sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng giải phương trình vô tỉ

Phương trình vô tỉ là một chủ đề rất quan trọng trong các chủ đề toántrung học phổ thông. Các bài toán về phương trình vô tỉ thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng và đề thi học sinh giỏi những năm gần đây. Các bài toán này thường gây ra rất nhiều khó khăn cho học sinh, trong đó quan trọng nhất là bước định hướng tìm lời giải bài toán. Do đó, việc cần thiết là phải cung cấp cho học sinh các phương pháp thường dùng khi giải phương trình vô tỉ và định hướng lựa chọn phương pháp hợp lí qua các bài toán cụ thể. Trong quá trình giảng dạy ôn tập cuối năm cho học sinh lớp 12 và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12 tôi nhận thấy học sinh rất hứng thú với cách sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm phương trình vô tỉ từ đó đề xuất ra các giải pháp tốt nhất để giải bài toán. Cách làm này sẽ giúp học sinh tích cực hơn khi tiếp cận các bài toán phương trình vô tỉ và phát huy được tính chủ động, sáng tạo cho các em trong giải toán.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Lĩnh vực/ Môn: Toán Năm học: 2014 – 2015 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng giải phương trình vô tỉ” A - ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình vô tỉ là một chủ đề rất quan trọng trong các chủ đề toán trung học phổ thông. Các bài toán về phương trình vô tỉ thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng và đề thi học sinh giỏi Thành Phố Hà Nội những năm gần đây. Các bài toán này thường gây ra rất nhiều khó khăn cho học sinh, trong đó quan trọng nhất là bước định hướng tìm lời giải bài toán. Do đó, việc cần thiết là phải cung cấp cho học sinh các phương pháp thường dùng khi giải phương trình vô tỉ và định hướng lựa chọn phương pháp hợp lí qua các bài toán cụ thể. Trong quá trình giảng dạy ôn tập cuối năm cho học sinh lớp 12 và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12 tôi nhận thấy học sinh rất hứng thú với cách sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm phương trình vô tỉ từ đó đề xuất ra các giải pháp tốt nhất để giải bài toán. Cách làm này sẽ giúp học sinh tích cực hơn khi tiếp cận các bài toán phương trình vô tỉ và phát huy được tính chủ động, sáng tạo cho các em trong giải toán. Với những lí do trên, tôi xin hệ thống một số dạng toán về phương trình vô tỉ, các phương pháp giải và cách tiếp cận lời giải những dạng toán này thông qua việc nghiên cứu đề tài: “Sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng giải phương trình vô tỉ” II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học 2013 - 2014, khi giảng dạy môn Toán ở lớp 12A4 của trường THPT Tùng Thiện, tôi nhận thấy đa số học sinh giải thành thạo 2 phương trình vô tỉ dạng cơ bản hoặc đơn giản nhưng các bài tập nâng cao khiến các em tỏ ra lúng túng và lo lắng khi chưa có định hướng làm bài. Chính điều này phần nào đã thôi thúc tôi suy nghĩ tìm tòi để thực hiện sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng giải phương trình vô tỉ” III. MỤC ĐÍCH Với mong muốn giúp học sinh phát triển tư duy và khả năng sáng tạo khi giải các bài toán nâng cao hoặc một số đề thi Đại học – Cao đẳng về phương trình vô tỉ, tạo sự tự tin, hứng thú và niềm say mê sáng tạo cho các em, tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm : “Sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng giải phương trình vô tỉ” áp dụng cho khối 12 ôn thi Đại học – Cao đẳng và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12 ở trường THPT Tùng Thiện . Sáng kiến kinh nghiệm của tôi được trình bày theo các ví dụ với cách sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm hữu tỉ hoặc vô tỉ của phương trình vô tỉ từ đó lựa chọn các phương pháp, đề xuất hướng giải quyết bài toán giúp học sinh phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo và hiểu sâu sắc hơn các phương pháp giải phương trình vô tỉ. IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU - Điều kiện của phương trình vô tỉ. - Phương trình tương đương, phép biến đổi tương đương, phương trình hệ quả, phép biến đổi hệ quả. - Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. V. ĐỐI TƯỢNG VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU Học sinh khối 12 và đội tuyển học sinh giỏi khối 11 – 12 của trường THPT Tùng Thiện trong hai năm liên tiếp NĂM HỌC LỚP SĨ SỐ 2013 – 2014 12A4 43 Đội tuyển học sinh giỏi 11 10 2014 – 2015 Đội tuyển học sinh 10 3 giỏi 12 VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu các phương pháp giải phương trình vô tỉ trong các đề thi Đại học, Cao đẳng những năm gần đây, các đề thi học sinh giỏi Thành phố Hà Nội và một số tỉnh khác. - Đưa ra trao đổi trước tổ, nhóm chuyên môn để tham khảo ý kiến và thực hiện. - Kiểm tra, đánh giá chất lượng của học sinh. - Dạy thực nghiệm trên lớp 12A4 của trường THPT Tùng Thiện năm học 2013 - 2014 và trong lớp bồi dưỡng học sinh giỏi của nhà trường. VII. PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu về phương trình vô tỉ trong một số đề thi Đại học – Cao đẳng và đề thi học sinh giỏi trong quá trình ôn tập cuối năm lớp 12 và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi của nhà trường. VIII. ĐIỀU TRA CƠ BẢN BAN ĐẦU Khi chưa thực hiện đề tài thì thực tế là hầu hết học sinh đều khó khăn, lúng túng khi giải các bài toán nâng cao về phương trình vô tỉ như: • Không có lời giải. • Có hướng giải nhưng lời giải chưa chặt chẽ. • Không tự tin với lời giải của mình. Cụ thể qua khảo sát tác giả tạm phân loại học sinh như sau: • Loại A: Có lời giải chính xác, hoàn chỉnh. • Loại B: Có lời giải nhưng chưa chặt chẽ đầy đủ. • Loại C: Có lời giải nhưng lời giải sai. • Loại D: Không có lời giải.  Số liệu điều tra trước khi thực hiện đề tài: Trước khi thực hiện đề tài, kết quả khảo sát bài toán ví dụ 6 trong đề tài này đối với lớp 12A4 và đội tuyển học sinh giỏi lớp 11 của trường THPT Tùng Thiện (năm học 2013 – 2014) như sau: Lớp Tổng số học Loại A Loại B Loại C Loại D TS % TS % TS % TS % 4 sinh Đội tuyển học sinh giỏi 11 10 1 10 5 50 3 30 1 10 12A4 43 0 0 3 9,1 16 34,1 24 54,5 B - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN HỌC SINH CẦN NẮM VỮNG 1) Phương trình vô tỉ dạng cơ bản: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0g x f x g x f x g x ≥  = ⇔  =       ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 f x g x f x g x= ⇔ =     2) Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ: 5 3) Cách sử dụng máy tính cầm tay fx-570MS tìm nghiệm của phương trình vô tỉ: a) Tìm nghiệm hữu tỉ của 1 phương trình vô tỉ: Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình: 3 3 1 2 2 2x x x x+ + + = + + • Cách thực hiện: Thao tác trên máy Kết quả hiển thị Ý nghĩa 6 tính ( ( ALPHA (X Viết ẩn X ) + (X+ 3 (X+3 ) (X+3) + (X+3) + (X+3)+ ( (X+3)+ ( 3 (X+3)+ (3 ALPHA (X+3)+ (3X Viết ẩn X ) + (X+3)+ (3X+ 1 (X+3)+ (3X+1 ) (X+3)+ (3X+1) ALPHA (X+3)+ (3X+1)= Viết dấu = CALC 2 (X+3)+ (3X+1)=2 (X+3)+ (3X+1)=2 ALPHA (X+3)+ (3X+1)=2 X Viết ẩn X ) + (X+3)+ (3X+1)=2 X+ (X+3)+ (3X+1)=2 X+ ( (X+3)+ (3X+1)=2 X+ ( 2 (X+3)+ (3X+1)=2 X+ (2 ALPHA (X+3)+ (3X+1)=2 X+ (2X Viết ẩn X ) + (X+3)+ (3X+1)=2 X+ (2X+ 2 (X+3)+ (3X+1)=2 X+ (2X+2 ) (X+3)+ (3X+1)=2 X+ (2X+2) SHIFT X? SOLVE CALC 9 = X? 9 Chọn giá trị tùy ý SHIFT X= 1 Nghiệm của phương trình là x = 1 CALC 7 