Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng

Luận văn này có mục đích tìm hiểu và trình bày các khái niệm cơ bản về đồthị và các dạng đồ thị thường gặp, về bài toán tô màu trên đồ thị tô đỉnh, tôcạnh và tô diện - tô màu bản đồ và m

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS Trần Vũ Thiệu

Thái nguyên - 2015

MỞ ĐẦU

Đồ thị là một cấu trúc toán học rời rạc, bao gồm hai yếu tố đỉnh và cạnh, và

là mô hình toán học cho nhiều vấn đề lý thuyết và thực tiễn đa dạng Bài toán tômàu cho các đỉnh (hay các cạnh) của một đồ thị là một chủ đề quan trọng và hấpdẫn của lý thuyết đồ thị Bài toán này có những ứng dụng thiết thực trong kinh

tế, kỹ thuật và đời sống Chẳng hạn, ta thường gặp bài toán tô màu bản đồ, tômàu cho dây dẫn điện Một số vấn đề không liên quan đến tô màu cũng có thểđược xử lý nhờ bài toán tô màu: bố trí kho chứa hóa chất, thiết kế các bảng vimạch điện tử, sắp xếp lịch hỏi thi, bố trí các trạm truyền tin, xác lập các tuyến xebuýt thành phố, v.v

Lý thuyết đồ thị ra đời và phát triển gắn liền với tên tuổi của nhiều nhàtoán học nổi tiếng: Euler (Thụy sĩ), với bài toán về 7 cầu ở thành phốKönigsberg, König và Egeváry (Hungari), với phương pháp Hungari giải bài toánphân việc

Về vấn đề tô màu đồ thị có nhiều kết quả lý thuyết đáng chú ý: Định lý Brooks,Minty về tô màu đỉnh; Định lý König, Vizing, Shannon về tô màu cạnh, định lý 5màu của Heawood (1890) và Định lý 4 màu của Appel và Haken (1976), đã giảiquyết được giả thuyết 4 màu nổi tiếng do Guthrie nêu ra lần đầu năm 1852

"Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng"

Luận văn này có mục đích tìm hiểu và trình bày các khái niệm cơ bản về đồthị và các dạng đồ thị thường gặp, về bài toán tô màu trên đồ thị (tô đỉnh, tôcạnh và tô diện - tô màu bản đồ) và một số ứng dụng của các bài toán này Trìnhbày các kết quả lý thuyết, các định lý về tô màu trên các loại đồ thị khác nhau vàcác thuật toán tô màu đỉnh và cạnh, dựa trên các kết quả lý thuyết đã có

Nội dung luận văn được viết trong hai chương

Chương 1 "Khái niệm cơ bản về đồ thị" nhắc lại các khái niệm cơ bản về đồthị: đỉnh, cạnh, bậc của đỉnh, đồ thị vô hướng và đồ thị có hướng, đường đi và chutrình, đồ thị liên thông, không liên thông, các phép toán trên đồ thị Miêu tả nhiềudạng đồ thị đặc biệt: rừng và cây, đồ thị hình sao, đồ thị vòng, đồ thị đường, đồthị bánh xe, đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần, đồ thị hai phần đầy đủ, đồ thị đều(chính qui), đồ thị Petersen, đồ thị Platon, đồ thị phẳng,

Chương 2 "Bài toán tô màu đồ thị" đề cập tới vấn đề tô màu các đỉnh, cạnh

và diện của một đồ thị Trình bày các kết quả về tô màu đỉnh: định lý Brooks(1941), định lý Minty (1962), các định lý tô màu đồ thị phảng, đặc biệt định lý bốnmàu (Appel và Haken, 1976) Về tô màu bản đồ (tô diện của đồ thị phẳng) có cácđịnh lý về bản đồ 2 màu, bản đồ lập phương 3 màu và định lý bốn màu cho bản

đồ Về tô màu cạnh của đồ thị: trình bày định lý Vizing (1964) về số màu tối thiểucần tô, định lý tô cạnh đồ thị đầy đủ, tô cạnh đồ thị hai phần (Định lý König,1916) và quan hệ với định lý bốn màu Cuối chương đề cập tới đa thức màu, chobiết có thể tô đỉnh của đò thị bằng k màu được không, nếu được thì có mấy cáchtô

