Tiểu luận Lý thuyết đồ thị Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng

MỞ ĐẦU Lý thuyết đồ thị là một lĩnh vực khoa học đã có từ lâu và có nhiều ứng dụng hiện đại. Những ý tưởng cơ bản của lý thuyết đồ thị được đề xuất vào những năm đầu của thế kỷ 18 bởi nhà toán học lỗi lạc người Thụy Sĩ Leonhard Euler. Chính ông là người đã sử dụng đồ thị để giải bài toán nổi tiếng về những cái cầu ở thành phố Konigsberg. Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh đó, nó được sử dụng để giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau như xác định các mạch vòng trong vấn đề mạch điện, phân biệt các hợp chất hữu cơ khác nhau có cùng công thức phân tử nhưng khác nhau về cấu trúc phân tử nhờ đồ thị… Ngoài ra, đồ thị được sử dụng để giải các bài toán thực tế về lập lịch, lập thời khóa biểu, phân bố tần số cho các trạm phát thanh và truyền hình… Cùng với sự phát triển khoa học kỹ thuật và công nghệ thông tin như hiện nay thì ngành lý thuyết đồ thị ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống. Trên cơ sở đã học môn Lý thuyết đồ thị, chúng tôi đã nghiên cứu, và muốn tìm hiểu hơn nữa về những ứng dụng hữu ích, thực tế của bài toán tô màu đồ thị. Do đó, nhóm đã chọn đề tài: “Bài toán tô mầu đồ thị và ứng dụng”. Nội dung đề tài gồm 3 chương: Chương 1: Đại cương về đồ thị Chương 2: Bài toán tô mầu đồ thị Chương 3: Một số bài toán ứng dụng Do thời gian có hạn và trình độ còn hạn chế nên chúng tôi chỉ đi vào nghiên cứu tìm hiểu thuật toán và giới thiệu một số ứng dụng của bài toán tô màu đồ thị. ĐỀ TÀI: BÀI TOÁN TÔ MÀU VÀ ỨNG DỤNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC NHÓM 3 STT Họ tên Công việc (theo mục lục) Chữ ký Nhận xét của giáo viên 1 Bùi Thị Anh Đào Chương 1 2 Xa Thị Thu Hà Chương 2, mục 2.1 Chương 3, mục 3.1.1, 3.1.2 3 Lê Đức Lộc Chương 2, mục 2.3 Chương 3, mục 3.1.3 4 Nguyễn Hồng Minh Chương 2, mục 2.2 Chương 3, mục 3.1.4, 3.1.5 5 Nguyễn Ngọc Tiến Chương 2, mục 2.4 Chương 3, mục 3.2 Chương 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.1 Đồ thị vô hướng và đồ thị có hướng Định nghĩa 1: Đồ thị vô hướng G = (V, E) gồm một tập V các đỉnh và tập E các cạnh. Mỗi cạnh e E được liên kết với một cặp đỉnh v, w (không kể thứ tự)

Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng MỤC LỤC Trang 1 Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng MỞ ĐẦU Lý thuyết đồ thị là một lĩnh vực khoa học đã có từ lâu và có nhiều ứng dụng hiện đại. Những ý tưởng cơ bản của lý thuyết đồ thị được đề xuất vào những năm đầu của thế kỷ 18 bởi nhà toán học lỗi lạc người Thụy Sĩ Leonhard Euler. Chính ông là người đã sử dụng đồ thị để giải bài toán nổi tiếng về những cái cầu ở thành phố Konigsberg. Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh đó, nó được sử dụng để giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau như xác định các mạch vòng trong vấn đề mạch điện, phân biệt các hợp chất hữu cơ khác nhau có cùng công thức phân tử nhưng khác nhau về cấu trúc phân tử nhờ đồ thị… Ngoài ra, đồ thị được sử dụng để giải các bài toán thực tế về lập lịch, lập thời khóa biểu, phân bố tần số cho các trạm phát thanh và truyền hình… Cùng với sự phát triển khoa học kỹ thuật và công