ứng dụng số phức trong các bài tóan cực trị hình học

ứng dụng số phức trong các bài tóan cực trị hình học tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớ...

Tabiếtrằngmỗisốphứcđượcbiểudiễnbởimộtđiểmtrongmặtphẳngphức.Dođó giốngnhưphươngpháptọađộ,khiđồngnhấtmỗiđiểmtrongmặtphẳngbởimộtsốphức thìbàitoántronghìnhhọcphẳngtrở thànhbàitoánvớisốphứcmàtabiếtrằngcác côngcụvềkhoảngcáchvàgóccóthểđưacáccôngthứcđơngiảnđốivớisốphức.Do vậytacóthểsửdụngsốphứcđểgiảicácbàitoánhìnhhọctừđơngiảnđếnphứctạpđặc biệtlàcácbàitoáncựctrịhìnhhọc. Đểvậndụngđượcsốphứctrongviệcgiảicácbàitoánhìnhhọctacầnbiếtbiểudiễn dạngphứcmộtsốyếutốhìnhhọc. I.BIỂUDIỄNDẠNGPHỨCCỦA MỘTSỐYẾUTỐHÌNHHỌC. 1.1.TíchvôhướngTíchlệchTỉsốđơn,tỉsốkép 1.1.1. Tíchvôhướng Địnhnghĩa.Cho 1 1 ( ; )a x y = r , 2 2 ( ; )b x y = r tương ứngvớihaisốphức 1 1 1 z x iy = + , 2 2 2 z x iy = + .Theocôngthứctíchvôhướngcủahaivectơ,tacó 1 2 1 2 1 2 1 2 1 . . . ( . . ) 2 a b x x y y z z z z = + = + r r (1.1) Takíhiệu 1 2 1 2 1 2 1 , ( . . ) 2 z z z z z z = + 1.1.2. Tíchlệch. Địnhnghĩa.TrênmặtphẳngphứcOxycho OM uuuur , OP uuur lầnlượtcótọavịz, w.Khiđótích lệchcủahaivectơđólàmộtsốthực(Kíhiệu: ,OM OP é ù ë û uuuur uuur )xácđịnhbởi [ ] 1 , , w Im( .w) Im( .wz.w) . .sin( ). 2 OM OP z z z OM OP y j é ù = = = = - ë û uuuur uuur uuuur uuur (1.2) Nhậnxét:  BađiểmO,M,Pthẳnghàngkhivàchỉkhi [ ] , ,w 0OM OP z é ù = = ë û uuuur uuur .(*)  Từ(*)tathấykhiO,M,Pkhôngthẳnghàng,thìdiệntíchtamgiácOMPlà [ ] 1 1 1 . .sin( ) , ,w 2 2 2 S OM OP OM OP z y j é ù = - = = ë û uuuur uuur uuuur uuur . 1.1.3. Gócđịnhhướng TrênmặtphẳngphứcOxychohaiđiểmM,Ncótọavịz 1 ,z 2 .Khiđóz 1 +z 2 làtọavị củađiểmPmà OP OM ON = + uuur uuuur uuur ,hiệuz 1  z 2 làtọavịcủa OM ON - uuuur uuur và 2 1 .d MN z z = = - uuuur GọiIlàtrungđiểmcủaMN.Khiđó ( ) 1 2 OI OM ON = + uur uuuur uuur ,tứclàI cótọavị 1 2 1 ( ) 2 z z + .Gọi ( , )OM ON a = uuuur uuur ,khiđó 2 2 1 1 arg arg arg( ) z z z z a = - = . GiảsửcóbađiểmA,B,Clầnlượtcótọavịa,b,cvàgócđịnhhướng ( , )AB AC a = uuur uuur . Khiđó ,AB AC uuur uuur lầnlượtcótọavịba,ca.Suyra arg( ) arg( ) arg( ) c a c a b a b a a - = - - - = - (1.3) www.laisac.page.tl Ứ Ứ Ứ N N N G G G D D D Ụ Ụ Ụ N N N G G G S S S Ố Ố Ố P P P H H H Ứ Ứ Ứ C C C T T T R R R O O O N N N G G G C C C Á Á Á C C C B B B À À À I I I T T T O O O Á Á Á N N N C C C Ự Ự Ự C C C T T T R R R Ị Ị Ị H H H Ì Ì Ì N N N H H H H H H Ọ Ọ Ọ C C C NguyễnThịThanhTâmKonTum Cho4điểmA,B,C,Dcótọavịa,b,c,d.Giảsử ( , )AB CD j = uuur uuur .Rõràng 2 1 j j j = - , trongđó 1 2 arg( ), arg( )b a d c j j = - = - .Khiđó ( )( ) ( )( ) cos ; 2 b a d c d c b a b a d c j - - + - - = - - ( )( ) ( )( ) sin (1.4) 2 b a d c d c b a i b a d c j - - - + - - = - - Nhậnxét.Từkếtquảtrên,suyra: 1) ( ).( ) ( )( ) 0AB CD b a d c d c b a ^ Û - - + - - = uuur uuur . 2) ( ).( ) ( )( )AB CD b a d c d c b a Û - - = - - uuur uuur Z[ 3)Rõràng Im( ).( ) sin . b a d c b a d c j - - = - - . 4)Từ(1.5),trongtrườnghợpa º cvà ab cd = ,khibiếttọavịbvàgóc j  tacóthểxác địnhtọavịdtheob.Tacómộtsốtrườnghợpđặcbiệtsau: Nếu j =90 0 thìd=ib; nếu j =60 0 thì 1 3 ; 2 2 d i b æ ö = + ç ÷ è ø nếu j =30 0 thì 3 1 . 