é ề ỉì ề ẵ ễ è ề ề ỉệểề ỉủ ỉ ủể ũ ủ ỉểụề ỉệ ỉệểề ề ứề ẹ ỉỳỉ é ẵ ề ỉ ỉệ í ề ỉ ắ ẻ ỉ ỉệểề ềỉ ụ ẹ ỉ ễ ứề ỉệ ụề ụ ắ è ẹ ỉệ ề ụề ụ è ẹ ỉệ ề ụề ụ ủ ỉ ắ è ề ễ ỉ ề ẵ ắ ề ề ỉ ề ề ềạ ề ề ẹ ỉỳỉ é ụễ ì ỉ ủể ũ ủ ỉểụề ỉệ ỉệểề ề ề ỉ ề ỉ ắ ụ ễ ễ ỉểụề ề í ắ ẳ ẵ ủ ỉ ễ ũ ề ẵắ ẵ ẵ è ẹ ỉệ ề ẵẵ ỉ ề ỉ ễ ứề ỉ ắ èệ ề ỉ ẹ ụ ụề ụ ắ è ẹ ỉệ ề ụề ụ è ẹ ỉệ ề ụề ụ ủ ỉ ề è ề ễ ỉ ề ề ề ề ề ủ é ềạ ề ề ẹ ỉỳỉ é ỉ ỉ ỉ í ủể ũ ủ ỉểụề ỉệểề ẵẳ ỉệểề ề ẵẳ ẵẵ ề ẵắ ẵ ề ề ỉ ủể ũ ẹ ỉì ủ ỉểụề ỉệ ắ ề ề ỉ ủể ũ ẹ ỉì ủ ỉểụề ỉệ é ì ề ụ ễ ũ ỉ ẵắ ẵ ẵ ắ ề ìí ề èủ é ỉệ ỉ ắ ẻ ỉ ụ ẵẳ ẵẳ ẹ ỉ ễ ứề ụ ỉệểề ỉ ụễ ì ẵ ẻ ỉ ủ ẵẳắ ũ ì ủ ỉ ễ ề ẵ è ẹ ỉệ ề ỉ ẹ ềạ ẹ ụễ ì ề ẵ ề ỉ ũể ủể ũ ủ ỉểụề ỉệ ẵ ẵ ề ủ ỉểụề ỉệ éủ ĩ ỉ ề ỉ ỉ ũ ụ ễ ủ ỉểụề ỉệ ỉ ủ ẹ ỉệ ề ẹ ũ ỉí ề ũ ếí ỉ ỉ ề ề ỉ ỉ ề ỉ ềá é ụ ứề ỉ ụề ỉệểề ề ề ỉệ ề ì ề ề ẹ ề ỉ é í ề ễ ỉ ề ẹ ề èểụềá ụỉ ụ ềủí ệ ỉ ễ í ũ ỉ ũ ỉ ể ụ ứề ỉ ỉ ứề ễ ụễ ũ ỉ ẻ ễ ỉừễ ủ ẹ ề ẹ ề ề ỉệểề ỉ ỉ ề ỉệ ề ề ỉ ề ỉ éủ ẹ ỉ ỉ ủí ỉệểề ề ỉ ứề ề é ỉ ề ỉ ụ ề ì ề ỉểụề ủ ễ ễ ụễ ỉ ủ ỉểụề ỉ ẹ ểụ ũ ễ ể ề ề ỉểụề ỉệề ỉệề ễ ũể ể ủ ỉệ ặ ỉ ề ẹ ề éểừ ề ỉệ ề ẹ ừí ỉểụềá ề ềủểá ề ề ễá ìỳễ ĩ ễ ủ ễ ẹ ễ ỉ ề ữề ề ẹ ỉ ếí ỉệ ề ễ ụ ề ễ ỉừểá ềủể ỉ ỉ ếụ ỉệ ề ủ ỉểụề ỉệ ủ ỉểụề ỉệ ỉệểề ẹ ẹểề ề ẹ ỉệểề ũ ìụề ểụ ừề ề ề ề ề ề ỉ ũ ẹ ỉì ề ủề ề ể ỉ ẹ ỉ ủể ề ễ é ỉ ề ếụỉ í ỉệểề ủ ỉểụề ề ề ỉ ề ề í ủ ề ẹ ề ậ ề ĩũí ệ ủ ỉểụề ỉ è ủ ỉểụề ủ ỉểụềá ề ỉ ễ ề ụể ề ỉ ề ỉểụề ề ỉểụề ỉệề ề ỉủ ề ỉ ủể ũ ủ ỉểụề ỉệ ỉệểề ề ề ễ ứề ề ề ủ ì ề ề ỉ ủể ũ ủ ỉểụề ỉệ ỉệểề ề ề ỉ ủể ũ ủ ỉểụề ỉệ ỉệểề ì ụ èủ é ễ ề ề ề ủ é ề ỉ ề ề ỉ ễá ỉệểề ỉ ỉ ề ỉệểề ủ ỉểụề ỉệ éủ ụ ỉ è ỉ ề ũề ừí ủ ủ ỉểụề ễá ỉ ỉ ễ ẹ ề ỉểụề ỉệề ỉệểề ếụ ỉệ ề ể ứề ũề ủ ỉ ừí ỉ ú ỳề ề ì ỉ ẻ íá ụ ỉụ ừề ề ề ễ ủ ừề ề é ỉ ễ èủ é ũ ệ ỉ ẹểề ề ề ềủí ề ề ề ề ề ừề ủ ễ ụ ụ ỉụ ũ ỉì ABC è ẹ A, B, C ụ a, b, c ỉ éủ ì ể BC, CA, AB ủ ụ ề ỉ ẹ ụ ỉ ẹ ụ ABC ể ĩ ỉ ễ ụỉ ỉ ụ ề ABC A, B, C ỉ ẹ ABC ỉ ẹ ủ ụ ụ ỉ ẹ R, r ABC ụề ề ụề S(XY Z) , ề ề ề è ề ĩ ỉ ễ ụỉ ỉ ụ ề A, B, C ỉí ề ĩ ỉ ễ ụỉ ỉ ụ ề A, B, C ụ ỉệểề ỉ ỉệề ỉệ ề ề ểừ ỉ ụ ềỉ G, H, I, O ề ểừ ỉ ễ ủ ụ ụ , rb , rc