nghệ thông tin như hiện nay thì ngành lý thuyết đồ thị ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống. Trên cơ sở đã học môn Lý thuyết đồ thị, chúng tôi đã nghiên cứu, và muốn tìm hiểu hơn nữa về những ứng dụng hữu ích, thực tế của bài toán tô màu đồ thị. Do đó, nhóm đã chọn đề tài: “Bài toán tô mầu đồ thị và ứng dụng”. Nội dung đề tài gồm 3 chương: Chương 1: Đại cương về đồ thị Chương 2: Bài toán tô mầu đồ thị Chương 3: Một số bài toán ứng dụng Do thời gian có hạn và trình độ còn hạn chế nên chúng tôi chỉ đi vào nghiên cứu tìm hiểu thuật toán và giới thiệu một số ứng dụng của bài toán tô màu đồ thị. Trang 2 Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng ĐỀ TÀI: BÀI TOÁN TÔ MÀU VÀ ỨNG DỤNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC NHÓM 3 STT Họ tên Công việc (theo mục lục) Chữ ký Nhận xét của giáo viên 1 Bùi Thị Anh Đào Chương 1 2 Xa Thị Thu Hà Chương 2, mục 2.1 Chương 3, mục 3.1.1, 3.1.2 3 Lê Đức Lộc Chương 2, mục 2.3 Chương 3, mục 3.1.3 4 Nguyễn Hồng Minh Chương 2, mục 2.2 Chương 3, mục 3.1.4, 3.1.5 5 Nguyễn Ngọc Tiến Chương 2, mục 2.4 Chương 3, mục 3.2 Trang 3 Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng Chương 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.1 Đồ thị vô hướng và đồ thị có hướng Định nghĩa 1: Đồ thị vô hướng G = (V, E) gồm một tập V các đỉnh và tập E các cạnh. Mỗi cạnh e ∈ E được liên kết với một cặp đỉnh v, w (không kể thứ tự). e v w Ví dụ 1: (a) (b) Hình (a) là đồ thị 4 đỉnh và 7 cạnh. Hình (b) là đồ thị 5 đỉnh và 5 cạnh. Định nghĩa 2: Đồ thị có hướng G = (V, E) gồm một tập V các đỉnh và tập E các cạnh có hướng gọi là cung. Mỗi cung e ∈ E được liên kết với một cặp đỉnh v, w (có thứ tự). e v w Ví dụ 2: Đồ thị có hướng gồm 6 đỉnh và 8 cung. Ghi chú: Đồ thị vô hướng có thể coi là đồ thị có hướng trong đó mỗi cạnh e=(v,w) tương ứng với hai cung (v,w) và (w,v). Cho đồ thị (có hướng hoặc vô hướng) G = (V, E). Trang 4 Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng Nếu cạnh e liên kết đỉnh v, w thì ta nói cạnh e liên thuộc đỉnh v, w, các đỉnh v, w liên thuộc cạnh e, các đỉnh v, w là các đỉnh biên của cạnh e và đỉnh v kề đỉnh w. Nếu chỉ có duy nhất một cạnh e liên kết với cặp đỉnh v, w ta viết e = (v,w). Nếu e là cung thì v gọi là đỉnh đầu và w gọi là đỉnh cuối của cung e. Nếu có nhiều cạnh liên kết với cùng một cặp đỉnh thì ta nói đó là các cạnh song song. Cạnh có hai đỉnh liên kết trùng nhau gọi là khuyên. Đỉnh không kề với đỉnh khác gọi là đỉnh cô lập. Số đỉnh của đồ thị gọi là bậc của đồ thị, số cạnh hoặc số cung của đồ thị gọi là cỡ của đồ thị. Đồ thị hữu hạn là đồ thị có bậc và cỡ hữu hạn. Đồ thị đơn là đồ thị không có khuyên và không có cạnh song song. Đồ thị vô hướng đủ là đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau. Đồ thị có hướng đủ là đồ thị có đồ thị lót đủ. 1.1.2 Bậc, nửa bậc vào, nửa bậc ra Định nghĩa 3: (Bậc) Cho đồ thị G = (V, E), giả sử đỉnh v∈V có p khuyên và q cạnh liên thuộc (không phải khuyên). Khi đó bậc của đỉnh v là 2p + q và ký hiệu là deg G (v) hay deg(v). Số bậc lớn nhất của G ký hiệu là ∆(G), số bậc nhỏ nhất của G ký hiệu là δ(G). Từ định nghĩa suy ra đỉnh cô lập trong đồ thị đơn là đỉnh có bậc bằng 0. Đỉnh