2 2 d i b æ ö = + ç ÷ è ø 1.1.4. Tỉsốđơn,tỉsốkép *Tỉsốđơn.Vớibộ3điểm M 1 ,M 2 ,M 3 trongmặtphẳngphức,cótọavịtheothứtựlàz 1 , z 2 ,z 3 ,tagọisốphức,kíhiệuvàxácđịnhbởi 1 3 1 2 3 1 2 3 2 3 z z (M ,M ,M )=(z ,z ,z )= z z - - (1.5) làtỉsốđơncủabộ3điểm M 1 ,M 2 ,M 3 (haycủabộ3sốphứcz 1 ,z 2 ,z 3 ). Mệnhđề1.1. Điềukiệncầnvàđủđể3điểmM 1 ,M 2 ,M 3 thẳnghànglàtỉsốđơn 1 2 3 (z ,z ,z ) làmộtsốthực. *Tỉsốkép.Cho4sốphức 1 2 3 4 z ,z ,z , z saochotồntạicáctỉsố 1 3 2 3 z z z z - - , 1 4 2 4 z z 0. z z - ¹ - Đạilượng 1 2 3 1 3 1 4 1 2 3 4 1 2 4 2 3 2 4 (z ,z ,z ) z z z z (z ,z ,z , ) : (z ,z ,z ) z z z z z - - = = - - (1.6)đượcgọilàlàtỉsốképcủabộ4sốphức 1 2 3 4 z ,z ,z ,z Mệnhđề1.2 Cho4điểmM 1 ,M 2 ,M 3 ,M 4 lầnlượtcótọavịlà 1 2 3 4 z ,z ,z , z . BốnđiểmM 1 ,M 2 ,M 3 , M 4 cùngthuộcmộtđườngtrònkhivàchỉkhi 1 2 3 4 (z ,z ,z , )z Ρ 1.2.Phươngtrìnhđườngthẳng 1.2.1. Phươngtrìnhchínhtắccủađườngthẳng Trongmặtphẳngphứcchođườngthẳng(d)điquađiểm M o cótọavịz 0 vàcóvectơchỉ phương u r cótọavịu.Khiđóphươngtrìnhchínhtắccủa(d)là z= z l d + ,với u u l = ; 0 0 . (1.7) u z z u d = - 1.2.2. Phươngtrìnhđườngthẳngquahaiđiểm Trongmặtphẳngphứcchođườngthẳng(d)điquahaiđiểmphânbiệtM 1 ,M 2 lầnlượt cótọavịz 1 ,z 2 .Khiđó(d)cóphươngtrìnhlà 2 1 2 1 2 1 2 1 (z z ). (z z ). (z z z .z ) 0z z - - - + - = (1.8) Tađặt 2 1 2 1 2 1 z z , ' z z z .zB C = - = - .Khiđó(1.9)đượcviếtlại . . ' 0B z B z C - + = , 0B ¹ (1.9) (C'làsốphứcthuầnảo). GiảsửcóhaiđiểmphânbiệtM 1 ,M 2 cótọavị z 1 ,z 2 .Khiđóđiểm Mthuộcđườngthẳng M 1 ,M 2 saocho 1 2 M M MM l = ,đãchotrước.Khiđó 1 2 z z z z l - = - ,từđósuyra 1 2 z + z 1 z l l = + (1.10) Mệnhđề1.3 ChotamgiácABC.TrêncạnhBCvàCAlấycácđiểmA 1 vàB 1 saocho 1 1 1 BA AC l = và 1 2 1 CB B A l = .NếuMlàgiaođiểmcủaAA 1 vàBB 1 ,thìnócótọavị A B O x y 1 1 2 1 1 2 1 b c a m l l l l l l + + = + + .Điều nàycónghĩalàđiểmZvớitọavịznằmtrongđoạnAA 1 .Tương tựtacũngchứngminhđượcZnằmtrongđoạnBB 1 .VậyZtrùngvớigiaođiểmMcủavà AA 1 vàBB 1 . 1.2.4.Gócgiữahaiđườngthẳng Giảsửcóhaiđườngthẳng(d 1 ): 1 1 1 1 . . 0, 0A z A z C A - + = ¹ ,(d 2 ): 2 2 2 2 . . 0, 0A z A z C A - + = ¹ , Gọilà j  làgócgiữa(d 1 )và(d 2 ).Khiđótacó 1 2 2 1 1 2 cos 2 A A A A A A j + = (1.11) 1.2.5. Khoảngcáchtừmộtđiểmđếnmộtđườngthẳng Khoảngcáchdtừmộtđiểm M(z 0 )đếnđườngthẳng(d)cóphươngtrình . . 0, 0A z A z C A - + = ¹ ,đượctínhbởicôngthức 0 0 ( ,( )) 2 Az Az C d d M d A + + = = (1.12) 1.3.Phươngtrìnhđườngtròn 1.3.1. Phươngtrìnhtổngquátcủađườngtròn Trongmặtphẳngphức,chođiểmIcótọavịz 0 =x 0 +iy 0 ,sốthựcR>0.Phương trình đườngtròntâmI,bánkínhRlà 2 0 0 0 0 0zz z z z z z z R - - + - = .ĐặtA= 0 z - ; 2 0 0 C z z R = - Ρ ,khiđóphươngtrìnhtrênđượcviết lại 0(1.13)zz Az Az C + + + = Ngượclại,trongmặtphẳngphứcmỗiphươngtrình 0AA C - > ,với 0zz Az Az C + + + = sẽlàphươngtrìnhcủamộtđườngtròntâmIcótọavị 0 z A = - ,bánkính R AA C = - . 1.3.2. Mộtsốkếtquảliênquanđếnbàitoánđườngtròn Trongthựctếcónhiềubàitoánliênquantớiđườngtròn,khitachọnhệtọađộvuông gócvớigốcchínhlàtâmđườngtrònđóvàcoiđườngtrònlàđườngtrònđơnvị,thìchúng tasẽcókếtquảđẹpvàdễsửdụngtrongcácbàitoáncụthể. Mệnhđề1.4. GiảsửAB,CDlàhaidâycungcủađườngtrònđơnvị.Gọia,b,c,dlần lượtlàcáctọavịcủaA,B,C,D.Khiđó a) 0AB CD ab cd ^ Û + = . b) AB CD ab cd Û = P Mệnhđề1.5. GiảsửđườngtrònđơnvịcóhaidâycungAB,CDcắtnhautạiF.Gọia, b,c,d,elầnlượtlàcáctọavịcủaA,B,C,D,E.Khiđó a)ĐiểmEthuộcđườngthẳngABkhivàchỉkhi a b e abe + = + (1.14) b)GiaođiểmFcủaAB,CDcótọavị ( ) ( ) (1.15) a b cd c d ab f cd ab + - + = - Mệnhđề1.6. GiảsửABlàdâycungcủađườngtrònđơnvị,HlàhìnhchiếucủađiểmM lênđườngthẳngAB.Gọia,b,h,mlầnlượtlàcáctọavịcủaA,B,H,M.Khiđótacó 1 ( ) (1.16) 2 h a b m abm = + + - Mệnhđề1.8. TrongmặtphẳngphứcchotamgiácABCvớicáctọavịa,b,c.GọiG,H lầnlượtlàtrọngtâm,trựctâmcủatamgiácABCvớicáctọavịg,htươngứng.Khiđó (i) 1 ( ) 3 g a b c = + + (ii)NếutamgiácABCnộitiếpđườngtrònđơnvị,thìh=a+b+c. 1.4.Diệntíchđagiác 1.4.1. Côngthứctínhdiệntích Trênmặtphẳngphức,chotamgiácOABđịnhhướngdươngvớiA, Bcótọavịa,b.Khiđódiệntíchcủatamgiác OAB là 1 . .sin( ) 2 a b S R R b a = - ,trongđó | |, | |, arg( ), arg( ) a b R a R b a b a b = = = = SuyradiệntíchcủatamgiácOABlà 1 | Im( ) |. 2 S ba = Tổngquáthơn,tacókếtquảsau. Địnhlý1.1.ChođagiáclồiA 1 A 2 A n trongmặtphẳngphức,gọiSlàdiệntíchđạisốcủa đagiác,giảsửA 1 ,A 2 , A n cótọavịa 1 ,a 2 , ,a n .Khiđó 1 1 1 Im( ) 2 n k k k S a a + = = å ởđâytakí hiệua n+1 =a 1 . Đặcbiệt:Vớin=3,tamgiácA 1 A 2 A 3 códiệntíchđạisốlà 2 1 3 2 1 3 1 | Im( ) |. 2 S a a a a a a = + + 1.5.Cácphépbiếnhìnhtrênmặtphẳng 1.5.1. Phéptịnhtiến Giảsử v r cótọavị z 0 vàz,z’làtọavịcủađiểmMvàM’.Khiđótacóbiểuthứcbiểu diễnphép v T r làz’=z+z 0 . 1.5.2.Phépquay GiảsửI,M,M' cótọavịlàz 0 ,z,z'.KhiđótacóbiểuthứcbiểudiễnphépQ(I, j )là 0 0 ' ( ). i z z z e z j = - + . Biểuthứctrêncóthểviếtdướidạng 'z z a b = + với| | | | 1 i e j a = = và 0 0 . . i z e z j b = - + 1.5.3. Phépđốixứngtrục Giảsửđườngthẳng(d)cóphươngtrình . . 0, 0.A z A z C A - + = ¹ Gọiz,z’ lầnlượtlàtọavị củaM,M’ .Khiđóbiểuthứcbiểudiễnphépđốixứngtrục(d)là ' ( 0) Az C z A A + = - ¹ . 1.5.4.Phépvịtự Giảsửcácđiểm I,M,M'lần lượtcótọavịlàz 0 ,z,z'.Khiđótacóbiểuthứcbiểudiễn phépvịtựlà z’=k(zz 0 )+z 0 . 1.5.5.Phépnghịchđảo Địnhnghĩa:Trênmặtphẳngchođườngtròntâm I,bánkínhR.Phépbiếnhìnhbiến điểm MkhácIthànhM',saocho , ,I M M thẳnghàngvà 2 . 'IM IM R = đượcgọilàphép nghịchđảođốivớiđườngtròn(W ).Tagọi(W )làđườngtrònnghịchđảo,I làtâm nghịchđảo,sốR 2 làphươngtíchcủaphépnghịchđảo.Takíhiệulà 2 ( , )N I R . GiảsửI,M,M' cótọavịz 0 ,z,z'.DoI,M,M' thẳnghàngnêntồntại k Ρ saocho 'IM k IM = uuuur uuur (*).Suyra 2 2 2 2 . ' R R IM IM kIM k IM = = Þ = uuur uuuur .Thayvào(*),tađược 2 0 0 ' R z z z z = + - II.SỬDỤNGSỐPHỨCGIẢIMỘTSỐBÀITOÁNVỀBẤTĐẲNGTHỨCHÌNH HỌCVÀCỰCTRỊHÌNH HỌC 2.1Phươngphápdùngđồng nhấtthức Khithựchiệnphươngphápnàychúngtacầnchúý Phântíchkỹbàitoán,xemxétyếutốcốđịnhvàdiđộng. Xáclậpmốiliênhệgiữayếutốcốđịnhvàyếutốdiđộngthôngquamộtđẳngthứchình học. Cầnchúýrằngđẳngthứchìnhhọcnàycómộtvếchínhlàmộtvếcủabấtđẳngthứccần chứngminh. Xétcáctrườnghợpđặcbiệtmàyếutốdiđộngsẽđạttới.Khiđósẽcóbấtđẳngthứccần chứngminhvàtừđógiảiquyếtđượcbàitoáncựctrị. O H C B A Vídụ1.1.ChoGlàtrọngtâmtamgiácABC vàMlàđiểmbấtkỳthuộcmặtphẳng. Chứngminhrằng 2 2 2 2 2 2 MA MB MC GA GB GC + + ³ + + .Từđóxácđịnhvịtríđiểm Msao cho 2 2 2 MA MB MC + + đạtgiátrịnhỏnhất. Giải.Tachứngminh 2 2 2 2 2 2 2 3MA MB MC MG GA GB GC + + = + + + . XétmặtphẳngphứcvớigốcO º G.Gọia,b,c,mlầnlượtlàtọavịcủaA,B,C,M.Khi đó 2 2 | | ( )( ) .MA a m a m a m aa mm am am = - = - - = + - - Tươngtựtacó 2 2 | | ( )( ) ;MB b m b m b m bb mm bm bm = - = - - = + - - 2 2 | | ( )( )MC c m c m c m cc mm cm cm = - = - - = + - - Vớichúý 0a b c a b c + + = + + = .Tacó 2 2 2 2 2 2 2 3 3MA MB MC mm aa bb cc MG