Nhân dịp này, tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS - TS Trần

Vũ Thiệu, đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn Tác giả chânthành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên, Viện Toán hoc - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã giảngdạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu

Thái Nguyên 20 tháng 04 năm 2015

Tác giả

Vũ Hoàng Linh

Chương 1

KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ

Chương này trình bày các kiến thức cơ sở về lý thuyết đồ thị Mục 1.1 nêu cácđịnh nghĩa, khái niệm dùng trong lý thuyết đồ thị và các phép toán trên đồ thị Mục

1.2 mô tả các dạng đồ thị thường gặp Trong chương dẫn ra nhiều ví dụ minh họa Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [2], [3], [4] và [5]

1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ KÝ HIỆU

1.1.1 Khái niệm đồ thị

Trong thực tế ta thường gặp các sơ đồ giao thông (Hình 1.1) hay sơ đồ mạchđiện (Hình 1.2) Các sơ đồ này được khái quát thành sơ đồ vẽ ở Hình 1.3 Từ đó ta

đi tới định nghĩa sau

Hình 1.1 Sơ đồ khu phố Hình 1.2 Sơ đồ mạch điện Hình 1.3 Đồ thị đại diện

Đồ thị (graph) là một tập hợp hữu hạn và khác rỗng các điểm, gọi là các đỉnh

(vertex) hay nút (node), và một tập hợp các đường (thẳng hay cong) nối liền một

số cặp điểm này, gọi là các cạnh (edge) của đồ thị (Số cạnh có thể bằng 0).

Mỗi đỉnh của đồ thị thường được ký hiệu bằng một chữ cái (a, b, c, hay A,

B, C, ) hoặc chữ số (1, 2, 3, ) Cạnh nối liền đỉnh v với đỉnh w được ký hiệu là(v, w) hay đơn giản là vw (v và w có thể là các chữ số) Một cạnh có dạng (a, a),

nối đỉnh a với chính nó, gọi là một khuyên (loop).

Nếu đồ thị G có tập đỉnh là V và tập cạnh là E ⊆ V × V thì để cho gọn, ta viết

G = (V, E) Ta cũng dùng ký hiệu V(G) để chỉ tập đỉnh và E(G) để chỉ tập cạnh của

đồ thị G Ký hiệu n = |V(G)| là số đỉnh và m = |E(G)| là số cạnh của đồ thị G

Để dễ hình dung, mỗi đồ thị thường được biểu diễn bởi một hình vẽ trên mặtphẳng Chẳng hạn, Hình 1.3 biểu diễn một đồ thị có 5 đỉnh: P, Q, R, S, T và 8 cạnh(mỗi cạnh là một đoạn thẳng nối hai đỉnh) Chú ý rằng điểm cắt nhau của hai cạnh

PS và QT trong hình vẽ không phải là một đỉnh của đồ thị

Đỉnh v gọi là kề (adjacent) đỉnh w nếu có một cạnh của đồ thị nối v với w Nếu ký hiệu cạnh này là e thì ta viết e = (v, w) và nói cạnh e liên thuộc (incident) v,

w hay v, w là hai đầu mút của e Cạnh e và e' gọi là kề nhau nếu e, e' có chung đỉnh Hai cạnh e và e' cùng nối một cặp đỉnh gọi là cạnh kép (multiple edge) Đồ thị không có cạnh kép gọi là một đơn đồ thị (simple graph) Trái lại, gọi là một đa đồ

thị Hình 1.4 và 1.5 minh họa cạnh kép và khuyên trong đa đồ thị.

