Tiểu luận Lý thuyết đồ thị Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng

MỞ ĐẦU Lý thuyết đồ thị là một lĩnh vực khoa học đã có từ lâu và có nhiều ứng dụng hiện đại. Những ý tưởng cơ bản của lý thuyết đồ thị được đề xuất vào những năm đầu của thế kỷ 18 bởi nhà toán học lỗi lạc người Thụy Sĩ Leonhard Euler. Chính ông là người đã sử dụng đồ thị để giải bài toán nổi tiếng về những cái cầu ở thành phố Konigsberg. Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh đó, nó được sử dụng để giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau như xác định các mạch vòng trong vấn đề mạch điện, phân biệt các hợp chất hữu cơ khác nhau có cùng công thức phân tử nhưng khác nhau về cấu trúc phân tử nhờ đồ thị… Ngoài ra, đồ thị được sử dụng để giải các bài toán thực tế về lập lịch, lập thời khóa biểu, phân bố tần số cho các trạm phát thanh và truyền hình… Cùng với sự phát triển khoa học kỹ thuật và công nghệ thông tin như hiện nay thì ngành lý thuyết đồ thị ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống. Trên cơ sở đã học môn Lý thuyết đồ thị, chúng tôi đã nghiên cứu, và muốn tìm hiểu hơn nữa về những ứng dụng hữu ích, thực tế của bài toán tô màu đồ thị. Do đó, nhóm đã chọn đề tài: “Bài toán tô mầu đồ thị và ứng dụng”. Nội dung đề tài gồm 3 chương: Chương 1: Đại cương về đồ thị Chương 2: Bài toán tô mầu đồ thị Chương 3: Một số bài toán ứng dụng Do thời gian có hạn và trình độ còn hạn chế nên chúng tôi chỉ đi vào nghiên cứu tìm hiểu thuật toán và giới thiệu một số ứng dụng của bài toán tô màu đồ thị. ĐỀ TÀI: BÀI TOÁN TÔ MÀU VÀ ỨNG DỤNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC NHÓM 3 STT Họ tên Công việc (theo mục lục) Chữ ký Nhận xét của giáo viên 1 Bùi Thị Anh Đào Chương 1 2 Xa Thị Thu Hà Chương 2, mục 2.1 Chương 3, mục 3.1.1, 3.1.2 3 Lê Đức Lộc Chương 2, mục 2.3 Chương 3, mục 3.1.3 4 Nguyễn Hồng Minh Chương 2, mục 2.2 Chương 3, mục 3.1.4, 3.1.5 5 Nguyễn Ngọc Tiến Chương 2, mục 2.4 Chương 3, mục 3.2 Chương 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.1 Đồ thị vô hướng và đồ thị có hướng Định nghĩa 1: Đồ thị vô hướng G = (V, E) gồm một tập V các đỉnh và tập E các cạnh. Mỗi cạnh e E được liên kết với một cặp đỉnh v, w (không kể thứ tự)

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

Lý thuyết đồ thị là một lĩnh vực khoa học đã có từ lâu và có nhiều ứng dụnghiện đại Những ý tưởng cơ bản của lý thuyết đồ thị được đề xuất vào những nămđầu của thế kỷ 18 bởi nhà toán học lỗi lạc người Thụy Sĩ Leonhard Euler Chínhông là người đã sử dụng đồ thị để giải bài toán nổi tiếng về những cái cầu ở thànhphố Konigsberg

Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh đó, nóđược sử dụng để giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau như xác địnhcác mạch vòng trong vấn đề mạch điện, phân biệt các hợp chất hữu cơ khác nhau

có cùng công thức phân tử nhưng khác nhau về cấu trúc phân tử nhờ đồ thị…Ngoài ra, đồ thị được sử dụng để giải các bài toán thực tế về lập lịch, lập thờikhóa biểu, phân bố tần số cho các trạm phát thanh và truyền hình…

Cùng với sự phát triển khoa học kỹ thuật và công nghệ thông tin như hiện naythì ngành lý thuyết đồ thị ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống

Trên cơ sở đã học môn Lý thuyết đồ thị, chúng tôi đã nghiên cứu, và muốntìm hiểu hơn nữa về những ứng dụng hữu ích, thực tế của bài toán tô màu đồ thị

Do đó, nhóm đã chọn đề tài: “Bài toán tô mầu đồ thị và ứng dụng”.

