giải các bài tóan ứng dụng nguyên lí dirichlet

giải các bài tóan ứng dụng nguyên lí dirichlet tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về t...

1 I.Giớithiệu: NguyênlýĐirichlê(Dirichlet)còngọilà"nguyêntắcnhốtthỏvàolồng"hoặc "nguyêntắcxếpđồvậtvàongănkéo"hoặcnguyêntắclổchuồngcâu". Nộidungcủanguyênlýnàyhếtsứcđơngiảnvàdễhiểu,nhưnglạicótácdụngrất lớn tronggiảitoán.Nhiềukhicónhữngbàitoán,ngườitađãdùngrấtnhiều phươngpháptoánhọcđểgiảimàvẫnchưađiđếnkếtquả,nhưngnhờnguyênlý Đirichlêmàbàitoántrởnêndễdànggiảiquyết.Thídụmộtbàitrong đềt hivào trườngĐHSPVinh cónămrabàinhưsau: …Cótồntạihaykhôngsốcódạng: 20022002 20022002chiahếtcho2003? Tuynhiên,cónhữngbàitoáncóvẻhiểnnhiênlàthế.Songtrongtoánhọcphải chứngminh.Chẳnghạn:Hãy chứngminhrằngtrong11sốtựnhiênbấtkỳbaogiờ cũngcóítnhất2sốcóchữsốtậncùnggiốngnhau. NguyênlýDỉichletứngdụng rấtđadạng,từsốhọc,topo,logichọc…đềucó nhữngbài toánhay.Xingiớithiệumộtloạtbài toán sau II.Cácbàitoánmẫu,ứngdụngnguyênlíDirichlet: A.Cácbàitoánsốhọc: 1.Toánsuyluận logic: *Bài1: Đề1: Có10độibóngthiđấuvớinhau trongmộtgiải,mỗiđộiphảiđấumột trậnvớicácđộikhác.CMRvàobấtcứlúcnàocũngcóhaiđộiđãđấusốtrậnnhư nhau. GIẢI:Rõràngnếutrong10độibóngcó1độichưađấumộttrậnnàothìtrong cácđộicònlạikhôngcóđộinàođãthi đấu9trận.Nhưvậy10độichỉcósốtrận đấuhoặctừ0đến8hoặctừ1đến9.Vậytheonguyênlý Đirichlêphảicóítnhất2 www.laisac.page.tl G G i i ả ả i i c c á á c c b b à à i i t t o o á á n n ứ ứ n n g g d d ụ ụ n n g g N N g g u u y y ê ê n n l l ý ý D D i i r r i i c c h h l l e e t t PhạmHuyH oạt 2 độicósốtrậnđấunhưnhau.(Độichưađấutrậnnào,sốtrận=0) *Bài2: Đề2: Có6độibóngthiđấuvớinhau(mỗiđộiphảiđấu1trậnvới5độikhác). CMRvàobấtcứlúcnàocũngcó3độitrongđótừngcặpđãđấuvớinhauhoặc chưađấuvớinhautrậnnào. GIẢI:Giảsử6độibóngđólàA,B,C,D,E,F.XétđộiA. Theonguyênlý Đirichlêtasuyra:Aphảiđấuhoặckhôngđấuvớiítnhất3đội khác.Khôngmấttínhtổngquát,giảsửAđãđấuvớiB,C,D. NếuB,C,Dtừngcặpchưađấuvớinhauthìbàitoán đượcchứngminh. NếuB,C,Dcó2độiđãđấuvớinhau,vídụBvàCthì3độiA,B,Ctừngcặpđãđấu vớinhau. Nhưvậybấtcứlúcnàocũngcó3độitrongđótừngcặpđãđấuvớinhauhoặc chưađấuvớinhautrậnnào. *Bài3: Đề3: CMRtrongnngườibấtkì,tồntạihaingườicósốngườiquennhưnhau (kểcảtrườnghợpquen0người) GIẢI:Tươngtựvídụ1,taxétn nhóm  *Bài4: Đề4: Trong45họcsinhlàmbàikiểmtrakhôngcóaibịđiểmdưới2,chỉcó2 họcsinhđượcđiểm10.CMRítnhấtcũngtìm được6họcsinhcóđiểmkiểmtra bằngnhau(điểmkiểmtralàmộtsốtựnhiêntừ0đến10) GIẢI:Có43họcsinhphânchiavào8loạiđiểm(từ2đến9).Giảsửmỗiloại trong8loạiđiểmđềulàđiểmcủakhôngquá5họcsinhthìlớphọccókhôngquá 5.8=40họcsinh,íthơn43họcsinh.Vậytồntại6họcsinhcóđiểmkiểmtrabằng nhau. 2.