Hình 1.4 Cạnh kép và đa đồ thị Hình 1.5 Khuyên trong đa đồ thị

Một cạnh của đồ thị gọi là cạnh có hướng (directed edge) nếu có qui định rõ một đầu mút của cạnh là đỉnh đầu, mút kia là đỉnh cuối Cạnh có hướng còn được gọi là một cung.

thị gồm toàn các cung gọi là đồ thị có hướng (digraph) Một đồ thị vừa có cạnh

cung có hướng ngược chiều nhau, ta có thể qui mọi đồ thị về đồ thị có hướng.Hình 1.6 mô tả một đồ thị có hướng

Hình 1.6 Đồ thị có hướng Hình 1.7 Đồ thị không liên thông

Bậc (degree) của đỉnh v trong đồ thị vô hướng là số cạnh liên thuộc nó, ký

hiệu là (v) Đỉnh có bậc 0 gọi là đỉnh cô lập (isolated vertex), đỉnh có bậc 1 gọi là

đỉnh treo (end-vertex), Tương tự, trong đồ thị có hướng ta gọi bậc ra (bậc vào) của

đỉnh v là số cung đi khỏi v (số cung đi tới v), ký hiệu tương ứng là +(v) và -(v) Quiước: khuyên tại một đỉnh được tính 2 lần Ví dụ trong đồ thị vẽ ở Hình 1.7 ta có(P) = (S) = (U) = (V) = 2; (Q) = (R) = 3 và (T) = 4 (có khuyên ở T)

Dễ dàng chứng minh các tính chất sau đây về bậc của đỉnh trong đồ thị:

a) Trong một đồ thị vô hướng, tổng số bậc của mọi đỉnh bằng hai lần số cạnhcủa đồ thị và số đỉnh có bậc lẻ bao giờ cũng là một số chẵn

b) Trong một đồ thị có hướng, tổng các bậc vào của mọi đỉnh bằng tổng các bậc ra của mọi đỉnh và bằng tổng số cung trong đồ thị Nhiều tính chất của đồ thị có hướng không phụ thuộc vào hướng cáccung trong đồ thị Vì thế, khi bỏ qua hướng trên các cung (đổi cung thành

cạnh) ta sẽ nhận được một đồ thị vô hướng, gọi là đồ thị nền của đồ thị có hướng

đã cho

1.1.2 Phép toán trên đồ thị

Sau đây ta tập trung chủ yếu xét các đồ thị vô hướng và một số phép toán

cách bỏ đi một số đỉnh và một số cạnh của nó Nói chính xác, H = (V(H), E(H)) là

một đồ thị con của G nếu V(H) V(G) và E(H) E(G) Ta cũng nói G chứa H H gọi

là đồ thị con cảm sinh (induced subgraph) của G nếu H là một đồ thị con của G và

E(H) = {(x, y) ∈ E(G) : x, y ∈ V(H)} Ở đây H là đồ thị con của G sinh bởi V(H)

Vì thế ta còn viết H = G[V(H)] Đồ thị con H của G gọi là đồ thị con bao trùm nếu

V(H) = V(G), tức tập đỉnh của H và của G trùng nhau

• Với v ∈ V(G), ký hiệu G - v là đồ thị con của G cảm sinh bởi V(G) \ {v}, tức

đồ thị nhận được từ G bằng cách bỏ đỉnh v và các cạnh liên thuộc v

• Với e ∈ E(G), ta định nghĩa G - e := (V(G), E(G) \ {e}), tức đồ thị nhận

được từ G bằng cách xóa cạnh e (không xóa hai đầu mút của e) Ta cũng định nghĩa

Hình 1.11 Đồ th không liên thông Hình 1.10 Đồ th G1, G2 và hợp G1

cho hai đỉnh được nối với nhau bởi một cạnh trong đồ thị này khi và chỉ khi haiđỉnh tương ứng trong đồ thị kia cũng được nối với nhau bởi một cạnh và ngượclại Hình

1.9 vẽ các đồ thị đẳng cấu với đồ thị vẽ ở Hình 1.3 Các cạnh của hai đồ thị ở Hình

1.9 chỉ gặp nhau ơ đinh Các đồ thị đẳng cấu được xem là tương đương (là một).