ề ABC ma , mb, mc ề ủ ụ ừề la , lb , lc ề ỉệểề ỉủ é ABC ề , hb, hc ụ ụ ễá ề ỉ ề ỉệ ề ủề ỉ ễ ỉ ẹ ụ éủ ỉệ ề min, ẹ ẹ ĩ ề ỉá A, B, C ỉ ẹá ỉệ ỉ ẹá ỉ ẹ ỉ ề ỉừ ụ ỉệ ề ụ ỉ ẹ ụ ABC XY Z ễ ẻ ễỉ ẹ ụ ỉệ é ề ề ỉ ề ỉệ ề ề ỉ ễ ủ ề ề è ẵ ẵ ề ỉ ủể ũ ẹ ỉ ì ủ ỉểụề ỉệ ỉệểề ề ễ ứề ẹ ỉỳỉ é ỉệ ỉ í ề ỉ ẹX ềỉ ề ỉệ ề ẹ f (X) M, X D ĩ f (X) = M X D : f (X ) = M ể ỉ àẹ f ễ ỉ ắẻ ỉ ắẵ ỉệểề ẻ ỉ ề éủ ẹ ỉ ề ủ ỉ ỉ ỉ ề ủ ề ề ề AB |AB| CD ỉ ủ ề ể ềữẹ ỉệ ề ỉ áề ề ữề AB//CD ẹ ẹ ỉ ềủể éủ ẹ éủ ủ ễ éủ ề ệ ủ ỉ éủ ề ỉ ứề ú ẹ ề ỉệ ề ỉ ề AB àá ỉ ễ ề ề ỉệểề ỉ ẻ ỉ ểừề ỉ ứề ỉệ ề ẹ ỉ ề ẹ ỉ ẻ ỉ ẻ ỉ m, X D X D : f (X ) = m 0 ểừề ỉ ứề ủ ề ề ẹ ỉ ễ ứề ẹ ẹ ỉ ềủể éủ éủ D è f (X) f (X) = m ề ỉ ề ủ ỉ ẹ ể ỉ ỉ íẹ ề éủ AB ỉ ỉ éủ ỉ AB ề ẳ í ề ỉí ềà ề ề ỉ ứề ìểề ề ề ềữẹ ìểề ặ AB ỉ ề ễ ỉ AB, CD ề AB CD ặ ề ề ỉ ề éủ ữề ữề éủ ỉ ề ề ề ề ủ ủ ề ỉ ẩ ễ ẹ ề N ắắ ỉ ì ể ể MN = a ụ ễ ễ ỉểụề ẩ ễ ề ề ỉ ỉ AB = CD ề ủ ề ủ ặ ề ủ ề ủ ặ ỉ ể ỉ a ẻ ể ễ ụ ỉ ềủí ểủề ỉểủề ĩụ ề ẹ ễ ẹ Má ỉ ề ề ề ỉừ ề ũề éủ í ề ỉ ỉ ụ ỉ ề ể a ỉ ủ b í ẹ ỉ ề éủ ễ ễ ề ẫí ỉỳ ẫí ỉỳ ẹ ề ABCD éủ ủề ề ề ủề ỉ A ỉ ỉ AB + AD = AC a ủ b ễ ỉểụề ỉ ẹ ỉ ề AB + BC = AC ề ẹ ỉ ẫí ỉỳ ề ề ề AB = a ủ BC = b ẻ ỉ AC éủ ỉ ề è ỉ ề ỉ a ủ b éủ a + b ẩ ỉ ề ề ỉ AB = CD AB ể ỉệ è ểà ỉ ỉ ỉ ỉ ề AB ủ CD ề ề ỉ ẹ ỉ ỉ ể ỉệ ề ề ề ề ẻ ỉ a , b , c , x , y , ể ề AB ủ CD ỉ ỉ ề ữề ề ề ể éủ ẹ ỉ ỉ ỉ ỉ ỉ ề AB, CD ề AB CD AB ủ CD ệ ỉề ỉ ỉ ỉ ỉ ỉ ề ỉ AB ủ CD ỉ ề àè ề ỉ ẻ a , b , c ỉ ỉ áỉ a + b = b + a ỉ ề ỉ ể ểụềà ( a + b )+ c = a +( b + c ) ỉ ề ỉ a + = + a = a ỉ ề ỉ ỉ ẩ ễ ỉệ ề ề a ủ b è a b ể ẹ ỉ ỉ ề ỉ ề ếí àè ề ề ỉ a ủ ẹ ỉì k = ủ ỉ a = è ỉ a éủ k a ề ề a ề k >0áề ủ ữề |k|| a | ểì k éủ ẹ ỉ ỉ a ề k < ủ è ễà ỉ a + ( b )á b éủ ỉ ẫí ỉỳ AC AB = BC è ỉ ì ề a = 0ák0 = ỉ ể ỉ a ủ b ỉ ẹ ì ỉ h ủ k ỉ ề k( a + b ) = k a +k b (h + k) a = h a + k a h(k a ) = (hk a) a = a , (1) a = a è ề ề ề a ủ b éủ ẹ ỉ a ủ b éủ a b ể ụ ỉ ỉ ỉì ĩụ ề è ề ỉ ì a b = | a |.| b | cos( a, b) a = b ỉ ỉ ề a a éủ a2 ủ ì ềủí éủ ề ễ ề ề ỉ a ề ỉ a = | a |.