Sử dụng đại số tổ hợp, đạo hàm, tích phân và số phức trong việc rèn luyện kĩ năng giải một số bài toán về biể

Mục lục Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài .2 1.2 Mục đích sáng kiến kinh nghiệm…………… .3 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………… .3 1.5 Những điểm SKKN .3 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM…… … .4 2.1 Một số vấn đề lí thuyết 2.2 Kiến thức bổ sung .4 2.3 Các ví dụ minh họa 2.4 Kiểm nghiệm đề tài 17 KẾTLUẬN, KIẾN NGHỊ 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO .18 1 MỞ ĐẦU Thế kỷ XXI mở nhiều thách thức vận hội đất nước Đại hội Đảng lần thứ VIII định đẩy mạnh CNH, HĐH đất nước nhằm mục tiêu: Dân giàu nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh; đất nước vững bước lên chủ nghĩa xã hội; “Giáo dục phải thực trở thành quốc sách hàng đầu…” Cải tiến chất lượng dạy học để hoàn thành tốt việc đào tạo bồi dưỡng nguồn lực người cho CNH, HĐH đất nước Để đáp ứng nhu cầu đó, đòi hỏi dạy học trường phổ thơng phải thay đổi lối dạy học truyền thụ chiều sang dạy học theo “Phương pháp dạy học tích cực”, nhằm giúp HS phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo, rèn luyện thói quen khả tự học, tinh thần hợp tác, kỹ vận dụng kiến thức vào tình khác học tập thực tiễn; tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú học tập, làm cho học q trình kiến tạo,học sinh tìm tòi, khám phá, phát hiện, luyện tập, khai thác xử lý thông tin, tự hình thành hiểu biết, lực phẩm chất Do SKG đời để đáp ứng u cầu với chương trình xây dựng phát triển theo quan điểm: - Kế thừa phát huy truyền thống dạy học mơn tốn Việt Nam, tiếp cận với trình độ giáo dục tốn học phổ thông nước phát triển khu vực giới - Lựa chọn kiến thức tốn học bản, cập nhật thiết thực, có hệ thống, theo hướng tinh giản, phù hợp với trình độ nhận thức học sinh, thể tính liên mơn tích hợp nội dung giáo dục, thể vai trò cơng cụ mơn tốn - Tăng cường thực hành vận dụng, thực dạy học toán, gắn liền với thực tiễn - Tạo điều kiện đẩy mạnh vận dụng phương pháp dạy học theo hướng tích cực, chủ động, sáng tạo Rèn luyện cho học sinh khả tự học, phát triển lực trí tuệ chung Do nhu cầu người học phát triển mạnh mẽ giáo dục nước nhà, đòi hỏi giáo viên phải không ngừng nỗ lực tự học, tự nghiên cứu để nâng cao trình độ chuyên môn Nghiên cứu khoa học nhiệm vụ thiếu giáo viên trình giảng dạy Từ trình giảng dạy giáo viên đúc kết kinh nghiệm cho riêng mình, từ đề xuất phương pháp cải tiến để việc dạy – học thực có hiệu quả, đáp ứng phát triển vượt bậc đất nước công đổi nói chung nghiệp giáo dục nói riêng 1.1 Lý chọn đề tài Kiến thức Đại số - Tổ hợp trước theo chương trình SGK chỉnh lí hợp năm 2000 tác giả viết sách đặt chương cuối Giải tích 12 Tuy nhiên, theo SGK Bộ GD ban hành từ năm học 2006 chương Đại số - Tổ hợp Xác suất đặt vào nửa cuối học kì I lớp 11 Chính liên kết dạng toán biểu thức tổ hợp chương Đại số - Tổ hợp Xác suất với chương Đạo hàm, chương Nguyên hàm – Tích phân số phức mà thân dùng kiến thức chương khơng giải tốn sử dụng kiến thức phần khác đưa kết tốn mà lời giải có vẻ đẹp khác Trong Sáng kiến kinh nghiệm tập trung giải số dạng toán liên quan đến biểu thức tổ hợp mà ta sử dụng linh hoạt kiến thức đại số Tổ hợp, Đạo hàm – Tích phân, Số phức giải chúng, nhiên tìm hiểu sâu vận dụng số cơng thức tổ hợp giải triệt để tốn này, bên cạnh tơi tìm tòi đưa tốn đặc thù mà nhìn, mặt hình thức thường liên tưởng đến việc vận dụng Đạo hàm, Tích phân để giải chúng Tuy nhiên việc vận dụng kiến thức Đạo hàm Nguyên hàm- Tích phân khơng dễ để tìm lời giải từ công thức tổ hợp nhị thức Niu-tơn khơng thể giải khơng có phối hợp kiến thức số phức Xuất phát từ thực tiễn giảng dạy, xây dựng đề tài: “Sử dụng Đại số tổ hợp, Đạo hàm, Tích phân Số phức việc rèn luyện kĩ giải số toán biểu thức tổ hợp” 1.2 Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Đề tài tơi trình bày nhằm mục đích: - Cung cấp thêm lời giải cho lớp tốn, góp phần nâng cao khả tư lơgic cho học sinh - Phục vụ cho việc nghiên cứu khoa học sư phạm giáo viên mơn Tốn - Phục vụ cho kì thi: THPT Quốc gia 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu cách vận dụng kiến thức phổ thơng để hình thành số tập vận dụng cao tốn tính biểu thức tổ hợp Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình Giải tích lớp 11,12 1.4 Phương pháp nghiên cứu Thông qua tập cụ thể với cách tiếp cận khái niệm, cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh vận dụng kĩ có Các khái niệm ví dụ minh họa đề tài lọc từ đề thi đại học, đề thi thử đại học, sách nâng cao sáng tạo Trong tiết học lớp dạy để học sinh biết vận dụng linh hoạt kiến thức có liên quan 1.5 Những điểm SKKN Trong Sáng kiến kinh nghiệm tơi tập trung giải số dạng tốn liên quan đến biểu thức tổ hợp mà ta sử dụng linh hoạt kiến thức đại số Tổ hợp, Đạo hàm – Tích phân, Số phức giải chúng, nhiên tìm hiểu sâu vận dụng số cơng thức tổ hợp giải triệt để toán này, bên cạnh tơi tìm tòi đưa tốn đặc thù mà nhìn, mặt hình thức thường liên tưởng đến việc vận dụng Đạo hàm, Tích phân để giải chúng Tuy nhiên việc vận dụng kiến thức Đạo hàm Nguyên hàm- Tích phân khơng dễ để tìm lời giải từ công thức tổ hợp nhị thức Niu-tơn giải khơng có phối hợp kiến thức số phức NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Một số vấn đề lý thuyết Kiến thức *) Công thức nhị thức Niu-tơn Với a, b với n ∈ N*, ta có: n (a + b) n = Cn0 a n + Cn1a n−1b + + Cnk a n− k b k + + Cnnb n = ∑ Cnk a n −k b k k =0 (quy ước a = b ) Chú ý: a/ Trong công thức nhị thức Niu-tơn, thay a = b = 1, ta được: 0 n (1 + 1) n = Cn0 + Cn1 + + Cnk + + Cnn = ∑ Cnk = 2n k =0 b/ Trong công thức nhị thức Niu-tơn, thay a = 1, b =-1, ta được: (1 − 1) n = Cn0 − Cn1 + + (−1) k Cnk + + (−1) n Cnn = k **) Tính chất số Cn Cnk = Cnn −k ; Cnk + Cnk −1 = Cnk+1 ***) Số phức : z = a+ bi, với a, b ∈ R, i = −1 , cho z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i; với a1 ,a , b1 , b2 ∈ R a = a2 z1 = z2 ⇔  b1 = b2 2.2 Kiến thức bổ sung Định lí 1: Với k, n nguyên dương, k ≤ n, n≥ ta có cơng thức: kCnk = nCnk−−11 (1) Chứng minh Ta có: n! (n − 1)!n kCnk = k = = nCnk−−11 k !(n − k )! (k − 1)!(( n − 1) − (k − 1))! Chú ý: Công thức (1) viết dạng khác: Cnk Cnk−−11 = (2) n k Định lý 2: Với k,n nguyên dương, k ≤ n, n≥ ta có cơng thức: k ( k − 1)Cnk = n(n − 1)Cnk−−22 (3) Chứng minh n! (n − 2)!( n − 1) n k = = n( n − 1)Cnk−−22 Ta có: k ( k − 1)Cn = k (k − 1) k !( n − k )! ( k − 2)![(n-2) - (k-2)! Chú ý: Cơng thức (3) viết dạng khác: Cnk Cnk−−22 = (4) n(n − 1) k (k − 1) Định lí 3: Với k, n nguyên dương, k ≤ n, n≥ ta có cơng thức: k ( k − 1)( k − 2)Cnk = n(n − 1)(n − 2)Cnk−−33 (5) Chứng minh: Ta có: n! k ( k − 1)( k − 2)Cnk = k (k − 1)( k − 2) k !(n − k )! n(n − 1)(n − 2)(n − 3)! = = n( n − 1)(n − 2)Cnk−−33 (k − 3)![(n - 3) - (k - 3)] ! Chú ý: Công thức (5) viết dạng khác: Cnk Cnk−−33 = (6) n(n − 1)(n − 2) k (k − 1)(k − 2) Định lí 4: Với k, n số nguyên dương, ta có: Ckk + Ckk+1 + Ckk+ + + Ckk+ n −1 + Ckk+ n = Ckk++n1+1 (7) Chứng minh k +1 k k +1 Áp dụng công thức: Cn + Cn = Cn +1 ta có: Ckk+1 + Ckk++11 = Ckk++21 Ckk+ + Ckk++21 = Ckk++31 Ckk+3 + Ckk++31 = Ckk++41 ……………… ……………… Ckk+ n−1 + Ckk++n1−1 = Ckk++n1 Ckk+ n + Ckk++n1 = Ckk++n1+1 Cộng vế với vế n đẳng thức trên, ta có: Ckk + Ckk+1 + Ckk+ + + Ckk+ n −1 + Ckk+n = Ckk++n1+1 2.3 Các ví dụ minh họa Bài Tính giá trị biểu thức 1 1 A= + + + + + 1!.2018! 2!.2017! 3!.2016! 1008!.1011! 1009!.1010! Giải k 2019 − k Ta có C2019 = C2019 với ∀ k=0,1,2, ,2019 ; 2019 ∑C k =0 k 2019 = 22019 1009 2019! k ⇒ 2019! A = ∑ = ∑ C2019 k =1 k !.(2019 − k )! k =1 k !.(2019 − k )! k =1 1009 2019 A=∑ 1009 k mà ∑ C2019 = k =1 1009 k = ∑ C2019 k =1 2018 ∑ k =1010 k C2019 Do 1 2019 k k 2019 C = ( ∑ C2019 − C2019 − C2019 ) = (22019 − 2) = 22018 − ∑ 2019 k =1 k =0 2018 22018 − Vậy A = 2019! Bài Tính giá trị biểu thức sau 2014 2016 A = − C2016 + C2016 − C2016 + − C2016 + C2016 2015 − C2016 + − C2016 B= C2016 10 2010 2014 C = C2016 + C2016 + C2016 + + C2016 + C2016 Giải 2016 - Ta có (1 + i) = ((1 + i ) )1008 = (2i )1008 = 21008 (*) mà (1 + i ) 2016 = =1− C 2016 2016 k 2016 2016 12016−k.i k = + C2016 i1 + C2016 i + C2016 i + C2016 i + + C2016 i ∑ C2016 k =0 2016 2015 + C2016 − + C2016 + (C2016 − C2016 + − C2016 )i (**) 2014 2016 + C 2016 − C 2016 + C 2016 − − C 2016 + C 2016 = 21008 Từ (*) (**) suy A=1 − C 2016 2015 − C2016 + − C2016 B= C2016 = 0 2015 2016 (1 + 1) 2016 = 22016 = C2016 + C2016 + C2016 + C2016 + + C2016 + C2016 - Ta có 2015 2016 = (1 − 1) 2016 = C2016 − C2016 + C2016 − C2016 + − C2016 + C2016 ⇒C 2016 +C 2016 +C 2016 + + C 2016 2016 22016 = = 22015 (***) 22015 − 21008 Từ biểu thức A (***) ta C = = 22014 − 21007 Vậy A= 21008 ; B=0, C = 22014 − 21007 Nhận xét :Việc tính biểu thức tổ hợp ta khơng thể dùng trực tiếp công thức nhị thức Niu-tơn để kết mà ta phải kết hợp với công thức tổ hợp, số phức tìm kết tốn Bài Tìm số ngun dương n cho C21n+1 − 2.2C22n +1 + 3.22 C23n +1 − 4.23 C24n +1 + + (2n + 1)2 n C22nn++11 = 2005 (Đề thi ĐH – CĐ khối A năm 2005) Giải Sử dụng công thức (2) thay n 2n + k = 1,2,…, 2n + ta có: C21n+1 = (2n + 1)C20n −2C22n+1 = −(2n + 1)C21n 3C23n+1 = (2n + 1)C22n −2nC22nn+1 = −(2n + 1)C22nn−1 (2n + 1)C22nn++11 = (2n + 1)C22nn Cộng vế với vế đẳng thức ta có: VT = (2n + 1)(C20n − 2C21n + 22 C22n − 23 C23n + + n C22nn ) = (2n + 1)(1 − 2) n = 2n + Vì vậy: 2n + = 2005 ⇔ n = 1002 Chú ý: Nếu sử dụng đạo hàm ta giải toán sau: n +1 Xét hàm số: f ( x) = (1 + x) , liên tục R Sử dụng công thức khai triển Niu-tơn ta có: f ( x) = (1 + x) n +1 = C20n+1 + C21n+1 x + C22n+1 x + C23n+1 x + + C22nn++11 x n+1 Đạo hàm hai vế ta có: f ( x) = (2n + 1)(1 + x) n = C21n+1 + 2C22n +1 x + 3C23n+1 x + + (2n + 1)C22nn++11 x n ⇒ f ( −2) = 2n + = C21n+1 − 2.2C22n+1 + 3.22 C23n+1 − 4.23 C24n+1 + + (2n + 1)2 n C22nn++11 Từ đó, ta có: 2n + = 2005 ⇔ n = 1002 Bài 4: Chứng minh rằng: 2.1Cn2 + 3.2.Cn3 + 4.3Cn4 + + (n − 1)nCnn = n( n − 1)2 n −2 với n nguyên dương, n ≥ Giải Vận dụng cơng thức (2) ta có: 2.1Cn2 = n(n − 1)Cn0− 3.2Cn3 = n(n − 1)Cn1− n(n − 1)Cnn = n(n − 1)Cnn−−22 Cộng vế với vế n – đẳng thức trên, ta có: VT = n(n − 1)[C0n - + Cn1−2 + Cn2− + + Cnn−−22 ] = n (n - 1) 2n - Chú ý: Nếu sử dụng đạo hàm ta giải toán theo cách sau đây: n Sử dụng khai triển (1 + x) thành đa thức ta có: (1 + x) n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + Cn3 x + + Cnn x n Đạo hàm đến cấp hai hai vế, ta có: n(1 + x) n−1 = Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3 x + + nCnn x n−1 n(n − 1)(1 + x) n− = 2Cn2 + 3.2Cn3 x + 4.3.Cn4 x + + n(n − 1)Cnn x n −2 n−2 n Cho x = 1, ta có: n(n − 1)2 = 2.1Cn + 3.2Cn + 4.3Cn + + n(n − 1)Cn Bài 5: Tìm số n nguyên dương thỏa mãn đẳng thức: 12 Cn1 + 22 Cn2 + 32 Cn3 + + n 2Cnn = n(n + 1).262144 Giải n n Ta có: VT = Cn + 2Cn + 3Cn + + nCn + 2(2 − 1)Cn + 3(3 − 1)Cn + n(n − 1)Cn Vận dụng cơng thức (2) ta có: Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn = n(Cn0−1 + Cn1−1 + Cn2−1 + + Cnn−−11 ) = n 2n−1 sử dụng kết 4, ta có: 2.1Cn2 + 3.2Cn3 + 4.3Cn4 + + n(n − 1)Cnn = n(n − 1)2 n− VT = n.2n−1 + n(n − 1)2 n−2 = n.2n −2 (2 + n − 1) = n(n + 1)2 n− Do ⇒ 2n−2 = 262144 = 218 ⇔ n = 20 Chú ý: Nếu sử dụng đạo hàm ta giải tốn theo cách sau đây: n Xét hàm số: f ( x) = (1 + x) , liên tục R Sử dụng khai triển Niu-tơn ta có: f ( x) = (1 + x) n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + Cn3 x + + Cnn x n Đạo hàm đến cấp hai hai vế, ta có: f ' ( x) = n(1 + x) n−1 = Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3 x + + nCnn x n−1 f '' ( x) = n(n − 1)(1 + x) n −2 = 2.1Cn2 + 3.2Cn3 x + 4.3Cn4 x + + n(n − 1)Cnn x n− ⇒ f ' (1) = n 2n −1 = Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn f '' (1) = n(1 − 1)2n −2 = 2.1Cn2 + 3.23n + + n(n − 1)Cnn ' '' n−2 2 2 n Xét tổng: f (1) + f (1) = n(n + 1)2 = Cn + Cn + Cn + + n Cn Từ đó, suy 2n −2 = 218 ⇔ n = 20 Bài 6: Cho hàm số: 2018 2018 f ( x) = C2018 x (1 − x ) 2017 + 2C2018 x (1 − x) 2016 + + 2018C2018 x ) Tính f ( 1009 Giải Áp dụng công thức (2) ta được: C2018 = 2018C2017 2C2018 = 2018C2017 2018 2017 2018C2018 = 2018C2017 Do đó: 2017 2017 f ( x) = 2018 x C2017 (1 − x) 2017 + C2017 x(1 − x) 2016 + + C2017 x  = 2018 x(1 − x + x) 2017 = 2018 x   = 2018 =2 Vì vậy: f  ÷ 1009  1009  Chú ý: Nếu sử dụng đạo hàm ta giải toán theo cách sau đây: 2018 Xét hàm số: g (t ) = ( xt + − x) , liên tục R Sử dụng khai triển Niu-tơn ta có: g (t ) = ( xt + − x) 2018 2018 2018 2018 = C2018 (1 − x) 2018 + C2018 xt (1 − x) 2017 + C2018 x 2t (1 − x ) 2016 + + C2018 x t Đạo hàm hai vế ta có: 2018 2018 2017 g ' (t ) = 2018 x( xt + − x) 2017 = C2018 x(1 − x) 2017 + 2C2018 x 2t (1 − x) 2016 + + 2018C2018 x t 2018 2018 ⇒ g ' (1) = 2018 x = C2018 x(1 − x) 2017 + 2C2018 x (1 − x) 2016 + + 2018C2018 x   = 2018 = Từ đó, ta có: f ( x) = 2018 x ⇒ f  ÷ 1009  1009  Bài : Chứng minh với n nguyên dương ta có đẳng thức: 1 2n+1 − Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn = n +1 n +1 Giải: Vận dụng cơng thức (2) ta có: Cn0 Cn1+1 = n +1 Cn1 Cn2+1 = n +1 Cn2 Cn3+1 = n +1 Cnn Cnn++11 = n +1 n +1 Cộng vế với vế n + đẳng thức ta được: 1 Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn n +1 C0 2n+1 − = (Cn0+1 + Cn1+1 + Cn2+1 + Cn3+1 + + Cnn++11 ) − n +1 = n +1 n +1 n +1 Chú ý: Nếu dùng kiến thức Tích phân ta giải tốn theo hướng sau: n Xét hàm số: f ( x) = (1 + x) Sử dụng khai triển Niu –tơn ta có: f ( x) = Cn0 + Cn1 x + Cn1 x + + Cnn x n Từ đó, ta có được: ∫ (1 + x) n dx = ∫ (Cn0 + Cn1 x + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n )dx n +1 1 1 1   ⇔ (1 + x) n+1 = =  Cn0 x + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n+1 ÷ n +1 n +1   ⇔ −1 1 = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn n +1 n +1 n +1 Bài 8: Chứng minh với n nguyên dương ta có: 1 (−1) k k (−1) n n Cn − Cn + Cn − Cn + + Cn + + Cn = k +1 n +1 n +1 Giải: Vận dụng công thức (2) ta có: Cn0 Cn1+1 = n +1 Cn1 Cn2+1 − =− n +1 10 Cn2 Cn3+1 = n +1 (−1) k Cnk ( −1) k Cnk++11 = n +1 n +1 (−1) n Cnn ( −1) n Cnn++11 = n +1 n +1 Cộng vế với vế n + đẳng thức ta có: 1 (−1) k k (−1) n n Cn − Cn + Cn − Cn + + Cn + + Cn = k +1 n +1 C0 − (Cn0+1 − Cn1+1 + Cn1+1 + + (−1) k +1 Cnk++11 + + (−1) n+1 Cnn++11 ) + n +1 = n +1 n +1 n +1 Chú ý: Nếu sử dụng tích phân ta giải tốn theo cách sau n Xét hàm số: f ( x) = (1 − x) Sử dụng khai triển Niu-tơn ta có: f ( x) = Cn0 − Cn1 x + Cn2 x + + (−1) n Cnn x n Vì vậy, ta có: 1 0 n 2 n n ∫ (1 − x) dx = ∫ (Cn − Cn x + Cn x + + (−1) Cn x)dx Từ ta có điều phải chứng minh k Bài 9: Chứng minh với n số nguyên dương, Cn số tổ hợp chập k n phần tử, ta có đẳng thức: 1 n −1 2 n − C2 n + C2 n + C2 n + + C2 n = 2n 2n + (Đề thi ĐH-CĐ khối A năm 2007) Giải: Sử dụng kết 7, thay n 2n, ta có: 11 1 22 n+1 − 2n C + C2 n + C2 n + C2 n + + C2 n = 2n + 2n + 1 1 1 C20n − C21n + C22n − C23n + − C22nn = 2n + 2n + Trừ vế với vế đẳng thức trên, ta có: n +1 1 1  −2  C21n + C23n + C25n + + C22nn−1  = 2n 2  2n + 1 1 n−1 22 n − ⇔ C2 n + C2 n + C2 n + + C2 n = 2n 2n + 2n Chú ý: Nếu dùng kiến thức tích phân để giải ta thực theo bước sau: - Trước hết tính phân tích phân dạng: ∫ (1 + x) 2n dx = ∫ (C20n + C21n x + C22n x + C23n x + + C22nn −1 x n−1 + C22nn x n )dx ∫ (1 − x) 2n dx = ∫ (C20n − C21n x + C22n x − C23n x − C22nn−1 x n −1 + C22nn x n )dx; Trừ vế với vế đẳng thức này, ta có điều phải chứng minh 2 − 1 23 − 2n +1 − n Cn + Cn + + Cn n +1 (Đề thi ĐH – CĐ khối B năm 2003) Giải: Bài 10: Tính tổng: S = Cn0 + Ta có: 1 1 1   S = −  Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn ÷+ Cn0 + Cn1 22 + Cn2 23 + + Cnn 2n+1 n +1  n +1  2n +1 −  1 2  =− +  Cn + Cn + Cn + + Cnn 2n+1 ÷ n +1  n +1  Áp dụng (1) thay n n + 1, ta có: 1 Cn0 = Cn +1 n +1 1 Cn = Cn2+1 n +1 1 Cnn = Cnn++11 n +1 n +1 Từ ta có: 12 1 1 Cn0 21 + Cn1 22 + Cn2 23 + + Cnn 2n +1 = (Cn1+1 21 + Cn2+1 22 + + Cnn++11 2n+1 ) n +1 n +1 1 3n +1 − 0 1 n +1 n +1 0 = (Cn+1 + Cn +1 + + Cn+1 ) − Cn+1 = n +1 n +1 n +1 n +1 n +1 n +1 n +1 −1 −1 − ⇒S =− + = n +1 n +1 n +1 Chú ý: Nếu sử dụng tích phân ta giải tốn theo cách sau đây: n Xét hàm số: f ( x) = (1 + x) ∫ (1 + x) n dx = ∫ (Cn0 + Cn1 x + Cn1 x + + Cnn x n )dx 2 1 1   ⇔ (1 + x) n+1 =  Cn0 x + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n+1 ÷ n +1 n +1  1 Từ ta có điều phải chứng minh k Bài 11: Chứng minh với n số nguyên dương, Cn số tổ hợp chập k n phần tử, ta có đẳng thức: 22 n 2n C2 n + C2 n + C2 n + + C2 n = 2n + 2n + Giải: Sử dụng kết 7, thay n 2n, ta có đẳng thức: 1 n −1 22 n+1 − 2n C2 n + C2 n + C2 n + C2 n + + C2 n = C2 n = 2n 2n + 2n + 1 1 1 C20n − C21n + C22n − C23n + − C22nn−1 = C22nn = 2n 2n + 2n + Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta được: n +1 1   2 C20n + C22n + C24n + + C22nn  = 2n +   2n + 1 22 n 2n ⇔ C + C2 n + C2 n + + C2 n = 2n + 2n + Chú ý: Nếu dùng kiến thức tích phân để giải ta thực theo bước sau: - Trước hết tính tích phân dạng: 2n ∫ (1 + x) 2n dx = ∫ (C20n + C21n x + C22n x + C23n x + + C22nn −1 x n−1 + C22nn x n )dx ; 13 ∫ (1 − x) 2n