Hình 1.9 Các đồ thị đẳng cấu với đồ thị ở Hình 1.3

1.1.4 Đồ thị liên thông

Có thể ghép hai đồ thị để lập lên một đồ thị lớn hơn Cho G1 = (V(G1), E(G1)),

G2 = (V(G2), E(G2)) với V(G1) ∩V(G2) = ∅ Khi đó, hợp (union) G1 ∪ G2 là đồ thị có tậpđỉnh là V(G1) ∪ V(G2) và tập cạnh là E(G1) ∪ E(G2) (Hình 1.10)

ị ∪ G2 ị

Hầu hết các đồ thị thường gặp là đồ thị ghép Một đồ thị được gọi là liên

thông

(connected graph) nếu nó không biểu diễn được dưới dạng hợp của hai hay

nhiều

đồ thị Trái lại, đồ thị gọi là không liên thông (disconnected graph) Rõ ràng là bất

cứ một đồ thị không liên thông G nào cũng biểu diễn được dưới dạng hợp củacác đồ thị liên thông, mỗi đồ thị liên thông gọi là một thành phần liên thông của G.Chẳng hạn, một đồ thị gồm ba thành phần liên thông được vẽ ở Hình 1.11

Hình 1.12 Các kiểu đồ thị liên thông không quá 5 đỉnh

Khi cần chứng minh một kết luận nào đó cho các đồ thị nói chung, ta thườngchứng minh kết quả tương ứng cho các đồ thị liên thông, sau đó áp dụng kếtquả thu được cho từng thành phần liên thông riêng lẻ của đồ thị Một bảng gồmtất cả các đồ thị liên thông (không ghi tên đỉnh) có tối đa 5 đỉnh được vẽ ở Hình1.12.

1.1.5 Đường và chu trình trong đồ thị vô hướng

Đường (path) P từ đỉnh v tới đỉnh w là một dãy liên tiếp các cạnh có

dạng: (a0, a1), (a1, a2), , (ak-1, ak) với (ai-1, ai) E(G), a0 = v, ak = w và k 1,

trong đó các đỉnh a0, a1, , ak đều khác nhau Để đơn giản, đôi khi ta viết P = {a0,

a1, , ak} và nói đó là đường nối đỉnh v và đỉnh w Đỉnh v gọi là đỉnh đầu, đỉnh wgọi là đỉnh cuối của đường P Một đường nối một đỉnh với chính nó (đỉnh đầutrùng với đỉnh cuối) gọi là một chu trình (cycle) Độ dài (length) của đường (chutrình) là số cạnh của đường (chu trình) đó

Q), (Q, R) hay đơn giản là P, T, Q, R Hai đường khác từ P tới R là P, T, S, R và P, Q,

R hay P, S, R Đồ thị này có các chu trình sau:

(P, Q), (Q, R), (R, S), (S, T), (T, P); (Q, S), (S, T), (T, Q), v.v

1.1.6 Biểu diễn đồ thị bằng ma trận

Mặc dù cách biểu diễn đồ thị bằng hình vẽ gồm các điểm được nối vớinhau bởi các cạnh khá thuận tiện, song cách này không còn phù hợp nếu ta muốnlưu giữ một đồ thị cỡ lớn trên máy tính Có cách lưu giữ một đơn đồ thị là liệt kêcác đỉnh kề với mỗi đỉnh của đồ thị Ví dụ cho cách biểu diễn này được chỉ ra ởHình 1.13

• Ma trận kề: Nếu G là một đồ thị với các đỉnh được đánh số 1, 2, … , n, thì

ma trận kề (adjacency matrrix) cuả G là ma trận vuông A cấp n, phần tử ở hàng i

cột j của A bằng số cạnh nối đỉnh i và đỉnh j của đồ thị

• Ma trận liên thuộc: Nếu các cạnh của đồ thị cũng được đánh số 1, 2, … , m,

thì ma trận liên thuộc (incidence matrrix) của G là ma trận chữ nhật M cấp n×m,

phần tử ở hàng i cột j của M bằng 1 nếu đỉnh i kề cạnh j và bằng 0 nếu trái lại.Hình 1.15 vẽ đồ thị G cùng với ma trận kề và ma trận liên thuộc của nó

Một đồ thị có đỉnh, nhưng không có cạnh nào (tập cạnh rỗng) gọi là một đồ

thị rồng (empty graph) hay đồ thị không (null graph) Ký hiệu đồ thị rỗng n đỉnh là