| a | cos = | a |2 àè ề ỉ ẻ a , b , c ỉ ỉ ủ ẹ a b = b a ỉ ề ỉ ể ểụềà a ( b + c)= a.b + a c ỉ ề ỉễ ì kỉ ềễ (k a ) b = k( a.b)= a (k b ) àặ ề ĩ ỉ è ụ ỉ ề ỉ ỉ ề áỉ ề ẹ ề a b = [( a + b )2 ( a b )2] = (| a + b |2 | a b |2 ) 4 MA.MB = (MA2 + MB AB 2) AB.CD = AB.C1D1 C1 , D1 é ềé ỉ éủ ề C, D ỉệ ề AB D C C1 ắ D1 a B ẹ ẹ ỉ ểừề ỉ ứề ỉ ểỉ ì ể ỉệ OA k OB MA = k MB OM = (k = 1) 1k ẵẳ a B ể ỉ ẹ ểừề BC ỉ C M M éủ ẹ ỉ ẹ ỉệ ề ừề BC MB ểỉ ì k = ể MC MB AB + MC AC MC MB = AM = AB + AC MB BC BC 1+ MC ụ ABC M ủ ẵ a ủ b | a | + | b | ứề ỉ || a | | b || ứề ể ỉ | a + b| |a b | ề a = AB b = BC ỉ ẻ ẹ ỉ AC AB + BC ìí ệ ĩũí ệ ẹ ỉ ắ ẻ è A, B, C a + b = AC A, B, C ỉ ứề ủề ỉ ể ỉ ỉ a = AB, b = AC ỉ a b = CB ỉ ẻ ứề ỉ ẹ ề ỉ ứề a b ĩũí ệ a b ĩũí ệ A, B, C ỉ ĩũí ệ ẹ ỉ íá ỉ CB A, B, C ỉ ủề a áỉ ễ ẹ ỉ |AB AC| ìí ệ ỉ ứề ủề a2 ễ ũ ẵẵ ề ủ a b ễ ẹ A [BC] a b ứề ỉ ẹ ề ĩũí ệ a = a = | a |2 ủ ắ A p-a Q R r p-c I G r p-b B è ề ỳ éừ ẹ ỉ ì èệ C P ỉ ếũ ũề IA2 + IB + IC = 3IG2 + GA2 + GB + GC ẵà IA2 = r2 + (p a)2 ; IB = r2 + (p b)2; IC = r2 + (p c)2 ắà ab + bc + ca = p2 + r2 + 4Rr R 2r éừ ủ ỉểụềá ỉ (1), (2) ìí ệ (a + b2 + c2 ) 3r2 + 3p2 2p(a + b + c) + (a2 + b2 + c2 ) (a + b2 + c2 ) 3r2 p2 + (a2 + b2 + c2 ) 3r2 p2 + [4p2 2(ab + bc + ca)] 2 9r 3p + 2[4p2 2(p2 + r2 + 4Rr)] (ỉ ể (3)) 3r2 + (p a)2 + (p b)2 + (p c)2 p2 + 5r2 16Rr 7p2 + 35r2 7p2 + 27r2 + 4Rr ể 7p2 + 27r2 112Rr (ỉ 112Rr ể (4)) 108Rr ứề ỉ ĩũí ệ ẵ ắ IG = R = 2r ABC ẻ è ề ề ề ỉ ề ề ỉ ề ỉ ề ỉ é ề í ũ é ỉ ề ếụỉ ễ ìí ề ẹ ề ỉ ủể ũ ủ ỉểụề ỉệ ề ệ ỉệ ủể ễ ụễ ỉ ẻ ỉừểá ỉ è ỉ ẹ ỉệểề ề ề ữề ễ ụễ ỉểụề ủ ỉểụề ỉệ ỉ ủ ỉểụề ỉ ẹ ừề ủ ỉểụề ỉ ễ ề ễ ể ề ỉểụề ẹ ỉ ũ ẻ íá ề ẹ ề ỉệ ể ữề ừí ỉểụềá ễ ụễ ỉ ềẹ ề ũ ề ề ỉ ụ ễ ỉ íá ỉểụề ủ ễ ỉ éủ ề ỉệểề ềủể ìí ề ũ ề ỉ ễ ếụ ỉệ ề ủ ỉểụề ỉệ ũ ìụề ể ỉ ềẹ ề ề ữề ễ ừề ề ìí ề ẹ ễ ụễ ỉ ề ẵ ề ề ỉ ủể ũ ủ ỉểụề ỉệ ỉệểề ề ắ ề ề ỉ ủể ũ ủ ỉểụề ỉệ ỉệểề ề ễ ứề ề ề ẻ é ũ í ề ẻ ề ỉ ủ ỉểụề ề ủ ỉểụề ỉ ẻ ẹ ữề ềề ừề ứề ỉ ỉ ứề ỉ ỉ úì ề ễ ụễ ỉ ỉ ề ề ề ứề ỉ ừề ề ỉ ẹ ỉì ụ ề ễ a áỉ a2 ỉ ề ề ủ ỉểụề |AB| = AB àá ứề ỉ ề ềề ề éủẹ ĩ ỉ ỉ ỉ ỉ ỉ ề ề ề ụ ề ứề ẵ ỉ ĩũí ệ a = ì ề ỉ ỉ ứề a b ĩũí ệ a b ỉ ễ ĩũí ệ ỉ ễ ũ ỉ ủ ỉ | a | + | b | ứề ỉ || a | | b || ứề ì ề ì ề AB = AB ề ụề ề ỉ ủ ỉ ủ ỉểụề ỉệ ỉ ề ễ ủ ỉểụề ứề | a + b| à|a b | ỉ ỉ ỉ ã ề í ỉ ề ũ ã í í ề ỉ ỉ ề ề ề ứề ừề ã ỉ ứề ỉ ề a.b a b | a |.| b | ứề ỉ | a |.| b | ứề ặ ểủ ệ ũ ụ ĩũí ệ ụ ứề ề ỉ ỉ ề ỉ a b ĩũí ệ a b ĩũí ệ ỉ ủ ỉểụề ỉệ ỉ ỉ ề ũ ếí ỉ ề ề ế ề ỉ ẹ ềủí ĩũí ệ ềủí ỉ ỉ ề ỉừ ụ ì ề ẹ ụ ề ề ỉ ẹ ỉ ẹ ỉ ẹà ẹ ề ủ ẵ è ẹ ỉệ ề ẻ ỉ ẵ ỉệ ề ủ ụề ề ỉ ẹ é ề é ễ ụ ũì ỉ éủ ỉ ủ ỉ ABC ủ A B C éủ ụ ỉ G ủ G ề è ẹ ụ ỉệ ề ẹ ề ụ ỉ ỉ í ỉ ề T = AA + BB + CC T = AA + BB + CC = |AA | + |BB | + |CC | ề ẻ ỉ ề ề è ỉ ũ ỉ ỉ ẹ ỉ ứề ỉ ỉ ỉệ ề ẻ ẵ ề ụ AB C ề ề ề ỉ ề ỉ é ề ụ ề ề ề ỉ é ề ếí ỉỳ ĩ ề ề ẹ ĩ ề ỉệ ề ể ỉ 300 ủ SA = SB = SC = a è ể ỉ ẹ ỉ ẹ ỉệ ề ỉ ẹá ỉ G ủ G ủể ụ ỉ ề ủ ỉ ẹ ỉệ ề ỉ ề ề ẹ ỉệ ề ỉ è ề S.ABC SB ụ ỉệ ề ASB = BSC = CSA = B ủ ỉệ ẹ ề ỉ ề SC ẹ C ì ể ề èệ ễ ứề ỉ ỉ ềỉ ữề ụ ề ụ í ề ỉệ ủ ỉểụề ề ềẹ ỉ ề ỉ ề ề ủ ỉểụề ề SABC ỉệ ề ẹ ỉ ẹ ỉ ễ ứề SABCA SA = SB = SC = SA ủ ASB = BSC = CSA = 300 ẵ è SAC = SA C AC = A C ạ ạ à ề ề ể P (AB C ) = AB + B C + C A = |AB | + |B C | + |C A | |AB + B C + C A | = AA ứề SC ỉ ĩũí ệ AA ủ ề ề ỉ B éủ ễ ỉ ể ỉ ề ĩũí ệ ẻ ắắ ỉ ẹ ỉ ẹ ụề ề ụ ỉ ề ắ è ẹ ỉệ ề ể ụ ỉệ ề ề ủ ủ ỉểụề ụ ề èệểề ẹ ề ỉ ẹ ỉ ề ề ẹ ụ ABC ụ ề ABC ề ụ ể ỉ ẹ ũ ỉ ẹ ễ T = a2 + b2 + c2 é ỉ ề SB ủ AAá C éủ ẹ ỉ ễ ề ỉệ ề (O, R)á ỉ è T = BC + CA2 + AB ì ỉ ề è ề ề ễ ỉ í ỉ ừề ề ề ũ ề àá ỉ ề ề ề ễ ề ẹ ỉ ỉ ể ủ ỉểụề ỉệ ỉ ể ề ỉ ề ềé T ụ ỉ ỉ T = BC +CA2 +AB ề ỉ ểừề ỉ ứề ụ ỉệ ủể ẹ ề ề ể O ủ ỉ T = (OC OB)2 + (OA OC)2 + (OB OA)2 = 6R2 2(OC.OB + OA.OC + OB.OA) è ễỉ ỉ ề ểỉ ề ễ ì ề ề ữề ứề ỉ ỉ ụ ỉ ề ỉ ụ ỉ T = 9R2 (OA + OB + OC)2 = 9R2 9OG2 ẵ 9R2 ỉ ẻ ắ ABC è ẹ ề ụ ỉệ ề ề ẹ M ỉ ể ỉ ềữẹ ỉệểề ẹ ỉ ễ ứề ỉ ẹ ụ T = MA2 + MB + MC ỉ ỉ ỉ é ề ụ ỉ ề ỉ ỉ ề ề ỉệ ề ừề ề ỉ ẹ G ỉ ề ề ụ ỉ ẹỉ ỉ ẹ ụ ề ễ ề ABC ụ ẹá ủ ỉ ểừề ỉ ứề ềủí ỉ ề ể T = (MG + GA)2 + (MG + GB)2 + (MG + GC)2 = 3MG2 + GA2 + GB + GC + 2MG.