b) Kiểm tra số nghiệm hữu tỉ của một phương trình vô tỉ Ví dụ: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình : ( ) ( ) 2 1 2 2x x x x x− + + = • Cách thực hiện: Thao tác trên máy tính Kết quả hiển thị Ý nghĩa Nhập phương trình (X(X-1))+ (X(X+2))=2 X 2 SHIFT X? SOLVE CALC 9 = X? 9 SHIFT X= 0 Nghiệm của phương trình là x = 0 CALC SHIFT X? CALC 2 = X? 2 SHIFT X= 1.125 Nghiệm của phương trình là x = 1.125 = 9 8 CALC Chọn X giá trị khác và ấn liên tục SHIFT – CALC cũng chỉ được hai nghiệm x = 0 ; x = 9 8 nên ta dự đoán phương trình có đúng hai nghiệm và đề xuất phương pháp giải phương trình : nâng lũy thừa hai vế hoặc trục căn thức tạo nhân tử chung hoặc chia trường hợp của x trên tập xác định của phương trình để tách căn thức và giải phương trình . 8 c) Tìm nhân tử của phương trình có nghiệm vô tỉ: Ví dụ: Tìm nhân tử của phương trình: 2 4 14 11 4 6 10x x x+ + = + ( Sau khi bình phương 2 vế phương trình sẽ được phương trình hệ quả là phương trình bậc 4, cần tìm nhân tử của phương trình đó dạng x 2 - Sx + P với S, P lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm và biến đổi phương trình bậc 4 về dạng tích để giải phương trình đó). • Cách thực hiện: Thao tác trên máy tính Kết quả hiển thị Ý nghĩa Nhập phương trình (4X 2 +14X+11) 2 = 16(6X+10) SHIFT X? CALC 9 = X? 9 SHIFT X= 0.15138781 8 Nghiệm của phương trình là x = 0.15 CALC ALPHA X 0.151387818 ) SHIFT Gán cho X = A RCL (-) X → A Tìm nghiệm thứ 2 của phương trình và gán cho X giá trị B Nhập phương trình (4X 2 +14X+11) 2 = 16(6X+10) SHIFT X? CALC -2 = X? 9 -2 SHIFT X= -1.651387819 Nghiệm của phương trình là x = -1.65 CALC ALPHA X -1.651387819 ) SHIFT Gán cho X = B RCL O ’’’ X → B ALPHA Nhập A ( - ) A + A + ALPHA Nhập B O ’’’ A + B = A + B -1.5 A + B = - 3 2 Nhập phép toán A.B -0.25 A.B = - 1 4 Nhân tử của phương trình đã cho là ( ) 2 2 3 1 . 2 4 x A B x A B x x− + + = + − II. Sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng giải phương trình vô tỉ Để giúp các em học sinh phân tích hướng giải một phương trình vô tỉ bằng cách sử dụng máy tính cầm tay, tôi xin trình bày các ví dụ tiêu biểu sau đây được chọn lọc trong các đề thi Đại học – Cao đẳng các năm gần đây và một số đề thi học sinh giỏi của một số tỉnh, thành phố. Từ đó giúp các em hiểu sâu sắc hơn về các phương pháp giải các phương trình vô tỉ, tự tin hơn khi đứng trước các bài toán giải phương trình vô tỉ. Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 2 2 1 1 4x x x+ + + − + = (1) ( Trích đề thi Đại học khối D năm 2005) 10 [...]... khơng sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm x = 5 thì rất khó định hướng cách giải! Ví dụ 5: Giải phương trình: 5 x − 1 + 3 9 − x = 2 x 2 + 3x − 1 (5) ( Trích đề học sinh giỏi Thành Phố Hà Nội năm 2012 - 2013) • Phân tích hướng giải: Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm ta dự đốn phương trình có nghiệm ngun x = 1 duy nhất ( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất phương. .. (Thỏa mãn phương trình (3) ) Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = -2 Ví dụ 4: Giải phương trình: 3x + 1 − 6 − x + 3x 2 − 14 x − 8 = 0 (4) ( Trích đề thi Đại học khối B năm 2010) • Phân tích hướng giải: Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm ta dự đốn phương trình có nghiệm ngun x = 5 duy nhất ( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất phương pháp giải: Phương pháp... điều kiện ) 11 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 x − 1 + x 2 − 3 x + 1 = 0 (2) ( Trích đề thi Đại học khối D năm 2006) • Phân tích hướng giải: Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm ta dự đốn phương trình có nghiệm ngun x = 1 ( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất một số phương pháp giải • Một số cách giải: Cách 1: Phương pháp nâng... Vậy phương trình (2) có tập nghiệm là: { 1; 2 − 2 } Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 3 3x − 2 + 3 6 − 5 x − 8 = 0 (3) ( Trích đề thi Đại học khối A năm 2009) • Phân tích hướng giải: Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm ta dự đốn phương trình có nghiệm ngun x = -2 duy nhất ( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất một số phương pháp giải • Một số cách giải: Cách 1: Phương. .. Từ đó, phương trình (*) ⇔ x = 1 Vậy phương trình (5) có nghiệm duy nhất x = 1 Ví dụ 6: Giải phương trình: 2 x 2 + 2 x + 5 = ( 4 x − 1) x 2 + 3 (6) ( Trích đề học sinh giỏi Thành Phố Hà Nội năm 2013 - 2014) • Phân tích hướng giải: 17 Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình ( 2x 2 ) + 2 x + 5 = ( 4 x − 1) 2 2 (x 2 +3 ) ta tìm được 2 nghiệm ( Nhập phương trình hai lần, dùng SHIFT – CALC ) sử dụng lệnh... 0   2 Vậy phương trình (6) có nghiệm duy nhất x = 2 + 10 3 Ví dụ 7: Giải phương trình: x 4 + 1 − x 2 = 1 (7) ( Trích đề học sinh giỏi Thành Phố Hà Nội năm 2011 - 2012) • Phân tích hướng giải: Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm ta dự đốn phương trình có ít nhất 3 nghiệm ngun là x = ± 1 và x = 0 ( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất phương pháp giải: phương pháp... Vậy ta có:  nên phương trình 3 3 4 x + 4 − x − 5 ≤ 0, ∀x > −1  2 ( x − 1) 2 = 0  ⇔ x =1 (*) ⇔  3 3 4 x + 4 − x − 5 = 0  Vậy phương trình (8) có nghiệm duy nhất x = 1 • Nhận xét: Khi sử dụng máy tính cầm tay dự đốn được phương trình có nghiệm duy nhất thì ta có thể nghĩ đến phương pháp đánh giá Trong phương trình (8) có thể dễ dàng biến đổi vế trái thành 2 ( x − 1) , từ đó định hướng chứng minh... Giải phương trình: 15 x5 + 11x3 + 28 = 1 − 3x (9) 23 ( Trích đề học sinh giỏi Thành Phố Hà Nội năm 2006 - 2007) • Phân tích hướng giải: Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm ta dự đốn phương trình có nghiệm ngun duy nhất x = - 1 ( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất phương pháp giải: phương pháp trục căn thức tạo nhân tử chung hoặc phương pháp khác • Một số cách giải: ... fx-570MS nhập phương trình (x 2 + 5 x − 10 ) 2 = 60 − 24 x − 5 x 2 ta tìm được 2 nghiệm ( Nhập phương trình hai lần, dùng SHIFT – CALC ) sử dụng lệnh gán X → A và X → B, ta tính được A + B =-4; A.B = - 10 dự đốn khi bình phương 2 vế phương trình thì thu được phương trình hệ quả có nhân tử bậc hai có dạng x 2 + 4 x − 10 từ đó có thể đề xuất phương pháp giải: phương pháp nâng lũy thừa đưa về phương trình hệ... Vậy phương trình (7) có tập nghiệm là : 0; ±1; ±   ( thỏa mãn (7)) 5 −1    2   Ví dụ 8: Giải phương trình: 2 x 2 − 3x + 7 − 3 3 4 x + 4 = 0 (8) ( Trích đề học sinh giỏi Thành Phố Hà Nội năm 2014 - 2015) • Phân tích hướng giải: Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm ta dự đốn phương trình có nghiệm ngun duy nhất x = 1 ( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất phương . sâu sắc hơn các phương pháp giải phương trình vô tỉ. IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU - Điều kiện của phương trình vô tỉ. - Phương trình tương đương, phép biến đổi tương đương, phương trình hệ quả, phép. phương trình vô tỉ: 5 3) Cách sử dụng máy tính cầm tay fx-570MS tìm nghiệm của phương trình vô tỉ: a) Tìm nghiệm hữu tỉ của 1 phương trình vô tỉ: Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình: 3 3 1 2. số tỉnh, thành phố. Từ đó giúp các em hiểu sâu sắc hơn về các phương pháp giải các phương trình vô tỉ, tự tin hơn khi đứng trước các bài toán giải phương trình vô tỉ. Ví dụ 1: Giải phương trình: