Thông tin tài liệu
MỤC LỤC 1.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 02 1.2 Mục đích nghiên cứu………………………………………… 02 1.3 Đối tượng nghiên cứu………………………………………… .02 1.4 Phương pháp nghiên cứu…………………………………… .02 1.5 Những điểm SKKN 03 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm : 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 03 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiêm 03 2.3 Các nội dung, biện pháp tổ chức thực 03 a) Một số kiến thức số phức : 03 b) Lớp tốn tìm GTLN – GTNN tổng hay hiệu mô đun: 04 Bài toán 1:Tập hợp điểm biễu diễn số phức z đường thẳng 04 Bài toán 2:Tập hợp điểm biễu diễn số phức z đường trịn 05 Bài tốn 3:Tập hợp điểm biễu diễn số phức z đường elip 07 Bài toán 4:Các toán dạng khác 13 2.4 Những kết đạt 15 Kết luận 15 3.1 Kết luận 15 3.2 Kiến nghị 16 (*)Tài liệu tham khảo 17 1.Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài : Số phức có vai trị quan trọng toán học, với xuất số i, ký hiệu thông dụng toán học, dẫn đến việc định nghĩa số phức dạng z= a + bi, a, b số thực.Đối với chương trình tốn học phổ thơng số phức đưa vào cuối cấp lớp 12, việc làm quen sử dụng ứng dụng số phức vào giải tốn học sinh điều khó, năm gần đề thi THPT Quốc gia đề cập đến số phức dạng tốn đơn giản khó.Trong đề thi Quốc Gia, số phức chiếm tỉ trọng nhỏ có câu khó, em thực giỏi làm câu Vì Tơi viết chun đề với tham vọng nho nhỏ nhằm giúp cho em có nhìn rõ ràng số phức, số phương pháp điển hình để giải tốn số phức : phương pháp Hình Học, phương pháp Bất Đẳng Thức,…Đặc biệt, phương pháp Hình Học hữu ích lớp Bài tốn mơ- đun số phức Để giúp em hiểu sâu chất hình học số phức ứng dụng số phức, mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Ứng dụng hình học giải tốn giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ mơ đun số phức” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Mục đích Tơi nghiên cứu cực trị số phức nhằm để phục vụ công tác giảng dạy trường giúp đỡ học sinh Bản chất cần làm rõ sáng kiến kinh nghiệm nhìn thấy lời giải hay toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ số phức theo hướng hình học 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng mà hướng đến học sinh lớp 12 trường THPT Mai Anh Tuấn học sinh luyện thi THPT Quốc gia đặc biệt học sinh giỏi 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp chủ yếu mà tơi sử dụng thử nghiệm học sinh, tìm hiểu khó khăn em q trình học tập, nắm bắt điểm yếu học sinh Từ Tơi điều chỉnh q trình dạy học đưa phương pháp giúp em tiếp cận phương pháp hình học giải tốn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô đun số phức Kiến thức phải hệ thống cách khoa học, tự nhiên; Đồng thời qua chun đề này, học sinh có nhìn chất số phức mắt hình học 1.5 Những điểm SKKN: Số phức chủ đề học sinh phổ thông, đặc biệt học