Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ HỒNG LINH BÀI TỐN TƠ MÀU ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ HỒNG LINH BÀI TỐN TƠ MÀU ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Trần Vũ Thiệu Thái nguyên - 2015 MỞ ĐẦU Đồ thị cấu trúc toán học rời rạc, bao gồm hai yếu tố đỉnh cạnh, mơ hình tốn học cho nhiều vấn đề lý thuyết thực tiễn đa dạng Bài tốn tơ màu cho đỉnh (hay cạnh) đồ thị chủ đề quan trọng hấp dẫn lý thuyết đồ thị Bài toán có ứng dụng thiết thực kinh tế, kỹ thuật đời sống Chẳng hạn, ta thường gặp tốn tơ màu đồ, tơ màu cho dây dẫn điện Một số vấn đề không liên quan đến tô màu xử lý nhờ tốn tơ màu: bố trí kho chứa hóa chất, thiết kế bảng vi mạch điện tử, xếp lịch hỏi thi, bố trí trạm truyền tin, xác lập tuyến xe buýt thành phố, v.v Lý thuyết đồ thị đời phát triển gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng: Euler (Thụy sĩ), với toán cầu thành phố Königsberg, König Egeváry (Hungari), với phương pháp Hungari giải tốn phân việc Về vấn đề tơ màu đồ thị có nhiều kết lý thuyết đáng ý: Định lý Brooks, Minty tô màu đỉnh; Định lý Kưnig, Vizing, Shannon tơ màu cạnh, định lý màu Heawood (1890) Định lý màu Appel Haken (1976), giải giả thuyết màu tiếng Guthrie nêu lần đầu năm 1852 "Bài tốn tơ màu đồ thị ứng dụng" Luận văn có mục đích tm hiểu trình bày khái niệm đồ thị dạng đồ thị thường gặp, toán tô màu đồ thị (tô đỉnh, tô cạnh tô diện - tô màu đồ) số ứng dụng tốn Trình bày kết lý thuyết, định lý tô màu loại đồ thị khác thuật tốn tơ màu đỉnh cạnh, dựa kết lý thuyết có Nội dung luận văn viết hai chương Chương "Khái niệm đồ thị" nhắc lại khái niệm đồ thị: đỉnh, cạnh, bậc đỉnh, đồ thị vơ hướng đồ thị có hướng, đường chu trình, đồ thị liên thơng, khơng liên thơng, phép toán đồ thị Miêu tả nhiều dạng đồ thị đặc biệt: rừng cây, đồ thị hình sao, đồ thị vòng, đồ thị đường, đồ thị bánh xe, đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần, đồ thị hai phần đầy đủ, đồ thị (chính qui), đồ thị Petersen, đồ thị Platon, đồ thị phẳng, Chương "Bài tốn tơ màu đồ thị" đề cập tới vấn đề tô màu đỉnh, cạnh diện đồ thị Trình bày kết tô màu đỉnh: định lý Brooks (1941), định lý Minty (1962), định lý tô màu đồ thị phảng, đặc biệt định lý bốn màu (Appel Haken, 1976) Về tô màu đồ (tô diện đồ thị phẳng) có định lý đồ màu, đồ lập phương màu định lý bốn màu cho đồ Về tô màu cạnh đồ thị: trình bày định lý Vizing (1964) số màu tối thiểu cần tô, định lý tô cạnh đồ thị đầy đủ, tơ cạnh đồ thị hai phần (Định lý Kưnig, 1916) quan hệ với định lý bốn màu Cuối chương đề cập tới đa thức màu, cho biết tơ đỉnh đò thị k