Nội dung đề tài gồm 3 chương:

Chương 1: Đại cương về đồ thị

Chương 2: Bài toán tô mầu đồ thị

Chương 3: Một số bài toán ứng dụng

Do thời gian có hạn và trình độ còn hạn chế nên chúng tôi chỉ đi vào nghiêncứu tìm hiểu thuật toán và giới thiệu một số ứng dụng của bài toán tô màu đồ thị

ĐỀ TÀI: BÀI TOÁN TÔ MÀU VÀ ỨNG DỤNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC NHÓM 3

(theo mục lục)

Chữ ký

Nhận xét của giáo viên

1 Bùi Thị Anh Đào Chương 1

2 Xa Thị Thu Hà

Chương 2, mục 2.1Chương 3, mục 3.1.1,3.1.2

Chương 3, mục 3.1.3

4 Nguyễn Hồng Minh

Chương 2, mục 2.2Chương 3, mục 3.1.4,3.1.5

5 Nguyễn Ngọc Tiến Chương 2, mục 2.4

Chương 3, mục 3.2

Chương 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ

1.1 Các khái niệm cơ bản

1.1.1 Đồ thị vô hướng và đồ thị có hướng

Định nghĩa 1: Đồ thị vô hướng G = (V, E) gồm một tập V các đỉnh và tập E các

cạnh Mỗi cạnh e  E được liên kết với một cặp đỉnh v, w (không kể thứ tự).

cạnh có hướng gọi là cung

Mỗi cung e  E được liên kết với một cặp đỉnh v, w (có thứ tự).

e

Ví dụ 2:

Đồ thị có hướng gồm 6 đỉnh và 8 cung

Ghi chú: Đồ thị vô hướng có thể coi là đồ thị có hướng trong đó mỗi cạnh

e=(v,w) tương ứng với hai cung (v,w) và (w,v)

Nếu cạnh e liên kết đỉnh v, w thì ta nói cạnh e liên thuộc đỉnh v, w, các đỉnh

v, w liên thuộc cạnh e, các đỉnh v, w là các đỉnh biên của cạnh e và đỉnh v kề

đỉnh w

Nếu chỉ có duy nhất một cạnh e liên kết với cặp đỉnh v, w ta viết e = (v,w)

Nếu e là cung thì v gọi là đỉnh đầu và w gọi là đỉnh cuối của cung e Nếu có nhiều cạnh liên kết với cùng một cặp đỉnh thì ta nói đó là các cạnh song song Cạnh có hai đỉnh liên kết trùng nhau gọi là khuyên Đỉnh không kề với đỉnh khác gọi là đỉnh cô lập Số đỉnh của đồ thị gọi là bậc của đồ thị, số cạnh hoặc số cung của đồ thị gọi là cỡ của đồ thị.

Đồ thị hữu hạn là đồ thị có bậc và cỡ hữu hạn.

Đồ thị đơn là đồ thị không có khuyên và không có cạnh song song.

Đồ thị vô hướng đủ là đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau.

Số bậc lớn nhất của G ký hiệu là (G), số bậc nhỏ nhất của G ký hiệu là (G)

Từ định nghĩa suy ra đỉnh cô lập trong đồ thị đơn là đỉnh có bậc bằng 0 Đỉnh có bậc bằng 1 gọi là đỉnh treo.

Định nghĩa 4: Cho G = (V, E) là đồ thị có hướng, v  V Nửa bậc ra của đỉnh v,

ký hiệu là deg O (v), là số cung đi ra từ đỉnh v (v là đỉnh đầu), và nửa bậc vào của đỉnh vV, ký hiệu là deg 1 (v), là số cung đi tới đỉnh v (v là đỉnh cuối).

Định nghĩa 5: Đồ thị K n là đồ thị đơn, đủ n đỉnh (mỗi cặp đỉnh đều có duy nhất 1

cạnh liên kết)

Định nghĩa 6: Đồ thị lưỡng phân G = (V, E) là đồ thị mà tập các đỉnh được phân

làm 2 tập rời nhau V1, V2 sao cho mỗi cạnh của nó liên kết với 1 đỉnh thuộc V1 và

1 đỉnh thuộc V2 , kí hiệu G = ({V1, V2 }, E)

1.1.3 Đường đi, chu trình, tính liên thông

Định nghĩa 7: Cho đồ thị G = (V, E)

Dây µ từ đỉnh v đến đỉnh w là tập hợp các đỉnh và cạnh nối tiếp nhau bắt

đầu từ đỉnh v và kết thúc tại đỉnh w Số cạnh trên dây µ gọi là độ dài của dây µ.