Nn Mỗi đỉnh của một đồ thị rỗng là một đỉnh cô lập (đỉnh bậc 0) và các đồ thịrỗng rất ít được chú ý Một đồ thị rỗng N4 được vẽ ở Hình 1.14

1.2.2 Rừng và cây

Có thể hiểu đồ thị liên thông theo nghĩa tương đương như sau Một đồ thị vôhướng gọi là liên thông nếu có đường đi nối hai đỉnh bất kỳ của đồ thị Trái lại, đồ

con liên thông, đôi một không có đỉnh chung Mỗi đồ thị con liên thông như thế làmột thành phần liên thông Cạnh e gọi là một cầu (bridge) nếu xóa e (không xóa

đỉnh) thì đồ thị còn lại sẽ tăng thêm một thành phần liên thông, mỗi thành

thị vẽ ở Hình 1.11 là không liên thông (gồm 3 thành phần liên thông)

Một đồ thị vô hướng không có chu trình gọi là một rừng (forest) Mộtrừng liên thông gọi là một cây (tree), tức cây là một đồ thị liên thông và không cóchu trình Ví dụ phả hệ của một họ tộc là một cây (cây phả hệ) Rừng có thể gồmnhiều thành phần liên thông khác nhau, mỗi thành phần liên thông là một cây

hình sao là một cây có duy nhất một đỉnh không phải là lá

Một đồ thị con, không chứa chu trình của đồ thị G gọi là một cây của G Một

tree) của G Một số tính chất đặc trưng của cây: cây n đỉnh có đúng n - 1 cạnh,trong một cây, bao giờ cũng có một đường đi duy nhất nối một cặp đỉnh bất kỳ củacây

Các ví dụ về rừng và cây được vẽ ở Hình 1.16

1.2.3 Đồ thị đầy đủ

Hình 1.16 Ví dụ về rừng và cây

Một đơn đồ thị trong đó mọi cặp đỉnh (khác nhau) đều kề nhau, gọi là một

Kn bằng n(n - 1)/2 Đồ thị K4 và K5 được vẽ ở Hình 1.17

Hình 1.17 Đồ thị đầy đủ K4 và K5

1.2.4 Đồ thị vòng, đồ thị đường và đồ thị bánh xe

Một đồ thị liên thông và mọi đỉnh bậc 2 gọi là một đồ thị vòng (cycle graph).

bất kỳ gọi là một đồ thị đường (path graph) n đỉnh, ký hiệu là Pn Đồ thị nhận được

từ Cn - 1 bằng cách thêm vào một đỉnh v và nối mỗi đỉnh của Cn - 1 với v bởi một

cạnh, gọi là một đồ thị bánh xe (wheel) n đỉnh, ký hiệu là Wn

Các đồ thị C6, P6 và W6 được vẽ ở Hình 1.18

Hình 1.18 Đồ thị vòng C6, đồ thị đường P6 và đồ thị bánh xe W6

1.2.5 Đồ thị đều (đồ thị chính qui)

Một đồ thị mà mọi đỉnh có bậc bằng nhau gọi là một đồ thị đều hay đồ

thị chính qui (regular graph) Nếu mọi đỉnh có bậc r thì đồ thị được gọi là đồ thị

đều (chính qui) bậc r hoặc r - chính qui Có tầm quan trọng đặc biệt là các đồ thị

bậc 3 (cubic graph), tức các đồ thị đều (chính qui) bậc 3 Một ví dụ điển hình về

đồ thị bậc 3 là đồ thị Petersen (Petersen graph), đồ thị này được vẽ ở Hình 1.19.

Chú ý rằng đồ thị rỗng Nn là đồ thị chính qui bậc 0, đồ thị vòng Cn là đồ thị chínhqui bậc

Đồ thị Platon được hình thành từ các đỉnh và các cạnh của 5 khối đa diện đều:

hình

tứ diện, hình tám mặt, hình lập phương, khối hai mươi mặt và khối mười hai mặt

(Hình 1.20)

Tứ diện Hình tám mặt Hình lập phương Khối 20 mặt Khối 12 mặt

cạnh nối một đỉnh đen (trong A) và một đỉnh trắng (trong B).