GA GB GC + + = + + + = + + + Suyra 2 2 2 2 2 2 MA MB MC GA GB GC + + ³ + + Vậymin( 2 2 2 MA MB MC + + )= 2 2 2 GA GB GC + + khivàchỉkhim=0,haylàM º G. Vídụ1.2. ChotamgiácABCcótrọngtâm G.Chứngminhrằng 2 2 2 2 9AB BC CA R + + £ vớiRlàbánkínhvòngtrònngoạitiếptamgiác ABC. Giải.Tachứngminh 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) 3 ,OH MA MB MC MH MO R M + + + - + = " (*) trongđóHlàtrựctâm,O làtâmvòngtrònngoạitiếptamgiácABC. ChọnhệtrụctọađộvuônggócOxy.Gọia, b,c,mlầnlượtlàtọavịcủaA,B,C,M.Khi đóHcótọavịh=a+b+c và 2 aa bb cc R = = = .Tacó 2 2 | | ;MA a m aa mm am am = - = + - - 2 2 | |MB b m bb mm bm bm = - = + - - ; 2 2 | |MC c m cc mm cm cm = - = + - - ; 2 2 | |MH h m hh mm hm hm = - = + - - ; 2 2 ;OM mm OH hh = = Suyra VT(*)= 3 ( ) ( )hh aa bb cc mm m a b c m a b c + + + + - + + - + + - 2 ( ) 3hh mm hm hm mm aa bb cc R - + - - + = + + = . Vìđẳngthức(*)đúngvớimọiđiểm M,nênvớiM º A,tacó 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) 3OH AB AC AH AO R + + - + = hay 2 2 2 2 2 5OH R AH AB AC = + - - (**) Tacó 2 2 2 ( )( ) ( )( ) 4AH h a h a b c b c R BC = - + = + + = - .Thayvào(**),tađược 2 2 2 2 2 9OH R BC AB AC = - - - .Suyra 2 2 2 2 9AB BC CA R + + £ . Mệnhđề2.1 ChonđiểmcốđịnhA 1 ,A 2 , ,A n ( 1n ³ ),nsốthựcdương 1 2 , , , n a a a  và điểmMbấtkỳ.Khiđó i)TồntạiduynhấtmộtđiểmIsaocho 1 1 2 2 0 n n MA MA MA a a a + + + = uuuur uuuur uuuur r . ii) 2 2 2 1 1 2 2  n n MA MA MA a a a + + + đạtgiátrịnhỏnhấtkhivàchỉkhiMtrùngI . Vídụ1.3.TrongmặtphẳngchonđiểmcốđịnhA 1 ,A 2 , ,A n ( 3n ³ ),vànsốthực 1 2 , , , n a a a  thỏa 1 0 n j j a = > å .Gọi(d)làđườngthẳngdiđộngnhưngluônđiquaA 1 .ứngvới mỗivịtrícủa(d),tachọnMtrên(d)saochođạilượng 2 1 n j j j MA a = å đạtgiátrịbénhất.Hãy tìmtậphợpcácđiểmM. Giải.Vớigiảthiếtđãcho,tồntạiduynhấtđiểmGsaocho 1 0 n j j j GA a = = å uuuur r (*). Tachứngminh 2 2 2 1 2 1 1 ( ) n n j j j j n j j MA GA GM a a a a a = = = + + + + å å . XétmặtphẳngphứcvớigốctọađộOtrùng G,suyraG cótọavịg=0.Giảsử A 1 ,A 2 , ,A n , Mcótọavịa 1 ,a 2 , ,a n ,m. Khiđótừ(*),tacó 1 1 2 2 0. n n a a a a a a + + + = Tacó 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j MA a a mm a m ma a a mm a m a m a a a a a a = = = = = = = + - - = + - - å å å å å å C1 B1 M A1 C B A 2 2 1 2 1 ( ) n j j n j GA GM a a a a = = + + + + å .Vậy 2 2 2 1 1 1 ( ) n n n j j j j j j j j MA GA GM a a a = = = = + å å å , 1 0 n j j a = > å .Suyra 2 1 n j j j MA a = å đạtgiátrịnhỏnhấtkhichỉkhiMGđạtgiátrịnhỏnhất.MàM Î(d)và(d)điqua A 1 ,dovậy:  NếuA 1 º G,thìMGđạtgiátrịnhỏnhấtbằng0khiM º Gvàtậpđiểm Mlà { } 1 A . NếuA 1 khôngtrùngG,thìMGđạtgiátrịnhỏnhấtkhiMtrùnghìnhchiếucủaGtrên (d).Suyratậpđiểm Mlàđường tròn 2 1 1 1 | | | | 2 2 a m a - = haytậphợpđiểm Mlàđườngtròn đườngkínhA 1 G. 2.2.Phươngphápdùng bấtđẳngthứcgiữagiátrịtrungbìnhcộngvàtrungbình nhân giữagiátrịtrungbìnhcộngvàtrungbìnhnhân Phươngphápnàythườngsửdụngtrongcácbàitoánvềbấtđẳngthứchìnhhọc,cực trịhìnhhọccóliênquanđếntỉsốcủahaiđoạnthẳngvàdiệntíchcủatamgiác.Khithực hiệnphươngphápnàycầnchúý Chọnthíchhợpgốctọađộcủamặtphẳngphức. Chọn(đặt)tỉsốcácđoạnthẳng,tọavịcácđiểm(nếucần).Tínhtọavịcácđiểmcònlại haydiệntíchtamgiác,tứgiác theocácgiátrịđãchọn. Tínhcáctỉsốđoạnthẳnghoặctỉsốdiệntíchvàbiếnđổibấtđẳngthứchìnhhọcvềbất