màu khơng, có cách tơ Nhân dịp này, tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS - TS Trần Vũ Thiệu, tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán hoc - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên 20 tháng 04 năm 2015 Tác giả Vũ Hoàng Linh Chương KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ Chương trình bày kiến thức sở lý thuyết đồ thị Mục 1.1 nêu định nghĩa, khái niệm dùng lý thuyết đồ thị phép tốn đồ thị Mục 1.2 mơ tả dạng đồ thị thường gặp Trong chương dẫn nhiều ví dụ minh họa Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [2], [3], [4] [5] 1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ KÝ HIỆU 1.1.1 Khái niệm đồ thị Trong thực tế ta thường gặp sơ đồ giao thơng (Hình 1.1) hay sơ đồ mạch điện (Hình 1.2) Các sơ đồ khái quát thành sơ đồ vẽ Hình 1.3 Từ ta tới định nghĩa sau Hình 1.1 Sơ đồ khu phố Hình 1.2 Sơ đồ mạch điện Hình 1.3 Đồ thị đại diện Đồ thị (graph) tập hợp hữu hạn khác rỗng điểm, gọi đỉnh (vertex) hay nút (node), tập hợp đường (thẳng hay cong) nối liền số cặp điểm này, gọi cạnh (edge) đồ thị (Số cạnh 0) Mỗi đỉnh đồ thị thường ký hiệu chữ (a, b, c, hay A, B, C, ) chữ số (1, 2, 3, ) Cạnh nối liền đỉnh v với đỉnh w ký hiệu (v, w) hay đơn giản vw (v w chữ số) Một cạnh có dạng (a, a), nối đỉnh a với nó, gọi khun (loop) Nếu đồ thị G có tập đỉnh V tập cạnh E ⊆ V × V gọn, ta viết G = (V, E) Ta dùng ký hiệu V(G) để tập đỉnh E(G) để tập cạnh đồ thị G Ký hiệu n = |V(G)| số đỉnh m = |E(G)| số cạnh đồ thị G Để dễ hình dung, đồ thị thường biểu diễn hình vẽ mặt phẳng Chẳng hạn, Hình 1.3 biểu diễn đồ thị có đỉnh: P, Q, R, S, T cạnh (mỗi cạnh đoạn thẳng nối hai đỉnh) Chú ý điểm cắt hai cạnh PS QT hình vẽ đỉnh đồ thị Đỉnh v gọi kề (adjacent) đỉnh w có cạnh đồ thị nối v với w Nếu ký hiệu cạnh e ta viết e = (v, w) nói cạnh e liên thuộc (incident) v, w hay v, w hai đầu mút e Cạnh e e' gọi kề e, e' có chung đỉnh Hai cạnh e e' nối cặp đỉnh gọi cạnh kép (multiple edge) Đồ thị khơng có cạnh kép gọi đơn đồ thị (simple graph) Trái lại, gọi đa đồ thị Hình 1.4 1.5 minh họa cạnh kép khuyên đa đồ thị Hình 1.4 Cạnh kép đa đồ thị Hình 1.5 Khuyên đa đồ thị Một cạnh đồ thị gọi cạnh có hướng (directed edge) có qui định rõ đầu mút cạnh đỉnh đầu, mút đỉnh cuối Cạnh có hướng gọi cung Một đồ thị gồm toàn cạnh gọi đồ thị vơ hướng (undirected graph), đồ thị gồm tồn cung gọi đồ thị có hướng (digraph) Một đồ thị vừa có cạnh vừa có cung gọi đồ thị hỗn hợp (mixed graph) Bằng cách thay cạnh hai cung có hướng ngược chiều nhau, ta qui đồ thị đồ thị có hướng Hình 1.6 mơ tả đồ thị có hướng Hình 1.6 Đồ thị có