Dây µ từ đỉnh v đến đỉnh w, độ dài k được biểu diễn như sau:

µ = (v, e1 , v1 , e2 , v2 , …, vk -1 , ek , w ), trong đó vi (i=1, , k-1) là cácđỉnh trên đường đi và ei (i=1, , k-1) là các cạnh trên dây liên thuộc đỉnh kềtrước và sau nó Các đỉnh và cạnh trên dây có thể lặp lại

Đường đi từ đỉnh v đến đỉnh w là dây từ đỉnh v đến đỉnh w, trong đó các

cạnh không lặp lại

Đường đi sơ cấp là đường đi không đi qua một đỉnh quá 1 lần.

Vòng là dây có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau

Chu trình là đường đi có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau và không đi quá

một lần

Chu trình sơ cấp là chu trình không đi qua một đỉnh quá một lần.

Dây có hướng trong đồ thị có hướng là dãy các đỉnh và cung nối tiếp nhau (

k-Đường đi có hướng trong đồ thị có hướng là dây có hướng trong đó các

cung không lặp lại

Đường đi có hướng sơ cấp: đường đi có hướng không đi qua 1 đỉnh quá 1 lần Vòng có hướng là dây có hướng có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau.

Chu trình có hướng là đường đi có hướng có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau Chu trình có hướng sơ cấp là chu trình có hướng không đi qua 1 đỉnh quá 1 lần.

Đồ thị vô hướng liên thông là đồ thị mà mọi cặp đỉnh của nó đều có đường

đi nối chúng với nhau

Đồ thị có hướng liên thông mạnh là đồ thị mà mọi cặp đỉnh của nó đều có

đường đi có hướng nối chúng với nhau

Đồ thị có hướng liên thông yếu là đồ thị có đồ thị lót (vô hướng) của nó liên

thông

Đồ thị có hướng bán liên thông là đồ thị mà với mọi cặp đỉnh (u, v) bao

giờ cũng tồn tại đường đi có hướng từ u đến v hoặc từ v đến u

Định nghĩa 8: Trọng đồ (có hướng) là đồ thị (có hướng) mà mỗi cạnh (cung)

của nó được gán một số

Trọng đồ được biểu diễn bằng G=(V, E, w) trong đó V là tập các đỉnh, E làtập các cạnh và w: E → R là hàm số trên E, w(e) là trọng số cạnh e với mọi e E.

Trong trọng đồ độ dài trọng số của đường đi µ là tổng các trọng số trên đường đi đó.

Định nghĩa 9: (Đồ thị con)

Cho đồ thị G = (V, E) Đồ thị G' = (V', E') gọi là đồ thị con của G nếu V'  V

và E'  E

Nếu V’ = V, thì G’ gọi là đồ thị con phủ của G.

Nếu F  E, thì ký hiệu G-F là đồ thị con (V, E-F) của G gồm tập đỉnh V

Định nghĩa 10: (Đồ thị đẳng cấu) Hai đồ thị G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2) gọi

là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại song ánh f: V1V2 và g: E1 E2 thoảmãn e  E1: e = (v, w)  g(e) = (f(v), f(w))

Cặp ánh xạ (f; g) gọi là một đẳng cấu từ G1 đến G2

Mệnh đề: Hai đơn đồ thị G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2) đẳng cấu với nhau nếutồn tại song ánh f: V1V2 thoả mãn v, w  V1: v kề w  f(v) kề f(w)

Trong trường hợp này, hàm f gọi là một đẳng cấu từ G1 đến G2

Định lý 1: Cho G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2) là hai đơn đồ thị Các mệnh đề sau

là tương đương:

(i) G1 đẳng cấu với G2

(ii) Hai ma trận kề tương ứng bằng nhau sau khi thay đổi thứ tự các hàng và cộtnếu cần thiết

(ii) Với mọi số k tự nhiên, số đỉnh bậc k của G1 và G2 bằng nhau.

