(SKKN 2022) phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 12, thông qua bài toán xác định số phức, các phép toán về số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 12 THƠNG QUA BÀI TỐN XÁC ĐỊNH SỐ PHỨC, CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC Người thực hiện: Nguyễn Thị Lý Chức vụ: Giáo viên Mơn: Tốn THANH HÓA NĂM 2022 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Những năm gần đây, đề thi mơn Tốn kỳ tốt nghiệp trung học phổ thông thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan Chính điều tạo chuyển biến lớn dạy học nhà trường Để đạt điểm số cao kỳ thi này, học sinh không cần nắm vững kiến thức bản, làm thục dạng toán quan trọng mà cần có khả tư logic cao để tiếp cận vấn đề cách nhanh nhất, chọn cách giải nhanh đến đáp án Ngồi ra, với hình thức thi trắc nghiệm em học sinh thường quen làm việc với số, số liệu cụ thể cố gắng sử dụng máy tính cầm tay để tìm cách chọn đáp án nhanh Đáp ứng thay đổi cần nỗ lực lớn giáo viên Trong đề thi Đại học cao đẳng năm trước đề thi THPT năm gần đề tham khảo Bộ giáo dục năm 2022 câu hỏi xác định số phức, tìm phần thực, phần ảo, phép tốn số phức ln xuất tất mức độ kiến thức từ nhận biết, thơng hiểu, nvận dụng đặc biệt có câu mức độ vận dụng cao Trong đề thi THPTQG lượng câu hỏi nhiều rộng đối tượng học sinh yếu đa phần em lựa chọn theo hình thức may rủi Chính mà chất lượng thi em hoàn toàn bị động, kéo theo tâm lý ý thức học tập gần khơng có Với hình thức thi trắc nghiêm dạng tốn khơng bó hẹp số dạng theo lối mòn mà biến hố đa dạng có tốn liên quan đến xác định số phức, phép toán số phức dành cho học sinh yếu đến học sinh giỏi mà sách giáo khoa chưa đáp ứng kịp, sách tham khảo chưa nhiều cho dạng tốn giáo viên học sinh khó khăn để tìm nguồn tài liệu giảng dạy học tập khai thác chủ đề Qua thực tế giảng dạy ôn thi tốt nghiệp THPT nghiên cứu, sưu tầm, xây dựng tốn theo dạng điển hình, từ dễ đến khó để học sinh bước tiếp cận, làm quen thành thạo dạng toán Nhằm giúp em học sinh lớp 12 ôn thi thật tốt đạt kết kì thi Tốt nghiệp THPT tới, mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Phát triển lực tư lập luận tốn học cho học sinh lớp 12 thơng qua toán xác định số phức, phép toán số phức ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu nhằm phát triển tư lập luận tốn học cho học sinh thơng qua tốn xác định số phức, phép toán số phức giúp em có khả lấy điểm cao kỳ thi Tốt nghiệp THPT năm 2022 đồng thời giúp đồng nghiệp tổ chun mơn có thêm nguồn tài liệu tham khảo giảng dạy 1.3 Đối tượng nghiên cứu Năng lực tư lập luận toán học học sinh lớp 12 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tổng hợp tài liệu có liên quan đến đề tài - Phương pháp quan sát (công việc dạy- học giáo viên HS) - Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…) - Phương pháp thực nghiệm sư phạm (tổ chức số tiết dạy) - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu (thống kê điểm kiểm tra học sinh đối chứng) Nội dung sáng kiến 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Năng lực Năng lực vấn đề trừu tượng tâm lí học Năng lực hiểu phức hợp đặc điểm tâm lí cá nhân người đáp ứng yêu cầu hoạt động điều kiện để thực thành cơng hoạt động Như vậy, nói đến lực nói đến tiềm ẩn cá thể, thứ phi vật chất Song thể qua hành động đánh giá qua kết hoạt động Thơng thường, người gọi có lực người nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo loại hoạt động đạt kết tốt hơn, cao so với trình độ trung bình người khác 2.1.2 