Ứng dụng nguyên lí dirichlet vào giải bài toán tô màu hình

Giả thuyết khoa học Nếu xác định được ứng dụng của nguyên lí Dirichlet và hệ thống lại được các dạng bài tập thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán, đặc biệt là các kiến t

KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC -

NGUYỄN THỊ NGỌC

ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀO GIẢI BÀI TOÁN TÔ MÀU HÌNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán tiểu học

Người hướng dẫn khoa học ThS PHẠM THANH TÂM

HÀ NỘI, 2017

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung của đề tài, tôi xin gửi lời cảm ơn và sự tri

ân sâu sắc đến thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm – người đã chỉ bảo và hướng dẫn tận tình cho tôi, giúp tôi hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tôi cũng đặc biệt cảm ơn các thầy cô giáo khoa Giáo dục Tiểu học đã tận tình chỉ bảo tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Lời cảm ơn chân thành và sâu sắc, tôi xin gửi tới gia đình, bạn bè – những người đã luôn động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2017

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Ngọc

LỜI CAM ĐOAN

Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng, nỗ lực của bản thân cùng

sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm tôi đã hoàn thành bài khóa luận của mình

Tôi xin cam đoan bài khóa luận là do bản thân hoàn thành cùng với sự hướng dẫn của thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm

Hà Nội, tháng 5 năm 2017

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Ngọc

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu đề tài 3

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

5 Phương pháp nguyên cứu 3

6 Giả thuyết khoa học 3

7 Cấu trúc đề tài 3

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 5

1.1 Các kiến thức cơ bản về bài toán tô màu 5

1.1.1 Các kiến thức cơ bản về hình 5

1.1.2 Các kiến thức cơ bản về bài toán tô màu 11

1.2 Nguyên lí Dirichlet 12

1.2.1 Nguyên lí Dirichlet cơ bản 13

1.2.2 Nguyên lí Dirichlet mở rộng 13

1.2.3 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp 14

1.2.4 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp mở rộng 14

1.2.5 Nguyên lí Dirichlet vô hạn 15

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀO GIẢI BÀI TOÁN TÔ MÀU HÌNH 16

2.1 Bài toán tô màu trên tam giác 16

2.2 Bài toán tô màu trên tứ giác 32

2.3 Bài toán tô màu trên đa giác 40

2.4 Một số bài toán đề nghị 50

KẾT LUẬN 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong hệ thống giáo dục của mỗi quốc gia thì hệ thống Giáo dục Tiểu học giữ một vị trí quan trọng Việc đào tạo, bồi dưỡng nhân tài phải bắt đầu được quan tâm ngay từ bậc Tiểu học, vì đây là "cái nôi" tri thức đầu tiên và là bậc học đặt nền móng quan trọng cho sự hình thành nhân cách của mỗi học sinh Trong quá khứ lãnh đạo của Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chỉ rõ: "Tiểu học là nền tảng, đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành và phát triển toàn diện nhân cách của con người, đặt nền tảng vững chắc cho giáo dục phổ thông và cho toàn bộ hệ thống giáo dục Quốc dân"

Trong các môn học ở trường Tiểu học thì môn toán có vị trí đặc biệt quan trọng Với tư cách là một môn học trong nhà trường thì môn toán giúp trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức, phương pháp riêng để nhận thức thế giới, làm công cụ cần thiết để học tập các môn học khác và phục vụ cho cấp học trên Các kiến thức toán học được đưa vào dạy cho học sinh Tiểu học gồm 4 tuyến chính là số học, đại lượng và phép đo đại lượng, các yếu tố hình học và giải toán có lời văn Các tuyến kiến thức này có mối liên hệ mật thiết,

hỗ trợ và bổ sung cho nhau ghóp phần phát triển toàn diện năng lực toán học của học sinh Tiểu học Trong đó, các bài toán hình học tổ hợp nói chung, bài toán tô màu hình nói riêng chiếm một số lượng tương đối lớn trong mảng toán hình học Các bài toán này không những được trình bày trong sách giáo khoa

mà còn được trình bày trong nhiều tài liệu tham khảo khác và có trong các kì thi học sinh giỏi bậc Tiểu học Sử dụng nguyên lý Dirichlet để giải các bài toán này là phương pháp phổ biến, giúp học sinh dễ nắm bắt kiến thức Nhờ

có ứng dụng của nguyên lí này mà nhiều bài toán khó trong lĩnh vực hình học

tổ hợp đặc biệt là các bài toán tô màu hình trong sách giáo khoa và các bài

trong kì thi học sinh khá giỏi bậc Tiểu học được giải quyết một cách dễ dàng, thuận tiện và trọn vẹn

Nguyên lí Dirichlet do nhà toán học Peter Guster Lijeune Dirichlet (1805- 1859) người Đức đưa ra lần đầu tiên vào năm 1834 Nguyên lí này là một công cụ hiệu quả và sắc bén để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của toán học Ở mỗi cấp học nguyên lí Dirichlet lại được phát biểu bằng một ngôn ngữ khác nhau sao cho phù hợp với tư duy và lứa tuổi của các em mà vẫn giữ nguyên được bản chất của kiến thức trong nguyên lí Nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như hình học, đại số, tổ hợp, Nguyên lí Dirichlet có nội dung khá đơn giản song nó lại là một công cụ vô cùng hiệu quả trong việc chứng minh nhiều bài toán từ cụ thể đến trừu tượng

mà khó có thể có một công cụ nào thay thế Trong rất nhiều trường hợp nó giúp học sinh thấy được một sự vật, một sự việc chắc chắn tồn tại song không thể chỉ ra được một cách tường minh Chính điều đó đã kích thích tư duy, óc tưởng tượng phong phú của học sinh, làm cho học sinh thấy yêu thích hơn với

bộ môn toán Vì vậy mà các kì thi học sinh giỏi các cấp thường xuyên có mặt các bài toán sử dụng nguyên lí này Dùng nguyên lí Dirichlet trong nhiều trường hợp người ta dễ chứng minh được sự tồn tại của một đối tượng với tính chất xác định Sử dụng nguyên lí Dirichlet không đòi hỏi nhiều kiến thức

về hình học và tổ hợp cùng với khả năng tính toán mà chủ yếu đòi hỏi sự sáng tạo trong việc đưa ra một số mô hình cụ thể và linh hoạt trong cách tư duy Đó

là điểm mạnh cũng như cái khó của việc ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào giải các bài toán tô màu

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các cơ sở lý luận và dựa vào thực tiễn trong quá trình học tập, giảng dạy kiến thức hình học để tổng hợp và đưa ra các ứng dụng của nguyên lí Dirichlet vào giải các bài toán tô màu

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu đề tài

 Đối tượng: nguyên lí Dirichlet và những bài toán tô màu có ứng

dụng nguyên lí Dirichlet để giải

 Phạm vi nghiên cứu: một số bài toán tô màu giải được bằng nguyên

lí Dirichlet

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

 Nêu nội dung cơ bản của nguyên lí Dirichlet

 Nêu ứng dụng của nguyên lí Dirichlet vào việc giải các bài toán tô màu

 Hệ thống lại một số dạng bài tập tô màu có ứng dụng nguyên lí Dirichlet để giải

5 Phương pháp nguyên cứu

 Phương pháp nghiên cứu lí luận

 Phương pháp phân tích tổng hợp và hệ thống

6 Giả thuyết khoa học

Nếu xác định được ứng dụng của nguyên lí Dirichlet và hệ thống lại được các dạng bài tập thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán, đặc biệt là các kiến thức Hình học và bồi dưỡng học sinh giỏi

nền tảng cho chương tiếp theo

Chương 2: Trong chương này, tôi đưa ra các ứng dụng nguyên lí

Dirichlet vào giải bài toán tô màu hình:

- Trên tam giác

- Trên tứ giác

- Trên đa giác

- Một số bài tập đề nghị

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Các kiến thức cơ bản về bài toán tô màu

1.1.1 Các kiến thức cơ bản về hình

Dưới đây là mô tả cho một vài khái niệm nhằm mục đích sử dụng cho khóa luận

1.1.1.1 Các định nghĩa

Điểm trong mặt phẳng: Điểm là một khái niệm cơ bản trong toán học,

được hình dung như là cái gì đó rất nhỏ bé, không có kích thước hay kích thước bằng không

Đoạn thẳng trong mặt phẳng: là một phần của đường thẳng mà bị

giới hạn bởi hai đầu mút, và là quỹ tích của tất cả những điểm nằm giữa hai đầu mút này trong quan hệ thẳng hàng

Các ví dụ về đoạn thẳng là: các cạnh của một tam giác hay một hình

vuông Tổng quát hơn, nếu cả hai đầu mút là hai đỉnh kề nhau của một đa giác, đoạn thẳng đó là một cạnh (của đa giác đang xét), nếu hai đầu mút không phải là hai đỉnh kề nhau thì đoạn thẳng đó là đường chéo của đa giác Khi các đầu mút nằm trên cùng một đường như là đường tròn, thì đoạn thẳng

đó được gọi là một dây cung (của đường đang xét)

Đỉnh trong một hình: là điểm chung của hai hay nhiều cạnh

1.1.1.2 Các hình cơ bản và hình đặc biệt ở Tiểu học

 Các hình cơ bản:

 Hình tam giác (hình tam giác cân, hình tam giác đều)

Định nghĩa: Hình tam giác là hình có ba cạnh, ba đỉnh và ba góc Nếu

một tam giác không có cạnh nào bằng nhau thì đó là tam giác thường Nếu một tam giác có ít nhất hai cạnh có chiều dài bằng nhau thì đó là tam giác cân Tam giác có ba cạnh với chiều dài bằng nhau thì đó là tam giác đều

Tính chất:

- Độ dài mỗi cạnh lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh kia và nhỏ hơn tổng độ

dài của chúng

- Ba đường cao của tam giác cắt nhau tại mỗi điểm được gọi là trực tâm

của tam giác

- Ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm được gọi là trọng tâm của tam giác Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành

hai phần có diện tích bằng nhau

- Ba đường trung trực của tam giác cắt nhau tại một điểm là tâm đường

tròn ngoại tiếp của tam giác

- Ba đường phân giác trong tam giác cắt nhau tại một điểm là tâm

đường tròn nội tiếp của tam giác

- Trong hai cạnh của cùng một tam giác cạnh đối diện với góc lớn hơn

có chiều dài lớn hơn Góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn

- Định lí hàm cosin: Trong một tam giác, bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của độ dài

hai cạnh ấy với cosin của góc xen giữa hai cạnh đó

- Định lí hàm số sin: Trong một tam giác tỉ lệ giữa độ dài của mỗi cạnh

với sin của góc đối diện là như nhau cho cả ba cạnh

- Các đường chéo cắt nhau tạo thành bốn tam giác cân

Dấu hiệu nhận biết:

Dấu hiệu nhận biết:

- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông

- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông

- Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông

- Hình thoi có một góc vuông là hình vuông

- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông

 Hình tứ giác

Định nghĩa: Tứ giác là đa giác có bốn cạnh và bốn đỉnh

Tính chất: Tổng các góc của tứ giác đơn bằng

 Hình tròn

Định nghĩa: Hình tròn là tập hợp tất cả các điểm nằm trong và nằm

trên đường tròn hay tập hợp các điểm cách tâm một khoảng nhỏ hơn hoặc bằng bán kính Đường tròn là quỹ tích của tất cả những điểm trên một mặt phẳng, cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách cho trước Điểm cho trước gọi là tâm của đường tròn, còn khoảng cho trước gọi là bán kính của đường tròn

Tính chất:

- Tập hợp các điểm cách đều điểm O cho trước một khoảng không đổi

R gọi là đường tròn tâm O bán kính R, kí hiệu là (O,R)

- Một đường tròn hoàn toàn xác định bởi một điều kiện của nó Nếu

AB là đoạn cho trước thì đường tròn đường kính AB là tập hợp những điểm

bán kính thì bằng R = AB/2

- Qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng, luôn vẽ được một đường tròn

và chỉ một mà thôi Đường tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

- Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây đó Ngược lại đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó

- Trong đường tròn, hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm

- Trong một đường tròn, hai dây cung không bằng nhau, dây lớn hơn khi và chỉ khi dây đó gần tâm hơn

 Hình lập phương

Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy

Tính chất: Hình hộp đứng có hai đáy là hình bình hành, bốn mặt xung

 Hình đa giác đều có n cạnh

Trong hình học phẳng, đa giác là một đường gấp khúc phẳng khép kín, nghĩa là gồm những đoạn thẳng nối tiếp nhau (mỗi điểm nối là đầu mút của vừa đúng hai đoạn thẳng) cùng nằm trên một mặt phẳng và khép kín (điểm nối đầu trùng với điểm nối cuối) Phần mặt phẳng giới hạn bởi đường đa giác được gọi là hình đa giác

Những đoạn thẳng trên đường gấp khúc này được gọi là cạnh của đa giác, còn điểm nối tiếp giữa hai cạnh được gọi là đỉnh của đa giác Hai cạnh

có chung đỉnh cũng được gọi là hai cạnh kề nhau Nếu đa giác là đa giác đơn thì các cạnh và các đỉnh tạo thành ranh giới của miền đa giác Đôi khi cũng xét tới các đường gấp khúc, khép kín, không cùng nằm trong một mặt phẳng,

đó được gọi là đa giác ghềnh Tuy nhiên thuật ngữ đa giác thường dùng cho các đa giác phẳng

Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc ở đỉnh bằng nhau Đa giác đều được chia làm hai loại là đa giác lồi đều (đa giác đều một đỉnh, nhị giác đều, tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều, thất giác đều, bát giác đều, cửu giác đều, thập giác đều, …) và đa giác sao đều

(sao 5 cánh đều, sao 7 cánh đều, sao 8 cánh đều, sao 9 cánh đều, sao 10 cánh đều, sao 11 cánh đều, …)

 Hình chóp đáy là đa giác n cạnh

Trong hình học, hình chóp là khối đa diện có một đỉnh và một đáy là đa giác lồi, các mặt bên là các hình tam giác Chiều cao của hình chóp là khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy của hình chóp Các loại hình chóp thường gặp:

 Hình chóp đa giác đều: là hình chóp có đáy là đa giác đều và hình

chiếu của đỉnh xuống đáy trùng với tâm của đáy Cần phân biệt nó với hình

chóp có đáy là đa giác đều, vốn chỉ có đáy là đa giác đều chứ hình chiếu của

đỉnh xuống đáy chưa chắc trùng với tâm của đáy

 Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều Các cạnh bên

của nó bằng nhau

Hình chóp có mặt đáy là tứ giác

Hình chóp có mặt đáy là hình thang

Hình chóp có mặt đáy là hình bình hành

 Hình lăng trụ có hai đáy là các đa giác đều

Hình lăng trụ là một đa diện có hai mặt đáy là các đa giác tương đẳng và những mặt còn lại là các hình bình hành Mọi tiết diện song song với hai đáy đều là các đa giác tương đẳng với hai đáy

Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy Trong hình lăng trụ đứng thì tất cả các mặt bên đều là hình chữ nhật

Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều Ta hay gặp hình lăng trụ đều có đáy là tam giác hoặc hình vuông trong giải toán Người ta thường gọi tắt các trường hợp đó với các thuật ngữ là hình lăng trụ tam giác đều, hình lăng trụ tứ giác đều Hình lăng trụ tứ giác đều là một hình hộp đứng đặc biệt có đáy là hình vuông còn hình hộp đứng thì chỉ cần đáy là hình bình hành

1.1.2 Các kiến thức cơ bản về bài toán tô màu

1.1.2.1 Các công đoạn trong tô màu hình

 Xác định vị trí các điểm, đoạn thẳng, đỉnh, cạnh cần tô màu

 Quyết định màu để tô vào các vị trí trên Công đoạn này sẽ trở nên phức tạp khi ta cần tô theo một mẫu tô nào đó chứ không phải tô thuần một màu

1.1.2.2 Các cách tiếp cận chính để tô màu

Có 3 cách tiếp cận chính để tô màu:

 Tô màu theo từng điểm (tô đơn giản)

Thuật toán này bắt đầu từ việc xác định một điểm có thuộc vùng cần tô hay không Nếu đúng là điểm thuộc vùng cần tô thì sẽ tô với màu muốn tô Thường sử dụng trong tô đường tròn, tô đa giác,…

Nhận xét: Thuật toán tô đơn giản có ưu điểm là tô rất mịn và có thể sử dụng được cho đa giác lồi hay đa giác lõm, hoặc đa giác tự cắt, đường tròn, elip…

Tuy nhiên, giải thuật này sẽ trở nên chậm khi ta phải gọi hàm PointInpoly nhiều lần Để khắc phục nhược điểm này người ta đưa ra thuật toán tô màu theo dòng quét

 Tô màu theo dòng quét

Tô màu theo dòng quét (scan - line)

Phương pháp này sẽ xác định phần giao của các dòng quét kế tiếp nhau với đường biên của vùng tô Sau đó, sẽ tiến hành tô màu các điểm thuộc phần giao này Phương pháp này thường được dùng để tô màu đa giác lồi , lõm hay

đa giác tự cắt, đường tròn, ellipse, và một số đường cong đơn giản khác

Các vấn đề cần lưu ý:

- Hạn chế được số cạnh cần tìm giao điểm ứng với mỗi dòng quét vì ứng với mỗi dòng quét không phải lúc nào cũng giao điểm với các cạnh của

đa giác

- Xác định nhanh hoành độ giao điểm vì nếu lặp lại thao tác tìm giao điểm của cạnh đa giác với mỗi dòng quét sẽ tốn rất nhiều thời gian

- Giải quyết trường hợp số giao điểm đi qua đỉnh đơn điệu thì tính số giao điểm là 1 hay đi qua đỉnh cực trị thì tính số giao điểm là 0 (hoặc 2)

 Tô màu dựa theo đường biên

Bài toán đặt ra : Cần tô màu một vùng nếu biết được màu của đường biên vùng tô và một điểm nằm bên trong vùng tô

Ý tưởng : Bắt đầu từ một điểm nằm bên trong vùng tô, kiểm tra các

điểm lân cận của nó đã được tô với màu muốn tô, hay điểm lân cận có màu trùng với màu biên không ? Nếu cả hai trường hợp đều không phải thì ta sẽ tô điểm đó với màu muốn tô Quá trình này được lặp lại cho đến khi không còn

tô được nữa thì dừng

1.2 Nguyên lí Dirichlet

Nguyên lí Dirichlet còn gọi là “Nguyên tắc nhốt thỏ vào lồng” hoặc

“nguyên tắc xếp đồ vật vào ngăn kéo” hoặc “nguyên tắc lồng chim bồ câu” đã được biết đến từ rất lâu Nguyên lí Dirichlet này được nhà toán học người Đức Peter Guster Lijeune Dirichlet (1805-1859) phát biểu lần đầu tiên vào năm 1834

1.2.1 Nguyên lí Dirichlet cơ bản

Nếu nhốt n+1 con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có một chuồng

chứa ít nhất hai con thỏ Ta có thể phát biểu nguyên lí Dirichlet tổng quát như

sau: Mệnh đề 1.2.1.1 Nếu có N đồ vật được đặt vào trong k hộp thì sẽ tồn tại

con, thì số thỏ mỗi chuồng đều nhỏ hơn hoặc bằng [n - 1

1.2.3 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp

Mệnh đề 1.2.3.1 Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng Kí hiệu S(A),

S(B) lần lượt là số lượng phần tử của A và B, với S(B) < S(A) < +∞ Khi đó,

xét ánh xạ f, với:

f : A B

a f(a) = b ∈ B thì tồn tại aʹ∈ A, aʹ ≠ a sao cho: f(aʹ ) = f(a) = b

1.2.4 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp mở rộng

Giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn và S(A), S(B) tương ứng kí hiệu là các số lượng phần tử của A và B

Mệnh đề 1.2.4.1 Giả sử có một số tự nhiên k nào đó mà S(A) > k.S(B) và ta

có quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử của A với một phần tử của B Khi

đó tồn tại ít nhất k + 1 phần tử của A mà chúng tương ứng với cùng một phần

B Vì C là tập bất kì nên nguyên lí được chứng minh

Chú ý: khi k = 1, ta có ngay lại nguyên lí Dirichlet

1.2.5 Nguyên lí Dirichlet vô hạn

Mệnh đề 1.2.5.1 Nếu chia một tập hợp vô hạn các quả táo vào hữu hạn ngăn

kéo, thì phải có ít nhất một ngăn kéo chứa vô hạn các quả táo

Chứng minh Nguyên lí Dirichlet mở rộng cho trường hợp vô hạn này cũng

đóng vai trò hết sức quan trọng trong lí thuyết số nói riêng và toán học rời rạc nói chung

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET

VÀO GIẢI BÀI TOÁN TÔ MÀU HÌNH

2.1 Bài toán tô màu trên tam giác

Bài toán 2.11 Trong mặt phẳng cho 6 điểm sao cho không có ba điểm

nào thẳng hàng Mỗi đoạn thẳng nối từng cặp điểm được bôi màu đỏ hoặc xanh Chứng minh rằng tồn tại ba điểm trong số sáu điểm đã cho, sao cho chúng là các đỉnh của một tam giác mà các cạnh của nó được bôi cùng một màu

Chứng minh Xét A là một trong số sáu điểm đã cho Khi đó xét năm

đoạn thẳng (mỗi đoạn thẳng nối điểm A với năm điểm còn lại)

Vì mỗi đoạn thẳng được bôi chỉ màu đỏ hoặc màu xanh, nên theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất ba trong năm đoạn nói trên cùng màu Giả sử đó

Chỉ có hai khả năng xảy ra:

1) Nếu ít nhất một trong ba đoạn BBʹ, BʹBʹʹ, BʹʹB màu xanh, thì tồn tại

một tam giác với ba cạnh xanh và kết luận của bài toán đúng trong trường hợp này

Từ đây bài toán được chứng minh

Bài toán 2.12 Cho sáu điểm trên mặt phẳng, sao cho không có ba điểm

nào thẳng hàng Các đoạn thẳng nối từng cặp điểm được tô màu đỏ hoặc màu xanh Chứng minh rằng tồn tại hai tam giác (mà các đỉnh của chúng thuộc tập hợp sáu điểm đã cho) mà các cạnh của chúng cùng màu

Chứng minh Giả sử P là điểm bất kì trong sáu điểm đã cho Từ P ta

kẻ năm đoạn thẳng Vì mỗi đoạn thẳng chỉ được tô bởi một trong hai màu nên theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất ba trong năm đoạn thẳng nói trên được tô

cùng màu Không giảm tổng quát, ta cho đó là những đoạn PQ, PR, PS cùng

được tô màu đỏ

Nếu ba đoạn QR, RS và SQ được tô màu xanh thì chúng tạo thành tam

giác màu xanh (H 2.12)

Nếu một đoạn nào đó được tô màu đỏ, ví dụ QR thì ta nhận được tam

giác PQR màu đỏ (H 2.13)

Theo như lập luận trên thì ta có ít nhất một tam giác đồng màu Ta cho

tam giác đó là tam giác PQR màu đỏ

Bây giờ ta thử xây dựng tam giác đồng màu mới theo phương pháp

trên Ta bắt đầu từ điểm S, khác với P, Q, R Kí hiệu hai điểm còn lại là T và

U Ta lại xét những đoạn thẳng SP, SQ, SR, ST và SU Nếu ít nhất ba trong

chúng là màu đỏ thì theo lí luận như với tam giác PQR, ta sẽ có tam giác đỏ với đỉnh S, hoặc tam giác xanh và trong cả hai trường hợp, tam giác này đều khác tam giác PQR Theo phương pháp như vậy, ta có thể nhận được ít nhất

ba trong những đoạn này màu xanh Nếu ngược lại, một trong những đoạn ST,

SU là xanh thì ta sẽ có tam giác xanh với đỉnh S hoặc tam giác đỏ với đỉnh T

và cả hai trường hợp tam giác này đều khác tam giác PQR

Suy ra, ta có thể cho rằng SP, SQ, SR là xanh, còn ST và SU màu đỏ Nếu ta lí luận tương tự cho đỉnh T thì cũng chỉ ra rằng tồn tại hai tam giác đồng màu khác tam giác PQR bằng việc loại trừ khi TP, TQ, TR xanh, còn TS

và TU là đỏ Trong trường hợp đó, tam giác STU là đỏ

Từ đó, bài toán đã được chứng minh

Bài toán 2.13 Cho mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bằng một trong

hai màu xanh hoặc đỏ Chứng minh rằng tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và trọng tâm cùng màu

Chứng minh Lấy năm điểm tùy ý sao cho không có ba điểm nào thẳng

hàng trên mặt phẳng Khi đó vì chỉ dùng có hai màu để tô các đỉnh, mà theo nguyên lí Dirichlet phải tồn tại ba điểm trong số đó cùng màu Giả sử đó là ba

điểm A, B, C có màu đỏ Như vậy, ta có tam giác ABC với ba đỉnh màu đỏ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chỉ có hai khả năng xảy ra :

1) Nếu G có màu đỏ Khi đó A, B, C, G cùng đỏ và bài toán đã được

chứng minh

2) Nếu G có màu xanh Kéo dài GA, GB, GC sao cho :

Khi đó, nếu gọi M, N, P tương ứng là các trung điểm của BC, CA, AB

Tương tự ta cũng có:

B là trọng tâm của tam giác BʹAC

C là trọng tâm của tam giác CʹAB

Có hai trường hợp sau có thể xảy ra:

cùng màu xanh

Vậy trong mọi khả năng luôn tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và trọng tâm cùng màu

Bài toán 2.14 Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bằng một trong hai

màu đen hoặc đỏ Chứng minh rằng tồn tại một tam giác đều mà các đỉnh của

nó chỉ được tô bằng một màu

Chứng minh Vẽ tam giác đều ABC, nếu có ba đỉnh A, B, C đều được

tô cùng một màu thì ta có ngay điều phải chứng minh

Nếu A, B, C được tô bởi hai màu khác nhau thì theo nguyên lí Dirichlet

phải có hai đỉnh được tô cùng một màu

Giả sử các đỉnh A, B được tô cùng màu đen, khi đó C được tô bằng màu đỏ

Ta dựng lục giác đều ADGEFC có tâm B

Ta có tam giác ABD đều Nếu D được tô màu đen thì ta có ngay điều phải chứng minh Nếu D được tô màu đỏ thì ta xét tam giác CED đều Nếu E được tô màu đỏ thì tam giác CDE có ba đỉnh được tô màu đỏ, thỏa mãn Ngược lại, Nếu E được tô màu đen, ta xét tam giác BEF đều Nếu F được tô màu đen thì ta có tam giác BEF có ba đỉnh được tô bằng màu đen, thỏa mãn

Giả sử ngược lại F được tô màu đỏ ta lại xét tam giác CFH đều Nếu H được tô màu đỏ thì tam giác CFH có ba đỉnh được tô màu đỏ, thỏa mãn Ngược lại, H được tô màu đen thì lại vẽ tam giác đều BHI Nếu I được tô màu đen thì tam giác BHI có ba đỉnh được tô màu đen, thỏa mãn

Ta lại giả sử I được tô bằng màu đỏ thì xét tam giác IDF Dễ thấy tam giác

IDF đều, theo trên ta có I, D, F được tô bởi cùng màu đỏ, thỏa mãn

Như vậy, ta chứng tỏ được rằng tồn tại một tam giác đều mà ba đỉnh được tô bởi cùng một màu

Bài toán 2.15 Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bằng một trong hai

màu xanh hoặc đỏ Chứng minh rằng ắt tìm được ít nhất là ba điểm được tô

Chứng minh Dựng một tam giác đều có cạnh bằng 1 Nếu cả ba đỉnh

được tô bởi cùng một màu (xanh hoặc đỏ) thì bài toán được chứng minh

Ngược lại, xét tam giác ABC đều cạnh AB = 1 mà A và B được tô bằng

hai màu khác nhau

Lấy điểm D của mặt phẳng sao cho AO = BO = 2 Vì A, B khác nhau nên D cùng màu với chỉ một trong hai điểm A hoặc B

Suy ra, tồn tại đoạn thẳng AD = 2 hoặc BD = 2 có hai đầu mút được tô bằng hai màu khác nhau Giả sử là đoạn AD Gọi K là trung điểm của đoạn

AD thì K cùng màu với một trong hai điểm A hoặc D Giả sử K và A có cùng

màu xanh

Vẽ các tam giác đều APK và AQK

Nếu P hoặc Q có màu xanh thì ta có tam giác đều APK hoặc AQK có

cạnh bằng 1 và ba đỉnh được tô bằng màu xanh

Nếu P và Q có màu đỏ thì tam giác PQD có ba đỉnh được tô cùng màu

Từ đây bài toán được chứng minh

Bài toán 2.16 Cho dãy vô hạn các số tự nhiên u1, u2, … được xác định theo công thức truy hồi sau :

ba điểm nào thẳng hàng Mỗi đoạn thẳng nối hai điểm khác nhau trong M được tô bằng một trong n màu cho trước Chứng minh rằng tồn tại ba điểm trong M là đỉnh của một tam giác cùng màu

u1

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo n

đây chỉ có một màu do n = 1)

màu (giải như bài toán 2.11) Vậy kết luận bài toán đúng với n = 2

điểm sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng và dùng n màu để tô các đoạn thẳng Khi đó tồn tại tam giác cùng màu

nào thẳng hàng) và dùng n + 1 màu để tô các đoạn thẳng

Lấy A là một trong các điểm của tập M Điểm này có thể nối với

Theo công thức xác định dãy ta có :

A được bôi màu Giả sử AB1, AB2,… được bôi cùng màu và giả sử đó là

cho) Khi đó có các khả năng sau xảy ra :

trường hợp n + 1

dùng tối đa (n + 1) – 1 = n màu để tô (do không dùng màu α) Theo giả thiết

quy nạp tồn tại tam giác cùng màu

Vậy kết luận của bài toán cũng đúng với n + 1

Bài toán 2.17 Cho sáu điểm trong mặt phẳng sao cho bất kì ba điểm

nào cũng là đỉnh của một tam giác có các cạnh chiều dài khác nhau Chứng minh rằng tồn tại một cạnh vừa là cạnh nhỏ nhất của tam giác vừa là cạnh lớn nhất của một tam giác khác

Chứng minh Ta kí hiệu A1,…A6 là tập hợp điểm đã cho Ta xét một tam giác bất kì có đỉnh tại các điểm đó Vì độ dài các cạnh của cùng một tam giác khác nhau nên ta sẽ sơn cạnh có độ dài nhỏ nhất màu đỏ Hai cạnh còn

Ta chứng minh tồn tại một tam giác có cả ba cạnh cùng màu đỏ

đoạn thẳng, khi đó theo nguyên lí Dirichlet tồn tại ít nhất ba đoạn được tô cùng một màu