Có thể chứng minh rằng đơn đồ thị G là đồ thị hai phần khi và chỉ khi mọi chutrình trong G đều có độ dài (số cạnh) chẵn

Đồ thị hai phần đầy đủ (complete bipartite graph) là một đồ thị hai phần mà

mỗi đỉnh trong A được nối với mỗi đỉnh trong B bằng đúng một cạnh Ta ký hiệu

đồ thị hai phần có r đỉnh đen và s đỉnh trắng là Kr,s Các đồ thị K1,3; K2,3, K3,3 và K4,3được vẽ ở Hình 1.22 Dễ dàng kiểm tra lại rằng Kr, s có (r + s) đỉnh và r×s cạnh

Hình 1.21 Đồ thị hai phần Hình 1.22 Đồ thị hai phần đầy đủ: K1,3, K2,3, K3,3, K4,3

1.2.8 Đồ thị lập phương

Trong các đồ thị hai phần đều (mọi đỉnh có cùng bậc), người ta đặc biệt quan

tâm tới các đồ thị lập phương (cubes) Ký hiệu Qk là k - lập phương (k - cube), đó là

một đồ thị đều, bậc k (k - chính qui) mà các đỉnh của nó có thể đặt tương ứngvới dãy số (a1, a2, … , ak), trong đó mọi ai = 0 hoặc 1, và các cạnh của đồ thị nối

Nếu G là một đơn đồ thị với tập đỉnh V(G), thì phần bù (complement) G của

G là một đơn đồ thị, với cùng tập đỉnh V(G) và hai đỉnh kề nhau trong G khi vàchỉ khi chúng không kề nhau trong G Chẳng hạn, Hình 1.24 vẽ đồ thị G và phần bù

G của nó Có thể thấy rằng phần bù của một đồ thị đầy đủ là một đồ thị rỗng

và phần bù của một đồ thị hai phần đầy đủ là hợp của hai đồ thị đầy đủ

1.2.10 Đồ thị phẳng

Một đồ thị (hay đa đồ thị) G gọi là đồ thị phẳng (planar graph) khi nào nó có

thể biểu diễn được trên một mặt phẳng sao cho ứng với mỗi đỉnh là một điểm

và ứng với mỗi cạnh là một đoạn thẳng hay cong và bất kỳ hai cạnh nào cũngkhông có điểm chung khác với các đầu mút của chúng Chẳng hạn, đồ thị vẽ ở Hình1.4 và Hịnh 1.5 là các (đa) đồ thị phẳng

Khi đó, mỗi miền mặt phẳng hạn định bởi các cạnh và không chứa đỉnh hoặc

cạnh ở bên trong của nó, gọi là một diện (face) của đồ thị phẳng G Biên

(boundary) của một diện là chu trình tạo nên bởi các cạnh hạn định nó Hai diện

gọi là kề nhau

(adjacent) khi nào biên của chúng có ít nhất một cạnh chung (hai diện chỉ có đỉnhchung thì không xem là kề) Rõ ràng mỗi đồ thị phẳng liên thông đều có một

diện vô hạn duy nhất, còn mọi diện khác đều là diện hữu hạn.

Ví dụ Một bản đồ địa lý không có đảo (không có khuyên) là một đồ thị phẳng:

là một đoạn đường biên giới nối hai đỉnh và mỗi diện là một nước

Hình 1.25 a) Hình lập phương; b) Biểu diễn phẳng

Tóm lại, chương này đã đề cập tới các khái niệm cơ bản về đồ thị: đỉnh, cạnh,bậc của đỉnh, đồ thị vô hướng và đồ thị có hướng, đường đi và chu trình, đồ thịliên thông và không liên thông Trình bày các phép toán thường dùng trên đồ thị(thêm, bớt đỉnh hoặc cạnh) Miêu tả nhiều dạng đồ thị đặc biệt: rừng và cây, đồthị hình sao, đồ thị vòng, đồ thị bánh xe, đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần, đồ thị haiphần đầy đủ, đồ thị đều (chính qui), đồ thị Petersen, đồ thị Platon, đồ thị phẳng,