Năng lực tư lập luận toán học Năng lực tư tổng hợp khả ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải vấn đề, xử lý linh cảm trình phản ánh, phát triển tri thức vận dụng chúng vào thực tiễn Năng lực tư lập luận toán học thể qua việc thực hành động: + So sánh phân tích, tổng hợp đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, quy nạp, diễn dịch + Chỉ chứng cứ, lí lẽ biết lập luận hợp lý trước kết luận + Giải thích chỉnh cách thức giải vấn đề phương diện toán học Năng lực tư lập luận toán học cấp trung học phổ thông biểu sau : + Thực tương đối thành thạo thao tác tư duy, đặc biệt phát sụ tương dồng khác biệt tình tương đối phức tạp lý giải kết việc quan sát +Sử dụng phương pháp lập luận quy nạp suy diễn để nhìn cách thức khác việc giải vấn đề 2.1.3 Số phức, phép toán số pức 2.1.3.1 Định nghĩa Số phức số có dạng z = a + bi có phần thực a, phần ảo b Hai số phức thực thực ảo ảo 2.1.3.2 Số phức liên hợp Số phức số có dạng z = a + bi , số phức liên hợp z = a − bi cần nhớ i = −1 2.1.3.3 Biểu diễn hình học số phức M (ab; ) M ( a ; b ) z = a + bi Số phức có điểm biểu diễn z Số phức liên hợp = a − bi có điểm biểu diễn N (a; −b) Hai điểm M N đối xứng qua trục hoành Ox +) z = z; z + z′ = z + z ′; z − z ′ = z − z ′; b O −b y z = a + bi z = a −bi a Na(;−b) x z z +) z z′ = z.z′;  ÷ = ; z.z = a + b  z ′  z′ 2.1.3.4 Mô đun số phức z là: z = a + b z z +) z.z ′ = z z′ • z ′ = z ′ +) z − z ′ ≤ z + z ′ ≤ z + z ′ • z − z ′ ≤ z − z ′ ≤ z + z ′ 2.1.3.5 Phép cộng, trừ hai số phức Cho số phức z1 = a + b.i z2 = c + d i Khi z1 + z2 = ( a + b.i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i z1 − z2 = ( a + b.i ) − ( c + d i ) = ( a − c ) + ( b − d ) i 2.1.3.6 Phép nhân hai số phức z1.z2 = ( a + b.i ) ( c + d i ) = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i k z = k (a + bi ) = ka + kbi 2.1.3.7 Phép chia hai số phức z1 z1.z2 z1.z2 ( a + b.i ) ( c − d i ) ( ac + bd ) + ( bc − ad ) i ac + bd bc − ad = = = = = + i z z2 z2 c2 + d c2 + d c + d c2 + d z2 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Đối với em học sinh khối 12 có học lực trung bình, yếu toán xác định số phức, phép toán số phức mức độ nhận biết, thông hiểu phần kiến thức mà em cảm thấy tiếp thu nhiên dễ mắc số sai lầm giải toán Đối với em học sinh khối 12 có học lực khá, giỏi toán xác định số phức, phép toán số phức mức độ vận dụng, vận dụng cao phần kiến thức em ngại, khó tiếp thu cần phải sử dụng nhiều kiến thức liên quan Với hình thức thi trắc nghiêm dạng tốn khơng bó hẹp số dạng theo lối mịn mà biến hố đa dạng có tốn liên qua đến xac định số phức, phép toán số phức dành cho học sinh yếu đến học sinh giỏi mà sách giáo khoa chưa đáp ứng kịp, sách tham khảo chưa nhiều cho dạng toán 2.3 Các giải pháp 2.3.1 Dạng tốn Tìm số phức liên hợp, tổng, hiệu số phức biết số phức cụ thể Phương pháp: Ôn tập khắc sâu cho học sinh kiến thức - Sử dụng khái niệm số phức liên hợp z = a + bi z = a − bi - Sử dụng tính chất tổng hiệu hai số phức z1 + z2 = ( a + b.i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i z1 − z2 = ( a + b.i ) − ( c + d i ) = ( a − c ) + ( b − d ) i - Sử dụng tính chất nhân số với số phức: k z = k (a + bi) = ka + kbi Ví dụ (Đề khảo sát Sở GDĐT Thanh Hóa 2022 Đợt 2) Số phức liên hợp số phức z = − 5i A z = −2 + 5i B z = −2 − 5i C z = + 5i Phân tích hướng giải D z = + i Sử dụng khái niệm số phức liên hợp z = a + bi z = a − bi Lời giải Chọn C Số phức liên hợp số phức z = − 5i z = + 5i Nhận xét: Thơng qua ví dụ trên, giáo viên cần làm cho học sinh khắc sâu khái niệm số phức liên hợp, ví dụ học sinh trung bình, yếu bị mắc sai lầm đổi dấu phần thực nên chọn nhầm phương án B Ví dụ (Mã 101 - 2020 Lần 1) Số phức liên hợp số phức z = −3 + 5i là: A z = −3 − 5i B z = + 5i C z = −3 + 5i D z = − 5i Phân tích hướng giải Nắm vững khái niệm số phức liên hợp z = a + bi z = a − bi Lời giải Số phức liên hợp số phức z = −3 + 5i z = −3 − 5i Chọn A Ví dụ (Đề minh họa - 2022) Cho số phức z = − 2i số phức 2z A z = − 2i B z = − 4i C z = − 4i D z = −6 + 4i Phân tích hướng giải Sử dụng tính chất nhân số với số phức: k z = k (a + bi) = ka + kbi Lời giải Chọn B Số phức 2z z = 2(3 − 2i) = − 4i Ví dụ (Đề khảo sát Sở GDĐT Thanh Hóa 2022 Đợt 2) Số Cho hai số phức z = + i, w = + 3i Tìm số phức z − w A − 2i B −1 + 2i C + 4i D −1 + 2i Phân tích hướng giải Sử dụng tính chất hiệu hai số phức z1 − z2 = ( a + b.i ) − ( c + d i ) = ( a − c ) + ( b − d ) i Lời giải Chọn A Số phức z − w − 2i Nhận xét: Trong ví dụ trên, giáo viên cần làm cho học sinh khắc sâu khái niệm số phức liên hợp, vận dụng tốt phép toán số phức Đây dạng tốn mà giáo viên giúp em với học sinh yếu kém, trung bình luyện tập thành thạo cách làm: Muốn tìm số phức liên hợp ta giữ nguyên phần thực cần đổi dấu phần ảo, em chọn đáp án Tạo kích lệ, tự tin, ứng thú từ em chủ động, tích cực làm 2.3.2 Dạng tốn Tìm số phức thuộc tính biết biểu diễn hình học số phức Phương pháp : Số phức z = a + bi ⇔ có điểm biểu diễn M (a; b) Ví dụ (Thanh Hóa -2019) Điểm hình vẽ bên biểu thị cho số M phức A + 2i B − 3i C −2 + 3i D − 2i Phân tích hướng giải - Quan sát hình vẽ xác định tọa độ điểm M ( −2;3) - Dựa vào định biểu diễn hình học số phức suy số phức cần tìm Lời giải Điểm M ( −2;3) biểu thị cho số phức z = −2 + 3i Ví dụ (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Điểm M hình vẽ bên biểu diễn số phức z Chọn kết luận số phức z A z = + 5i B z = −3 + 5i C z = − 5i D z = −3 − 5i Phân tích hướng giải - Quan sát hình vẽ xác định tọa độ điểm M ( −3;5) - Dựa vào định biểu diễn hình học số phức suy số phức z -Từ tìm số phức liên hợp z = −3 − 5i Lời giải Tọa độ điểm M ( −3;5 ) ⇒ z = −3 + 5i ⇒ z = −3 − 5i Ví dụ (Đề Thi KHTN -2019) Điểm M hình vẽ biểu diễn hình học số phức đây? O -1 A z = − i B z = + i C z = −1 + 2i D z = −1 − 2i Phân tích hướng giải -Quan sát hình vẽ xác định tọa độ điểm M (2; −1) -Dựa vào định biểu diễn hình học số phức suy số phức z Lời giải Điểm M (2; −1) nên biểu diễn cho số phức z = − i Nhận xét: Trong ví dụ trên, giáo viên việc cần giúp cho học sinh vận dụng tốt khái niệm điểm biểu diễn hình học số phức mà giúp cho học sinh nắm vững định nghĩa số phức liên hợp Đối tượng học sinh yếu kém, trung bình tốn mà giáo viên cho học sinh rèn luyện để em chọn đáp án mà khơng phải khoanh chừng 2.3.3 Dạng tốn Tìm số phức thuộc tính thỏa mãn điều kiện Phương pháp - Bước Gọi số phức cần tìm z = x + yi với x, y ∈ ¡ - Bước Biến đổi điều kiện K (thường liên quan đến môđun, biểu thức có chứa z, z , z , ) để đưa phương trình hệ phương trình ⇒ x, y Lưu ý Trong trường phức £ , cho số phức z = x + y.i có phần thực x phần ảo y với x, y ∈ ¡ i = −1 Khi đó, ta cần nhớ: uuuu r 2 Mơnđun số phức z = x + y.i z = OM = x + y = Số phức liên hợp z = x + y.i z = x − y.i (ngược dấu ảo) Hai số phức z1 = x1 + y1.i z2 = x2 + y2 i gọi  x1 = x2  (hai số phức thực = thực ảo = ảo) y = y  Ví dụ (Tham khảo-2022) Tìm hai số thực x y thỏa mãn ( x − yi ) + ( − i ) = x − 4i với i đơn vị ảo A x = −1; y = −1 B x = −1; y = C x = 1; y = −1 D x = 