Ứngdungtrongbàitoán chiahết: Trongcácphéptínhtrênsốnguyênthìphépchialàrấtđặcbiệt.Phépchiacóhàng loạtcáctínhchấtmàcácphépcònlạikhôngcó. Chẳnghạn, cácphéptoáncộng,trừ,nhânđềuthựchiệnvớisố0cònphépchia thìkhôngthể.Vìnhữnglídođặcbiệtđómàtrongtoánhọcxâydựnghẳn1lý thuyếtvềphépchia. NhữngvídụsaucóliênquanmậtthiếtgiữaphépchiavànguyênlýDirchlet *Bài5: Đề: CMRtồntạimộtsốtựnhiêngồmtoànchữsố1chiahếtcho2007. GIẢI: Xét2008sốcódạng1,11, ,11 11.TheonguyêntắcĐirichlêthìtồntại haisốcócùngsốdưkhichiacho2007.Giảsửhaisốđólà: A={11 1}_{n}vàB={11 1}_{k}vớik<n. KhiđóA –B ={11 1}_{nk}.10^kchiahếtcho2007 Do(2007,10^k)=1nênC={11 1}_{nk}chiahếtcho2007. * Bài6: 3 ĐỀ: CMRtrongn+1sốbấtkìthuộctậphợp\{1,2,3, ,2n\}luônchọnđượchai sốmàsốnàylàbộicủasốkia. GIẢI:Viếtn+1sốđãchodướidạng: a_1=2^{k_1}b_1,a_2=2^{k_2}b_2, ,a_{n+1}=2^{k_{n+1}}b_{n+1} Trongđób_1,b_2, ,b_{n+1}làcácsốlẻ.Tacó:1<=b_1,b_2, ,b_{n+1}<=2n 1.Mặtkháctrongkhoảngtừ1đến2n1cóđúngnsốlẻnêntồntạihaisốm<=n saochob_n=b_m.Khiđó,tronghaisốa_nvàa_mcómộtsốlàbộicủasốkia. *Bài7: Cho5sốnguyênphânbiệta_i(i=1,2,3,4,5).Xéttích: P=(a_1a_2)(a_1a_3)(a_1a_4)(a_1a_5)(a_2a_3)(a_2a_4)(a_2a_5)(a_3 a_4)(a_3a_5)(a_4a_5).CMRPchiahếtcho288 GIẢI:Biết288=3^2.2^5→Cầnchứngminh Pchiahếtcho3².2^5 Bước1: Chứngminh Pchiahếtcho9. Xét4sốa_1,a_2,a_3,a_4tồntại2sốcócùngsốdưkhichiacho3.Giảsửa_1 đồngdưa_2(mod3)thìa_1–a_2 chiahếtcho3. Xéta_2,a_3,a_4,a_5trong4sốnàylạitồntại2sốcócùngsốdưkhichiacho3. SuyraPchiahếtcho9. Bước2: ChứngminhPchiahếtcho2^5 Trong5sốđãchocó3sốcùngtínhchẵnlẻ. Nếucó4sốchẵn,chẳnghạna_1=2k_1,a_2=2k_2,a_3=2k_3,a_4=2k_4thì: P=32(k_1k_2)(k_1k_3)(k_1k_4)(a_1a_5)(k_2k_4)(k_2k_3)(a_2a_5)(a_3 a_4)(a_3a_5)(a_4a_5)chiahếtcho32. Nếucó3sốchẵn,2sốlẻthì đặt: a_1=2k_1,a_2=2k_2,a_3=2k_3,a_4=2k_4+1,a_5=2k_5+1 TacóP=16(k_1k_2)(k_1k_3)(k_2k_3).M Trong3sốk_1,k_2,k_3có2sốcùngtínhchẵnlẻ.Giảsửk_1đồngdưk_1(mod2) thìk_1k_2chiahếtcho2nênPchiahếtcho32. Nếucó3sốlẻlàa_1,a_2,a_3còna_4,a_5chẵnthì đặta_1=2k_1+1,a_2=2k_2+1, a_3=2k_3+1,a_4=2k_4,a_5=2k_5 Tiếptheo: XéttươngtựcũngcóPchiahếtcho32. VậytacóPchiahếtcho288. 3.ỨngdungtrongToánvềtổng,hiệu,chữsốtậncùng cácloại: *Bài8: Đề: Cho51sốnguyêndươngkhácnhaucó1chữsốvàcó2chữsố.CMRtacó thểchọnra6sốnàođómàbấtcứ2sốnàotrongsốđãlấyraấykhôngcóchữsố hàngđơnvịgiốngnhaucũngkhôngcóchữsốhàngchụcgiốngnhau. GIẢI: Vìcó51sốnêntìm được6chụcsaochomộtnhómcókhôngíthơn6sốrơivào 4 mộttrongcácsốchụcđó,mộtnhómcókhôngíthơn5sốrơivàochụckhác Cuối cùngcóítnhấtmộttrongcácsốđãchorơivàomộtchụcnàođó(nhưvậysốcác chụckhácnhaukhôngíthơn6)vềcácsốđãcholàkhácnhau(chúýcácsốdạng xétnhiềunhấtcó2chữsố)dođóởnhómcuốicùngtalấymộtsố,sauđónhóm trướcđó(vìcóítnhất2chữsốhàngđơnvịcủahaisốtrongnhómấykhácnhau)ta lấymộtsốkhácvớichữsốhàngđơnvịkhácsốchọntrước,rồinhómtrướcđólại lấy1sốcóchữsốhàngđơnvịkhác2sốchọntrước Cuối cùngsẽđược6sốphải tìmvớicácchữsốkhácnhau. *Bài9: ĐỀ: Chọnbấtkìn+1sốtrong2nsốtựnhiêntừ1đến2n(n≥2).CMRtrongcácsố đượcchọncóítnhất1sốbằngtổngcủa2sốđượcchọn(kểcảcáctrườnghợp2số hạngcủatổngbằngnhau). GIẢI: Giảsửa_1<a_2< <a_n<a_{n+1}làn+1sốđượcchọn. Xétnsố:a_{n+1}a_1=b_1 a_{n+1}a_2=b_2 (mỗihiệuđềunhỏhơn2n) a_{n+1}a_n=b_n Trongtập2n+1sốđólàa_1,a_2, ,a_{n+1},b_1,b_2, ,b_ntồntại2sốbằng nhau,haisốấykhôngthểcùngthuộcdãya_1,a_2, ,a_{n+1}cũngkhôngthểcùng thuộcdãyb_1,b_2, ,b_n.Tacó: a_{n+1}a_1=a_isuyraa_{n+1}=a_1+a_i(đpcm) B.Cácbàitoánhìnhhọc:(Cácđiểm &đườngthẳng) *Bài10: Đề: Chomộthìnhvuôngvà13đườngthẳng,mỗiđườngthẳngđềuchiahình vuôngthànhhaitứgiáccótỉsốdiệntích2:3.CMRtrongsố13đườngthẳngđó,có ítnhất4đườngthẳngcùngđiquamộtđiểm. GIẢI:GọidlàđườngthẳngchiahìnhvuôngABCDthànhhaitứgiáccótỉsố diệntích2:3.Đườngthẳngdkhôngthểcắthaicạnhkềnhaucủahìnhvuôngvìkhi đókhôngtạothànhhaitứgiác.GiảsửdcắthaicạnhABvàCDtạiMvàN,khiđó nócắtđườngtrungbìnhEFtạiỊ GiảsửS_{AMND}=\frac{2}{3}S_{BMNC}thìEI=\frac{2}{3}IF Nhưvậymỗiđườngthẳngđãchochiacácđườngtrungbìnhcủahìnhvuôngtheotỉ số2:3.Có4điểmchiacácđườngtrungbìnhcủahìnhvuôngABCDtheotỉsố2:3. Có13đườngthẳng,mỗiđườngthẳngđiquamộttrong4điểm.Vậytheonguyênlý Đirichlêcóítnhất4đường thẳngđiquamộtđiểm. * Bài11: 5 Đề: BêntrongtamgiácđềuABCcócạnh =1đ/v đặt5điểm.CMRtồntại2 điểmcókhoảngcáchnhỏhơn0,5đ/v. GIẢI:Cácđườngtrungbìnhcủatamgiácđều ABCcạnh1đ/v sẽchianóralàm 4tamgiácđều với cạnh =0,5đ/v.Dođótrongmộttamgiácnhỏđócóítnhất2 điểmđãcho,vàcácđiểmđókhôngthểrơivàocácđỉnhcủatamgiác.Vậykhoảng cáchgiữahaiđiểmđónhỏhơn0,5đ/v. C.Cácbàitoánvềtômàu * Bài12: Đề:Giảsửmỗiđiểmtrongmặtphẳng kẻlướiôvuông(Nhưvởhọcsinhlớp1, giấyôvẽbảnđồ…)đượctôbằngmộttrong2màuđỏhoặcxanh Chứngminhtồntại1hìnhchữnhậtcócácđỉnhcùngmàu Giải:Giảsửtacómộtlướiôvuôngtạobởi3đườngnằmngangvà9đường