đẳngthứcđạisố.Vậndụngthíchhợpbấtđẳngthứcgiữagiátrịtrungbìnhcộngvàtrung bìnhnhânđểsuyrađiềuphảichứngminh. Vídụ2.1.ChotamgiácABCvàđiểm Mởtrongtamgiác,cácđườngthẳng AM,BM, CMlầnlượtcắtcáccạnhBC,CA,AB tạiA 1 ,B 1 ,C 1 .Xácđịnhvịtrícủađiểm Msaocho a)Tổng 1 1 1 AM BM CM A M B M C M + + đạtgiátrịnhỏnhất. b)Tích 1 1 1 . . AM BM CM A M B M C M đạtgiátrịnhỏnhất. Giải. Xétmặtphẳngphứcvớigốctọađộ Otrùng M.GiảsửA,B,C,A 1 ,B 1 ,C 1 lần lượtcótọavịa,b,c,a 1 ,b 1 ,c 1 .Giảsử 1 1 1 1 2 3 1 1 1 ; ; BA CB AC AC B A C B l l l = = = .Từ(1.12)suyra 1 2 3 1 1 1 1 2 3 ; ; 1 1 1 b c c a a b a b c l l l l l l + + + = = = + + + với 1 2 3 1 2 3 0, 0, 0, 1 l l l l l l > > > = . a)Theomệnhđề1.3,tacó 1 1 2 1 1 2 0 1 b c a m l l l l l l + + = = + + ,suyra 1 1 2 .b c a l l l + = - Tacó 1 3 1 1 1 1 1 (1 ) 1 AM AM a a b c A M a MA l l l l - - = = = = + + + Tươngtự 2 1 3 2 1 1 1 1 (1 ) ; (1 ) . BM BM CM CM B M C M MB MC l l l l = = + = = + Suyra 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 1 1 AM BM CM A M B M C M l l l l l l l l l + + = + + + + + .Do 1 2 3 0, 0, 0 l l l > > > ,theobất đẳngthứcgiữatrungbìnhcộngvàtrungvàtrungbìnhnhântacó C K E D F B A 3 3 3 6 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 6 6. l l l l l l l l l l l l + + + + + ³ = Dấubằngxảyrakhivàchỉkhi 1 2 3 1 1 1 1 , ,A B C l l l = = = Û làtrungđiểmcáccạnhBC,CA,AB Û Mlàtrọngtâmtam giácABC.Vậymin( 1 1 1 AM BM CM A M B M C M + + )=6,khiMlàtrọngtâmtamgiácABC. b)Tươngtự 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 . . (1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 ) AM BM CM A M B M C M l l l l l l l l l = + + + = + + + .Mà 1 1 2 2 3 3 1 2 0;1 2 0;1 2 0. l l l l l l + ³ > + ³ > + ³ > Suyra 1 2 3 1 1 1 . . 8 8; AM BM CM A M B M C M l l l ³ = dấubằngxảyrakhiMlàtrọngtâmtamgiác ABC.Vậymin 1 1 1 ( . . ) 8 AM BM CM A M B M C M = khiMlà trọngtâmtamgiác ABC. Vídụ2.2.Chotamgiác ABC.Cácđườngphângiáctrong AD,BE,CF củatamgiáccắt nhautạiK.Chứngminhrằng 1 8 . . . 4 27 AK BK CK AD BE CF < £ Giải.Trongmặtphẳngphức,giảsửcácđiểm A,B,C,D,E,F,Kcótọavịlầnlượtlàa, b,c, a 1 , b 1 ,c 1 ,k.Giảsử 1 2 3 ; ; BD CE AF DC EA FB l l l = = = .Khiđótheo(1.10)tacó 1 2 3 1 1 1 1 2 3 ; ; 1 1 1 b c c a a b a b c l l l l l l + + + = = = + + + với 1 2 3 0, 0, 0, l l l > > > 1 2 3 1 l l l = vàtừmệnhđề1.3,điểm Kcótọavị 1 1 2 1 1 2 1 b c a k l l l l l l + + = + + Suyra 1 1 2 11 1 2 1 1 1 1 2 1 11 . 1 1 b c a a AK k a b c a a AD a l l l l l l l l l l l l + + - - + + + = = = + - + + - + Mà 1 1 1 2 1 1 , 1 2 1 . BD AC AB DC BD BD CE p DC DC EA l l l l + + + = = + + + + trongđó2p=AC+AB+BC.Suyra 1 1 1 2 1 . 1 2 AK AK AC AB AD p AD l l l l + + = = = + + Tươngtự 2 3 2 2 3 3 1 3 1 1 ; . 1 2 1 2 BK BK BC AB CK CK AC CB BE p CF p BE CF l l l l l l l l + + + + = = = = = = + + + + Suyra 3 3 ( )( )( ) (2 )(2 )(2 ) . . . (2 ) (2 ) AK BK CK AC AB BC AB AC CB p BC p AC p AB AD BE CF p p + + + - - - = = Tacó 3 3 (2 )(2 )(2 ) 1 2 2 2 ( ) (2 ) 3 2 2 2 p BC p AC p AB p BC p CA p AB p p p p é ù - - - - - - £ + + ê ú ë û ,hay 3 (2 )(2 )(2 ) 8 . (2 ) 27 p BC p AC p AB p - - - £ Vậybấtđẳngthứcbênphảiđượcchứngminh,dấubằng xảyrakhivàchỉkhitamgiác ABC đều. Mặtkhác 3 (2 )(2 )(2 ) 1 (1 )(1 )(1 )(1) (2 ) 8 p BC p AC p AB p BC p AB p CA p p p p - - - - - - = + + + Vì ,1 ,1 p BC p AB p CA p p p - - - + + dương,nêndễdàngtacó (1 )(1 )(1 ) 1 1 1 2(2) p BC p AB p CA p BC p AB p CA p p p p p p - - - - - - + + + > + + + + + = Từ(1)và(2)suyra 1 . . . 