(GA + GB + GC) = 3MG2 + (a2 + b2 + c2 ) ( ể GA + GB + GC = ) (a + b2 + c2 ) ẻ ắ ề ỉ ứề é ềé ỉỉ ể ỉệ ề ể ề AB ũ ì éủ ề a, b AM = m, BN = n ì ỉệ ề ụ ề m, n ì MN ề ỉ ề ụ ẹ A a, B b ủ AB = d a, b í ề ể ể MN ể ể ủ é ề ề M, N m2 + n2 = 2k > ỉá ề ề ỉ ỉ ề èệểề ếụ ỉệ ề è ỉ ề ỉ ề ỉ ỉ ề ềé ề ỉ ụ MN = MN ụ ỉệ ề ú MN = (MA + AB + BN )2 = MA2 + AB + BN + 2MA.AB + 2AB.BN + 2MA.BN = m2 + n2 + d2 2mn cos(AM, BN ) = d2 + 2k 2mn cos(AM, BN ) ề ỉ ề ỉ ỉ ểì ỉ í MN ẵ = (a, b)á ỉ ỉ ẹ ụ ỉệ ề ỉ è ẹ ỉệ ề ẻ ề ụề ụ ể ỉ ẹ ề ỉệề ỉí ề ỉ ụ BD ủ CK è ề ABC ẹ ỉ ề ỉừ ụ ỉệ ề ề A éủ cos ỉ èệểề ềủíá ỉ ỉ ỉ ề ề ỉ ứề ề BD.CK BC cos = == BD.CK 2BD.CK ẻ (O, R) M ề ề éủ ẹ ỉ ẹ ể ỉ ụ ỉệểề A1 A2 An ề ẹ ỉ ễ ứề ỉ ễ ề ụ è ẹ ỉệ ề ụ ỉệ ề ỉ T = MA1 + MA2 + + MAn ụề ỉ ỉ ụ ủ ề ì ề ụề ũỉ ỉ ẻ ụ ề ễ ủ ỉ ỉệ ụ ể ểừề ỉ ứề ỉ ỉ ềỉ ỉ ềỉ ẹ ỉệ ề ề ểừ ỉ ề ểủ ễ ì ễ ề ề ỉẹ ỉé ụ ề ụề ỉ ề ễ ụễ ễ ụ ễ í ể MA1 OA1 MA2 OA2 MAn OAn + + + OA1 OA2 OAn MA1 OA1 MA2 OA2 MAn OAn + + + OA1 OA2 OAn ề ềủí ỉ ỉ ụ ỉệ ềá ề ỉ ề ỉ ẹ ề í ỉệ T = è ừề ỉ ỉ ề ểừề ỉ ứề ỉ ề ẹ ề ĩ ề ỉ ễ ẹ O ủể ụ ỉ MAi ệ T = nR M T = ỉ ể ỉ ỉ ề ABCD ì ề ề ỉ ẹ ỉ 3MA + MB + MC + MD ẵ ề ề ề A è ề ỉ ỉ ừề ề ỉ AB AC AD , , éủ ụ ỉ AB AC AD AB AC AD + + AB AC AD ể ỉ ỉ ẹ ẹ ỉ ẹ ểừề ỉ ứề è ể ũỉ ề ủ ẹ ỉ ề ì ừề ỉỉ ề ỉ ề ụ ỉ ề ề AB AC AD =3 + + = AB AC AD ề ì ủ é ẻ é ỉ è ỉ ề ề ủể ể é ề ũ ẹ ỉì ủ ỉểụề ỉệ ỉệểề ỉ ì ì ể é ề ỉệ ỉểừ ã ỉ í ề ỉ ụ ủ ỉểụề ãè ề ủ ỉểụề ỉ ã ề ề ỉ ũ í ề ủ T = AB + AC + AD ề ẻ ềỉ AB AC AD MB.AB MC.AC MD.AD + + MA + + + T = AB AC AD AB AC AD AB AC AD MB.AB MC.AC MD.AD + + AM + + + AB AC AD AB AC AD í ề ỉ ĩ ề ẹ M ủể ụ ỉ AB, AC, AD ệ ề è àá ỉ ụ à ụ à ữề ề ụ ề ỉ ỉệ ề ề ứề ỉ ỉ ềỉ ề ễ ũ ỉ ừề ủ ỉ ề ỉ ỉ ủ ỉểụề ỉ ỉểừ ỉ ẹ ề ề ẵắ ỉ ủ ủể ể ụ ì ỉ ỉ ỉệểề ủ ỉ ụề ẹ ỉ ễ ứề ì ể é ể ỉệểề ề ề ụ à ể ềà ễ ũ ẹ ỉì ỉ ủ ỉểụề ỉệ a, b ỉ ẹúề ẵ ì a 2b + = è ẹ ụ ỉệ ề ề ỉ ỉ (a 3)2 + (b 5)2 + T = (a 5)2 + (b 7)2 è ỉ í ể ễ ũ T ỉ ề ỉ ặ ễ ũ ỉ ẹ ỉ ặ ỉ ề ỉ ừề ừề ỉ (O, i , j )á ỉ ụễ ủ ủ ề ĩ ỉ ụ ẵ ểừề ỉ ứề ỉ ểừề ỉ ứề ề ễ ỉ ỉ ỉ ề ề ìể x, y è ỉ ề ỉ ễỉ ề ỉ èệểề A(3; 5), B(5; 7) ủ M(a; b) ẹ ể ụ ì ề ể ỉệ (x + 1)2 + y + T = ểừề ỉ ứề ỉ ề x 2y + = 0á A, B ẻ ủ ẹ ề ỉ íỉ ỉ ề éủ ỉ ề ẹ ỉ ễ ứề è ỉ í d ủ T = MA + MB ẹ ụ ỉệ ề ề ỉ ỉểừ M d : ỉ (x 1)2 + (y 3)2 (x 3)2 + y + èệểề ủ ẹ ỉ ễ ứề M(x; y) Oxy ĩ ỉ ụ ỉ ỉ ẹ A(1; 0), B(3; 0), C(1; 3) T = MA + MB + MC ề íỉ ẻ ẵ ỉ ỉ T = ỉ ếũ x, y, z ề ỉ ề ề ữề è ẹ ụ ỉệ ề ề ỉ èệểề ỉ ề ề ể ụ ì x2 + xy + y + T = ừề ụễ ẹ ỉì y x+ ụ ỉệ ề ề ễ 3y + ễ y + yz + z + ỉ ỉệểề z + zx + x2 ề ỉ ề + z y+ ẵ 3z + 2 + x z+ 2 3x + 2 èệểề ỉệ ỉểừ ụ ề ầĩíá ễ ềủí ĩ ỉ ụ y 3y z 3z x 3x a = x+ ; , b = y+ ; , c = z+ ; ỉ 2 2 2 T = | a | + | b | + | c | | a + b + c|=3 ẻ ề ẵẵ ể x [1; 3] è ẹ ụ ỉệ é ề ề x x+1+ 3x y= x2 + ỉ ỉ ủẹ ì ẻ ỉ ễ ềỉ éủ ỉ ụ ễ ũ áỉ ủ ỉ íỉ ỉ ỉ ừề ỉ ề ềủí ểỉ ỉ áẹ é ề ề ỉ ỉ a = (x; 1), b = ( x + 1, x) a.b y= = cos( a , b ) | a |.| b | y ỉ ụ ỉ è ể ẻ ẵẵ ể x [0; 2] è ẹ ụ ỉệ é ề ề 4x x3 + y= ỉ ủẹ ì x + x3 ẻ ỉệểề ễ ũ ẹ èệểề ỉệ ể ỉ ề ề éủ ỉ ề ề ễ ềủíá ỉ ỉ éủ ỉ ụ ề ỉ ỉ ễ ỉ ể ỉ ỉ ề ề ỉ ẹ ề 2y ề ỉ ừề ỉí ề ề ỉ ề ề ừề ỉ ề ụ ễ ụ ỉ ề ủ ỉ èệểề ẹ ỉ ễ ứề ầĩíá ĩ ỉ ụ ỉ y= a.b ẻ a b | a |.| b | ề è ụề ỉểừ a = ( 2; 2), b = ( 8x 2x3; x + x3) 9x x3 ụ ỉệ é ề ề [0; 2] ẵ ẳ ỉ ỉ 9x x3 x ẻ ẵẵ ể ì a, b, c ề ề ẹ ề ệữề (a + b + c)3(a + b c)(b + c a)(c + a b) 27a2 b2c2 ặ ụ ì ỉ ứề ề ỉ ỉ è ề a, b, c éủ ề ễ ũ ề ạệ ề ỉ íề ề ề ể ỉ ĩ ỉ ẹ ỉỉ ẹ ề ềủí ỉ ĩ ỉ ụ ỉệ S, R é ứề ềé ỉ ể ẹ ỉỉ ẹ ỉỉ ì ì ỉ éủ ềỉ ề ề 16(a + b + c) S ẻ ề ỉ ề ủ ủ ứề ủ ẹ ề ủ ụề éủ a ừề ề ề ỉ ì ỉ ề ể ũ ề éừ ì ề éừ ũ ề ỉ ỉ ụ ễì 0ỉ ề ỉệụ ỉ ẹ (a + b c) + (b + c a) = 2b < ụ ABC ụ ỉ (a + b c)(b + c a)(c + a b) > ề ỉ ề ỉừ ỉ ẹ S ềỉ (a + b c)(b + c a)(c + a b) > ỉ ể ỉ ừề (a + b c)(b + c a)(c + a b) ỉ ỉệ ề ễ (a + b c) < ừề (b + c a) < ẹ ề ề ĩ ỉ ì ủ ẹ ẹá ứề ỉệụ ũỉ ì ỉ ề = BC, b = CA, c = AB ỉệ ề ề ểừ ỉ ễ ABC ỉ ỉệ ỉ ủề 2 27a b c (a + b + c) 27a2b2c2 = 27R2 16S a, b, c, x, y, z ỉ (a2 + b2 + c2 )(x2 + y + z ) (a + b + c)(x + y + z) ẵẵ ề ax + by + cz + ẹ ề ệữề ẹ ì ỉ ụ ụ ỉ ề ỉ ứề ủ ỉ ề ỉ ỉ ụ ủ ễ ũ ề ủ ễ ề ẹ ề ề ềủí ỉ ỉ ễỉ ề íá ỉ ẵ ẵ ề ừề ỉ ề ỉ ề ĩ ỉ ụ ỉ ẹ ề 2( u m)( v m) u v + | u |.