có bậc bằng 1 gọi là đỉnh treo. Định nghĩa 4: Cho G = (V, E) là đồ thị có hướng, v ∈ V. Nửa bậc ra của đỉnh v, ký hiệu là deg O (v), là số cung đi ra từ đỉnh v (v là đỉnh đầu), và nửa bậc vào của đỉnh v∈V, ký hiệu là deg 1 (v), là số cung đi tới đỉnh v (v là đỉnh cuối). Định nghĩa 5: Đồ thị K n là đồ thị đơn, đủ n đỉnh (mỗi cặp đỉnh đều có duy nhất 1 cạnh liên kết). Định nghĩa 6: Đồ thị lưỡng phân G = (V, E) là đồ thị mà tập các đỉnh được phân làm 2 tập rời nhau V 1 , V 2 sao cho mỗi cạnh của nó liên kết với 1 đỉnh thuộc V 1 và 1 đỉnh thuộc V 2 , kí hiệu G = ({V 1 , V 2 }, E). 1.1.3 Đường đi, chu trình, tính liên thông Định nghĩa 7: Cho đồ thị G = (V, E) Trang 5 Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng Dây µ từ đỉnh v đến đỉnh w là tập hợp các đỉnh và cạnh nối tiếp nhau bắt đầu từ đỉnh v và kết thúc tại đỉnh w. Số cạnh trên dây µ gọi là độ dài của dây µ. Dây µ từ đỉnh v đến đỉnh w, độ dài k được biểu diễn như sau: µ = (v, e , 1 v 1 , e 2 , v 2 , …, v 1 k − , e k , w ), trong đó v i (i=1, , k-1) là các đỉnh trên đường đi và e i (i=1, , k-1) là các cạnh trên dây liên thuộc đỉnh kề trước và sau nó. Các đỉnh và cạnh trên dây có thể lặp lại. Đường đi từ đỉnh v đến đỉnh w là dây từ đỉnh v đến đỉnh w, trong đó các cạnh không lặp lại. Đường đi sơ cấp là đường đi không đi qua một đỉnh quá 1 lần. Vòng là dây có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau Chu trình là đường đi có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau và không đi quá một lần. Chu trình sơ cấp là chu trình không đi qua một đỉnh quá một lần. Dây có hướng trong đồ thị có hướng là dãy các đỉnh và cung nối tiếp nhau ( k eee , . . . ,, 21 ) thoả mãn đỉnh cuối của cung e i là đỉnh đầu của cung e i+1 , i=1, , k-1. Đường đi có hướng trong đồ thị có hướng là dây có hướng trong đó các cung không lặp lại. Đường đi có hướng sơ cấp: đường đi có hướng không đi qua 1 đỉnh quá 1 lần. Vòng có hướng là dây có hướng có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau. Chu trình có hướng là đường đi có hướng có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau. Chu trình có hướng sơ cấp là chu trình có hướng không đi qua 1 đỉnh quá 1 lần. Đồ thị vô hướng liên thông là đồ thị mà mọi cặp đỉnh của nó đều có đường đi nối chúng với nhau. Đồ thị có hướng liên thông mạnh là đồ thị mà mọi cặp đỉnh của nó đều có đường đi có hướng nối chúng với nhau. Đồ thị có hướng liên thông yếu là đồ thị có đồ thị lót (vô hướng) của nó liên thông. Đồ thị có hướng bán liên thông là đồ thị mà với mọi cặp đỉnh (u, v) bao giờ cũng tồn tại đường đi có hướng từ u đến v hoặc từ v đến u. Định nghĩa 8: Trọng đồ (có hướng) là đồ thị (có hướng) mà mỗi cạnh (cung) của nó được gán một số. Trọng đồ được biểu diễn bằng G=(V, E, w) trong đó V là tập các đỉnh, E là tập các cạnh và w: E → R là hàm số trên E, w(e) là trọng số cạnh e với mọi e ∈ E. Trong trọng đồ độ dài trọng số của đường đi µ là tổng các trọng số trên đường đi đó. Định nghĩa 9: (Đồ thị con) Trang 6 Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng Cho đồ thị G = (V, E). Đồ thị G' = (V', E') gọi là đồ thị con của G nếu V' ⊂ V và E' ⊂ E. Nếu V’ = V, thì G’ gọi là đồ thị con phủ của G. Nếu F ⊂ E, thì ký hiệu G-F là đồ thị con (V, E-F) của G gồm tập đỉnh V và tập cạnh (cung) E - F. Nếu U ⊂ V, thì ký hiệu G-U là đồ thị con của G thu được từ G sau khi loại bỏ các đỉnh trong U và các cạnh liên thuộc chúng. Cho U ⊂ V. Đồ thị con của G sinh bởi U, ký hiệu <U>, là đồ thị (U, E U ) với E U = {e ∈ E | e liên thuộc đỉnh trong U}. 