(iii) Với mọi số k tự nhiên, số chu trình sơ cấp chiều dài k của G1 và G2 bằngnhau

(iv) Các cặp đồ thị con tương ứng cũng đẳng cấu

1.3 Đồ thị phẳng

1.3.1 Đồ thị phẳng

Định nghĩa 12:

Một đồ thị gọi là đồ thị hình học phẳng nếu nó được biểu diễn trên mặt

phẳng sao cho các cạnh không cắt nhau

Một đồ thị gọi là đồ thị phẳng nếu nó đẳng cấu với đồ thị hình học phẳng.

Với một đồ thị hình học phẳng liên thông, mặt phẳng được chia làm các

miền con gọi là mặt Mỗi mặt được giới hạn bởi chu trình gọi là biên của mặt Số cạnh trên biên của mặt f được gọi là bậc của mặt, kí hiệu deg(f) Bậc nhỏ nhất gọi là đai của đồ thị.

Mệnh đề: Mọi chu trình đồ thị phẳng có độ dài chẵn khi và chỉ khi mọi mặt của

Định lý 5 : (Bất đẳng thức cạnh – đỉnh) Cho G là đơn đồ thị phẳng liên thông

với e cạnh, v đỉnh và đai g (g≥ 3), và không có đỉnh treo Khi đó ta có :

( 2 )2

-g

e ν g

Hệ quả : Cho G là đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh và v đỉnh (v 3), và

không có đỉnh treo Khi đó ta có: e ν £ 3 - 6 e ≤ 3 v− 6

Hệ quả : Cho G là đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh và v đỉnh (v 3), không có

đỉnh treo và không có chu trình độ dài 3 Khi đó ta có : e ≤ 2v− 4 e ν £ 2 - 4 .

Chương 2: BÀI TOÁN TÔ MÀU ĐỒ THỊ

2.1 Tô màu đỉnh

Định nghĩa 14: (Tô màu bản đồ)

Những bài toán liên quan đến tô màu bản đồ đã dẫn đến nhiều kết quả trong

lý thuyết đồ thị Khi tô màu một bản đồ, hai miền có chung biên giới phải được

tô bằng hai màu khác nhau.

Để đảm bảo việc tô màu bản đồ sao cho hai miền có chung biên giới phải tôkhác màu, ta có thể sử dụng màu sắc riêng cho mỗi miền Tuy nhiên bản đồ cóquá nhiều miền, sẽ rất khó phân biệt giữa các miền có màu sắc gần giống nhau

Do đó ta nên sử dụng số màu ít nhất có thể được Từ đó, bài toán đặt ra là xácđịnh số màu tối thiểu để tô bản đồ sao cho các miền kề nhau không được tô cùngmàu

a) b)

Bản đồ a cần 3 màu Bản đồ b cần 4 màu (2 màu là không đủ) (3 màu là không đủ)

Định nghĩa 15: (Đồ thị đối ngẫu)

Mỗi bản đồ trên mặt phẳng có thể biểu diễn bằng một đồ thị Để lập sự tươngứng đó, mỗi miền của bản đồ được biểu diễn bằng một đỉnh Hai đỉnh kề nhaunếu các miền tương ứng có biên giới chung Hai miền chung nhau chỉ 1 điểm

không được coi là kề nhau Đồ thị nhận được bằng cách như vậy gọi là đồ thị đối ngẫu của bản đồ Rõ ràng mọi bản đồ trên mặt phẳng đều có đồ thị đối ngẫu

Định nghĩa 16: (Tô màu đỉnh)

Tô màu đỉnh một đơn đồ thị là sự gán màu cho các đỉnh của nó sao cho khồn

có hai đỉnh kề được cùng gán một màu

Một đồ thị có thể tô màu bằng các màu khác nhau cho mỗi đỉnh Tuy nhiên, trong phần lớn các đồ thị, ta có thể tô bằng số màu ít hơn số đỉnh Vậy số màu tốithiểu cần sử dụng là bao nhiêu?

F

Đồ thị chứa K3 , vậy sắc số của đồ thị  3 Đồ thị chứa chu trình độ dài lẻ (A, B, C, D, E, A)

nên ta phải dùng ít nhất 3 màu để tô các đỉnh A, B, C, D, E Đỉnh F kề các đỉnh

đó nên ta cần thêm một màu nữa để tô F Suy ra c(G) = 4

G A

Đồ thị có chu trình lẻ nên theo định lý c(G)  3 Ta dùng 3 màu 1, 2, 3 để tô như sau: Tô A, D, G màu 1, B, F màu 2 và E, C màu 3 Như vậy c(G) = 3

(i) Điều kiện cần là hiển nhiên

(ii) Điều kiện đủ Xét đơn đồ thị G không có chu trình lẻ Không mất tínhtổng quát, ta có thể giả thiết G liên thông

Chọn đỉnh v0  G Ta tô màu các đỉnh của G bằng hai màu 0 và 1 như sau:Với mỗi đỉnh x, có đường trong G nối v0 với x Nếu đường này có chiều dàichẵn thì tô màu 0 cho x, ngược lại tô màu 1 cho x Cách tô màu này hoàn toànxác định và hai đỉnh kề có màu khác nhau, vì không thể có một đường độ dàichẵn và một đường độ dài lẻ nối v0 với x (nếu có thì hai đường như thế sẽ tạothành chu trình độ dài lẻ)

Định lý 8: c(G) £ (G) + 1 với mọi đồ thị G, trong đó (G) là bậc đỉnh lớn nhất

của G (đẳng thức xảy ra khi G = Kn hoặc G là chu trình độ dài lẻ)

Chứng minh:

Định lý hiển nhiên đúng với đồ thị 1 đỉnh (c(G) = 1)

Giả sử định lý đúng với mọi đồ thị (n-1) đỉnh Cho đồ thị G có n đỉnh Ký

hiệu G’ = G - {v}, trong đó v là đỉnh bất kỳ của G Ta có (G’) £ (G)

Theo giả thiết quy nạp, c(G’) £ (G’) + 1 £ (G) + 1 Giả sử G’ được tô

bằng k màu, c(G’) £ k £ (G) + 1

Nếu k = (G) + 1, thì ta có thể tô màu đỉnh v bằng 1 trong k màu đó (vì số

đỉnh kề v trong G không vượt quá (G))

Nếu k < (G) + 1, thì ta có thể tô màu đỉnh v bằng một màu mới và số màu

tô G là k+1 £ (G) + 1 Từ đó suy ra c(G) £ (G) + 1

Định lý 9: (Brook): Cho G là đơn đồ thị n đỉnh liên thông khác K n và không phảichu trình độ dài lẻ Khi đó c(G) £ (G)

2.2 Thuật toán tuần tự ưu tiên đỉnh bậc lớn nhất

Cho đồ thị G = (V, E) Thuật toán sau sẽ tô màu các đỉnh đồ thị với số màu k

gần với sắc số c(G)

(i) Lập danh sách các đỉnh đồ thị

E' := [v1, v2, , vn]theo thứ tự bậc giảm dần: deg(v1)  deg(v2)   deg(vn)

(iv) Loại khỏi E' các đỉnh đã tô màu, đặt i = i+1 ,và quay lại bước (ii)

Ghi chú: (i) Mỗi đỉnh v  G được tô bằng màu có số hiệu thấp nhất chưa tô cho

đỉnh kề v, và số đỉnh kề v không vượt quá (G), cho nên số màu dùng để tô màutrong thuật toán không vượt qua (G)+1

(ii) Có thể hiệu chỉnh E' ở bước (iv) như sau: Loại khỏi E' các đỉnh đã

tô màu Sắp xếp lại các đỉnh trong E' theo thứ tự giảm dần của bậc các đỉnh trong

đồ thị con của G, có được bằng cách loại bỏ các đỉnh đã tô màu và các cạnh liênthuộc chúng

* Số màu đã dùng chính là sắc số của đồ thị

Ví dụ 9: Tô màu đồ thị sau

Ta có :

d(a) = 4, d(b) = 4, d(c) = 4, d(d) = 2, d(e) = 6

d(f) = 4, d(g) = 2, d(h) = 4, d(i) = 4, d(j) = 2

Ta xếp các đỉnh theo thứ tự bậc giảm dần: E' = [e, a, b, c, f, h, i, d, g, j]

Tô màu 1 cho các đỉnh e, f, d

i(2) h

i(2) h(3)

Chứng minh:

Quy nạp theo số đường thẳng n.

Nếu n=1 thì chỉ cần hai màu để tô bản đồ có hai nước.

Giả sử mọi bản đồ tạo bởi n-1 đường thẳng được tô bằng hai màu

Ta chứng minh mọi bản đồ tạo bởi n đường thẳng được tô bởi hai màu

Thậy vậy, gọi G là bản đồ được tạo bởi n đường thẳng và G’ là bản đồ thu

được từ bản đồ G bằng cách bỏ đi một đường thẳng bất kì d Ta tô màu G’ bằnghai màu 1 và 2 Sau đó thêm đường thẳng d vào bản đồ G’ để nhận được bản đồ G.Hoán chuyển màu 1 thành màu 2 và ngược lại các nước ở một phía của đườngthẳng d Lúc đó bản đồ G sẽ được tô bằng hai màu

Định lý 11: Điều kiện cần và đủ để bản đồ có thể tô bằng hai màu là mọi đỉnh

của đồ thị phẳng tương ứng có bậc chẵn lớn hơn hoặc bằng 2

Chứng minh:

Các mặt của đồ thị phẳng được tô bằng hai màu khi và chỉ khi các đỉnh của

đồ thị đối ngẫu tô được bằng hai màu Suy ra mọi chu trình của đồ thị đối ngẫuđều có độ dài chẵn Do đó mọi đỉnh của đồ thị ban đầu có bậc chẵn lớn hơn hoặcbằng 2

Định lý 12: (Kemper-Heawood): Mọi đồ thị phẳng đều có sắc số £ 5

Chứng minh:

Quy nạp theo số đỉnh n của đồ thị.

n=1: mệnh đề luôn đúng

Giả sử mọi đồ thị phẳng n đỉnh đều tô được bằng 5 màu Xét đồ thị G có n+1

đỉnh Không mất tính tổng quát có thể giả sử G là đơn đồ thị Vì G phẳng nên tồntại đỉnh X có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 5 Loại đỉnh này cùng các cạnh liên thuộc

khỏi G ta nhận được đơn đồ thị phẳng H có n đỉnh Suy ra H có thể tô bằng 5

màu Do đó xảy ra một trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Các đỉnh kề X tô bằng 4 màu Khi đó ta có thể tô X bằng màu thứ 5

Trường hợp 2: Các đỉnh kề X tô bằng 5 màu Khi đó X kề 5 đỉnh A, B, C, D,

E được tô bởi 5 màu như hình vẽ

A(1)

B(2) C(3)

D(4)

Xét tất cả các đường trong G bắt đầu từ A và đi qua các đỉnh chỉ tô màu 1 và 3.Nếu không có đường đi nào qua C thì có thể hoán đổi màu các đỉnh trên cácđường đi đó như sau: đỉnh màu 1 tô bằng màu 3, đỉnh màu 3 tô bằng màu 1 Sau

đó tô đỉnh X bằng màu 1

Ngược lại giả sử tồn tại đường đi sơ cấp từ A đến C gồm toàn các đỉnh màu 1

và màu 3 Nối thêm các cạnh CX và AX ta được chu trình sơ cấp Hai đỉnh B và

D chỉ gồm các đỉnh màu 2 và màu 4

Lập luận tương tự như trên ta có thể hoán đổi các đỉnh trên các đường đi xuấtphát từ B chỉ gồm các đỉnh màu 2 và màu 4 như sau: đỉnh màu 2 tô bằng màu 4,đỉnh màu 4 tô bằng màu 2 Sau đó tô đỉnh X bằng màu 2

Cuối cùng ta tô được G bằng 5 màu

Vậy mọi đồ thị phẳng đều có sắc số nhỏ hơn hoặc bằng 5

Định lý 13: (Định lý 4 màu Appel-Haken): Mọi đồ thị phẳng đều có sắc số nhỏ

hơn hoặc bằng 4

2.4 Tô màu cạnh

Định nghĩa 17:

Tô màu cạnh một đơn đồ thị là sự gán màu cho các cạnh của nó sao cho

không có hai cạnh kề được gán cùng một màu

Sắc số cạnh của đồ thị G, ký hiệu là c’(G), là số màu tối thiểu cần thiết để tô

màu cạnh đồ thị (Với mọi đồ thị G ta có: c’(G) ≥ (G))

Định lý 14: c’(G) = c(L(G)) ( L(G) là đồ thị đường)