sinh trung bình trường THPT Mai Anh Tuấn cịn điều mẻ Chính thế, Sáng kiến kinh nghiệm thân tơi giúp học sinh tiếp cận dễ dàng với giá trị lớn giá trị nhỏ modun số phức phương pháp hình học Bên cạnh đó, qua tốn có kèm theo đánh giá, nhận xét, tính sáng kiến tơi Nội dung sáng kiến kinh nghiệm: 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến: 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến: Trong trình giảng dạy trường THPT, Tôi nhận thấy học sinh chưa có kĩ giải tốn giá trị lớn giá trị nhỏ mô đun số phức.Đặc biệt, kỹ hình học hóa toán min, max Nhằm trang bị cho thân kiến thức cần thiết người giáo viên toán, thỏa mãn niềm đam mê toán học, khắc phục yếu điểm thân sau thời gian cơng tác, đồng thời giúp em học sinh trang bị cho kĩ tối thiểu việc tìm min, max số phức, khơi dậy niềm đam mê học toán, phát triển mở rộng tốn biết Tơi mạnh dạn đưa kinh nghiệm thân “Ứng dụng hình học giải toán giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ mô đun số phức” 2.3 Các nội dung, biện pháp tổ chức thực hiện: a) Một số kiến thức số phức : 1) Cho số phức z a bi ; a , b R Mô đun số phức : z a b2 Mỗi số phức z biễu diễn điểm M(a ;b) hay véc tơ OM Mỗi số phức z đồng với véc tơ u a; b Tổng hiệu hai số phức đồng với tổng hiệu hai véc tơ Mô đun số phức z độ dài véc tơ u a ; b z 2) Cho số phức z a bi ; a , b R z z zz; u ; zz z z z1 z 2 z 1 z2 z2 ; z z ; zn z z1 z2 Dấu “=” xảy z1 n z1 z z1 z2 Dấu “=” xảy z1 kz k kz k Gọi M, N điểm biễu diễn số phức z1 , z2 MN z1 z2 Nếu M,I điểm biễu diễn số phức z , z0 z z R M thuộc đường trịn tâm I bán kính R Nếu M, A, B điểm biễu diễn số phức z , z1 , z2 z z1 z z2 M thuộc đường trung trực AB Dưới số Bài toán mà Tác giả sưu tầm tạo số Bài toán b) Lớp toán tìm GTLN – GTNN tổng hay hiệu mơ đun: Bài tốn 1:Tập hợp điểm biễu diễn số phức z đường thẳng Ví dụ 1: Xét số phức z thỏa mãn z z 2i số thực.Tính z 3i Giải:Gọi x2 z x yi ; x , y R Ta có y x 2y 2x z z 2i x yi x yi 2i y i z z 2i số thực 2x y y 2x Cách 1.Ta có z 3i x 2x 2 y 5x x5 z 3i x y 42 8x 5 x x 2x 5 18 Cách 2.Gọi M x; y điểm biểu diễn số phức z M di động đường thẳng : 2x y Và A 2;3 điểm biểu diễn số phức -2 + 3i z 3i AM Ta có d A,AM Nhận xét : Rõ ràng cách cách hay hơn, sinh động, dễ nhìn cách Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa điều kiện z z z z 3i z 3i Tìm GTNN, GTLN P z Giải: Đặt z x yi x, y R M(x; y) điểm biểu diễn số phức z Ta có z z z x yi x yi x y 3x d 2 x x y3x y22x x y2 x 4x y Vậy M chạy hai đường thẳng d1 : y 3x : y3x phía bên phải trục tung Ta có : z x 3i z 3i Xét hai điểm z 3i A 1; ; B 1; z 3i y MAMB4 Vậy M chạy đoạn gấp khúc AOB Ta có P với C(5; 0) Vậy max P CO 5; P CA 19 z MC A O C B Nhận xét:Nếu dùng phương pháp đại số khó để đánh giá.Tuy nhiên dùng hình học đơn giản.Cũng giả thiết thay đổi biểu thức P cách giải hoàn toàn