| v| é u = | u | = a2 + b2 + c2 , | v| = ẹ ỉ ĩ ỉ ỉ (a; b; c), v = (x; y; z) ủ m = (1; 1; 1) x2 + y + z , | m| = 3á ủ ỉ ứề ỉ ụ ỉệ ỉ ủề è ễỉ ảặ ảặ ểá ỉ é ề | u|=0 ể ề ỉ | v|=0ỉ | u |.| v|=0ỉ ỉ ỉ ứề ỉ u v +1 | u |.| v| ỉ ( u, v ) = , ( u , m) = ỉ ủề è cos + ẹ ỉ ẹ u , v , m ỉừể ỉ è í ề ứề ỉ ề ề ềề ẹ ề ề ỉ ề ề ề u m v m | u |.| m| | v |.| m| ủ O ỉ ủề + ỉệểề ( v , m) = ỉ ẹ ề ề cos ề ỉ ỉ ứề ỉ ỉệ ề ỉệ ề ủể ụ ụ ỉ ữề ụ ỉ ễ ứề ề ữề , , cos( + ) + cos( ) cos( + ) + ể ỉ ẹ ề cos( + ) cos cos ỉ ềá ề ụ cos + ắẵ ỉ cos cos cos + ể ẻ ũ ẹ ỉì ABC è ủ ỉểụề é ẹ ụ ỉệ é ề ề ề ụ ỉ ỉ T = cos A + cos B + cos C ỉỉ ỉ ề ụ A, B, C ỉệ ề ụ ừề ề ề ỉ ẹ ỉ ẹ ỉ ủ ề ũề ỉ ỉ ụ ABC ỉ ề ỉ ủ ỉ ề ụ ỉ ề ề ụ ỉ ỉ ỉ ề ề ềữẹ ụ BC CA AB ỉ = e1 , = e2 , = e3 ỉ | e1 | = | e2 | = | e3 | = BC CA AB ( e1 , e2 ) = C, ( e2 , e3 ) = A, ( e3 , e1 ) = B ẵ ắ ủ è ( e1 + e2 + e3 )2 0ề ề e1 + e2 + e3 + 2( e1 e2 + e2 e3 + e3 e1 ) + + + 2(cos( C) + cos( A) + cos( B)) 2(cos A + cos B + cos C) T ẻ ắắ ể ỉ ẹ ABC ỉ ụ 0 ẹ ụ ỉệ ề ề ỉ ỉ T = cos 2A + cos 2B + cos 2C ĩ ỉ ụ ề ểừ ỉ ỉ ễỉ ẹ 2A, 2B, 2C ỉ ụ ề ụ OA, OB, OC ụ ỉ ỉ ẹ ủ ụề ề ỉ é ề ỉ ềủí ề ủ ỉệ ề ề ểừ ỉ (OA + OB + OC)2 ề ỉ ẹ A, B, C ễ ữề ề ễỉ ẹ íỉ O, R ụ ề ABC è ề ụ é ề é 3R2 + 2R2(cos 2A + cos 2B + cos 2C) cos 2A + cos 2B + cos 2C ắ ỉệ ề ề ể ỉ ẹ M ỉ ỉ éủ OA2 + OB + OC + 2(OA.OB + OB.OC + OC.OA) ẻ ỉệ ề ỉ ẹ ề ỉệểề 0 ỉ ẹ ụ ề ề ABC è ẹ ụ T = MA sin 2A + MB sin 2B + MC sin 2C ẻ ụ ụ 2A, 2B, 2C ABC èí ề ỉ ềỉ ề ẹ ỉ ềá ẹ ĩ ỉ ỉ é ì ề ừề ềỉ ề ỉệ ề ễ ũ ỉ ẹẹ ỉ ểừề ỉ ứề ỉ ẵ (O, R) ề ủ ểừ ỉ ễ ỉ ẹ ểừề ỉ ứề ể ụề ỉ ụề ABC ẻ ề ềề ề sin 2A > 0á ể sin 2A |MA|.