4 AK BK CK AD BE CF > Vậybấtđẳngthứcbêntráiđượcchứngminh. Vídụ2.3.Chotamgiác A 1 A 2 A 3 códiệntíchS khôngđổi,điểm Mởtrongtamgiác,các đườngthẳng A 1 M,A 2 M,A 3 M lầnlượtcắtcáccạnhA 2 A 3 , A 1 A 3 , A 1 A 2 tạicácđiểm B 1 ,B 2 B 3 . XácđịnhhìnhdạngcủatamgiácA 1 A 2 A 3 đểdiệntíchtamgiác B 1 B 2 B 3 đạtgiátrịlớn nhất. O y x Q P D 1 C 1 B 1 A 1 D C B A M B 1 B 2 A 3 B 3 A 2 A 1 Giải.XétmặtphẳngphứcsaochogốctọađộOtrùng A 1 .GiảsửA 1 , A 2 , A 3 lầnlượtcó tọavịa 1 =0,a 2 ,a và 2 1 3 2 1 3 1 2 3 1 3 2 1 3 2 ; ; . A B A B A B B A B A B A l l l = = = Khiđótheo(1.10) tacótọavịcủaB 1 , B 2 ,B 3 ,M lầnlượtlà 2 1 3 3 1 2 1 2 ; ; 1 1 a a a b b l l l + = = + + 3 2 3 3 1 a b l l = + ; 3 3 2 2 3 2 3 1 3 2 3 2 2 3 2 . 1 1 a a a a m l l l l l l l l l l l + + = = + + + + Theo(1.21)tacódiệntíchtamgiácA 1 A 2 A 3 là 2 3 1 Im( ) . 2 S a a = vàdiệntíchcủatamgiác B 1 B 2 B 3 là 1 2 1 3 2 1 3 1 Im( ) 2 S b b b b b b = + + = 3 2 1 3 3 2 3 2 1 3 3 2 3 3 1 1 3 2 2 3 2 1 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 (1 ) (1 ) Im( . . . ) Im( ) 2 1 1 1 1 1 1 2 (1 )(1 )(1 ) 1 1 1 Im ) . (1 )(1 )(1 ) 2 (1 )(1 )(1 ) a a a a a a a a a a a a S l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l + + + - + + + = + + = + + + + + + + + + + + = = = + + + + + + Mà 1 2 3 1 2 3 1 1 . (1 )(1 )(1 ) 4 l l l l l l + £ + + + Vì 1 2 3 1 2 3 0, 0, 0, 1 l l l l l l > > > = ,mặtkháctheokếtquảbài tập2.1tacó 1 2 3 (1 )(1 )(1 ) 8 l l l + + + ³ ,dấubằngxảyrakhivàchỉkhi 1 2 3 1. l l l = = = Suyra 1 1 . 4 S S £ Vậy 1 1 max( ) , 4 S S = khivàchỉkhi B 1 ,B 2 ,B 3 làtrungđiểmcủacáccạnh A 2 A 3 A 1 A 3 , A 1 A 2 hay MlàtrọngtâmtamgiácA 1 A 2 A 3 . 2.3.Phươngphápsửdụngphépbiếnhình Đểgiảibàitoánbằngphươngphápnàytathựchiện Chọntọavịthíchhợp.Sửdụngbiểuthứcbiểudiễncủacácphépbiếnhình,kếthợpvới cáckếtquảtrướcthựchiện: +Tìmtọavịnhữngđiểmcònlại,từđótínhdiệntích,khoảngcách,  +Hoặcchứngminhmộttínhchấthìnhhọc. Từkếtquảtrên,tachuyểnbàitoánhìnhhọcvềđạisố. Đểhiểurõhơnvềphươngphápnày,taxétcácbàitoánsau. Vídụ3.1.Chohìnhvuông ABCD.Phépquaytâmhìnhvuôngmộtgóc j biếnnóthành hìnhvuông 1 1 1 1 A B C D.Xácđịnh j  đểdiệntíchphầnchungcủahaihìnhvuông ABCDvà 1 1 1 1 A B C D nhỏnhất. Giải. ChọnhệtọađộOxy, saochoO làtâmcủahìnhvuông ABCD vàcácđiểm A,B,C, Dlầnlượtcótọavịa=1i,b=1i,c=1+i,d=1+i.Tacó 1 1 1 1 Q(O, ):A , , ,A B B C C D D j ® ® ® ® Với0 j < < 1 2 ð,suyracácđiểm 1 1 1 1 A ,B ,C ,D lầnlượtcótọavị 1 1 1 1 , , , i i i i a ae b be c ce d de j j j j = = = = . Giảsử 1 1 B C cắtBC,CDlầnlượttạiP,Q.GọiS,S 1 ,S 2 lầnlượtlàdiệntíchcủaphầnchungcủahaihình vuông ABCDvà 1 1 1 1 A B C D diệntíchhìnhvuông ABCD,diệntíchtamgiác CPQ.Khiđótheotínhchấtđối xứngcủahình,tacó 1 2 4S S S = - .DovậySnhỏnhấtkhi S 2 lớnnhất. Tacóphươngtrìnhcủađường 1 1 B Clà 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) . ( ). . 0 (cos sin ). (cos sin ) 2 0. i i b c z b c z b c b c b c e z b c e z bc bc i z i z j j j j j j - - - - + - = Û - - - + - = Û - + - - = . Đường BCcóphươngtrìnhlà 1z mi = + , m Ρ . H K C' B' A' C B A O Suyrađiểm P cótọavịthỏahệ (cos sin ). (cos sin ) 2 0(1) z=1 , (2) i z i z mi m j j j j ì - + - - = í + Î î ¡ GọiplàtọavịcủaP,từ(2)suyra p=1+im.Thayvào(1)tađược 1 cos (cos sin ). (cos sin ) 2 0 2cos 2 sin 2 0 . sin i z i z m m j j j j j j j j - - + - - = Û + - = Û = Suyrađiểm Pcótọavị 1 cos 1 . 