dx = ∫ (C20n − C21n x + C22n x − C23n x + − C22nn −1 x n−1 + C22nn x n )dx; Cộng vế với vế đẳng thức này, ta có điều phải chứng minh n Cnk n.2n+1 + = Bài 12: Chứng minh: ∑ k =0 k + (n + 2)n Giải: Từ công thức (4) ta có: 1 Cnk = Cnk++22 (k + 1)( k + 2) ( n + 1)( n + 2) Cnk k +1 ⇒ = Cnk++22 k + (n + 1)(n − 2) Lần lượt thay k = 0, 1, 2,…, n ta có: Cnk n +1 = Cn2+ + Cn3+ + + Cnn++22 ∑ (n + 1)(n + 2) (n + 1)( n + 2) (n + 1)( n + 2) k =0 k + = Cn2+ + 2Cn3+ + 3Cn4+ + + (n + 1)Cnn++22  (n + 1)(n + 2) = (Cn1+ + 2Cn2+ + 3Cn3+ + + (n + 2)Cnn++22 ) − (C 0n + + Cn1+ + + Cnn++22 ) + 1 (n + 1)(n + 2) n n2 n +1 + n +1 n+2 = (n + 2)2 − + 1 = (n + 1)(n + 2)  (n + 1)( n + 2) Chú ý Nếu sử dụng tích phân, ta giải tốn sau: Xét tích phân 1 0 n 2 n n +1 ∫ x(1 + x) dx = ∫ (Cn x + Cn x + Cn x + + Cn x )dx C x C1 x3 C x C n x n+2 = ( n + n + n + + n ) n+2 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn = + + + + n+2 Mặt khác ∫ x(1 + x) n dx , đặt t=1+x, ta kết quả: n 2n +1 + ∫0 x(1 + x) dx = (n + 1)(n + 2) n 14 Từ ta suy điều phải chứng minh 1 1 Cn + Cn + Cn + + Cnn 1.2 2.3 3.4 ( n + 1).(n + 2) Giải Cnk Cnk−−22 k k −2 = Ta có: k ( k − 1)Cn = n(n − 1)Cn−2 ⇔ n(n − 1) k ( k − 1) Cn2+ Cn = 1.2 (n + 1)(n + 2) Bài 13 Tính S = 1 Cn3+ Cn = 2.3 (n + 1)(n + 2) Cn4+ Thay k=2,3, ,n ta có Cn = 3.4 (n + 1)(n + 2) Cnn++22 Cnn = (n + 1).(n + 2) (n + 1)(n + 2) Cộng vế với vế n+1 đẳng thức , ta có : 1 S= (Cn2+ + Cn3+ + + Cnn++22 + Cn1+ + Cn0+ ) − (Cn1+ + Cn0+ ) (n + 1)( n + 2) (n + 1)(n + 2) = 2n + n+3 2n+ − n − − = (n + 1)( n + 2) ( n + 1)(n + 2) (n + 1)( n + 2) Chú ý : Nếu sử dụng kiến thức tích phân, ta giải n ( x + 1) n+1 +D1 toán sau : ∫ (1 + x) dx = n +1 Cn x Cn2 x Cnn x n +1 n + + + + D2 Mà ∫ (1 + x) dx = Cn x + n +1 Gọi f(x), g(x) hai nguyên hàm họ nguyên hàm hàm n +1 số (1 + x) , f(x), g(x) sai khác số thay x=0 vào hai vế f(x), g(x), nên ta có 1 Cn1 x Cn2 x Cnn x n +1 ( x + 1) n+1 C x + + = n + + n +1 n +1 n +1 n +1 2 1  Cn x Cn x Cnn x n+1  (1 + x) ⇒ ∫ − dx = ∫ (Cn x + + + + )dx n +1 n + 1 n +1  1  (1 + x) n+  Cn1 x Cn2 x Cnn x n+ ⇔ − x  = ( Cn x + + + + ) 3.2 4.3 (n + 2)(n + 1)  ( n + 1)( n + 2) n +  2.1 15 2n + 1 1 1 ⇔S= − − = Cn + Cn + + Cnn (n + 1)(n + 2) n + (n + 1)(n + 2) 1.2 2.3 ( n + 1).(n + 2) 2n + − n − (n + 1)(n + 2) Nhận xét: Các tập từ đến 13, nghiên cứu lời giải khác tốn, cách giải dựa vào công thức thuộc Đại số tổ hợp Xác suất, cách giải khác dựa vào kiến thức Đạo hàm Nguyên hàm-Tích phân Những mà tơi đưa sau mặt hình thức nghĩ đến cơng cụ Đạo hàm Tích phân Tuy nhiên, điều vơ khó khăn làm Tuy nhiên số tập mà ta dùng công cụ công thức tổ hợp để giải ⇔S= 2  Cn0   Cn1   Cnn  Bài 14 Tính tổng sau S =  ÷ +  ÷ + +  ÷ n +       Giải Theo công thức (2), ta có Do S = Mà ( + x ) ∀k = 1,2, , n 2  Cn +1 ) + ( Cn2+1 ) + + ( Cnn++11 )  (  (n + 1) n +1 ( + x) n +1 = ( + x) (C ) +(C ) +(C ) n +1 Cnk C k +1 = n +1 k +1 n +1 n +1 2 n +1 n+ , cân hệ số x n + hai vế ta có + + ( Cnn++11 ) = C2nn++12 C2nn++12 − Vậy S = ( n + 1) C88 C98 C108 C2018 C2017 + + + + = Bài 15 Chứng minh rằng: 7.8 8.9 9.10 2017.2018 7.8 Giải  1 1 1 1 1   VT =  − ÷C88 +  − ÷C98 +  − ÷C108 + +  − ÷C2018 7 8 8 9  10   2017 2018  1 1 8 = C88 + (C98 − C88 ) + (C108 − C98 ) + + (C2010 − C2017 )− C2018 2017 2018 Ta có 1 1 = C88 + C87 + C97 + + C2017 − C2018 2017 2018 1 1 = C77 + C87 + C97 + + C2017 − C2018 2017 2018 16 1 1 VT = C77 + C76 + C86 + C96 + + C2016 − C2017 7 7 Theo công thức (2), ta có : 7 = (C7 + C76 + C86 + C96 + + C2016 ) − C2017 7 Sử dụng Định lí 4, ta có VT = C2017 − C2017 = C2017 = VF 56 2.4 Kiểm nghiệm đề tài Sau đề tài thực hành lớp kiểm tra, đa số học sinh tiếp thu vận dụng tốt Trong tiết tự chọn thuộc phạm vi chủ đề thực hiện, mảng nhỏ phần ôn thi cho học sinh lớp 12 ơn thi kì thi THPT Quốc gia gây hứng thú cho học sinh tiếp thu đặc biệt củng cố lòng tin gặp phải “Dạng toán tổ hợp nêu” Chí học sinh có hai lựa chọn phương pháp giải gặp dạng toán này, linh hoạt kết hợp phần học với để tìm kết cho tốn đồng thời nhắc em Đạo hàm, Tích phân khơng phải chìa khóa vạn cho dạng tốn nêu KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Qua tập dạy vừa nêu ta thấy ưu điểm việc vận dụng linh hoạt, sáng tạo cơng thức học để tìm lời giải nhanh cho toán Mặc dù với tinh thần nghiêm túc, đầy trách nhiệm viết đề tài, đồng thời kết hợp với giảng dạy lớp để kiểm nghiệm thực tế, nhiên q trình viết khó tránh khỏi khiếm khuyết mong đóng góp đồng nghiệp để đề tài có ý nghĩa thiết thực bổ ích nhà trường./ Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA LÃNH ĐẠO CƠ QUAN Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2018 Tơi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép người khác Người viết cam đoan LÊ THỊ NA 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK lớp 11, 12 – NC Bài tập Giải tích 12 chuẩn NC Các phương pháp đặc sắc giải toán Đại số- Tổ hợp, tác giả : TS Huỳnh Công Thái Một số đề thi thử THPT Quốc gia mơn Tốn- năm 2017-2018 Phân dạng phương pháp giải toán Số phức, tác giả: Thạc sĩ- Nhà giáo ưu tú Lê Hồnh Phò 18 ... phối hợp kiến thức số phức Xuất phát từ thực tiễn giảng dạy, xây dựng đề tài: Sử dụng Đại số tổ hợp, Đạo hàm, Tích phân Số phức việc rèn luyện kĩ giải số toán biểu thức tổ hợp” 1.2 Mục đích... trung giải số dạng toán liên quan đến biểu thức tổ hợp mà ta sử dụng linh hoạt kiến thức đại số Tổ hợp, Đạo hàm – Tích phân, Số phức giải chúng, nhiên tìm hiểu sâu vận dụng số cơng thức tổ hợp giải. .. đến việc vận dụng Đạo hàm, Tích phân để giải chúng Tuy nhiên việc vận dụng kiến thức Đạo hàm Nguyên hàm- Tích phân khơng dễ để tìm lời giải từ công thức tổ hợp nhị thức Niu-tơn khơng thể giải