|OA| R sin 2A MA.OA R sin 2A (MO + OA).OA = R sin 2A = MO.OA + R sin 2A R MA sin 2A = ụề ụỉ ề ỉ ểắì T áỉ ẹ ừề ề éừ sin 2B + sin 2C) ẻ , rb , rc é ắ A, B, C ỉ ẹ ụ ềé ỉ éủ ABC ụề ề ề ụ ẹ ề ỉ T ề ứề ỉ ỉệ ề = R(sin 2A+ ủề ỉ ễ ụ ra3 + rb3 + rc3 1 + + ra2 rb2 rc2 A B C sin + rb sin + rc sin 2 èệ ỉ ụ ềỉ A, B, C I éủ ỉ é ềé ề ụ ẹ ủ ề ề A B C , , 2 ỉệ ề ề ỉệ ề ề ỉ ỉ ễ ểỉ ụ ỉ ụ ABC ủ ễ ề ũì AI, BI, CI ễ ỉ ẹ ề ỉệ ề ề ểừ ỉ ễ ỉ ẹ ụ ABC ỉừ ụ ẹ D, E, F EF FD DE = e 1, = e 2, = e3ỉ e1 , e2 , e3 éủ ụ ỉ ề EF FD DE e1 + e2 + e3 ề ìí ệ rb rc A B C 1 1 sin + rb sin + rc sin rbrc + + (1) 2 2 rb rc ỉ ỳỉ éừ ỉ è ỉ ụ á ỉ ể ỉ ứề ỉ rb rc ể ụ ỉệểề ỉ ạì ỉ éừ (r + rb3 + rc3 ) (2) a (1) ủ (2) ìí ệ A B C sin + rb sin + rc sin 2 ẵ ra3 + rb3 + rc3 1 + + ra2 rb2 rc2 èủ é ỉ ẹ ẵ ề ặ ểủề ẫ ề ẹá è ề ề ũể ềàá ặ í ề í ề ể ề è ỳề èệ ề ẻ ề ẻ ề ềàá ặ í ề ì ẵẳ ề ề ể ạ ắẳẳ ắ ặ í ề í ề ề ể ề è ỳề ềàá ẩ ừẹ è ềè ề ủ ỉ ễ ừ ì ặ ểủề ẫ ề ể ặ ẵẳ ề ề ắẳẳ ểủề ẫ ề è ề ẻ ềặ ề ặ í ề ề ủ ỉ ễ ề ề í ểủề ẫ ề ủ ỉ ễ ỳ ẩ ề ỉ ì ề ề ể ề è ỳề ểủề ẫ ề ềàá ặ í ề ề ậ ềá ềàá ặ í ề ì ủ ũ ỉ ẵẵ ẵẵ ề ề ề ể ặ ềàá ẩ ừẹ ỳ ểạ ặ ẹá ặ í ề ỳ è ỳề ềàá ẻ ề ặ ềá èừ ề ề ề ề ề ề è ề ạ ắẳẳ è ề ểủề ẫ ề ề ểạ ặ ẵẵ ề ề ềàá ẩ ừẹ ắẳẳ ềá èừ ề ủ ỉ ễ ề ắẳẳ è ề ề ặ í ề ềàá ặ í ề í ề ẹá ề ề ể ề è ỳề ềàá èệ ề ũ ỉ ẵắ ề ề ắẳẳ ẹá ẩ ừẹ è ẵắ ề ề ẵẵ í ề ắẳẳ ể ề ẵẳ ặ í ề í ểủề èệ ề ềàá ặ í ề í ểủề ẫ ề ặ ể ặ ềàá ẩ ừẹ ẻ ắẳẳ ẻ ề ặ ể ặ ẹá ặ í ề ỳ ề ẵẵ ề ề ắẳẳ ềàá ặ í ề ẻ ề è ề ặ í ề í ề ề ể ặ ẵẳ ề ề ẵẳ ề ề ể ặ ề ề ềàá ẻ ề ặ ể ề ặ ể ặ ểủề ẫ ề ềàá èệ ề ẩ ểủề ẫ ề ề ề ề ặ í ề ề è ỳề ủ ỉ ễ ề ũ ắẳẳ è ề ềàá ẻ ề ặ ẵ ề ềàá ẩ ừẹ ỳ ềá í ề èừ ề ề ẵắ ẻ ề ặ ềạ ề ủ ỉ ễ ề ể ặ ủ ẵẳ ặ ẵ ặ í ề ề ặ ễ ụễ ỉểừ ềàá ẩ ừẹ ỳ ẵắ ề ề ẵ ặ í ề ề ề ểạ ặ ẵắ ề ề í ụ í ề èừ ắẳẳ ềàá ặ í ề ạẵ ềá ắẳẳ ủ ỉểụề ề ễ ề ề èểụề ề ề ễ ụễ ỉ ể ủ ễ ề ũ ẩ ề ắẳẳẳ ẵ ặ í ề ẻ ề ềạ ỉ ứề ỉ ỉệểề ụ ặ ỉ ẹ ắẳẳẳ ẵ èệ ề è ủề ặ í ề ề ẵ èệ ề ề ạẵ ễá ặ ỉ ặ ủ ặ ẵ ẵẳ ặ ỉ ỉ ắẳẳẳ ỉí ề ì ề ề ẹ ẵ ủể ểề ặ í ề ẩ ể ứề èệ ề ỉ ỉểủề ế ề ẹ ắẳẳắá ắẳẳá ắẳẳ ạ ắẳẳ ề ề ủ ặ í ềá èệ ề ẫ ề ặ ẵ èệ ề è ề ỉí ề ì ề ềàá èệ ề ũ ỉểụề ề ểúề ề ắẳẳẳá ặ ề è ỉ ề ũ èệ ề èí ỉ è ỉ ể ề ểủề ứề ề ẻ ề ẹ ề èểụề èí ề ắẳẳắ ắẳẳ ắẳẳ ắẳ ề ẩ ề ễ ụễ ũ ỉểụề ỉ ặ ủ ĩ ỉ ũề ỉệ ắẳẳ ắẵ èừễ ũề ụể èểụề ủ è ỉ ỉệ ẵ ề ẹẵ ề ề ẹ ắẳẳ ặ ủ ĩ ỉ