1 tan sin 2 p i i j j j - = + = + .TươngtựQcótọavị 1 tan 1 sin 2 . cos 1 tan 2 p i i j j j j - - = + = + + Đặt 1 tan 1 , (0 1). 2 1 t t p it q i t t j - = Þ = + = + < < + Tacó 2 2 1 | Im( ) | . 2 1 t t S pq c p qc t - + = + + = + Xéthàm 2 ( ) ,0 1 1 t t f t t t - + = < < + .Tacó 2 2 2 1 '( ) ( 1) t t f t t - - + = + . Cho '( ) 0 1 2, 1 2f t t t = Û = - - = - + .Lậpbảngbiếnthiêntađược 2 max 3 2 2S = - khi 1 1 2 4 t j = - + Û = ð.Dođó 1 min 4(3 2) 8( 2 1)S S = - - = - 1 4 j Û = ð. Vídụ3.2.Chotamgiác ABCcóbagócnhọn,nộitiếptrongđườngtròn(O,R).GọiA', B',C'lầnlượtlàgiaođiểmthứhaicủacácđườngcaotamgiáckẻtừA,B,C vớiđường tròn.Hãyxácđịnhkíchthước3cạnhtamgiác ABCđểdiệntíchcủalụcgiácAB'CA'BC' lớnnhất. Giải. Khôngmấttínhtổngquát,tachọnR=1 vàchọnhệtọađộOxy.GiảsửA,B,C có tọavịa,b,c.GọiH làtrựctâmvàKlàguiaođiểmAHvớiBC,theomệnhđề1.8và1.7 suyraHcótọavịh=a+b+cvàKcótọavịlà 1 1 ( ) ( ). 2 2 k b c h bch a b c cba = + + - = + + - Ta cóA'làđiểmđốixứngvớiHquaBC.Thậtvậy,giảsửA 1 làđiểmđốixứngvớiHquaK. SuyraKlàtrungđiểmcủaHA 1 ,dođó A 1 cótọavị 1 2a k h cba = - = .Suyra 1 1 2 ( )( ) 1a k h cbaa a cba bca = - = = - - = ,dovậy 1 ( , )A O R Î . Tacó : ( ) ( ) ( ) 0AH a h a h z ah ah - - - + - = ( ) ( ) ( ) 0b c z b c z ab ac ab ac Û - - + + + + - - = . Dễdàngkiểmtratọavịcủa A 1 thỏamãnphươngtrìnhAH. Suyra 1 A AH Î >Vậy 1 ( , )A AH O R = I ,dođóA 1 trùngvớiA’ vàtacóđiềuphảichứngminh. TươngtựB'làđiểmđốixứng H quaACvàC làđiểmđốixứng HquaAB Gọi 1 ,S S lầnlượtlàdiệntíchcủalụcgiácAB'CA'BC'và ABCV từcáckếtquảtrêntacó 1 2 .S S = Theokếtquảcủavídụ1.2,tacó 2 2 2 2 9AB BC CA R + + £ .(1) Theokếtquảcủavídụ2.3,tacó 2 2 2 1 4 3 AB BC CA S + + £ (2) Từ(1)và(2),suyra 2 2 1 9 3 3 4 4 3 R R S £ = ,dấu=xảyrakhivàchỉkhixảyradấubằngở(1) và(2) xảyra,haykhiAB=BC=CA= 3R .Vậymax(S)= 2 3 3 4 R khivàchỉkhitamgiácABC đềucạnh 3R . x C E RP M Q D S B y A Vídụ3.3.ChotamgiácABCđều,Mlàđiểmtùyýnằmbêntrongtamgiác.GọiS,S 1 lần lượtlàdiệntíchtamgiácABCvàdiệntíchtamgiáccóbacạnhMA,MB,MC.Chứng minhrằng 1 3 S S £ . Giải.Chọnhệtọađộ Bxy,quađiểm Mvẽbađườngthẳngsongsongvớicáccạnhcủa tamgiácABClàPQ,DE,R.Đặt BP=x,PR=y,RC=t,BC=a. Suyra x+y+t=a với x,y,t,a dương.Khiđó B,P,R,Clầnlượtcótọavịz 1 =0,z 2 =x,z 3 =x+y, z 4 =x+y+t=a.DocáctamgiácMPR,MSD,MQEđềuvà BPMD làhìnhbìnhhành,nêntacóBD=x,SA=t,DS=x. SuyraD,Alần lượtcótọavị 0 0 5 1 3 (cos60 sin60 ) 2 2 z y i y i y = + = + ; 6 1 3 2 2 z a i a = + .Do BM BD BP = + uuuur uuur uuur .SuyraMcótọavị 7 1 3 2 2 z x y i y = + + .Tacó SA uur cótọavị 0 1 3 ( ); : 2 2 SA z t i T M Q = + ® uur .SuyraQcótọavị 8 7 0 1 1 3 3 ( ) ( ) 2 2 2 2 z z z x y t i y t = + = + + + + .Tacó 2 2 2 2 3 ( ) ( ) 2 2 BM x y y y = + - + .Suyra 2 2 BM DR x xy y = = + + .TươngtựDQ=AM,QR=CM.SuyraDQRlàtamgiáccóba cạnhMA,MB,MC. TacódiệntíchcủatamgiácABClà 2 6 4 1 1 1 3 3 | Im( ) | | Im( ) | 2 2 2 2 4 S z z a i a a a = = + = DiệntíchcủatamgiácDQRlà 2 5 8 3 5 8 3 1 3 | Im( ) | ( ). 2 4 S z z z z z z xy yt tx = + + = + + Dox, y,t dương,nêntacó 2 2 2 2 2 3( ) ( )xy yt tx x y t xy yt tx x y t a + + £ + + Þ + + £ + + = . 2 3 1 3 ( ) . 