tương tự Bài toán 2:Tập hợp điểm biễu diễn số phức z đường trịn z 2i Tìm Pmax , Pmin Ví dụ 1:Xét số phức z thỏa mãn | z 5i | Gọi P Giải: Gọi M x; y điểm biểu diễn số phức z Xét điểm A(1; -5), B(-3; 2) x 12 Từ | z 5i | y suy M nằm đường tròn (C ) tâm A, bán kính R : Ta có P = MB Từ ta có: Pmax AB 65 Pmin AB 65 z 2i Ví dụ 2.Cho số phức z thỏa mãn z 2i Gọi P z i Tìm P ,P max điểm biểu diễn số phức z Từ z 2i Giải: Gọi M x; y 2x 12 2y 2 x 2 y 2 y x2 z 2i suy M nằm đường tròn (C ) tâm I(0;-2), bán kính R Xét điểm A(-3; -1) Ta có P = MA Từ ta có Pmax AI R 10 Pmin AI R 10 Ví dụ 3: Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn z i z P z1 2i z1 i Gọi z2 Tìm Pmin z2 i Giải: Gọi N x ; y điểm biểu diễn số phức z2 Từ : x y , ta có N di động ∆ Gọi M a ; b z z1 i a 2 b 12 z 2i điểm biểu diễn số phức Từ ,ta có M di động đường trịn (C ) tâm I(2;1), bán kính R P z1 z MN MN ngắn MN d I ,R 13 Vậy P 13 5 Ví dụ 4: Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn z P z1 z2 Tìm Pmin i z 2i z1 Gọi x Giải: Gọi N x; y điểm biểu diễn số phức z2 Từ z 2 i z 2i : x y , ta có N di động ∆ Gọi M a ; b điểm biểu diễn số phức z1 Từ z1 a b2 ,ta có M di động đường trịn (C ) tâm I(3;0), bán kính R P z1 z MN MN ngắn 3 MN d I , R 10 Vậy Pmin 10 Ví dụ 5: Xét số phức z thỏa mãn z z 2i số ảo.Tính z 2i , z 2i max Bài tốn có cách giải.Nhưng xin nêu cách Trước hết ta xem điểm biểu diễn số phức z Giải:Gọi z x yi ; x , y R Ta có z z 2i x y x yi yi 2i x 2y 2x y i 2 z 1 x x số ảo z 2i y x 2y x y 2x 2 y y 2x đến ta có cách giải x1 Cách Đặt y cos t 5 2 sin t x cos t y sin t , với tan t Ta có z 2i z 2i cos t 5 sin t i cos t 2 sin t 2 Vì 29 5 sin t 10 cos t 34 sin t 10 cos t 34 145 34 29 52 z 2i 29 29 z 2i 29 2 29 z 2i max Cách 2.Gọi M x; y điểm biểu diễn số phức z M di động đường tròn C: x 2 y 12 tâm I ;1 , bán kính R , trừ điểm C 0; ; D 1; Với A 3; điểm biểu 2 z 2i diễn số phức w = -3-2i AM Ta có z 2i AI R max 29 z 2i AI R 29 Nhận xét: Rõ ràng cách dùng hình học đỡ thời gian hay cách lượng giác Bài toán 3:Tập hợp điểm biểu diễn số phức z Elip: Bài tốn 3.1: Phương trình ( E) dạng tắc x y2 a b2 Bài toán số phức tương ứng: Cho số phức z thỏa mãn z c z c 2a z ci 2a (Elip đứng) Tìm GTLN, GTNN P z ci z z0 Giải - Tính b a c2 - Lập phương trình tắc Elip x2 y2 với a2 b2 z ci z ci 2a x2 a2 y2 với b2 z c z c 2a Hoặc b a2 a - Rút y theo dạng: y x y2 b a2 x2 x y2 tương tự a2 b2 - Thay vào P ta P 2 x x ,x a; a với 0 a z x0 b a2 x2 y y0i - Dùng chức TABLE máy tính cầm tay Casio tìm GTLN GTNN hàm P2 từ có P Ví dụ minh họa: Ví dụ 1.Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn z 3i P z 2i Tìm Pmax , Pmin z i Gọi Phân tích:Biểu thức giả thiết tổng khoảng cách từ điểm M đến điểm cố định không đổi Điều gợi cho ta đến định nghĩa e líp ; điểm biểu diễn số phức Giải: Gọi F1 1; ,F2 2;1 ,I z 3i ; z2 i z 2 i Suy I trung điểm F F Gọi M điểm biểu diễn số phức z Ta có Ta có MF1 MF2 2a đặt b a c2 16 25 39 với a 4;c 4 Như M di động Elip có độ dài trục lớn 2a = 8, 2c F1 F2 I, F1, F2 tâm hai tiêu điểm Elip Ta quy tốn :”Tìm GTLN, GTNN độ dài đoạn IM M di động Elip ’ 39 Vậy IM lớn a = 4, IM nhỏ b P 2z 2i Pmax 8; Pmin39 Ví dụ 2:Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn z 3i P 3z 12 3i 2IM z 5i 26 Gọi Tìm Pmax , Pmin Giải: Gọi F1 1; , F2 7;5 , I 4;1 điểm biểu diễn số phức z1 3i ; z 5i z3 i Suy I trung điểm F1 F2 F1 F2 10 Gọi M điểm biểu diễn số phức z Ta có Ta có MF1 MF2 26 Đặt a MF1 MF2 13; c b a c2 169 25 144 Khi 2a Như M di động Elip có độ dài trục lớn 2a = 26, c F1 F2 10 I, F1 , F2 tâm hai tiêu điểm Elip Ta quy tốn :”Tìm GTLN, GTNN độ dài đoạn IM M di động Elip ’ Vậy IM lớn a 13 , IM nhỏ b 12 P z 12 3i Ta có Pmax 39; Pmin 36 Ví dụ 3: Xét số phức z thỏa mãn z i P z 7i Giải: Gọi M x; y z 3i 10 Tìm GTLN –GTNN điểm biểu diễn số phức z Và xét hai điểm F1 0;1 , F2 4; I 2; trung điểm F1 F2 Hơn , MF1 MF2 10 Ta xem M nằm E-lip có I tâm F1 , F2 hai tiêu điểm có độ dài trục lớn 2a = 10 Gọi A 7; điểm biểu diễn số phức : – 7i Ta có : AF1 6;8 , AF2 3;4 AF1 2AF2 Như vậy, A nằm trục lớn E – líp Và AF1 AF2 15 2a nên A nằm ngồi E-líp max P AI a 61 , P AI a 61 - Bấm TABLE hàm f1,2 x với x 3;3 GTLN, GTNN P2 Bài toán 3.2 Elip khơng tắc A trung điểm F1 , F2 tức A tâm Elip Bài toán số phức tương ứng: Cho số phức z thỏa mãn z z1 z z 2a với 2a z1 z2 Tìm GTLN, GTNN P z z0 Với đặc điểm nhận dạng z z0 z 2 Giải z1 z2 - Tính 2c z1 z - Tính b a - Vì A tâm Elip M di chuyển Elip nên: c c2 a2 b c2 + AM lớn a hay max P a + AM nhỏ b hay P b Ví dụ minh họa Cho số phức z thỏa mãn z 3i z i Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P z 2i Giải P - Ta có P z 2i P' z - Ta thấy - Tính 2c z i Ta cần tìm GTLN, GTNN 1i z 3i , z i z1 z 5c z0 1i z0 Do ; a a Vậy b 16 z1 z2 25 - Vậy max P ' 4; P' 39 , Do max P 8; P 39 39 Bài toán 3.3 Elip khơng có dạng tắc, A khơng trung điểm F1 , F2 A nằm trục Elip 10 Bài toán 3.3.1: A nằm trục Elip lớn ngoài: z - Dấu hiệu nhận biết: z k z z z0 z z z 2a - Thì max P z z1 z2 a P z z1 z2 a 2 Bài toán 3.3.2: A nằm trục lớn phía Elip: z - z k Dấu hiệu nhận biết: z z z0 z z z 2a - Thì max P z z1 z2 a Cịn GTNN khơng xác định nhanh Bài toán 3.3 A nằm trục nhỏ (bất kể hay ngoài) Elip: - Dấu hiệu nhận biết: z z1 Thì P z z z z z2 b Cịn GTLN khơng xác định nhanh Ví dụ minh họa: 11 Cho số phức z thỏa mãn z i z 3i Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P z 7i Giải: z1 i I F1 (0;1); z 3i z z 2 A(6; 7) I trung điểm F1 , F2 F2 (3; 3); z 7i ; Có z z1 8i ; z z 4i Mặt khác z z1 z z1 2( z z2 ) Vậy A thuộc F1 , F2 z z2 10 Vậy A nằm Elip 21 ; P AI a z1 z2 z z1 z2 a Vậy max P AI a a z0 2 2 Bấm máy: thấy a + Gán z0 vào A; z1 vào B