hướng Hình 1.7 Đồ thị khơng liên thông Bậc (degree) đỉnh v đồ thị vơ hướng số cạnh liên thuộc nó, ký hiệu (v) Đỉnh có bậc gọi đỉnh lập (isolated vertex), đỉnh có bậc gọi đỉnh treo (end-vertex), Tương tự, đồ thị có hướng ta gọi bậc (bậc vào) đỉnh v số cung khỏi v (số cung tới v), ký hiệu tương ứng + - (v) (v) Qui ước: khuyên đỉnh tính lần Ví dụ đồ thị vẽ Hình 1.7 ta có (P) = (S) = (U) = (V) = 2; (Q) = (R) = (T) = (có khuyên T) Dễ dàng chứng minh tính chất sau bậc đỉnh đồ thị: a) Trong đồ thị vô hướng, tổng số bậc đỉnh hai lần số cạnh đồ thị số đỉnh có bậc lẻ số chẵn b) Trong đồ thị có hướng, tổng bậc vào đỉnh tổng bậc đỉnh tổng số cung đồ thị Nhiều tính chất đồ thị có hướng không phụ thuộc vào hướng cung đồ thị Vì thế, bỏ qua hướng cung (đổi cung thành cạnh) ta nhận đồ thị vô hướng, gọi đồ thị đồ thị có hướng cho 1.1.2 Phép tốn đồ thị Sau ta tập trung chủ yếu xét đồ thị vơ hướng số phép tốn • Đồ thị (subgraph) đồ thị G đồ thị nhận từ G cách bỏ số đỉnh số cạnh Nói xác, H = (V(H), E(H)) đồ thị G V(H) V(G) E(H) E(G) Ta nói G chứa H H gọi đồ thị cảm sinh (induced subgraph) G H đồ thị G E(H) = {(x, y) ∈ E(G) : x, y ∈ V(H)} Ở H đồ thị G sinh V(H) Vì ta viết H = G[V(H)] Đồ thị H G gọi đồ thị bao trùm V(H) = V(G), tức tập đỉnh H G trùng • Với v ∈ V(G), ký hiệu G - v đồ thị G cảm sinh V(G) \ {v}, tức đồ thị nhận từ G cách bỏ đỉnh v cạnh liên thuộc v • Với e ∈ E(G), ta định nghĩa G - e := (V(G), E(G) \ {e}), tức đồ thị nhận từ G cách xóa cạnh e (khơng xóa hai đầu mút e) Ta định nghĩa ⇐ Bây ta chứng minh kết đối ngẫu khẳng định G đơn đồ thị phẳng liên thơng, diện tam giác đỉnh có bậc chẵn Khi đó, G - sắc tính đỉnh Ta ký hiệu màu , Hình 2.13 Mọi đỉnh bậc Hình 2.14 Mọi diện có cạnh Do đỉnh G có bậc chẵn nên theo Định lý 2.7, diện G tơ màu: đỏ xanh Khi đó, dùng màu để tơ đỉnh G sau: tô cho đỉnh diện màu đỏ màu , cho chúng xuất theo chiều kim đồng hồ tô đỉnh diện màu xanh cho màu xuất ngược chiều kim đồng hồ (xem Hình 2.14) Cách tơ đỉnh mở rơng cho toàn đồ thị định lý chứng minh ∎ Trong định lý trên, ta giả thiêt đồ lập phương Định lý sau cho thấy khơng phải giả thiết khắt khe Định lý 2.10 Để chứng minh định lý bốn màu cần chứng minh đồ lập phương - sắc tính diện Chứng minh Theo Hệ 2.1, cần chứng minh đồ lập phương - sắc tính diện đồ - sắc tnh diện Giả sử G đồ bất kỳ, Nếu G có đỉnh bậc ta loại bỏ đỉnh mà khơng ảnh hưởng tới việc tơ màu Chỉ phải xử lý đỉnh bậc từ trở lên Nếu v đỉnh bậc ≥ 4, ta sửa v thành diện vẽ Hình 2.15 Làm đỉnh bậc từ trở lên Kết ta nhận đồ lập phương mà theo giả thiêt đồ - sắc tính diện Cuối cùng, ta nhận cách tô diện G