4 3 4 xy yt tx a Þ + + £ Vậy 1 3 S S £ .Dấubằngxảyrakhix=y=t hayM làtâmcủatamgiácABC. III.KẾTLUẬN Chuyênđềđãtrìnhbàysựbiểudiễndạngphứccủamộtsốyếutốhìnhhọc.Từđó đưaramộtsốphươngphápgiảimộtsốbàitoánvềbấtđẳngthứchìnhhọcvàcựctrị hìnhhọc.Thôngquacácbàitoánminhhọa,chuyênđềđãnêuđượccácthếmạnhcủa phươngphápsốphứcsovớicácphươngphápkháckhigiảibàitoánhìnhhọcvàcựctrị hìnhhọc.Cóthểlờigiảiởmộtsốbàitoánkhôngđượcngắngọnsovớiphươngpháp thôngthường.Songchúngtôihyvọngchohọcsinhcómộthướngsuyluậnkhác.Quađó chúngtathấyđượckhảnăngmạnhmẽcủasốphứcnóiriêngvàsựđadạngcũngnhưvẻ đẹpcủatoánhọcnóichung. Tuynhiêncũngnhưmọiphươngphápkhác,phươngphápsốphứckhôngthểthích hợpchomọibàitoánbấtđẳngthứchìnhhọcvàcựctrịhìnhhọc.Chínhvìvậy,chuyên đềchủyếuđisâuvàocácbàitoánhìnhhọcphẳngcóyếutốvềdiệntích,khoảngcách,tỉ số,  IV.TÀILIỆUTHAMKHẢO [1]NguyễnHữuĐiển(2000), Phươngphápsốphứcvàhìnhhọcphẳng,NXBĐạihọc quốcgiaHàNội. [2]NguyễnHữuĐiển(2001),Phươngphápgiảicácbàitoáncựctrịtronghìnhhọc, NXBKhoahọckỹthuậtHàNội. [...]...[3] Nguyễn Phụ Hy, Nguyễn Quốc Bảo (1996),  ứng dụng số phức để giải toán sơ cấp,  NXB Giáo dục.  [4] Đoàn Quỳnh (1997),  Số phức với hình học phẳng,  NXB Giáo dục.  [5] Nguyễn văn Mậu, Trần Nam  Dũng, Đinh Công Hướng, Tạ Duy Phượng,  Biến phức định lý và áp dụng,   Đại học quốc gia Hà Nội­Trường ĐH khoa học tự nhiên (Tài liệu bồi  dưỡng hè 2009).  laisac xin lỗi cô Tâm vì không làm đúng lời nhắn dưới đây của cô:  Em gởi bài này cho Thầy đọc thôi, Thầy đừng đưa lên mạng nghen . ... Em gởi bài này cho Thầy đọc thôi, Thầy đừng đưa lên mạng nghen .  Em rất ngại điều đó lắm, vì chưa tự  tin nhiều,  chắc có nhiều điều thiếu sót   Nhưng laisac xin đại diện  các bạn đã đọc bài này,  với lời cảm ơn cô Tâm rất nhiều cho  bài viết hay này he he he he . thành bài toánvới số phức màtabiếtrằng các côngcụvềkhoảngcáchvàgóccóthểđưa các côngthứcđơngiảnđốivới số phức. Do vậytacóthểsử dụng số phức đểgiải các bài toán hình học từđơngiảnđến phức tạpđặc biệtlà các bài toán cực trị hình học.  Đểvận dụng được số phức trong việcgiải các bài toán hình học tacầnbiếtbiểudiễn dạng phức một số yếutố hình học.  I.BIỂUDIỄNDẠNGPHỨCCỦA. làtâmcủatamgiácABC. III.KẾTLUẬN Chuyênđềđãtrìnhbàysựbiểudiễndạng phức củamột số yếutố hình học. Từđó đưaramột số phươngphápgiảimột số bài toánvềbấtđẳngthức hình học và cực trị hình học. Thôngqua các bài toánminhhọa,chuyênđềđãnêuđược các thếmạnhcủa phươngpháp số phức sovới các phươngphápkháckhigiải bài toán hình học và cực trị hình học. Cóthểlờigiảiởmột số bài toánkhôngđượcngắngọnsovớiphươngpháp thôngthường.Songchúngtôihyvọngcho học sinhcómộthướngsuyluậnkhác.Quađó chúngtathấyđượckhảnăngmạnhmẽcủa số phức nóiriêngvàsựđadạngcũngnhưvẻ đẹpcủatoán học nóichung. Tuynhiêncũngnhưmọiphươngphápkhác,phươngpháp số phức khôngthểthích hợpchomọi bài toánbấtđẳngthức hình học và cực trị hình học. Chínhvìvậy,chuyên đềchủyếuđisâuvào các bài toán hình học phẳngcóyếutốvềdiệntích,khoảngcách,tỉ số, . thành bài toánvới số phức màtabiếtrằng các côngcụvềkhoảngcáchvàgóccóthểđưa các côngthứcđơngiảnđốivới số phức. Do vậytacóthểsử dụng số phức đểgiải các bài toán hình học từđơngiảnđến phức tạpđặc biệtlà các bài toán cực trị hình học.  Đểvận dụng được số phức trong việcgiải các bài toán hình học tacầnbiếtbiểudiễn dạng phức một số yếutố hình học.  I.BIỂUDIỄNDẠNGPHỨCCỦA