1; y = Cách Phân tích hướng giải - Biến đổi vế trái đưa phương trình dạng hai số phức - Sử dụng điều kiện hai số phức phần thực phần thực, phần ảo phần ảo.Từ tìm x, y Lời giải 2 x + = x x = ⇔ 3 y + = y =1 ( x − yi ) + ( − i ) = x − 4i ⇔ ( x + 3) − ( y + 1) i = x − 4i ⇔  Chọn D Cách Kiểm tra đáp án Sử dụng điều kiện hai số phức Thử đáp án A Thay x = −1; y = −1 vào điều kiện ta ( −2 + 3i ) + ( − i ) = −5 − 4i ⇔ + 2i = −5 − 4i Vì đáp án A loại Thử đáp án B Thay x = −1; y = vào điều kiện ta ( −2 − 3i ) + ( − i ) = −5 − 4i ⇔ − 4i = −5 − 4i Vì đáp án B loại Thử đáp án C: Thay x = 1; y = −1 vào điều kiện ta ( + 3i ) + ( − i ) = − 4i ⇔ + 2i = − 4i Nhận xét : Hai số phức thực thực ảo ảo Đây dạng tốn giúp em cịn yếu kiến thức chinh phục mà khơng phải khoanh chừng, cách thử kiểm tra đáp án Ví dụ Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) thỏa mãn ( + i ) z + z = + 2i Tính P = a+b A P = B P = − C P = D P = −1 Phân tích hướng giải - Trước hết ta phải xác định số phức liên hợp z = a − b.i Thế z, z vào điều kiện cho - Biến đổi đưa dạng hai số phức Từ tìm a,b Lời giải Ta có ( + i ) z + z = + 2i ⇔ ( + i ) ( a + bi ) + ( a − bi ) = + 2i ⇔ 3a − b + ( a + b ) i = + 2i  a=  a − b =   ⇔ ⇔ a − b = b = −  Vậy P = a + b = −1 Ví dụ 10 Cho số phức z thỏa mãn ( − i ) z + + 16i = ( z + i ) Môđun z A 13 B C Phân tích hướng giải - Gọi z = x + yi , ta cần tính modun z z = x + y D 13 - Ta phải xác định số phức liên hợp z = x − y.i Thế z, z vào điều kiện cho - Biến đổi đưa dạng hai số phức Từ tìm x,y Lời giải Chọn A Gọi z = x + yi ( − i ) z + + 16i = ( z + i ) ⇔ ( − i ) ( x + yi ) + + 16i = ( x − yi + i ) 2 x + y + = x ⇔ x + yi − xi + y + + 16i = x − yi + 2i ⇔  2 y − x + 16 = −2 y + y +3 = x = ⇔ ⇔ − x + y = −14  y = −3 Suy z = − 3i Vậy z = 13 Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn z (2 − i) + 13i = Môđun số phức z A B 34 C 34 D A 13 B C D 13 Phân tích hướng giải - Gọi z = x + yi , ta cần tính moodun z z = x + y - Ta phải xác định số phức liên hợp z = x − y.i Thế z, z vào điều kiện cho - Biến đổi đưa dạng hai số phức Từ tìm x,y Lời giải Ta có: ( + 2i ) z + ( − i ) = + i ⇔ ( + 2i ) z = + 5i ⇔ z = + i Ví dụ 12 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Cho số phức z thỏa mãn ( + 2i ) z + ( − i ) = + i Mô đun số phức w = ( z + 1) z A B 10 C D Cách Phân tích hướng giải - Từ giả thiết toán em tìm z = x + yi , ta cần tính modun w - Ta phải xác định số phức liên hợp z = x − y.i Khi zz = x + y - Biến đổi w = ( z + 1) z = z z + z đưa dạng hai số phức Từ tìm w Lời giải Ta có: ( + 2i ) z + ( − i ) = + i ⇔ ( + 2i ) z = + 5i ⇔ z = + i Do đó: w = ( z + 1) z = z z + z = ( + i ) ( − i ) + − i = + − i = − i ⇒ w = 32 + = 10 Cách HS sử dụng máy tính để tìm số phức z, w tính modun w + i − (2 − i) Từ giả thiết toán biến đổi dạng z = + 2i + Bấm Mode 2: Nhập biểu thức z = + i − (2 − i) Ta kết + 2i z = 1+ i , + Thay vào tính w = ( + i ) ( − i ) + − i = − i + Bấm phiếm Shift hyp để tính modun w ⇒ w = − i = 10 Ví dụ 13 (Chun Bắc Giang 2019) Tìm mơ đun số phức z biết ( z − 1) ( + i ) + ( z + 1) ( − i ) = − 2i A B C D Phân tích hướng giải - Gọi z = x + yi , ta cần tính moodun z z = x + y - Ta phải xác định số phức liên hợp z = x − y.i Thế z, z vào điều kiện cho - Biến đổi đưa dạng hai số phức Từ tìm x,y - Từ ta tìm modun số phức z Lời giải Chọn B Giả sử z = a + bi ⇒ z = a − bi Do ( z − 1) ( + i ) + ( z + 1) ( − i ) = − 2i ⇔ ( 2a + 2bi − 1) ( + i ) + ( a − bi + 1) ( − i ) = − 2i ⇔ ( 2a − 2b − 1) + ( 2a + 2b − 1) i + ( a − b + 1) − ( a + b + 1) i = − 2i  a = ( 2a − 2b − 1) + ( a − b + 1) = 3a − 3b = ⇔ ⇔ ⇔ a + b = ( 2a + 2b − 1) − ( a + b + 1) = −2 b = −  Khi z = a + b = Nhận xét: Trong ví dụ trên, giáo viên việc cần làm cho học sinh vận dụng tốt điều kiện hai số phức mà giúp cho học sinh nắm vững định nghĩa số phức liên hợp; phép toán số phức, modun số phức, rèn luyện kĩ giải hệ phương trình Với học sinh trung bình, tốn mà giáo viên cho học sinh luyện theo cách nhiều lần để quen qui trình làm, từ em chủ động làm chọn đáp án 2.3.4 Dạng toán Tìm số phức thuộc tính thỏa mãn điều kiện Bước Gọi số phức cần tìm z = x + yi với x, y ∈ ¡ Bước Biến đổi điều kiện điều kiện K (thường liên quan đến môđun, biểu thức có chứa z, z , z , ) để đưa phương trình hệ phương trình ⇒ x, y Ví dụ 14 (Mã 105- 2017) Cho số phức z thỏa mãn z + = z − 2i = z − − 2i Tính z A z = 17 B z = 17 C z = 10 Phân tích hướng giải - Gọi z = x + yi , ta cần tính moodun z z = x + y D z = 10 - Từ điều kiện toán z + = ta có phương trình ( x + 3)2 + y = 25 Từ điều kiện toán z − 2i = z − − 2i ta có phương trình 2 x + ( y − ) = ( x − 2)2 + ( y − ) - Giải hệ hai phương trình ta tìm x, y - Từ ta tìm modun số phức z Lời giải Chọn C Đặt z = x + yi; x, y ∈ ¡ 2 ( x + 3) + y = 25 ( x + 3) + y = 25 ⇔ Theo ta có  x + ( y − ) = ( x − ) + ( y − ) −4 x + =    y2 =  y = ±3 ⇔ ⇔ Vậy z = 10 x = x = Nhận xét: Trong ví dụ 14 trên, giáo viên cần giúp cho học sinh vận dụng tốt kiến thức modun số phức đồng thời giúp cho học sinh rèn luyện cách giải hệ phương trình Ví dụ 15 Có số phức z thỏa mãn z + 3i = 13 ảo? A B Phân tích hướng giải - Gọi z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) , ta cần tính a, b z số z+2 C Vô số D - Từ điều kiện tốn ta có phương trình z + 3i = 13 ⇔ ⇔ a + ( b + 3) = 13 - Từ điều kiện toán: 2 a + b + 2a  a + b + 2a = ( ) z =0⇔ số ảo ta có z+2 b ≠ ( a + 2) + b2 - Giải hệ hai phương trình ta tìm a, b Lời giải Chọn D Gọi số phức z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) Ta có z + 3i = 13 ⇔ a + bi + 3i = 13 ⇔ a + ( b + 3) = 13 ⇔ a + b2 + 6b − = ⇔ a + b = − 6b ( 1) 10 ( a + − bi ) z 2 = 1− = 1− = 1− z+2 z+2 a + + bi ( a + ) + b2 a + b + 2a 2b a + ) + b − 2a − ( 2b = + i = + i 2 2 ( a + ) + b2 ( a + ) + b2 ( a + 2) + b2 ( a + 2) + b2 2 a + b + 2a  a + b + 2a = ( ) z = ⇔  Do số ảo nên z+2 b ≠ ( a + 2) + b2 Thay ( 1) vào ( ) ta có − 6b + 2a = ⇔ a = 3b − thay vào ( 1) ta có b = 0( L) ( 3b − ) + b − + 6b = ⇔ 10b − 6b = ⇔ b = ⇒ a = −1 5  2 Vậy có số phức cần tìm Nhận xét: Qua ví dụ trên, giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ giải toán Cụ thể học sinh phải thực thao tác sau: - Căn vào điều kiện toán biến đổi lập hệ phương trình ẩn a,b - Giải hệ tìm nghiệm xác - Căn vào điều kiện tốn loại chọn nghiệm thỏa mãn Trong ví dụ học sinh thường mắc sai lầm không ý đến điều kiện b ≠ , chọn B Do giáo viên giúp cho học sinh khắc sâu định nghĩa số phức ảo Ví dụ 16 (THPT Lê Q Đơn Đà Nẵng 2019) Có số phức z thỏa mãn điều kiện z.z + z = z = ? A B Phân tích hướng giải - Gọi z = x + yi ( x ; y ∈ ¡ ), ta cần tính x, y C D 2 - Từ điều kiện toán z.z + z = ta có phương trình x + y + x + yi = - Từ điều kiện tốn z ta có phương trình z+2 x2 + y = - Giải hệ hai phương trình ta tìm x, y Lời giải Đặt z = x + yi ( x ; y ∈ ¡ ; i = −1 )  x + y + x + yi =  + x + yi = ⇔ Theo ta có:  x + y = x2 + y =   x = −2 ( + x ) + y = ⇔ ⇔   x + y =  y=0 Vậy có số phức thỏa yêu cầu toán z = −2 Ví dụ 17 (Chun Bắc Giang 2019) Có số phức z thỏa mãn điều kiện z + i + z − i = , biết z có mơđun 5? 