thẳngđứng,mỗinútlướiđượctôbởimộtmàuxanhhoặcđỏ. Xét3nútlướicủamộtđườngdọc,mỗinútcóhaicáchtômàunênmỗibộbanút trênđườngdọcấycó2.2.2=8cáchtômàu. Có9đườngdọc,mỗiđườngcó8cáchtômàunêntồntạihaiđườngcócáchtômàu nhưnhau. ChẳnghạnhaibộbađiểmđólàA_1,A_2,A_3vàB_1,B_2,B_3 Vì3điểmA_1,A_2,A_3chỉđượctôbởihaimàunêntồntạihaiđiểmcùngmàu, chẳnghạnA_1vàA_2,khiđóhìnhchữnhậtA_1A_2B_2B_1có4đỉnhcùngmột màu. * Bài13: Đề: Giảsử1bàncờhìnhchữnhậtcó3x7ôvuôngđượcsơnđenhoặctrắng. Chứngminhrằngvớicáchsơnmàubấtkì,trongbàncờluôntồntạihìnhchữnhật gồmcácôở4góclàcácôcùngmàu Giải: Mẫusơnmàucóthểxảyravớibàncờnàycódạngtừ1đến8.Giảsửmộttrongsố cáccộtthuộcdạng1.Bàitoánsẽđượcchứngminhnếutấtcảcáccộtcònlạithuộc dạng1,2,3hoặc4.Giảsửtấtcảcáccộtcònlạithuộcdạng5,6,7,8Khiđótheo nguyênlíDirichlet2trongsố6cộtcó2cộtcùng1dạngvànhưvậybàitoáncũng đượcchứngminh Chứngminhhoàntoàntươngtựnếu1cộtcódang8.Giảsửkhôngcócộtnào trongcáccột1,8thìtheonguyênlíDirichletcũngcó2cộtcùngdạngvàbàitoán cũngđựocchứngminh 6 III.Bàitậpthựchànhứngdụngng uyênlíDirichlet 1/.Toánsuyluận: Bài14:Tronglớphọccó30họcsinh.KhiviếtchínhtảemAphạm14lỗi,cácem khácphạmítlỗihơn.CMRcóítnhấtlà3họcsinhđãmắcsốlỗibằngnhau(kểcả nhữngngườimắc0lỗi) Bài15:Cho5ngườitùyý.CMRtrongsốđócóítnhất2người cósốngườiquen nhưnhautrongsố5ngườiđãchọn(hiểurằngAquenBthìBquenA) Bài16:Trong1giảibóngđácó10độithamgia,bấtcứhaiđộinàotrongsốđó cũngphảiđấuvớinhau1trận.CMRtạibấtcứthờiđiểmnàocũngcó2độiđãđấu đượccùng sốtrận. 2./.Sựchiahết: Bài17:CMRtrong100sốtùyýthìcóítnhất10sốđôimộtcóhiệuchiahếtcho 11. Bài18:CMRnếu(n,19)=1thìluônluôntồntạimộtsốtựnhiênkkhác0saocho (n^k1)\vdots19. Bài6:CMRluôntồntạimộtsốgồmtoànchữsố7chiahếtcho2121992. Bài19:Cho20sốtựnhiênkhácnhaua_1,a_2, ,a_{20}khôngvượtquá70. CMRgiữacáchiệua_ia_k(i>k)luôntìmđượcítnhất4hiệubằngnhau. 3./.Các vấnđềkhác: Bài20:CMRtồntạivôsốsốtựnhiênnsaochotrongdạng thậpphâncủaS^ncó ítnhất2000chữsố0đứngkềnhau. Bài21:Trong2nsốtừ1đến2n(n\geq2)cóthểlấybaonhiêusốđểtổngcủahai sốđãchọn(cóthểbằngnhau)khôngbằngsốnàotrongcácsốđượcchọn. Bài22: Sốcáchọcviêncủamộtlớphọcítnhấtlàbaonhiêuđểcóítnhất2học viêncósốđiểmnhưnhautrongkỳthimônToán ,nếudựđịnhthangđiểmlà010 vàchênhlệch0,5điểm/bài? Bài23Chứngmìnhrằngnếuchọn151giáotrìnhmáytínhphânbịêtđượcđánhsố thứtựtừ1đến300thìcóítnhất2giáotrìnhcósốthứtựliêntiếp? 4./.Đánhgiácácđiểm,đườngthẳng: Bài24:Tronghìnhchữnhật3.4đặt6điểm.CMRtrongcácđiểmnàytìm được2 điểmmàkhoảngcáchtrongchúngkhônglớnhơn\sqrt{5} 7 Bài25:Tômàuđỏcáccungcủamộtđườngtrònmộtcáchtùyý,biếtrằngtổngđộ dàicáccungbịtônhỏhơnnửachuviđườngtròn. a,CMRluônvẽđược1đườngkínhmàcả2đầukhôngbịtômàu. b,CMRluôntồntại1dâycungcủađườngtròncóđộdàichotrướcbéhơnđường kínhmà2đầucủanókhôngbịtô. 5./.Gócvàđ ộdài: Bài26:Bêntrongđườngtrònbánkínhn đặt4nđoạnthẳngcóđộdài1.CMRcó thểkẻmộtđườngthẳngsongsonghoặcvuônggócvớiđườngthẳng1chotrướcvà cắtítnhất2đoạnthẳngđãcho. Bài27:Bêntronghìnhvuôngcạnh10đ/vđặtmộtsốđườngtròncóchuvi bằng 1,6đ/v.CMRluôntìm được1đườngthẳngcắtítnhất4trongsốcácđườngtròn đã cho. Bài28:ChohìnhvuôngABCDcóAB=14cm.Tronghìnhvuôngcóđánhdấu76 điểmphânbiệt.Chứngminhrằngtồntạimộtđườngtròncóbánkính2cmchứa trongnóítnhất4điểmtrongsốcácđiểmtrên . rấtđadạng,từsốhọc,topo,logichọc…đềucó những bài toánhay.Xingiớithiệumộtloạt bài toán sau II. Các bài toánmẫu, ứng dụng nguyên lí Dirichlet : A. Các bài toánsốhọc: 1.Toánsuyluận logic: * Bài 1: Đề1:. Giảsử1bàncờhìnhchữnhậtcó3x7ôvuôngđượcsơnđenhoặctrắng. Chứngminhrằngvớicáchsơnmàubấtkì,trongbàncờluôntồntạihìnhchữnhật gồm các ôở4góclà các ôcùngmàu Giải:  Mẫusơnmàucóthểxảyravớibàncờnàycódạngtừ1đến8.Giảsửmộttrongsố các cộtthuộcdạng1 .Bài toánsẽđượcchứngminhnếutấtcả các cộtcònlạithuộc dạng1,2,3hoặc4.Giảsửtấtcả các cộtcònlạithuộcdạng5,6,7,8Khiđótheo nguyên lí Dirichlet 2trongsố6cộtcó2cộtcùng1dạngvànhưvậy bài toáncũng đượcchứngminh Chứngminhhoàntoàntươngtựnếu1cộtcódang8.Giảsửkhôngcócộtnào trong các cột1,8thìtheo nguyên lí Dirichlet cũngcó2cộtcùngdạngvà bài toán cũngđựocchứngminh 6 III. Bài tậpthựchành ứng dụng ng uyên lí Dirichlet 1/.Toánsuyluận: Bài 14:Tronglớphọccó30họcsinh.KhiviếtchínhtảemAphạm14lỗi, các em khácphạmítlỗihơn.CMRcóítnhấtlà3họcsinhđãmắcsốlỗibằngnhau(kểcả nhữngngườimắc0lỗi) Bài 15:Cho5ngườitùyý.CMRtrongsốđócóítnhất2người. Giảsử1bàncờhìnhchữnhậtcó3x7ôvuôngđượcsơnđenhoặctrắng. Chứngminhrằngvớicáchsơnmàubấtkì,trongbàncờluôntồntạihìnhchữnhật gồm các ôở4góclà các ôcùngmàu Giải:  Mẫusơnmàucóthểxảyravớibàncờnàycódạngtừ1đến8.Giảsửmộttrongsố các cộtthuộcdạng1 .Bài toánsẽđượcchứngminhnếutấtcả các cộtcònlạithuộc dạng1,2,3hoặc4.Giảsửtấtcả các cộtcònlạithuộcdạng5,6,7,8Khiđótheo nguyên lí Dirichlet 2trongsố6cộtcó2cộtcùng1dạngvànhưvậy bài toáncũng đượcchứngminh Chứngminhhoàntoàntươngtựnếu1cộtcódang8.Giảsửkhôngcócộtnào trong các cột1,8thìtheo nguyên lí Dirichlet cũngcó2cộtcùngdạngvà bài toán cũngđựocchứngminh 6 III. Bài tậpthựchành ứng dụng ng