màu nhờ co diện vừa thêm vào thành đỉnh khôi phục trở lại đỉnh bậc ban đầu ∎ Hình 2.15 Minh họa Định lý 2.10: Xử lý đỉnh bậc ≥ 3.3 TÔ MẦU CÁC CẠNH CỦA ĐỒ THỊ Mục đề cập tới tốn tơ màu cho cạnh đồ thị Như thấy, định lý bốn màu đồ thị phẳng tương đương với định lý có liên quan đến việc tơ màu cạnh đồ lập phương Một đồ thị G gọi k - sắc tính cạnh cạnh G tơ k màu cho hai cạnh kề có màu khác Nếu G k - sắc tính cạnh khơng (k - 1) - sắc tính cạnh, ta nói số màu G k viết χ’(G) = k Chẳng hạn, đồ thị G vẽ Hình 2.16 có số màu ’(G) = Hình 2.16 Chỉ số màu Hình 2.17 Tơ cạnh Kn, n lẻ Hình 2.18 Tơ cạnh Kn, n chẵn Chú ý Δ bậc lớn đỉnh G χ’(G) ≥ Δ Kết sau đây, biết với tên gọi Định lý Vizing, cho cận sát số màu đơn đồ thị G (Có thể tìm chứng minh [7], Bondy Murty, [28], Fiovini Wilson, dẫn tài liệu tham khảo [5] luận văn) Định lý 2.11 (Vizing, 1964) Nếu G đơn đồ thị với bậc lớn đỉnh Δ Δ ≤ χ’(G) ≤ Δ + Khơng biết đồ thị có số màu Δ đồ thị có số màu Δ + Tuy nhiên, dễ dàng tìm số màu số loại đồ thị đặc biệt Chẳng hạn, χ’(Cn) = phụ thuộc số đỉnh n chẵn hay lẻ, χ’(Wn) = n - n ≥ Bây ta xác định số màu đồ thị đầy đủ Định lý 2.12 '(Kn) = n n lẻ ≥ '(Kn) = n - n chẵn Chứng minh Định lý với n = Vì thế, ta giả sử n ≥ Với n lẻ, ta dùng n màu để tô cho cạnh Kn cách đặt đỉnh Kn thành đa giác n cạnh, tô n cạnh biên đa giác n màu khác Sau đó, tơ cạnh bên đa giác màu tô cho cạnh biên song song với (xem Hình 2.17) Ta nhận xét số cạnh màu tối đa (n - 1)/2, Kn có nhiều (n - 1)/2×χ’(Kn) cạnh, số phải lớn số cạnh n(n - 1)/2 Kn Từ suy '(Kn) ≥ n Kn khơng thể (n - 1) - sắc tính cạnh Với n chẵn, ta vẽ Kn cách nối đỉnh đồ thị đầy đủ Kn - với đỉnh thứ n Nếu ta tô cạnh Kn - mô tả trường hợp trên, đỉnh Kn - thừa màu tất màu thừa khác Sau ta tơ nốt cạnh lại màu thừa (xem Hình 2.18) ∎ Bây ta mối liên hệ giũa định lý bốn màu việc tô màu cạnh đồ thị Mối liên hệ giải thích ta quan tâm nhiều tới tơ màu cạnh Định lý 2.13 Định lý bốn màu tương đương với mệnh đề nói χ'(G) = đồ lập phương G Chứng minh ⇒ Giả sử ta tơ diện G màu, ký hiệu = (1, 0), = (0, 1), = (1, 1) = (0, 0) Khi đó, ta thực cách tơ màu cho cạnh G sau: tô cạnh e màu nhận từ phép cộng (modulo 2) màu hai diện tiếp giáp e Chẳng hạn, e tiếp giáp hai diện có màu e tơ màu , + = (1, 0) + (1, 1) = (0, 1) = Hình 2.19 Tơ diện màu, tơ cạnh màu Hình 2.20 Tơ cạnh đồ thị hai phần Chú ý màu không xuất cách tô cạnh này, hai diện tiếp giáp cạnh phải khác biệt, tức khác màu Hơn nữa, hai cạnh kề phải có màu khác Như vậy, ta có cách tơ màu cạnh đòi hỏi (xem Hình 2.19) ⇐ Bây giả sử ta có cách tơ màu cho cạnh G, cạnh liên thuộc đỉnh có màu khác