nghi m c a ph ng trình x  32 Mai Xuân Vi t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com x  Sau ki m tra ta th y hai nghi m đ u nghi m đ n, t c ph ng trình s có nhân t x  x  3  x2  3x ă i v i h c sinh có t t t d a vào nhân t có th nhóm ph ng   trình l i thành: *  x   x    3x2  x  Nh ng ph ng pháp đâyăđ c đ c p đ giúp t t c em, k c h c sinh y u chuyênăđ c ng có th làm đ c,ăđ c bi t ph ng trình ch c r t nhi u c n vi c phân tích b ng t c a em có h c l c trung bình s g p khó kh n Chính v y, ta s làm nh sau: Do b c c a nhân t tìm đ c x  x  3 b c nên liên h p c a c n s có d ng: x   ax  b Thay l n l t hai nghi m x  x  vào liên h p, gi i h ph ng trình,ătaăđ c: L i gi i:     a  b a        a b 3 b   i u ki n: x  1 Ta có: *   3x2  x   x   V y ph x 1  x3 hay x   x   x     x2  x  x2  3x x   x 1 x      x2  3x      x  3x    x  x   x 1    ng trình đư cho có nghi m x  0;3 0 Ví d 2: Gi i ph ng trình x3  5x2  10 x  12    x x   * Phân tích: DùngăTABLEăđ kh o sát kho ng nghi m c a ph ng trình dùng ch c n ng SOLVE c a máy tính đ gi i, ta tìm đ c nghi m c a ph ng trình x  1, x  2, x  Sau ki m tra tính ch t nghi m b i ta th y nghi m đ u nghi m đ n c a ph ng trình T c ph ng trình s có nhân t  x  1 x   x  3  x3  x2  11x  T i n u b n có t t t s d dàng nhóm nhân t nh th này: *   x3  x2  11x     x2  x     x  3 x    Ta bi n đ i theo cách t ng quát đ tìm liên h p cho c n có ph có c n có nhân v i m t bi u th c khác ta l y ln ngun c m bi u th Do ph ng trình có ba nghi m nên theo cơng th c t ng qt liên h p t sau:  x  3 x   ax2  bx  c Thay l n l t nghi m vào ta có h ph ng trình N u bi u th c c ln b n o thành s có d ng nh ng trình: 1  3 7.1   a  b  c a  b  c  6 a        3 7.2   4a  2b  c  4a  2b  c  4  b  1   x  3 x   x  x     9a  3b  c  c  6    3 7.3   9a  b  c L i gi i: i u ki n: x   Ta có: *   x  x  11x     x2  x     x  3 x        x  1 x   x  3   x  3 x   x       x  1 x   x  3 1  0 x   7x     2   x  1 x   x  3  1   x     x   x   x  7 x   7x   V y ph ng trình đư cho có nghi m x  1; 2;3 33 Mai Xuân Vi t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Ví d 3: Gi i ph ng trình sau: x4  33x3  x2  75x  50   x  1 x  5 3x   * Phân tích: Dùng ch c n ngăTABLEăđ kh o sát kho n nghi m ch c n ng SOLVE c a máy tính ta gi i tìm đ c nghi m c a ph ng trình x  x  Ki m tra ta th y x  m t nghi m kép c a ph ng trình x  m t nghi m đ n T c ph ng trình s có nhân t  x  1  x  5  x3  x2  11x  N u gi i b ng t t i b c ta s l y đa th c x4  33x3  x2  75x  50 chia cho đa th c x3  x2  11x  taăđ c th ng x  s d  x2  6x  , t c x4  33x3  x2  75 x  50   x3  x2  11x    x     x2  x   Hay ta có *   x3  x2  11x  5  x     x2  x     3x   gi i k t qu Theo cách làm t ng qt ta có th làm nh sau: Do b c c a nhân t chung ta tìm đ c b c ba nên theo công th c liên h p c n s có d ng:  x  1 x  5 3x   ax2  bx  c Do ph ng trình có nghi m kép t i x  nên x  c ng nghi m ph ng trình đ o hàm c a Thay nghi m đ o hàm t i nghi m kép, ta có h ph ng trình:  1  11   3.1   a  b  c a  b  c  a       1   3.5   25a  5b  c  25a  5b  c   b  6   c  2a  b  4   d  x  1 x   3x    2a  b   x   dx   x  1 x  5 3x   x2  x  nhân t c n tìm c a ph ng trình *  x  33x  3x  69 x  45   x  1 x   3x    x2  x    L i gi i: i u ki n: x  Ta có:   x  1  x  5 x     x  1 x     x      x  1   x  5  x    x 1  x   2   x  1  x     x    x      3 3x    x   x  V y ph ng trình đư cho có nghi m x  1;5  0 3x    BƠi t p t luy n:  Bài 1:  x   x  10  x3  x2  11x  Bài 2:  x  4 x   x3  x2  x   Bài 3: 10 x2  3x    3x  1 x2    Bài 4: x2  x   x3   Bài 5:  x2  x   x   10  x  x2  Bài 6: x3  x2  x  10  x2  11  Bài 7: 15x2  12 x  12  10  x  1 x2    Bài 8: x2  x   x3  x2  x   Bài 9: x3  x x   x  4 x  5   Bài 10:  3x   x  x2   15  x  x2  34 Mai Xuân Vi t T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com  Bài 11:  x  2 x2  x   x2  5x   Bài 12: x2  x    x  1 x2  x   Bài 13: x2  3x   x2  x   x    Bài 14: x2  3x   x  2 x2  x   Bài 15: x2  x    x  1 x2  x    Bài 16:  5x  16 x   x2   x  20   x 2 5x   Bài 17:  x2  12 x   x   x3  22 x2  11x   Bài 18: x3  15 x2  x    3x2  x  1 x2  x   Bài 20:  Bài 21:  Bài 22:  Bài 23:  Bài 24: x   x 1   Bài 19: x 1 4 x   x   2x 3 x 2x2  x   3x x  3x2  x  x8  4x  3x2  3x  x2  x   3x  x   x 2x  x  x  2x   Bài 25: 3x2  x    3x  1 x2   Bài 26: x2  x    x  1 x2   Bài 27: 2x2  3x   x 3x   Bài 28: x3  3x2   x   x   x  Bài 29: x2   x x2  x  Bài 30:  x   x   x2  x   Bài 31: x3  x   3x    3x       Bài 32: 3x  x2    x    x  x2    Bài 33: x3  x2  x   x2  x   Bài 34: x3  3x2  x  11   x   Bài 35: x2    x x   x    Bài 36:   6 3 x 2 x  Bài 37: x   x2    x  Bài 38: x 1   x  3x2  30x  71   Bài 39: x3  x   x  1 x    Bài 40: x  x2  1   x  3  x  35 Mai Xuân Vi t ... c tính đ o hàm c a hàm s ng trình f  x có th tính tr c ti p b ng máy tính v i ch c n ng tính đ o hàm mà khơng c n tính cơng th c c a f  x Nh ng trong tr s d ng máy tính c m tay b n nên tính. .. c 1: S d ng máy tính c m tay đ tìm bi u th c A x : S d ng ch c n ng SOLVE c a máy tính c m tay đ tìm nghi m g  x  h  x n f  x , sau l u nghi m tìm đ c vào m t bi n b t k máy, ch ng h... n   x    m n  tính gi iăh nălim trong máy tính c m tay, ta nh păbi uăth c f  x vào máy tính vàăs ăd ngăch că n ng CALC v iăgiáătr ă X    0.00001 , t călàăta tính giáătr ăc aă f 