11 A B Phân tích hướng giải - Gọi z = a + bi , ta cần tính a, b C D - Từ điều kiện thứ toán z + i + z − i = ta có phương trình ( a2 + b + ) ( + a2 + b − ) = Từ điều kiện tốn ta có phương trình a + b = - Giải hệ hai phương trình ta tìm a,b Lời giải Chọn B Gọi z = a + bi ( a, b ∈ ¡ , i = −1) Ta có  2  z +i + z −i =   a + b+ + a + b− ⇔   z =  a + b2 =    16 a=± a = 2  36a + 16b = 144   ⇔ ⇔ ⇔  a + b = b = b = ±  5  ( ) ( ) =6 Vậy có số phức thỏa mãn Ví dụ 18 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện z1 = z2 = z1 + z2 = Giá trị 2z1 − z2 A B C Phân tích hướng giải - Giả sử z1 = a + bi , ( a , b ∈ ¡ ); z2 = c + di , ( c , d ∈ ¡ ) D - Từ điều kiện tốn z1 = z2 = ta có a + b = c + d = - Từ điều kiện tốn z1 + z2 = ta có phương trình 2 ( a + 2c ) + ( b + 2d ) = 16 - Giải hệ phương trình ta tìm 2z1 − z2 Lời giải Giả sử z1 = a + bi , ( a , b ∈ ¡ ); z2 = c + di , ( c , d ∈ ¡ ) Theo giả thiết ta có: 12 a + b =  z1 =   ⇔ c + d =  z2 =   2 ( a + 2c ) + ( b + 2d ) = 16  z1 + z2 = a + b =  ⇔ c + d =  2 2 a + b + ( c + d ) + ( ac + bd ) = 16 ( 1) ( 2) ( 3) Thay ( 1) , ( ) vào ( 3) ta ac + bd = −1 ( ) 2 Ta có 2z1 − z2 = ( 2a − c ) + ( 2b − d ) = ( a + b2 ) + ( c + d ) − ( ac + bd ) ( ) Thay ( 1) , ( ) , ( ) vào ( ) ta có z1 − z2 = Nhận xét: Thơng qua dạng tốn này, giáo viên rèn luyện cho học sinh kỹ phân tích, quy lạ quen, từ giả thiết toán cho xác định mối liên hệ phần thực phần ảo thơng qua xác định số phức thuộc tính Trong dạng tốn này, giáo viên nên đưa ví dụ từ mức độ vừa phải đến phức tạp để học sinh nhận dạng được, hiểu sâu hơn, tự tin gặp toán tương tự 2.3.5 Một số tập đề nghị Bài 1.(Tham khảo 2022) Cho hai số phức z = 10 + 3i w = −4 + 5i Tính | z + w | A 100 B 14 C 10 D 10 Bài (Mã101-2021) Tìm hai số z = + 2i w = − 4i Số phức z + w A z + w = 7+2i B z + w = 7-2i C z + w = 7+6i D z + w = 7-6i Bài (Mã 102 - 2019) Cho số phức z thoả mãn ( z − i ) − ( + 3i ) z = − 16i Môđun z A B C D Bài Cho số phức z thỏa mãn ( z + i ) − ( − i ) z = + 10i Môđun z A B C D Bài (THPT Cẩm Giàng Năm 2019) Tìm hai số thực x y thỏa mãn ( x − yi ) + ( − 3i ) = −1 + 6i với i đơn vị ảo A x = ; y = −3 B x = −1 ; y = −3 C x = −1 ; y = −1 D x = ; y = −1 Bài Tìm hai số thực x y thỏa mãn ( x − yi ) + ( − i ) = x − 4i với i đv ảo A x = −1, y = −1 B x = 1, y = C x = −1, y = D x = 1, y = −1 13 Bài 7.(Mã 101-2021) Xét số phức z, w thỏa mãn điều kiện z = 1, w = Khi z + i w − − 8i đạt giá trị nhơ Tính z − w ? A 221 B C Bài (Sở GDKonTum-2019) Có số phức ( 29 D ) z thỏa mãn z − + 3i = z + − i z + z + z = ? A B C D Bài (Đề Tham Khảo -2019) Tìm số thực a, b thỏa mãn 2a + (b + i )i = + 2i với i đơn vị ảo Bài 10 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ , a > ) thỏa A a = 0, b = B a = 1, b = C a = 0, b = D a = , b = mãn z.z − 12 z + ( z − z ) = 13 − 10i Tính S = a + b A S = −17 B S = C S = D S = 17 Bài 11 (SGD Điện Biên - 2019) Cho số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều 2 kiện: z − − 4i = z + − z − i = 33 Module số phức z − − i A B C 25 D Bài 12 (TPTH Hàm Rồng Thanh Hoá 2019) Cho số phức z = a + bi , ( a, b ∈ ¡ ) thỏa mãn z + + i − z ( + i ) = z > Tính P = a + b A P = B P = −1 C P = −5 D P = Bài 13 Cho số phức z = −1 + 2i, w = − i Điểm hình bên biểu diễn số phức z + w ? A P C Q B N D M Bài 14.(Đề minh họa Bộ GD&ĐT – 2022) Gọi S tập hợp tất số phức z cho số phức w = | z | − z có phần thực Xét số phức z1 , z2 ∈ S thỏa mãn z1 − z2 = , giá 2 trị lớn P = z1 − 5i − z2 − 5i A 16 B 20 C 10 D 32 Bài 15.(Đề tham khảo 2022) 14  2+i  2019 Tìm số phức liên hợp số phức z =  ÷ +i − i   A z = −1 B z = −1 − i C z = −1 + i D z = i 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Đề tài thực giảng dạy tham gia dạy lớp ôn thi THPT Quốc gia trường THPT Quảng Xương II năm học 2019-2020, năm học 2020-2021, 2021-2022 Trong trình triển khai đề tài này, học sinh thực thấy tự tin, tạo cho học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo cho học sinh tự học, tự nghiên cứu, phát triển tốt lực tư học sinh giải toán số phức Kết quả, học sinh tích cực tham gia giải tập, nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức bản, nhiều em vận dụng tốt toán cụ thể Qua kiểm tra nội dung thi học kỳ, thi thử THPT Quốc gia, nhận thấy nhiều em có tiến rõ rệt đạt kết tốt Cụ thể thực nghiệm kiểm tra kết sau: - Bài kiểm tra trước tác động kiểm tra số - Bài kiểm tra sau tác động kiểm tra số - Dùng phép kiểm chứng test để kiểm chứng chênh lệch điểm số trung bình lớp trước sau tác động, lớp thực nghiệm, lớp đối chứng Bảng 1: Bảng thiết kế nghiên cứu: Tác động Lớp Phát triển lực tư lập luận toán học cho 1- Thực nghiệm học sinh lớp 12 qua toán xác định số phức, (38 hs) phép toán số phức Phát triển lực tư lập luận toán học cho 2- Đối chứng học sinh lớp 12 qua toán xác định số phức, (40 hs) phép toán số phức Bảng 2: Tổng hợp kết chấm 15 Lớp Lớp 12A7- Lớp thực nghiệm Lớp 12A8 - Lớp đối chứng Điểm trung bình 5.15 7.12 5.16 6.82 Từ kết nghiên cứu ta thấy hai nhóm đối tượng nghiên cứu trước tác động hồn tồn tương đương Sau có tác động cho kết hoàn toàn khả quan Điều minh chứng điểm trung bình lớp thực nghiệm cao lớp đối chứng nghĩa khả tư lập luận toán học học sinh lớp 12A7 lên rõ rệt, ngẫu nhiên mà kết tác động Bảng Tổng hợp phần trăm kết theo thang bậc: Kém, yếu, trung bình, khá, giỏi kết lớp 12A7- Lớp thực nghiệm Lớp 12A7Thực nghiệm Trước TĐ Sau TĐ Tổng cộng Thang điểm Kém Yếu T bình Khá Giỏi 20 14 38 0% 7,89% 52,63% 36,84% 2,63% 100% 0 13 38 0% 0% 34,21% 10,53% 100% 21 55,26% Chúng đưa đề tài tổ để trao đổi, thảo luận rút kinh nghiệm Đa số đồng nghiệp tổ đánh giá cao vận dụng có hiệu quả, tạo hứng thú cho học sinh giúp em hiểu sâu, nắm vững chất hình học tạo thói quen sáng tạo nghiên cứu học tập Và nay, kinh nghiệm tổ thừa nhận có tính thực tiễn tính khả thi Hiện nay, tiếp tục xây dựng thêm nhiều ý tưởng để giúp học sinh trường THPT Quảng Xương học tập nội dung cách tốt để đạt kết cao kỳ thi Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận Dạy học giải tập tốn nói chung dạy học giải tập xác định số phức nói riêng, việc xây dựng toán riêng lẻ thành hệ thống theo trình tự logic có đặt phương pháp quy trình giải tốn giúp học sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung học, đồng thời phát triển tư học tốn tạo niềm vui hứng thú học tốn Việc chọn trình tự tập phân dạng giúp học sinh dễ tiếp thu thấy toán nên áp dụng kiến thức cho phù hợp Mỗi dạng tốn tơi chọn số tập để học sinh hiểu cách làm để từ làm tập mang tính tương tự dần nâng cao Tuy nhiên, cịn 16 số học sinh khơng tiến bản, chưa chủ động, tích cực học tập chưa có động cơ, hứng thú học tập Do giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm kiến thức sau cung cấp cho học sinh cách nhận dạng tốn, thể tốn từ học sinh vân dụng linh hoạt kiến thưc bản, phân tích tìm hướng giải Rất mong đóng góp ý kiến bạn quan tâm đồng nghiệp để đề tài đầy đủ hồn thiện 3.2 Kiến nghị Qua q trình áp dụng kinh nghiệm sáng kiến thấy để đạt kết cao, cần lưu ý số điểm sau: Đối với giáo viên: Cần tâm huyết với nghề nghiệp, cần nắm bắt kịp thời mục tiêu giáo dục 2018; trao dồi kiến thức, phương pháp; ln tìm tịi, nghiên cứu chương trình, phương pháp, đối tượng học sinh cụ thể để đưa phương pháp truyền thụ kiến thức phù hợp đạt kết cao giảng dạy Tích cực đổi phương pháp dạy học theo định hướng phát huy lực tư sáng tạo học sinh, sau tiết dạy cần có rút kinh nghiệm, hướng điều chỉnh cho tiết nhằm giúp em hứng thú học tập, tích cực hợp tác với thầy cô hơn, hiểu hơn, tự học tự giác say mê nghiên cứu mơn tốn Phải lựa chọn tập phát huy tính sáng tạo cho học sinh, kiên trì áp dụng phương pháp dạy học theo định hướng phát huy lực học sinh Trước dạy phần kiến thức nâng cao giáo viên cần trang bị cho học sinh thật vững vàng kiến thức liên quan Đối với nhà trường: Cần có động viên nhiều phong trào đổi phương pháp dạy học, kiểm tra đánh giá học sinh theo định hướng phát huy lực học sinh, viết áp dụng SKKN Đối với Sở Giáo dục Đào tạo: Cần phổ biến toàn ngành sáng kiến kinh nghiệm hay, SKKN HĐKH ngành đánh giá xếp loại để đồng nghiệp tham khảo áp dụng để có hiệu tốt giảng dạy Hằng năm Sở giáo dục đào tạo cần tổ chức hội thảo chuyên đề viết sáng kiến kinh nghiệm qua giúp giáo viên hình thành tốt kĩ viết Trong trình giảng dạy, nghiên cứu nổ lực thân với giúp đỡ đồng nghiệp đúc rút số kinh nghiệm.Với khả ngôn ngữ thân cịn có phần hạn chế nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót; mong hội đồng khoa học đồng nghiệp giúp đỡ, góp ý để đề tài ngày hồn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi q trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh Tơi xin chân thành cám ơn quý đồng nghiệp, đặc biệt giáo viên tổ động viên đóng góp nhiều ý kiến quý báu để đề tài hồn thành XÁC NHẬN CỦA THỦ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2022 TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác 17 Nguyễn Văn Ngọc Nguyễn Thị Lý TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] SGK giải tích 12_NXB Giáo dục, Bộ Giáo dục đào tạo [2] Sách BT giải tích 12_ NXB Giáo dục, Bộ Giáo dục đào tạo [3] Đề thi thức đề tham khảo tốt nghiệp THPT mơn Tốn giáo dục năm 2020, 2021 Đề Minh họa giáo dục năm 2022 [4] Đề khảo sát chất lượng Sở giáo dục trường THPT nước [5] Đề thi thử THPT quốc gia trường THPT năm 2017 đến năm 2021 [6] Các tốn tính đơn điệu diễn đàn Toán học như: Diễn đàn giáo viên toán, Toán math; trang mạng Internet, DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Lý Chức vụ đơn vị cơng tác: Giáo viên mơn tốn trường THPT Quảng Xương TT Tên đề tài SKKN Phát triển lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh lớp 10C2 thông qua hoạt động trải nghiệm: Ứng dụng hệ thức lượng giác vào sống thực tiễn Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Ngành giáo dục cấp tỉnh Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) C Năm học đánh giá xếp loại 2020-2021 18 ... Lớp Phát triển lực tư lập luận toán học cho 1- Thực nghiệm học sinh lớp 12 qua toán xác định số phức, (38 hs) phép toán số phức Phát triển lực tư lập luận toán học cho 2- Đối chứng học sinh lớp. .. ? ?Phát triển lực tư lập luận toán học cho học sinh lớp 12 thơng qua tốn xác định số phức, phép toán số phức ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu nhằm phát triển tư lập luận toán học cho học. .. làm cho học sinh vận dụng tốt điều kiện hai số phức mà giúp cho học sinh nắm vững định nghĩa số phức liên hợp; phép toán số phức, modun số phức, rèn luyện kĩ giải hệ phương trình Với học sinh