Khi đó, đồ thị xác định cạnh có màu đồ thị bậc Cũng vậy, cách mở rộng Định lý 2.7 cho đồ thị khơng liên thơng, ta tơ màu cho diện đồ thị màu Tương tự, ta tơ cho diện đồ thị xác định cạnh có màu hai màu Như vậy, ta gán cho diện G cặp tọa độ (x, y) với x y hay Do tọa độ gán cho hai diện kề G phải khác nhau, vị trí, nên tọa độ (1, 0), (0, 1), (1, 1), (0, 0) cho cách tơ diện đòi hỏi (tơ diện G màu) ∎ Ta kết thúc mục định lý D König số màu đồ thị hai phần Định lý 2.14 (König, 1916) Nếu G đồ thị hai phần với bậc lớn đỉnh '(G) = Chứng minh Ta dùng quy nạp theo số cạnh G chứng minh cạnh G, trừ cạnh, tô tối đa cạnh G màu có cách tơ màu Vì giả sử cạnh G tô màu, trừ cạnh vw Khi đó, có màu thiếu đỉnh v màu thiếu đỉnh w Nếu màu thiếu v w thi ta tô màu thiếu cho cạnh vw Nếu khơng phải giả sử màu thiếu v màu thiếu w, giả sử H đồ thị liên thông G bao gồm đỉnh v cạnh đỉnh G tới từ v đường gồm toàn cạnh có màu hay (xem Hình 2.20) Do G đồ thị hai phần nên đồ thị H chứa đỉnh w ta tráo đổi màu cho đồ thị mà không ảnh hưởng đến w hay màu cạnh khác Cạnh vw tơ màu , hồn thành việc tơ màu cho cạnh G Hệ 2.2 '(Kr,s) = max (r, s) ∎ 2.4 ĐA THỨC MẦU Trong mục ta trở lại tốn tơ màu đỉnh đồ thị Ta gắn đồ thị với hàm số cho biết đồ thị có - sắc tính khơng Khi nghiên cứu hàm ta hy vọng thu thơng tin hữu ích định lý bốn màu Không giảm tổng quát, ta giới hạn đơn đồ thị Giả sử G đơn đồ thị giả sử PG(k) số cách tô đỉnh G k màu cho hai đỉnh kề có màu khác PG gọi hàm màu (chroma- tic function) G Chẳng hạn, G vẽ Hình 2,21 PG(k) = k(k - 1)², tơ đỉnh k cách tô đỉnh hai đầu k cách Mở rộng kết cho thấy T n đỉnh PG(k) = k(k n-1 - 1) Tương tự, G đồ thị đầy đủ ba đỉnh K3 (Hình 2.22) PG(k) = k(k - 1)(k - 2) G đồ thị Kn PG(k) = k(k - 1)(k - 2) … (k - n + 1) Hình 2.21 Số cách tơ màu đỉnh Hình 2.22 Số cách tô màu đỉnh K3 Rõ ràng k < χ(G) ⇒ PG(k) = k ≥ χ(G) ⇒ PG(k) > Chú ý định lý bốn màu tương đương với mệnh đề: G đơn đồ thị phẳng PG(4) > Nếu cho đơn đồ thị tùy ý kiểm tra thường khó biết hàm màu đồ thị Định lý hệ sau cho ta phương pháp có hệ thống để xây dựng hàm màu đơn đồ thị theo hàm màu đồ thị không Định lý 2.15 Giả sử G đơn đồ thị, G e G / e đồ thị nhận từ G cách bỏ cạnh e co cạnh e Khi đó, PG(k) = PG - e(k) PG / e(k) Chẳng hạn, giả sử G đồ thị vẽ Hình 2.23 Khi đó, đồ thị G e G / e tương ứng vẽ Hình 2.24 Định lý khẳng định k(k - 1)(k - 2)(k - 3) = {k(k - 1)(k - 2) } - {k(k - 1)(k - 2)} Hình 2.23 Đồ thị G cạnh e = vw Hình 2.24 Đồ thị G - e G \ e tương ứng Chứng minh Giả sử e = vw Khi đó, số cách tơ đỉnh G e k màu cho v w có màu khác khơng thay đổi cạnh e vẽ nối v với w, nghĩa số PG(k) Tương tự, số cách tô đỉnh G e k màu cho v w có màu khơng thay đổi v w trùng (tức co cạnh e), nghĩa số PG / e(k) Như vậy, số cách tô đỉnh G e k màu tổng PG(k) + PG / e(k) điều cần chứng minh ∎ Hệ 2.3 Hàm màu đơn đồ thị hàm đa thức Chứng minh, Ta tiếp tục thao tác cách chọn cạnh G e cạnh G / e, xóa co chúng Sau đó, lặp lại thao tác đồ thị nhận được, v.v Quá trình chấm dứt đồ thị hết cạnh hay nói cách khác, đồ thị lại đồ thị khơng (đồ thị có đỉnh r khơng có cạnh) Do hàm màu đồ thị không đa thức (= k , r số đỉnh) Bằng cách áp dụng nhiều lần Định lý 2.15, ta thấy hàm màu đồ thị G tổng đa thức thân hàm màu phải đa thức ∎ Ví dụ minh họa cho thao tác nêu cuối mục Trong thực tiễn, ta không cần biến đổi đồ thị đồ thị không, mà cần biến đổi đồ thị đồ thị biết hàm màu chúng, chẳng hạn đồ thị dạng Với Hệ 2.3, ta gọi PG(k) đa thức màu (chromatic polynomial) G Từ chứng minh cho thấy G có n đỉnh PG(k) đa thức bậc n, khơng có đỉnh đưa vào giai đoạn Do việc n xây dựng tạo đồ thị không n đỉnh nên hệ số số hạng k Cũng hệ số luân phiên đổi dấu hệ số số hạng k n-1 - m, m số cạnh G Để ý ta tô màu cho đồ thị k = (khơng có màu nào), số hạng số đa thức màu phải Hình 2.25 Tính đa thức PG Hình 2.26 Tính truy hồi giai đoạn Bây ta đưa ví dụ minh họa cho ý tưởng nêu Ta sử dụng Định lý 2.15 để tìm đa thức màu đồ thị G vẽ Hình 2.25 sau kiểm tra lại đa thức có dạng k - 7k + a.k - b.k + c.k với a, b, c số dương nói Để thuận tiện, giai đoạn ta vẽ đồ thị viết đa thức màu Chẳng hạn, thay viết PG(k) = PG - e(k) - PG \ e(k) với G, G - e G / e đồ thị Hình 2.23 2.24, ta viết "phương trình đồ thị" vẽ Hình 2.26 Với quy ước bỏ qua cạnh kép, ta có Vì PG(k) = k(k - 1) - 3k(k - 1) + 2k(k - 1) + k(k - 1)(k - 2) = k - 7k + 18k - 20k + 8k Chú ý kết có dạng đòi hỏi k - 7k + a.k - b.k + c.k với a, b c số dương Cuối chương ta nêu ví dụ áp dụng tốn tơ màu đỉnh đồ thị vào việc xếp thời khóa biểu Giả sử ta muốn xếp lịch giảng dạy số chuyên đề định trước Một số cặp chuyên đề diễn thời điểm, có sinh viên muốn học hai chuyên đề Để xếp thời khóa biểu, ta lập đồ thị, đỉnh biểu thị chuyên đề cạnh nối cặp chuyên đề tiến hành đồng thời Khi đó, cách tơ màu cho đỉnh đồ thị tương ứng với lịch giảng dạy chuyên đề Sắc số (số màu tối thiểu cần dùng) đồ thị cho biết số đơn vị thời gian cần thiết cho việc giảng dạy chuyên đề, đa thức màu cho biết có cách xếp lịch giảng dạy chuyên đề Tóm lại, chương đề cập tới vấn đề tô màu đỉnh, cạnh diện đồ thi Trình bày kết tô màu đỉnh: Định lý Brooks (1941), Định lý Minty (1962), định lý tô màu đồ thị phẳng, đặc biệt định lý bốn màu (Appel Haken, 1976) Về tô màu đồ (tô diện đồ thị phẳng) có định lý đồ màu, đồ lập phương màu định lý bốn màu cho đồ Về tô màu cạnh đồ thị, trình bày Định lý Vizing số màu tối thiểu cần tô, định lý tô cạnh đồ thị đầy đủ, tơ cạnh đồ thị hai phần (Định lý Kưnig, 1916) quan hệ với định lý bốn màu Cuối chương đề cập tới đa thức màu, cho biết tô đỉnh đồ thị k màu không, có cách tơ KẾT LUẬN Luận văn đề cập tới tốn tơ màu đồ thị (tô đỉnh, cạnh diện - tô màu đồ) Đây chủ đề hay hấp dẫn, nhiều người quan tâm nghiên cứu ứng dụng Luận văn trình nội dung sau Các khái niệm kiến thức lý thuyết đồ thị, phép toán đồ thị, cách biểu diễn đồ thị (danh sách kề, ma trận kề, ma trận liên thuộc) Nêu dạng đồ thị đặc biệt, hay sử dụng (đồ thị dạng cây, đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần, đồ thị đều, đồ thị Petersen, đồ thị Platon, đồ thị phẳng, đồ) Các kết qủa lý thuyết tô màu đồ thị Tô màu đỉnh: Định lý Brooks, Định lý Minty, định lý tô đỉnh đồ thị phẳng Tô màu diện: định lý bốn màu tô đồ Tô màu cạnh: Định lý Vizing, định lý tô cạnh đồ thị đầy đủ, Định lý Kưnig tơ cạnh đồ thị hai phần Cuối đề cập tới đa thức màu, cho biết số cách tơ dùng k màu Có thể xem luận văn bước tìm hiểu ban đầu tốn tơ màu đồ thị Tác giả luận văn hy vọng tương lai có dịp tìm hiểu sâu thêm nhiều toán hay hấp dẫn khác lý thuyết đồ thị TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Vũ Thiệu (1963), “Về lớp đồ thị phẳng“, Tập san Toán Lý, (2) 4, tr 64 - 65 [2] Hoàng Tụỵ (1964), Đồ thị hữu hạn ứng dụng vận trù học, Nhà xuất Khoa học, Hà Nội Tiếng Anh [3] Aldous J M., Wilson R J (2004), Graphs and Applications: An Introductory Approach, Springer [4] Korte B., Vygen J (2006), Combinatorial Optimization: Theory and rd Algorithms, edi., Springer [5] Wilson R J (1998), Introduction to Graph Theory Fourth edition, Addison Wesley Longman Limited [6] Wilson R A (2002), Graphs, Colourings and the Four-Colour Theorem, Oxford University Press ... sao, đồ thị vòng, đồ thị đường, đồ thị bánh xe, đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần, đồ thị hai phần đầy đủ, đồ thị (chính qui), đồ thị Petersen, đồ thị Platon, đồ thị phẳng, Chương "Bài tốn tơ màu đồ. .. dạng đồ thị đặc biệt: rừng cây, đồ thị hình sao, đồ thị vòng, đồ thị bánh xe, đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần, đồ thị hai phần đầy đủ, đồ thị (chính qui), đồ thị Petersen, đồ thị Platon, đồ thị. .. Về tô màu đồ (tơ diện đồ thị phẳng) có định lý đồ màu, đồ lập phương màu định lý bốn màu cho đồ Về tơ màu cạnh đồ thị: trình bày định lý Vizing (1964) số màu tối thiểu cần tô, định lý tô cạnh đồ