Chương 2

BÀI TOÁN TÔ MÀU ĐỒ THỊ

Chương này đề cập tới bài toán tô màu đồ thị và giới thiệu định lý bốnmàu nổi tiếng Mục 2.1 xét bài toán tô màu các đỉnh của đồ thị Mục 2.2 xét bàitoán tô màu bản đồ Mục 2.3 xét bài toán tô màu các cạnh của đồ thị Cuốichương, ở mục

2.4, đề cập tới đa thức màu và vấn đề có bao nhiêu cách tô màu có thể Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [2], [3], [5] và [6]

2.1 TÔ MẦU CÁC ĐỈNH CỦA ĐỒ THỊ

Nhiều vấn đề kỹ thuật hiện đại (chẳng hạn, tin học và tự động hóa) đưatới việc tô màu các đỉnh của một đồ thị G, sao cho hai đỉnh kề nhau có các màu

khác nhau Để cho gọn, ta sẽ nói một cách tô như thế là một cách tô đúng Đương

nhiên nếu G có n đỉnh thì chỉ việc dùng n màu khác nhau là có thể tô đúng đượcrồi Nhưng nhiều khi không cần tới n màu mà chỉ cần một số màu ít hơn cũng tôđúng được Chẳng hạn, nếu đồ thị G không có chu trình thì chỉ cần 2 màu là đủ tôđúng trong mọi trường hợp Do đó vấn đề đặt ra là: số màu tối thiểu cần thiết để

tô đúng các đỉnh của một đồ thị cho trước là bao nhiêu?

k màu Số k nhỏ nhất mà G còn là k - sắc tính, nghĩa là số màu tối thiểu cần thiết

của đồ thị G và viết (G) = k

Hình 2.1 Sắc số của đồ thị: (G) = 4

Chẳng hạn, đồ thị G vẽ ở Hình 2.1 có (G) = 4 Các màu được biểu thị bằngchữ cái Hy lạp ( , , và ) Vì vậy, G là k - sắc tính với mọi k ≥ 4.

Vấn đề tìm số sắc tính của một đồ thị thường rất phức tạp (trừ khi G không

có chu trình), và cho tới nay nó vẫn chưa có một lời giải thỏa đáng Trong mục này

sẽ trình bày một số kết quả đáng chú ý về các đồ thị k - sắc tính

Sau đây ta giả thiết G là đơn đồ thị vô hướng, liên thông và không có khuyên

Rõ ràng, sắc số của đồ thị đầy đủ n đỉnh bằng n: χ(Kn) = n Vì vậy có các đồthị với sắc số lớn tùy ý Theo chiều ngược lại, χ(G) = 1 khi và chỉ khi G là đồ thịkhông (null graph), tức là đồ thị G có đỉnh nhưng không có cạnh, và χ(G) = 2 khi

và chỉ khi G là một đồ thị hai phần khác không (non-null bipartite graph) Chú ýrằng một cây bất kỳ, cũng như mọi chu trình độ dài chẵn bất kỳ là 2 - sắc tính

Ta có thể dễ dàng lấy ví dụ về đồ thị là 3 – sắc tính Chẳng hạn, các chu trình

độ dài lẻ hay các đồ thị bánh xe với một số lẻ đỉnh và đồ thị Petersen là 3 - sắctính Các đồ thị bánh xe với một số chẵn đỉnh là 4 - sắc tính Trong [1] đưa ra mộtlớp đồ thị phẳng 3 - sắc tính đáng chú ý, đó là các đồ thị với n ≥ 6 đỉnh và mọi đỉnh

có bậc

3 (Hình 2.2)

Hình 2.2 Đồ thị phẳng đẳng cấp bậc 3 là 3 - sắc tính

Ta có thể nói đôi điều về số sắc tính (sắc số) của một đồ thị tuỳ ý: Nếu đồ thị

r đỉnh) như một đồ thị con thì sắc số của nó không ít hơn r Nhìn chung, các kếtquả này không giúp ta biết chính xác sắc số của một đồ thị Tuy nhiên, nếu biếtbậc của các đỉnh trong đồ thị thì ta có thể biết nhiều hơn

Định lý 2.1 Nếu đơn đồ thị G có bậc lớn nhất của đỉnh bằng Δ thì G là (Δ + 1)