Ứng dụng nguyên lí dirichlet vào giải bài toán tô màu hình (2017)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC NGUYỄN THỊ NGỌC ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀO GIẢI BÀI TỐN TƠ MÀU HÌNH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán tiểu học Người hướng dẫn khoa học ThS PHẠM THANH TÂM HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung đề tài, tơi xin gửi lời cảm ơn tri ân sâu sắc đến thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm – người bảo hướng dẫn tận tình cho tơi, giúp tơi hồn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt cảm ơn thầy cô giáo khoa Giáo dục Tiểu học tận tình bảo tơi suốt q trình học tập trường Lời cảm ơn chân thành sâu sắc, tơi xin gửi tới gia đình, bạn bè – người động viên giúp đỡ suốt q trình học tập trường Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên thực Nguyễn Thị Ngọc LỜI CAM ĐOAN Sau thời gian nghiên cứu với cố gắng, nỗ lực thân hướng dẫn, bảo tận tình thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm tơi hồn thành khóa luận Tơi xin cam đoan khóa luận thân hoàn thành với hướng dẫn thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên thực Nguyễn Thị Ngọc MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nguyên cứu Giả thuyết khoa học Cấu trúc đề tài CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Các kiến thức tốn tơ màu 1.1.1 Các kiến thức hình 1.1.2 Các kiến thức tốn tơ màu 11 1.2 Nguyên lí Dirichlet 12 1.2.1 Nguyên lí Dirichlet 13 1.2.2 Nguyên lí Dirichlet mở rộng 13 1.2.3 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp 14 1.2.4 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp mở rộng 14 1.2.5 Ngun lí Dirichlet vơ hạn 15 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG NGUN LÍ DIRICHLET VÀO GIẢI BÀI TỐN TƠ MÀU HÌNH 16 2.1 Bài tốn tơ màu tam giác 16 2.2 Bài tốn tơ màu tứ giác 32 2.3 Bài tốn tơ màu đa giác 40 2.4 Một số toán đề nghị 50 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong hệ thống giáo dục quốc gia hệ thống Giáo dục Tiểu học giữ vị trí quan trọng Việc đào tạo, bồi dưỡng nhân tài phải bắt đầu quan tâm từ bậc Tiểu học, "cái nơi" tri thức bậc học đặt móng quan trọng cho hình thành nhân cách học sinh Trong khứ lãnh đạo Bộ Giáo dục Đào tạo rõ: "Tiểu học tảng, đặt sở ban đầu cho việc hình thành phát triển toàn diện nhân cách người, đặt tảng vững cho giáo dục phổ thông cho toàn hệ thống giáo dục Quốc dân" Trong mơn học trường Tiểu học mơn tốn có vị trí đặc biệt quan trọng Với tư cách mơn học nhà trường mơn tốn giúp trang bị cho học sinh hệ thống tri thức, phương pháp riêng để nhận thức giới, làm công cụ cần thiết để học tập môn học khác phục vụ cho cấp học Các kiến thức toán học đưa vào dạy cho học sinh Tiểu học gồm tuyến số học, đại lượng phép đo đại lượng, yếu tố hình học giải tốn có lời văn Các tuyến kiến thức có mối liên hệ mật thiết, hỗ trợ bổ sung cho ghóp phần phát triển tồn diện lực toán học học sinh Tiểu học Trong đó, tốn hình học tổ hợp nói chung, tốn tơ màu hình nói riêng chiếm số lượng tương đối lớn mảng tốn hình học Các tốn khơng trình bày sách giáo khoa mà trình bày nhiều tài liệu tham khảo khác có kì thi học sinh giỏi bậc Tiểu học Sử dụng nguyên lý Dirichlet để giải toán phương pháp phổ biến, giúp học sinh dễ nắm bắt kiến thức Nhờ có ứng dụng ngun lí mà nhiều tốn khó lĩnh vực hình học tổ hợp đặc biệt tốn tơ màu hình sách giáo khoa kì thi học sinh giỏi bậc Tiểu học giải cách dễ dàng, thuận tiện trọn vẹn Ngun lí Dirichlet nhà tốn học Peter Guster Lijeune Dirichlet (1805- 1859) người Đức đưa lần vào năm 1834 Ngun lí cơng cụ hiệu sắc bén để chứng minh nhiều kết sâu sắc toán học Ở cấp học ngun lí Dirichlet lại phát biểu ngơn ngữ khác cho phù hợp với tư lứa tuổi em mà giữ nguyên chất kiến thức ngun lí Nó có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác tốn học hình học, đại số, tổ hợp, Ngun lí Dirichlet có nội dung đơn giản song lại cơng cụ vơ hiệu việc chứng minh nhiều toán từ cụ thể đến trừu tượng mà khó có công cụ thay Trong nhiều trường hợp giúp học sinh thấy vật, việc chắn tồn song cách tường minh Chính điều kích thích tư duy, óc tưởng tượng phong phú học sinh, làm cho học sinh thấy yêu thích với mơn tốn Vì mà kì thi học sinh giỏi cấp thường xuyên có mặt tốn sử dụng ngun lí Dùng ngun lí Dirichlet nhiều trường hợp người ta dễ chứng minh tồn đối tượng với tính chất xác định Sử dụng ngun lí Dirichlet khơng đòi hỏi nhiều kiến thức hình học tổ hợp với khả tính tốn mà chủ yếu đòi hỏi sáng tạo việc đưa số mơ hình cụ thể linh hoạt cách tư Đó điểm mạnh khó việc ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào giải tốn tơ màu Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sở lý luận dựa vào thực tiễn trình học tập, giảng dạy kiến thức hình học để tổng hợp đưa ứng dụng ngun lí Dirichlet vào giải tốn tơ màu 3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài  Đối tượng: nguyên lí Dirichlet tốn tơ màu có ứng dụng ngun lí Dirichlet để giải  Phạm vi nghiên cứu: số tốn tơ màu giải ngun lí Dirichlet Nhiệm vụ nghiên cứu  Nêu nội dung nguyên lí Dirichlet  Nêu ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào việc giải tốn tơ màu  Hệ thống lại số dạng tập tơ màu có ứng dụng ngun lí Dirichlet để giải Phương pháp nguyên cứu  Phương pháp nghiên cứu lí luận  Phương pháp phân tích tổng hợp hệ thống Giả thuyết khoa học Nếu xác định ứng dụng nguyên lí Dirichlet hệ thống lại dạng tập góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn, đặc biệt kiến thức Hình học bồi dưỡng học sinh giỏi Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương: Chương 1: Kiến thức tốn tơ màu hình ngun lí Dirichlet Chương nhằm mục đích chuẩn bị kiến thức cần thiết làm tảng cho chương Chương 2: Trong chương này, đưa ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào giải tốn tơ màu hình: - Trên tam giác - Trên tứ giác - Trên đa giác - Một số tập đề nghị có bán kính chứa năm điểm nói H 2.26 2.3 Bài tốn tơ màu đa giác Bài tốn 2.31 Cho hình chóp đáy đa giác cạnh Tất cạnh bên 27 đường chéo đa giác đáy tô hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn ba đỉnh hình chóp cho chúng đỉnh hình tam giác với cạnh bơi màu Chứng minh Xét cạnh bên hình chóp cho Vì cạnh bơi hai màu xanh đỏ nên theo nguyên lí Dirichlet tồn cạnh bên bôi màu S E A D B C H 2.31 Khơng tính tổng qt ta giả sử cạnh bên SA, SB, SC, SD, SE bôi màu đỏ, điểm A, B, C, D, E xếp theo ngược chiều kim đồng hồ Xét đa giác ABCDE Có hai khả xảy ra: 1) Nếu AB đường chéo đáy Khi dĩ nhiên BD, DA đường chéo đáy Khi lại có trường hợp sau: a) Nếu ba đoạn AB, BD, DA bôi màu xanh Khi A, B, D ba đỉnh cần tm, ABD tam giác với ba cạnh xanh b) Nếu đoạn AB, BD, DA đỏ Giả sử BD đỏ, tam giác SBD tam giác với ba cạnh đỏ Lúc S, B, D ba đỉnh cần tm 2) Nếu AB cạnh đáy Khi dĩ nhiên AC, CE chắn đường chéo đáy a) Nếu AE đường chéo đáy ta quay lại trường hợp vừa xét, với ACE tam giác với ba cạnh ba đường chéo đáy b) Nếu AE cạnh đáy Khi rõ ràng AC, AD đường chéo đáy - Nếu CD đường chéo đáy, ta quay trường hợp - Nếu CD cạnh đáy Lại xét trường hợp sau : + Nếu BC đường chéo đáy, tam giác BCE tam giác với ba đường chéo đáy, quay trường hợp E D A C B H 2.32 E E D A A B C D B H 2.33 C + Nếu BC cạnh đáy xét tam giác BDE quay trường hợp Như vậy, tốn giải hồn tồn Bài toán 2.32 Cho đa giác 2013 cạnh Người ta sơn đỉnh đa giác hai màu xanh đỏ Chứng minh phải tồn đỉnh sơn màu tạo thành tam giác cân Chứng minh Ta có đa giác 2013 cạnh nên có 2013 đỉnh Do theo ngun lí Dirichlet phải tồn hai đỉnh kề P Q sơn màu (chẳng hạn màu xanh) Vì đa giác cho đa giác có số lẻ đỉnh, phải tồn đỉnh nằm đường trung trực đoạn thẳng PQ Giả sử đỉnh A Nếu A tơ màu xanh ta có tam giác APQ tam giác có đỉnh A, P, Q tơ màu xanh Nếu A tơ màu đỏ Lúc gọi B C đỉnh khác đa giác kề với P Q Nếu hai đỉnh B C tơ màu đỏ tam giác ABC cân có ba đỉnh tơ màu đỏ Nếu ngược lại hai đỉnh B C mà tơ màu xanh tam giác BPQ tam giác CPQ tam giác cân có đỉnh tơ màu xanh Vậy tốn chứng minh Bài tốn 2.33 Cho hình lăng trụ có hai đáy ngũ giác đáy A1A2A3A4A5 B1B2B3B4B5 Mỗi cạnh hai ngũ giác đoạn thẳng AiBj với i, j = 1, tô màu đỏ màu xanh Biết tam giác mà đỉnh đỉnh lăng trụ tất cạnh tơ màu, có hai cạnh màu khác Chứng minh tất 10 cạnh đáy đáy có màu Chứng minh Trước tên, ta chứng minh tất cạnh A1A2, A2A3, A3A4, A4A5, A5A1 có màu Chứng minh phản chứng Giả sử ngược lại, có cạnh A1A2 màu đỏ A2A3 màu xanh Theo nguyên lí Dirichlet số đoạn thẳng A2B1, A2B2, A2B3, A2B4, A2B5 có ba đoạn thẳng tơ màu xanh đỏ Không giảm tổng quát, ta cho màu đỏ gọi chúng A2Bi, A2Bj, A2Bk Khi có đoạn BiBj, BjBk, BkBi cạnh đáy (hai đỉnh kề nhau) Giả sử BrBs Nếu BrBs màu đỏ ta có A2BrBs màu đỏ Điều trái với giả thiết tam giác mà đỉnh đỉnh lăng trụ tất cạnh tơ màu có hai cạnh màu khác Do BrBs phải màu xanh Bây giờ, đoạn A1Br A1Bs phải màu xanh, ngược lại ta phải có A1A2Br A1A2Bs tam giác đỏ Do đó, A1BrBs tam giác xanh Điều vơ lí nên suy A1A2 A2A3 có màu Làm tương tự cho tất cạnh đáy có màu Bây ta giả sử tất cạnh đáy màu đỏ tất cạnh đáy màu xanh Theo ngun lí Dirichlet có ba năm cạnh A1Bi, i= 1, phải có màu Khơng giảm tổng qt giả sử màu xanh, lí luận hai số ba đỉnh Bi phải hai đỉnh kề nhau, từ hai đỉnh tạo với A1 thành tam giác có ba cạnh màu xanh (vơ lí) Vì thế, ba năm cạnh A1Bi, i= 1, phải màu đỏ Lập luận tương tự, ba năm cạnh A2Bi, i= 1, phải có màu đỏ Vì ta có sáu cạnh màu đỏ, hai chúng phải có đỉnh Bi đáy Khi tam giác A1A2Bi màu đỏ, vơ lí Từ ta có điều phải chứng minh Bài tốn 2.34 Cho hình đa giác cạnh Mỗi đỉnh tơ hai màu đỏ xanh Chứng minh tồn hai tam giác phân biệt có diện tích nhau, mà đỉnh tam giác tô màu Chứng minh Chín đỉnh đa giác A1, A2, …A9 tô hai màu đỏ xanh, nên theo ngun lí Dirichlet có năm đỉnh số tơ màu, năm đỉnh tạo ra: = 10 Tam giác đỏ (tam giác đỏ tam giác có ba đỉnh màu đỏ) Gọi Ω tập hợp đỉnh đa giác cho Tức là: Ω = A1, A2, …A9 Gọi O tâm đa giác cho (vì đa giác nên ln tồn tâm) Xét phép quay góc 0o, 40o, 80o,120o, 160o, 200o, 240o, 280o, 320o xung quanh tâm O Rõ ràng ứng với phép quay tập Ω biến thành (tập đỉnh khơng thay đổi) Sau chín phép quay có mười tam giác đỏ biến thành chín mươi tam giác đỏ, mà tam giác có đỉnh thuộc tập hợp Ω Chú ý số tam giác khác có đỉnh Ω là: = 84 Do 84 < 90, nên theo nguyên lí Dirichlet tồn hai tam giác đỏ ∆ ∆2 cho phép quay tương ứng trùng với tam giác Vì phép quay bảo tồn hình dáng độ lớn hình, tức ∆1 = ∆2 Bài toán 2.35 Người ta sơn đen số cung đường tròn với tổng độ dài cung bé nửa vòng tròn Chứng minh tồn đường kính có hai đầu không bị sơn đen Chứng minh Ta sơn xanh tất cung đối xứng với cung bị sơn đen đường tròn Từ giả thiết suy ra, tổng độ dài tất cung bị sơn bé độ dài đường tròn Do đó, tồn điểm chưa bị sơn đường kính qua điểm đường kính cần tìm Bài toán 2.36 Trong mặt phẳng cho hai điểm khác O A với điểm X khác điểm O, kí hiệu a(X) độ đo góc OA OX radian theo ngược chiều kim đồng hồ từ OA (0 ≤ a(X) < π) Kí hiệu (X) hình tròn tâm O bán kính OX + Mỗi điểm mặt phẳng tô số hữu hạn màu Chứng minh tồn điểm Y mà a(Y) > cho màu xuất đường tròn hình tròn C(Y) Chứng minh Giả sử điểm mặt phẳng tô n màu khác Khi đó, tập điểm mặt phẳng có số màu k ≤ n Tồn tất cả: -1 Tổ hợp màu khác mà xảy với tập điểm mặt phẳng Bây ta xét tập hợp tất hình tròn đồng tâm O mà bán kính chúng nhỏ Theo nguyên lí Dirichlet n hình tròn với 2n – tổ hợp màu khác nhau, tồn hình tròn R S có số màu tập điểm Ta lại đặt tên cho chúng cho bán kính chúng thỏa mãn < r < s < Ta xác định tồn điểm Y thuộc R cho hình tròn C(Y), bán kính r + trùng với S Nghĩa r + = s Suy a(Y) = r(s – r) Hiển nhiên < r(s – r) < 1, điểm X di chuyển R theo hướng ngược chiều kim đồng hồ (bắt đầu từ OA), độ đo góc AOX theo điểm nằm khoảng (0,1) Khi góc đến độ đo r(s – r), X có vị trí mong muốn Y R, C(Y) = S Hơn nữa, màu Y xuất đường tròn S Bài tốn 2.37 Dùng n màu để tơ tất cạnh hình lập phương cho đỉnh có ba màu liên thuộc, ba màu ba cạnh chứa đỉnh Tìm số n nhỏ để hai điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: a) Khơng có mặt có hai cạnh màu b) Khơng có hai đỉnh có ba màu liên thuộc Chứng minh Từ giả thiết a, khơng có mặt có hai cạnh màu, mà mặt có bốn cạnh, số màu phải dùng bốn, tức n ≥ Mặt khác n = số ba màu tạo từ bốn màu H 2.34 Có bốn ba màu khác để tô cho tám cạnh tám đỉnh hình lập phương , theo ngun lí Dirichlet có hai đỉnh có ba màu liên thuộc, tức giả thiết b không thỏa mãn Vậy n ≥ n ≠ 4, nên n ≥ Xét n = 5, hình lập phương có sáu mặt (mỗi mặt cạnh) lại có 12 cạnh, nên với bốn cạnh ln ln chọn hai chúng thuộc mặt hình lập phương Do đó, để thỏa mãn giả thiết a, màu dùng để tối đa ba cạnh (vì khơng, từ nhận xét có màu đỏ chẳng hạn dùng để tơ bốn cạnh, mặt có hai cạnh đó, trái với giả thiết a) Dùng n = màu để tô cho 12 cạnh, mà màu để tô tối đa cho ba cạnh, nên lại theo nguyên lí Dirichlet suy có hai màu (giả sử màu xanh (X) màu đỏ (Đ)), mà màu dùng để tơ ba cạnh Vì cạnh chứa hai đỉnh để thỏa mãn giả thiết a nên hai màu X, Đ liên thuộc tổng cộng 12 đỉnh (mỗi màu liên thuộc sáu đỉnh) Mà hình lập phương có tám đỉnh nên phải có bốn đỉnh có hai màu X, Đ liên thuộc H 2.35 Với đỉnh số này, xét cạnh thứ ba xuất phát từ khơng có màu X, Đ Chỉ có hai khả xảy ra: Bốn cạnh xét đôi khác Do bốn cạnh dùng ba màu lại (ngồi X, Đ) nên phải có hai cạnh nghĩa điều kiện b bị vi phạm có hai đỉnh có ba màu liên thuộc giống Tóm lại, n = 5, ln đến mâu thuẫn Do đó, n > Với n = 6, xét cách tô màu sau đây: Đỏ (Đ), xanh (X), Cam (C), tím (T), Đen (Đ), lam (L) Cách tô thỏa mãn yêu cầu đề Vậy giá trị nhỏ phải tm n = Nhận xét: Để chứng minh n = 5, ta làm cách khác nhu sau: Khi n = 5, số ba tạo từ năm màu 10 Nếu kí hiệu màu 1, 2, 3, 4, 10 ba màu đỏ ba sau: (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 3, 4), (1, 3, 5), (1, 4, 5), (2, 3, 4), (2, 3, 5), (2, 4, 5), (3, 4, 5) Ta nhận thấy màu xuất số chẵn lần (sáu lần) tổng ba nói H 2.36 49 2.4 Một số toán đề nghị Bài toán 2.41 Một số cung tròn đường tròn tơ màu đen, cung lại tơ màu đỏ Biết tổng độ dài cung màu đen nhỏ nửa chu vi đường tròn Chứng minh kẻ đường kính đường tròn với hai đầu mút tơ màu đỏ Bài tốn 2.42 Cho 66 điểm mặt phẳng khơng có điểm thẳng hàng Nối điểm đoạn thẳng tô màu xanh, đỏ, vàng tím Chứng minh ln tồn tam giác có cạnh màu Bài tốn 2.43 Trên tờ giấy có kẻ vơ hạn vng ô tô hai màu xanh đỏ Cho hình chữ nhật kích thước 2013 có hai màu đỏ Xét hình chữ nhật có kích thước 2014 Tính số đỏ Bài tốn 2.44 Mỗi điểm mặt phẳng tô ba màu đỏ, xanh, vàng Chứng minh tồn hai điểm A, B tô màu mà độ dài AB = Bài toán 2.45 Bàn cờ 12 12 tơ màu đen trắng bình thường Mỗi lần thực ta sơn lại hai ô cạnh theo quy tắc: đen thành xanh, xanh thành trắng, trắng thành đen Hỏi ta cần phải dùng tối thiểu bước để sơn bàn cờ thành màu đen trắng ngược với bàn cờ ban đầu Bài tốn 2.46 Các vng bảng 100 100 tô màu cho hàng cột có 25 có màu Chứng minh tồn dòng cột cho ô nằm giao chúng tô khác màu 50 KẾT LUẬN Trên tồn nội dung khóa luận tốt nghiệp đại học về: ''Ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào giải tốn tơ màu hình" Khóa luận gồm vấn đề sau: Chương I - Hệ thống hóa kiến thức hình tốn tơ màu hình - Hệ thống hóa kiến thức ngun lí Dirichlet Trong chương này, chúng tơi đưa kiến thức tốn tơ màu dạng nguyên lí Dirichlet Chương II - Chúng tơi sử dụng ngun lí Dirichlet vào giải tốn tơ màu hình Trong chương này, chúng tơi dùng ngun lí Dirichlet cho tốn tô màu nằm tam giác, tứ giác, đa giác, … Ngun lí Dirichlet cơng cụ hiệu sắc bén để giải toán hình học tổ hợp nói chung, tốn tơ màu hình nói riêng Trên đây, tơi khơng đưa khái niệm, định lí, tính chất mà trình bày nội dung thuộc đề tài dạng tập minh họa Tuy nhiên, chúng tơi sử dụng ngun lí Dirichlet cho lớp tốn nói Chúng tơi quan tâm đến lớp tốn khác khơng gian Chúng tơi hy vọng sau có nhóm sinh viên tếp tục quan tâm đến tốn Tơi xin chân thành cảm ơn! 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Điển, Một số chuyên đề hình học tổ hợp, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2005 [2] Phạm Đình Thực, Giảng dạy yếu tố hình học Tiểu học, NXB Giáo dục, 2002 [3] Trần Diên Hiển, Thực hành giải toán Tiểu học (Tập 2), NXB Đại học Sư phạm [4] Đỗ Trung Hiệu – Lê Tiến Thành, Tuyển tập đề thi học sinh giỏi bậc Tiểu học mơn Tốn, NXB Giáo dục 52 ... kiến thức hình học để tổng hợp đưa ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào giải tốn tơ màu 3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài  Đối tượng: nguyên lí Dirichlet tốn tơ màu có ứng dụng nguyên lí Dirichlet. .. 1.2.3 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp 14 1.2.4 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp mở rộng 14 1.2.5 Ngun lí Dirichlet vơ hạn 15 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀO GIẢI BÀI... Dirichlet để giải  Phạm vi nghiên cứu: số tốn tơ màu giải ngun lí Dirichlet Nhiệm vụ nghiên cứu  Nêu nội dung nguyên lí Dirichlet  Nêu ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào việc giải tốn tơ màu  Hệ