z2 vào C + Kiểm tra A, B, C thẳng hàng A B k * A C + Kiểm tra A nằm Elip: A + Bấm max P A B C ; max P B A C A B C ELIP SUY BIẾN Bài toán: Cho số phức z thỏa mãn: z z1 z z 2a có z1 z2 2a Tìm GTLN, GTNN T z z0 Giải: - Bài toán tương đương với tốn hình học MF1 MF2 GTNN T AM 12 F1 , F2 Tìm GTLN, - Giả thiết MF1 MF2 F1 , F2 tương đương với M di chuyển đoạn thẳng F1 F2 Do đó: A(1;4) F1F2 - Viết phương trình đường thẳng F1 F2 với x x1 ; x2 (ở x1 , x2 hoành độ F1 F2 ) - Rút y theo x từ phương trình F1 F2 vào T T f x với x x1 ; x2 - fx Tìm GTLN, GTNN đoạn xx ; x Ví dụ minh họa: Cho số phức z thỏa mãn z P i z 7i 10 Tìm GTLN, GTNN z 4i Giải Với quy ước từ ban đầu, có F1 ( 2;1), F2 (4; 7) M điểm biểu diễn z Có F1 F2 10 z i M thuộc đoạn thẳng (6; 8) nên phương trình tham số F1F2 x 3t Với x2; : 4t y z i 10 Có F1 F2 t 0; Có P x y Khảo sát hàm f (t ) 25t 3t 4t 25t 6t 18 0; 6t 18 với t 0; GTNN f (t ) 18, giá trị lớn bẳng 130 Vậy P maxP= 130 Bài tốn 4:Các tốn dạng khác Ví dụ 1: Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 z P z1 z2 Tìm Pmax 11; z1 z 3i Gọi Giải: Gọi A, B điểm biểu diễn số phức z1 , z2 Đặt OA = z1 , OB = z2 Dựng hình bình hành 13 11 OACB, với O gốc tọa độ.Khi AB = z1 z2 Ta có OA OB OC z1 z z 3i với véc tơ OC = z1 z 4i Xét tam giác OAB ta có OA2 OI OB2 Và P OA 2 AB OB I 4OI 11 36 2 OA2 OB236 z OA OB z1 AB2 OC tương ứng với số phức z A O B OA = OB OI AB với I trung điểm đoạn AB Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn 2z i Tính z max Pmax iz 4x2 2y Giai: Đặt 4x2 2z i z x yi iz 2y 12 y 2x 2y 1i y ix x y2 z x2 Ví dụ 3:Cho số phức z, w có z thỏa mãn y x 1z z 2 max 1 z w z w Tính w Giai: Ta có 1 z w z w w z Mô đun vế ta z w z zw w 3i 3iw 2 w w z w z 2 Ví dụ 4: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 , z 0; z1 z2 3iw 2 z z w w w 3iw z z 1 z z2 Tính z1 z2 Giai: Ta có: z1 2z1 z1 2z1 z z z z z z 1 z2 z1 z 2 Đặt z z1 t z2 z i t 2t 2t t 2t Khi t t Cách 2: Chọn z1 z2 1 z2 z Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn T z 2z i (z t 2 2)(1 z ) z z i z z 2 Tìm giá trị lớn biểu thức C 14 Giai: T 22 z 12 z 12 z 2z 5.2 z (BĐT Cauchy-swart) 12 Chú ý: z z 2x 2y 2 z với z = x + yi Cách 2: Đặt z = x + yi ta có: T x yi Lại có x y2 x 12 x yi y2 x 12 y2 T 2x 2 2x f x 2x 2 2x Ta có: f ' x x Tmax 10 Ví dụ 6: Biết số phức z thỏa mãn phương trình z 1 z z3 z 3 1z 0z 3 1 z z z z3 Tính P z 2016 z 2016 z Giai: Ta có: z 3z z 1 2.4 Những kết đạt được, kinh nghiệm rút ra, sản phẩm đề tài: - Qua thời gian thực nghiệm, học sinh nắm kĩ việc nhìn,nhận dạng tốn số phức mắt hình học - Kinh nghiệm cho thấy, kiến thức phải trang bị, bồi dưỡng cho em từ năm lớp 10 Không để đến gần thi cuối cấp dạy, lúc em tiếp cận hạn chế - Qua sáng kiến kinh nghiệm này, sản phẩm tơi thu niềm đam mê học tốn thầy trị, kĩ trang bị làm cho tư người học ngày phát triển 15 Sáng kiến kinh nghiệm triển khai ứng dụng rộng rãi toàn học sinh khối 12 Đặc biệt, dùng để ơn thi học sinh giỏi luyện thi THPT Quốc gia 3.Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Qua thời gian giảng dạy, nghiên cứu giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô đun số phức, vướng mắt học sinh thiếu kĩ phép biến đổi, đánh giá, nhìn nhận Có thể nói sáng kiến kinh nghiệm tơi thật cần thiết hữu ích cho giáo viên học sinh Đặc biệt giáo viên trẻ trường, cịn non kinh nghiệm Một lần nữa, tơi khẳng định: Sáng kiến kinh nghiệm kết mà Tôi thu sau thời gian học tập, rèn luyện nghiên cứu số phức Đồng thời, tích lũy kinh nghiệm qua q trình dạy học với đối tượng học sinh Đó kết tinh kiến thức qua nhiều hệ giúp đỡ, học hỏi từ đồng nghiệp Một số tốn có nêu lời giải đầy đủ, cịn có số vạch hướng giải.Hầu hết qua tập có nhận xét để học sinh người đọc cảm nhận sâu sắc toán Do yếu tố thời gian, kiến thức cách trình bày cịn nhiều hạn chế Rất mong nhận xét, góp ý quý đồng nghiệp em học sinh, để sáng kiến hoàn thiện Hy vọng rằng, tài liệu giúp ích cho q đồng nghiệp em học sinh trình giảng dạy học tập Trong thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu để hoàn thiện giá trị lớn giá trị nhỏ mô đun số phức Nhằm bước hoàn thiện kĩ cho thân tạo mũi nhọn cho nhà trường 3.2.Kiến nghị: Có thể dùng sáng kiến tơi cho em học sinh giỏi,các giáo viên có niềm đam mê toán học cách rộng rãi.Xin chân thành cảm ơn Nga sơn, tháng năm 2018 Người viết đề tài 16 Trần Văn Thành ( DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài giảng trọng tâm ơn luyện mơn Tốn – Thầy Trần Phương; Trọng tâm kiên thức phương pháp giải toán – Thầy Trần Bá Hà; Hàm biến phức – Thầy Nguyễn Văn Khuê; Thầy Lê Mậu Hải Bộ đề thi đại học, cao đẳng Bộ GD ĐT từ năm 2002 đến năm 2014; 90 đề thi thử Đại học, cao đẳng nhà sách Lovebook – GSTT Group; Một số kiến thức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô đun số phức mạng Internet Tạp chí tốn học tuổi trẻ 17 Website :toanmath.com ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM SKKN 18 ... lớp Bài tốn mơ- đun số phức Để giúp em hiểu sâu chất hình học số phức ứng dụng số phức, mạnh dạn lựa chọn đề tài: ? ?Ứng dụng hình học giải tốn giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ mô đun số phức? ?? 1.2 Mục... ? ?Ứng dụng hình học giải tốn giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ mơ đun số phức? ?? 2.3 Các nội dung, biện pháp tổ chức thực hiện: a) Một số kiến thức số phức : 1) Cho số phức z a bi ; a , b R Mô đun số. .. trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô đun số phức Kiến thức phải hệ thống cách khoa học, tự nhiên; Đồng thời qua chuyên đề này, học sinh có nhìn chất số phức mắt hình học 1.5 Những điểm SKKN: Số phức
Ngày đăng: 19/07/2020, 15:58
Xem thêm:
