SKKN sử dụng đại số tổ hợp, đạo hàm, tích phân và số phức trong việc rèn luyện kĩ năng giải một số bài toán về biể

Mục lục Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích sáng kiến kinh nghiệm…………… .3 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………… .3 1.5 Những điểm SKKN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM…… … .4 2.1 Một số vấn đề lí thuyết 2.2 Kiến thức bổ sung 2.3 Các ví dụ minh họa 2.4 Kiểm nghiệm đề tài 17 KẾTLUẬN, KIẾN NGHỊ 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO 18 1 MỞ ĐẦU Thế kỷ XXI mở nhiều thách thức vận hội đất nước Đại hội Đảng lần thứ VIII định đẩy mạnh CNH, HĐH đất nước nhằm mục tiêu: Dân giàu nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh; đất nước vững bước lên chủ nghĩa xã hội; “Giáo dục phải thực trở thành quốc sách hàng đầu…” Cải tiến chất lượng dạy học để hoàn thành tốt việc đào tạo bồi dưỡng nguồn lực người cho CNH, HĐH đất nước Để đáp ứng nhu cầu đó, địi hỏi dạy học trường phổ thông phải thay đổi lối dạy học truyền thụ chiều sang dạy học theo “Phương pháp dạy học tích cực”, nhằm giúp HS phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo, rèn luyện thói quen khả tự học, tinh thần hợp tác, kỹ vận dụng kiến thức vào tình khác học tập thực tiễn; tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú học tập, làm cho học q trình kiến tạo,học sinh tìm tịi, khám phá, phát hiện, luyện tập, khai thác xử lý thơng tin, tự hình thành hiểu biết, lực phẩm chất Do SKG đời để đáp ứng u cầu với chương trình xây dựng phát triển theo quan điểm: - Kế thừa phát huy truyền thống dạy học mơn tốn Việt Nam, tiếp cận với trình độ giáo dục tốn học phổ thơng nước phát triển khu vực giới - Lựa chọn kiến thức toán học bản, cập nhật thiết thực, có hệ thống, theo hướng tinh giản, phù hợp với trình độ nhận thức học sinh, thể tính liên mơn tích hợp nội dung giáo dục, thể vai trị cơng cụ mơn tốn - Tăng cường thực hành vận dụng, thực dạy học toán, gắn liền với thực tiễn - Tạo điều kiện đẩy mạnh vận dụng phương pháp dạy học theo hướng tích cực, chủ động, sáng tạo Rèn luyện cho học sinh khả tự học, phát triển lực trí tuệ chung Do nhu cầu người học phát triển mạnh mẽ giáo dục nước nhà, địi hỏi giáo viên phải khơng ngừng nỗ lực tự học, tự nghiên cứu để nâng cao trình độ chun mơn Nghiên cứu khoa học nhiệm vụ thiếu giáo viên trình giảng dạy Từ trình giảng dạy giáo viên đúc kết kinh nghiệm cho riêng mình, từ đề xuất phương pháp cải tiến để việc dạy – học thực có hiệu quả, đáp ứng phát triển vượt bậc đất nước cơng đổi nói chung nghiệp giáo dục nói riêng 1.1 Lý chọn đề tài Kiến thức Đại số - Tổ hợp trước theo chương trình SGK chỉnh lí hợp năm 2000 tác giả viết sách đặt chương cuối Giải tích 12 Tuy nhiên, theo SGK Bộ GD ban hành từ năm học 2006 chương Đại số - Tổ hợp Xác suất đặt vào nửa cuối học kì I lớp 11 Chính liên kết dạng tốn biểu thức tổ hợp chương Đại số - Tổ hợp Xác suất với chương Đạo hàm, chương Nguyên hàm – Tích phân số phức mà thân dùng kiến thức chương khơng giải tốn sử dụng kiến thức phần khác đưa kết toán mà lời giải có vẻ đẹp khác Trong Sáng kiến kinh nghiệm tập trung giải số dạng toán liên quan đến biểu thức tổ hợp mà ta sử dụng linh hoạt kiến thức đại số Tổ hợp, Đạo hàm – Tích phân, Số phức giải chúng, nhiên tìm hiểu sâu vận dụng số công thức tổ hợp giải triệt để tốn này, bên cạnh tơi tìm tịi đưa tốn đặc thù mà nhìn, mặt hình thức thường liên tưởng đến việc vận dụng Đạo hàm, Tích phân để giải chúng Tuy nhiên việc vận dụng kiến thức Đạo hàm Ngun hàm- Tích phân khơng dễ để tìm lời giải từ công thức tổ hợp nhị thức Niu-tơn giải khơng có phối hợp kiến thức số phức Xuất phát từ thực tiễn giảng dạy, xây dựng đề tài: “Sử dụng Đại số tổ hợp, Đạo hàm, Tích phân Số phức việc rèn luyện kĩ giải số toán biểu thức tổ hợp” 1.2 Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Đề tài tơi trình bày nhằm mục đích: - Cung cấp thêm lời giải cho lớp tốn, góp phần nâng cao khả tư lôgic cho học sinh - Phục vụ cho việc nghiên cứu khoa học sư phạm giáo viên mơn Tốn - Phục vụ cho kì thi: THPT Quốc gia 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu cách vận dụng kiến thức phổ thơng để hình thành số tập vận dụng cao toán tính biểu thức tổ hợp Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình Giải tích lớp 11,12 1.4 Phương pháp nghiên cứu Thông qua tập cụ thể với cách tiếp cận khái niệm, cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh vận dụng kĩ có Các khái niệm ví dụ minh họa đề tài lọc từ đề thi đại học, đề thi thử đại học, sách nâng cao sáng tạo Trong tiết học lớp dạy để học sinh biết vận dụng linh hoạt kiến thức có liên quan 1.5 Những điểm SKKN Trong Sáng kiến kinh nghiệm tập trung giải số dạng toán liên quan đến biểu thức tổ hợp mà ta sử dụng linh hoạt kiến thức đại số Tổ hợp, Đạo hàm – Tích phân, Số phức giải chúng, nhiên tìm hiểu sâu vận dụng số công thức tổ hợp giải triệt để tốn này, bên cạnh tơi tìm tịi đưa tốn đặc thù mà nhìn, mặt hình thức thường liên tưởng đến việc vận dụng Đạo hàm, Tích phân để giải chúng Tuy nhiên việc vận dụng kiến thức Đạo hàm Ngun hàm- Tích phân khơng dễ để tìm lời giải khơng thể từ cơng thức tổ hợp nhị thức Niu-tơn giải khơng có phối hợp kiến thức số phức 2.NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Một số vấn đề lý thuyết Kiến thức *) Công thức nhị thức Niu-tơn Với a, b với n N*, ta có: n n n n n n k n nk k n n n k n nk b) C a C a b C a b C b C a b k k0 (quy ước a b0 ) Chú ý: a/ Trong công thức nhị thức Niu-tơn, thay a = b = 1, ta được: n (1 1) n C n C n C k n C n n Cnk 2n k b/ Trong công thức nhị thức Niu-tơn, thay a = 1, b =-1, ta được: (1 1)n C0 C1 ( 1)k Ck ( 1)n C n n n n n **) Tính chất số Cnk Cn k Cn n k ; Cnk Cnk Cnk ***) Số phức : z = a+ bi, với a,b R,i2 1, 2 ;z a b i; với a ,a ,b ,b R cho z a bi 1 1 a a z1 z 2 b1 b2 2.2 Kiến thức bổ sung Định lí 1: Với k, n nguyên dương, k n, n ta có cơng thức: k k kCn nCn (1) Chứng minh Ta có: n! (n 1)!n k kCn k nCnk 11 k!(n k)! (k 1)!((n 1) (k 1))! Chú ý: Cơng thức (1) viết dạng khác: C k Ck n (2) n1 n k Định lý 2: Với k,n ngun dương, k n, n ta có cơng thức: k(k 1)Cnk n(n 1)Cnk 22 (3) Chứng minh k Ta có: k(k 1)Cn k(k 1) n! (n 2)!(n 1)n n(n 1)Cnk 22 k!(n k)! (k 2)![(n-2) - (k-2)! Chú ý: Cơng thức (3) viết dạng khác: C nk Cnk 22 n(n 1) k(k 1) (4) Định lí 3: Với k, n nguyên dương, k n, n ta có cơng thức: k(k 1)(k 2)Cnk n(n 1)(n 2)Cnk 33 (5) Chứng minh: Ta có: k(k 1)(k 2)Cnk k(k 1)(k 2) n! k!(n k)! n(n 1)(n 2)(n 3)! n(n 1)(n 2)Ck (k 3)![(n - 3) - (k - 3)] !n Chú ý: Cơng thức (5) viết dạng khác: Cn k Cnk 33 (6) n(n 1)(n 2) k(k 1)(k 2) Định lí 4: Với k, n số nguyên dương, ta có: Ckk Ckk Ckk Ckk n Ckk n Ckk n1 (7) Chứng minh Áp dụng công thức: Cnk Cnk Cnk 11 ta có: Ckk Ckk 11 C k k Ckk Ckk 21 Ckk 31 Ckk Ckk 31 Ckk 41 ……………… ……………… k C C k 1 Ck k n C k k n C k n k k n C k n k 1 k n Cộng vế với vế n đẳng thức trên, ta có: Ck Ck Ck Ck Ck Ck 1 k k k k n k n k n 2.3 Các ví dụ minh họa Bài Tính giá trị biểu thức 1 A 1!.2018! 2!.2017! 3!.2016! 1 .1008!.1011! 1009!.1010! 2019 Giải Ta có C2019k C20192019 A k 1009 k k 22019 k C 2019 k!.(2019 k)! 1009 C2019k vớik=0,1,2, ,2019 ; 2019!.A 2019! 2019 k 1009 k!.(2019 k)! k 2018 k mà C2019 C2019k k 1 2018k 1010 1009 C2019k C2019k k 2k 2018 Vậy A Do 2019 ( C2019k C20190 C20192019 ) k (22019 2) 22018 2019! Bài Tính giá trị biểu thức sau A C20162 C20164 C20166 C20162014 B=C1 C3 C2015 2016 C C2016 2016 2016 C2016 C2016 - Ta có (1 i)2016 C20162016 10 C20162010 C20162014 Giải ((1 i)2 )1008 (2i)1008 21008 (*) mà 2016 (1 i ) 2016 C2016k 12016 k 1 ik C2016 i C2016 i C20163 i 3C20164i C20162016 i 2016 k0 C4 C 2016 C2016 2016 (C1 2016 C3 2016 Từ (*) (**) suy A=1 C2016 (1 1) - Ta có 2016 2016 2016 2016 C2016 C2016 B=C1 C2015 )i (**) 1008 C20168 C20162014 C3 C2015 = 2016 2016 C (1 1)2016 C20160 2016 2016 C 2016 C C 2016 2016 C20162015 C20162016 C20161 C20162 C20163 C20162015 C20162016 C20160 C20162 C20164 C20162016 22016 22015 (***) 2015 21008 Từ biểu thức A (***) ta C 2 22014 21007 C20162016 Vậy A= 21008 ; B=0, C 2014 21007 Nhận xét :Việc tính biểu thức tổ hợp ta dùng trực tiếp công thức nhị thức Niu- tơn để kết mà ta phải kết hợp với công thức tổ hợp, số phức tìm kết tốn Bài Tìm số ngun dương n cho C21 n 2.2C22n 3.22 C23n 4.23 C24n (2n 1)22 n C22nn 112005 (Đề thi ĐH – CĐ khối A năm 2005) Giải Sử dụng công thức (2) thay n 2n + k = 1,2,…, 2n + ta có: C21 n (2n 1)C20n 2C (2n 1)C1 2n1 2n 2nC22nn (2n 1)C22nn (2n 1)C22nn 11 (2n 1)C22nn Cộng vế với vế đẳng thức ta có: VT (2n 1)(C20n 2C21 n 22 C22n 23 C23n 2n C22nn ) (2n 1)(1 2)2n 2n Vì vậy: 2n + = 2005 n = 1002 Chú ý: Nếu sử dụng đạo hàm ta giải tốn sau: Xét hàm số: f (x) (1 x)2 n , liên tục R Sử dụng công thức khai triển Niu-tơn ta có: f (x) (1 x)2 n C20n C21 n x C22n x2 C23n x3 C22nn 11 x2 n Đạo hàm hai vế ta có: f (x) (2n 1)(1 x)2 n C21 n 2C22n x 3C23n x2 (2n 1)C22nn 11 x2n f ( 2) 2n C21 n 2.2C22n 3.22 C23n 4.23 C24n (2n 1)22 n C22nn 11 Từ đó, ta có: 2n + = 2005 n = 1002 Bài 4: Chứng minh rằng: 2.1Cn2 3.2.Cn3 4.3Cn4 (n 1)nCnn n(n 1)2n với n nguyên dương, n Giải Vận dụng công thức (2) ta có: 2.1C n2 n ( n 1)Cn0 3.2C n3 n ( n 1)Cn1 n ( n 1)C n n ( n 1)Cn n n VT n ( n 1)[C0n - C n1 C n2 Cnn 22 ] = n (n - 1) 2n - Chú ý: Nếu sử dụng đạo hàm ta giải toán theo cách sau đây: Sử dụng khai triển (1 x)n thành đa thức ta có: (1 x ) n C n0 C n1 x C n2 x C n3 x C nn xn Đạo hàm đến cấp hai hai vế, ta có: n (1 x ) n Cn1 2Cn2 x 3Cn3 x nC nn xn n ( n 1)(1 x ) n 2C n2 3.2Cn3 x 4.3.C n4 x n ( n 1)C nn x n Cho x = 1, ta có: n ( n 1)2n 2.1C n2 3.2C n3 4.3C n4 n ( n 1)Cnn Bài 5: Tìm số n nguyên dương thỏa mãn đẳng thức: 12 C n1 22 C n2 32 C n3 n C nn n ( n 1).262144 Giải n Ta có: VT C 2C 3C nC 2(2 1)C 3(3 1)C n ( n 1)C n n n n n n n n C n1 2Cn2 3C n3 nC nn n (C n0 Cn1 C n2 C nn 11 )n2n sử dụng kết 4, ta có: 2.1C n2 3.2Cn3 4.3C n4 n ( n 1)Cnn n ( n 1)2n Do VT n.2n n ( n 1)2n n.2n (2 n 1) n ( n 1)2n 2n 262144 218 n 20 Chú ý: Nếu sử dụng đạo hàm ta giải tốn theo cách sau đây: Xét hàm số: f ( x ) (1 x)n , liên tục R Sử dụng khai triển Niu-tơn ta có: f ( x ) (1 x ) n C n0 C n1 x C n2 x C n3 x C nn xn Đạo hàm đến cấp hai hai vế, ta có: f ' (x ) n (1 x ) n C n1 2C n2 x 3C n3 x f '' (x ) n ( n 1)(1 x ) n 2.1C n2 f ' (1) n n Cn1 f '' (1) n (1 1)2n nC nn xn 3.2C n3 x 4.3C n4 x 2C n2 3C n3 2.1C n2 n ( n 1)C nn xn nCnn 3.23n n ( n 1)Cnn Xét tổng: f ' (1) f '' (1) n ( n 1)2n 12 C n1 22 C n2 32 C n3 n 2Cnn Từ đó, suy n 218 n 20 Bài 6: Cho hàm số: f ( x ) C 20181 x (1 x ) 2017 2C 20182 x (1 x ) 2016 2018C 20182018 x2018 Tính f (1009 ) Giải Áp dụng công thức (2) ta được: C 20181 2018C20170 2C 20182 2018C20171 2018C 20182018 Do đó: f ( x ) 2018x C 2017 2018C20172017 (1 x ) 2017 C x (1 x ) 2016 C 2017 x2017 2017 2017 2018x (1 x x ) 2017 2018x 2018 Vì vậy: 1009 1009 Chú ý: Nếu sử dụng đạo hàm ta giải tốn theo cách sau đây: Xét hàm số: g ( t ) (xt x)2018 , liên tục R Sử dụng khai triển Niu-tơn ta có: g ( t ) (xt x)2018 f C 20180 (1 x ) 2018 C20181 xt (1 x ) 2017 C20182 x t (1 x ) 2016 C 20182018 x 2018t2018 Đạo hàm hai vế ta có: g ' (t ) 2018x ( xt x ) 2017 C 20181 x (1 2018C 2018 2018 x 2C 20182 x t (1 x ) 2016 t g ' (1) 2018x C 20181 x (1 x ) 2017 Từ đó, ta có: x ) 2017 2018 2017 f(x) 2C 20182 x (1 x ) 2016 2018C 20182018 x2018 1 2018x f 2018 1009 1009 Bài : Chứng minh với n nguyên dương ta có đẳng thức: C C 1 C Cn 2n 1 n n n n 2n 3n Giải: Vận dụng cơng thức (2) ta có: C n1 C n0 n Cn C n2 n C n2 Cn3 n C n n C nn 11 1 n n Cộng vế với vế n + đẳng thức ta được: C C 1 C Cn n n n n n (C n0 C n1 C n2 C n3 Cnn 11 ) n Cn0 n 2n 1 n1 Chú ý: Nếu dùng kiến thức Tích phân ta giải tốn theo hướng sau: Xét hàm số: f ( x ) (1 x)n Sử dụng khai triển Niu –tơn ta có: f ( x ) C n0 C n1 x C n1 x C nn xn Từ đó, ta có được: (1 x ) n dx (C n0 C n1 x C n1 x Cn2 x C nn x n )dx (1 x ) n 2n 1 C n n1 Cnx 0 1C 2 Cnx 1C2 3 Cnx n n n1n1 Cnx Cn n n n Bài 8: Chứng minh với n nguyên dương ta có: n 1 C 1C n n n C C n n ( 1)k C k k Giải: n ( 1)n C n n n n Vận dụng cơng thức (2) ta có: C n0 Cn 1 n Cn Cn2 n 10 Cn3 n ( 1) k C nk ( 1)k Cnk 11 C n2 n n ( 1) n C nn ( 1)n Cnn 11 n n Cộng vế với vế n + đẳng thức ta có: C0 n C 1C 1C 2 n n k n C n1 C n11 ( 1)k C nk 11 n (C n0 n ( 1)k C k ( 1)n C n n n ( 1)n Cnn 11) Cn0 n 1 n Chú ý: Nếu sử dụng tích phân ta giải tốn theo cách sau Xét hàm số: f ( x ) (1 x)n Sử dụng khai triển Niu-tơn ta có: f ( x ) C n0 C n1 x C n2 x ( 1)n C nn xn Vì vậy, ta có: (1 x ) n dx (C n0 C n1 x C n2 x ( 1)n C nn x ) dx Từ ta có điều phải chứng minh Bài : Chứng minh với n số nguyên dương, Cnk số tổ hợp chập k n phần tử, ta có đẳng thức: C 1 C 1C C2 n 22n 2n 2n 2n 2n 2n 2n (Đề thi ĐH-CĐ khối A năm 2007) Giải: Sử dụng kết 7, thay n 2n, ta có: 11 C C 1 C C C2n 2n1 2n 2n 2n n 2n 2n 2n 1 C C0 C C C 2n 2n 2n 2n n 2n n Trừ vế với vế đẳng thức trên, ta có: 1 n 22 n 2n C C 2n C 2n C 2n 1 C 2n C 2n C 2n 2n 2n C 2n1 2n n 2n 22n 2n Chú ý: Nếu dùng kiến thức tích phân để giải ta thực theo bước sau: - Trước hết tính phân tích phân dạng: (1 x ) n dx (C 20n C 21 n x C 22n x C 23n x C 22nn x n C 22nn x n )dx 0 (1 x ) n dx (C 20n C 21 n x C 22n x C 23n x C 22nn x n C 22nn x n )dx; Trừ vế với vế đẳng thức này, ta có điều phải chứng minh Bài 10: Tính tổng: S 22 C0 1C n 23 1C n n 2 1C n n n (Đề thi ĐH – CĐ khối B năm 2003) Giải: Ta có: 1 SC n Cn Cn 2n 1 1 C Cn n 2 n n CnC n 1 C n n 1 Cn2 n n C n 2 Cn2 n n n n1 Cn n1 Áp dụng (1) thay n n + 1, ta có: C C1 n n n1 1C1 C2 n n n1 Cn Cn n n n n1 Từ ta có: 12 C n0 21 12 C n 2 C n n 1 C 0 1 n1 (C C C n n n1 n1 S2 n 1 3n 1 3n1 n 1n 1n n n n1 ) n n 1(C n 21 C n 2 Cnn 1 n ) 0 3n 1 C n n 12 n 2n Chú ý: Nếu sử dụng tích phân ta giải tốn theo cách sau đây: Xét hàm số: f ( x ) (1 x)n (1 x ) n dx (C n0 C n1 x C n1 x C nn x n )dx 1 (1 x ) n n 12 Cnx Cnx Cnx n n Cnx n1 Từ ta có điều phải chứng minh Bài 11: Chứng minh với n số nguyên dương, Cnk số tổ hợp chập k n phần tử, ta có đẳng thức: C C C C2 n 22n 2n 2n 2n 2n 2n 2n Giải: Sử dụng kết 7, thay n 2n, ta có đẳng thức: C C 1 C C C2n1 C2 n 22 n 1 2n 2n n 2n 2n 2n 2n 2n 2n C C 1C C C2n1 C2 n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n n Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta được: 2n 1 22 n 2C C C C 2n 2n n 2n 2n 2n C 1C C C 2n 22n 2n 2n 2n 2n 2n 2n Chú ý: Nếu dùng kiến thức tích phân để giải ta thực theo bước sau: - Trước hết tính tích phân dạng: (1 x ) n dx (C 20n C 21 n x C 22n x C 23n x C 22nn x n C 22nn x n )dx ; 0 13 (1 x ) n dx (C 20n C21 n x C 22n x C 23n x C 22nn x n C 22nn x n ) dx; Cộng vế với vế đẳng thức này, ta có điều phải chứng minh n k n.2 n 1 C Bài 12: Chứng minh: n k k Từ cơng thức (4) ta có: (k 1)(k 2) C nk (n 2)n Giải: Ck n n (n 1)(n 2) k Ck Ck k (n 1)(n 2) Lần lượt thay k = 0, 1, 2,…, n ta có: Cn Cn2 2 Cn3 n k n C nn 22 n k k (n 1)( n 2) (n 1)( n 2) (n 1)( n 2) n C n 2C n 3C n (n 1)Cn (n 1)( n 2) (C n1 2Cn2 3C n3 (n 2)C nn 22 ) (C 0n (n 1)( n 2) ( n 2)2 n n n2 n 1 (n 1)( n 2) (n 1)( n 2) C n1 Cnn 22 ) Chú ý Nếu sử dụng tích phân, ta giải tốn sau: Xét tích phân x (1 x ) n dx (C n0 x C n1 x C n2 x C nn x n )dx 0 ( C n0 x 2 C n0 Mặt khác C n1 C n2 x C n1 x C n2 x (1 x ) n dx C nn xn ) n Cnn n , đặt t=1+x, ta kết quả: x(1 x)n dx n2 n 1 (n 1)(n 2) 14 Từ ta suy điều phải chứng minh Bài 13 C n1 C n2 C n0 Tính S 1.2 2.3 3.4 C nk Giải k Cnn (n 1).(n 2) Cnk 22 k Ta có: k ( k 1)Cn n ( n 1)C n ( n 1) k ( k 1) Cn2 (n 1)(n 2) Cn3 n 1.2 Cn 1 C Thay k=2,3, ,n ta có 2.3 n (n 1)(n 2) C2 Cn4 3.4 n (n 1)(n 2) n Cnn 22 (n 1).(n 2) Cn (n 1)(n 2) Cộng vế với vế n+1 đẳng thức , ta có : (C n1 Cn0 ) S (C n2 C n3 C nn 22 C n1 C n0 ) (n 1)(n 2) (n 1)(n 2) 2n n 2n n (n 1)(n 2) (n 1)(n 2) (n 1)(n 2) Chú ý : Nếu sử dụng kiến thức tích phân, ta giải (1 x ) n dx toán sau : Mà (1 x ) n dx C n0 x (x 1)n D n C n2 x C n1 x C nn xn D2 n Gọi f(x), g(x) hai nguyên hàm họ nguyên hàm hàm số (1 x)n , f(x), g(x) sai khác số thay x=0 vào hai vế f(x), g(x), nên ta có (x 1)n - = C n0 x C n1 x C n2 x3 + + C nn xn n n 1 (1 x ) n n (1 x ) n C1x2 C2x3 dx (C n x n C x x ( C n0 x2 C n x n n n n ( n 1)(n 2) n 2.1 3.2 C n xn )dx n C n x n 4.3 n n (n 2)(n 1) )1 15 S 2n ( n 1)(n 2) n 2n n S ( n 1)(n 2) 1C 1.2 n 1C 2.3 n Cn ( n 1).(n 2) n ( n 1)( n 2) Nhận xét: Các tập từ đến 13, nghiên cứu lời giải khác toán, cách giải dựa vào cơng thức thuộc Đại số tổ hợp Xác suất, cách giải khác dựa vào kiến thức Đạo hàm Nguyên hàm-Tích phân Những mà đưa sau mặt hình thức nghĩ đến cơng cụ Đạo hàm Tích phân Tuy nhiên, điều vơ khó khăn khơng thể làm Tuy nhiên số tập mà ta dùng công cụ công thức tổ hợp để giải C0 Bài 14 Tính tổng sau S n n Giải Cn k 1 Theo công thức (2), ta có Cnk Do S Mà C n0 Vậy S C n (n 1) xn1 xn1 C n1 Cn1 2n k 2 Cn 1 x2n Cn2 2 C1 Cn n n k 1,2, ,n n Cnn 11 2 , cân hệ số xn + hai vế ta có C nn 11 C2nn 12 C8 C8 C8 7.8 8.9 9.10 Bài 15 Chứng minh rằng: C8 10 2018 2017.2018 C7 2017 7.8 Giải 1 C VT 8 1C8 (C8 C8 ) 8 8 Ta có C8 1C7 7 C7 8 1C7 8 C 9 1( C 10 1 C 10 2017 2018 C 8) (C8 C8 ) C8 2017 2010 2017 2018 2018 1 C 10 2018 C7 C7 C8 9 2017 2017 2018 2018 C7 C7 C8 9 2017 2017 2018 2018 16 VT Theo công thức (2), ta có : Sử dụng Định lí 4, ta có VT C77 7 (C77 C 2017 C76 C76 C C86 C86 2017 C96 C96 56 C C 2017 C 20166 2016 ) C20177 C20177 VF 2.4 Kiểm nghiệm đề tài Sau đề tài thực hành lớp kiểm tra, đa số học sinh tiếp thu vận dụng tốt Trong tiết tự chọn thuộc phạm vi chủ đề thực hiện, mảng nhỏ phần ôn thi cho học sinh lớp 12 ơn thi kì thi THPT Quốc gia gây hứng thú cho học sinh tiếp thu đặc biệt củng cố lòng tin gặp phải “Dạng toán tổ hợp nêu” Chí học sinh cịn có hai lựa chọn phương pháp giải gặp dạng toán này, linh hoạt kết hợp phần học với để tìm kết cho toán đồng thời nhắc em Đạo hàm, Tích phân khơng phải chìa khóa vạn cho dạng tốn nêu KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Qua tập dạy vừa nêu ta thấy ưu điểm việc vận dụng linh hoạt, sáng tạo công thức học để tìm lời giải nhanh cho toán Mặc dù với tinh thần nghiêm túc, đầy trách nhiệm viết đề tài, đồng thời kết hợp với giảng dạy lớp để kiểm nghiệm thực tế, nhiên q trình viết khó tránh khỏi khiếm khuyết mong đóng góp đồng nghiệp để đề tài có ý nghĩa thiết thực bổ ích nhà trường./ Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA LÃNH ĐẠO CƠ QUAN Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2018 Tơi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, không chép người khác Người viết cam đoan LÊ THỊ NA 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK lớp 11, 12 – NC Bài tập Giải tích 12 chuẩn NC Các phương pháp đặc sắc giải toán Đại số- Tổ hợp, tác giả : TS Huỳnh Công Thái Một số đề thi thử THPT Quốc gia mơn Tốn- năm 2017-2018 Phân dạng phương pháp giải toán Số phức, tác giả: Thạc sĩ- Nhà giáo ưu tú Lê Hồnh Phị 18 ... phối hợp kiến thức số phức Xuất phát từ thực tiễn giảng dạy, xây dựng đề tài: ? ?Sử dụng Đại số tổ hợp, Đạo hàm, Tích phân Số phức việc rèn luyện kĩ giải số toán biểu thức tổ hợp” 1.2 Mục đích... trung giải số dạng toán liên quan đến biểu thức tổ hợp mà ta sử dụng linh hoạt kiến thức đại số Tổ hợp, Đạo hàm – Tích phân, Số phức giải chúng, nhiên tìm hiểu sâu vận dụng số cơng thức tổ hợp giải. .. đến việc vận dụng Đạo hàm, Tích phân để giải chúng Tuy nhiên việc vận dụng kiến thức Đạo hàm Nguyên hàm- Tích phân khơng dễ để tìm lời giải từ công thức tổ hợp nhị thức Niu-tơn khơng thể giải