1.2 Đồ thị đẳng cấu Định nghĩa 10: (Đồ thị đẳng cấu) Hai đồ thị G 1 = (V 1 , E 1 ) và G 2 = (V 2 , E 2 ) gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại song ánh f: V 1 →V 2 và g: E 1 → E 2 thoả mãn ∀e ∈ E 1 : e = (v, w) ⇔ g(e) = (f(v), f(w)) Cặp ánh xạ (f; g) gọi là một đẳng cấu từ G 1 đến G 2 . Mệnh đề: Hai đơn đồ thị G 1 = (V 1 , E 1 ) và G 2 = (V 2 , E 2 ) đẳng cấu với nhau nếu tồn tại song ánh f: V 1 →V 2 thoả mãn ∀v, w ∈ V 1 : v kề w ⇔ f(v) kề f(w). Trong trường hợp này, hàm f gọi là một đẳng cấu từ G 1 đến G 2 . Định lý 1: Cho G 1 = (V 1 , E 1 ) và G 2 = (V 2 , E 2 ) là hai đơn đồ thị. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) G 1 đẳng cấu với G 2 . (ii) Hai ma trận kề tương ứng bằng nhau sau khi thay đổi thứ tự các hàng và cột nếu cần thiết. Định nghĩa 11: (Tính chất bất biến) Một tính chất P gọi là bất biến nếu với mọi cặp đồ thị đẳng cấu G 1 và G 2 thỏa mãn G 1 có tính chất P khi và chỉ khi G 2 có tính chất P. Do đó để chứng minh hai đồ thị không đẳng cấu ta phải tìm ra tính chất bất biến nào đó mà một đồ thị có, còn đồ thị kia không có. Định lý 2: Cho G 1 = (V 1 , E 1 ) và G 2 = (V 2 , E 2 ) là 2 đồ thị đẳng cấu. Khi đó (i) G 1 và G 2 có số cạnh và số đỉnh bằng nhau. (ii) Với mọi số k tự nhiên, số đỉnh bậc k của G 1 và G 2 bằng nhau. (iii) Với mọi số k tự nhiên, số chu trình sơ cấp chiều dài k của G 1 và G 2 bằng nhau. (iv) Các cặp đồ thị con tương ứng cũng đẳng cấu. 1.3 Đồ thị phẳng Trang 7 Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng 1.3.1 Đồ thị phẳng Định nghĩa 12: Một đồ thị gọi là đồ thị hình học phẳng nếu nó được biểu diễn trên mặt phẳng sao cho các cạnh không cắt nhau. Một đồ thị gọi là đồ thị phẳng nếu nó đẳng cấu với đồ thị hình học phẳng. Với một đồ thị hình học phẳng liên thông, mặt phẳng được chia làm các miền con gọi là mặt. Mỗi mặt được giới hạn bởi chu trình gọi là biên của mặt. Số cạnh trên biên của mặt f được gọi là bậc của mặt, kí hiệu deg(f). Bậc nhỏ nhất gọi là đai của đồ thị. Mệnh đề: Mọi chu trình đồ thị phẳng có độ dài chẵn khi và chỉ khi mọi mặt của đồ thị có bậc chẵn. Định nghĩa 13: Đồ thị G gọi là đồ thị tuyến tính phẳng nếu G là đồ thị hình học phẳng có tất cả các cạnh là đoạn thẳng. Định lý 3: Mỗi đơn đồ thị phẳng đẳng cấu với đồ thị tuyến tính phẳng. 1.3.2 Công thức Euler Định lý 4: (Công thức Euler) Cho G là đồ thị liên thông phẳng có e cạnh, v đỉnh và f mặt. Khi đó ta có công thức Euler: f = e – v +2 Định lý 5 : (Bất đẳng thức cạnh – đỉnh). Cho G là đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh, v đỉnh và đai g (g ≥ 3), và không có đỉnh treo. Khi đó ta có : ( 2 ) 2 ≤ − − g e ν g Hệ quả : Cho G là đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh và v đỉnh (v 3), và không có đỉnh treo. Khi đó ta có: 3 6 ≤ − e ν e≤ 3v−6 Hệ quả : Cho G là đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh và v đỉnh (v 3), không có đỉnh treo và không có chu trình độ dài 3. Khi đó ta có : e≤ 2v− 4 2 4 ≤ − e ν . Chương 2: BÀI TOÁN TÔ MÀU ĐỒ THỊ 2.1 Tô màu đỉnh Trang 8 Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng Định nghĩa 14: (Tô màu bản đồ) Những bài toán liên quan đến tô màu bản đồ đã dẫn đến nhiều kết quả trong lý thuyết đồ thị. Khi tô màu một bản đồ, hai miền có chung biên giới phải được tô bằng hai màu khác nhau. Để đảm bảo việc tô màu bản đồ sao cho hai miền có chung biên giới phải tô khác màu, ta có thể sử dụng màu sắc riêng cho mỗi miền. Tuy nhiên bản đồ có quá nhiều miền, sẽ rất khó phân biệt giữa các miền có màu sắc gần giống nhau. Do đó ta nên sử dụng số màu ít nhất có thể được. Từ đó, bài toán đặt ra là xác định số màu tối thiểu để tô bản đồ sao cho các miền kề nhau không được tô cùng màu. B2 C3 D4 E2 A1 F3 G1 Ví dụ 3: B A C E D a) b) Bản đồ a cần 3 màu Bản đồ b cần 4 màu (2 màu là không đủ) (3 màu là không đủ) Định nghĩa 15: (Đồ thị đối ngẫu) Mỗi bản đồ trên mặt phẳng có thể biểu diễn bằng một đồ thị. Để lập sự tương ứng đó, mỗi miền của bản đồ được biểu diễn bằng một đỉnh. Hai đỉnh kề nhau nếu các miền tương ứng có biên giới chung. Hai miền chung nhau chỉ 1 điểm không được coi là kề nhau. Đồ thị nhận được bằng cách như vậy gọi là đồ thị đối Trang 9 Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng ngẫu của bản đồ. Rõ ràng mọi bản đồ trên mặt phẳng đều có đồ thị đối ngẫu phẳng. Ví dụ 4: Hai bản đồ trên có các đồ thị đối ngẫu tương ứng sau: A B C D E B C A D G E F G 1 G 2 * Bài toán tô màu các miền của bản đồ tương đương với bài toán tô màu các đỉnh đồ thị đối ngẫu sao cho các đỉnh kề nhau có màu khác nhau. Định nghĩa 16: (Tô màu đỉnh) Tô màu đỉnh một đơn đồ thị là sự gán màu cho các đỉnh của nó sao cho khồn có hai đỉnh kề được cùng gán một màu. Một đồ thị có thể tô màu bằng các màu khác nhau cho mỗi đỉnh. Tuy nhiên, trong phần lớn các đồ thị, ta có thể tô bằng số màu ít hơn số đỉnh. Vậy số màu tối thiểu cần sử dụng là bao nhiêu? Định nghĩa 17: (Sắc số của đồ thị) Sắc số của đồ thị G, ký hiệu là ( )G χ , là số màu tối thiểu cần thiết để tô màu đỉnh đồ thị. Ví dụ 5: Sắc số của đồ thị G 1 và G 2 ở ví dụ trên tương ứng là 3 và 4. Ví dụ 6: Tìm sắc số của đồ thị sau: Trang 10 [...]... toán tô màu đồ thị và ứng dụng KẾT LUẬN Qua thời gian nghiên cứu, tìm hiểu lý thuyết đồ thị, đề tài đã trình bày tương đối đầy đủ lý thuyết về bài toán tô màu đồ thị và các ứng dụng quan trọng của nó trong đời sống Đề tài đã đưa ra một số bài toán và giải quyết bài toán dựa trên cách xây dựng đồ thị mô tả quan hệ, sau đó dựa vào các định lý, tính chất của bài toán đồ thị, lý thuyết đồ thị để đưa ra lời... 16 Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng  s (s − 1)(s − 2 ) , neu n = 2s  3   2 s (s − 1)(4 s + 1) b + r =  , neu n = 4s +1 3   2 s (s + 1)(4 s + 1) , neu n = 4s + 3  3  Tồn tại cách tô màu để bất đẳng thức trở thành đẳng thức Trang 17 Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng Chương 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 3.1 Ứng dụng bài toán tô màu đỉnh 3.1.1 Bài toán điều khiển đèn hiệu nút giao thông Bài toán: ... Ta tô màu G’ bằng hai màu 1 và 2 Sau đó thêm đường thẳng d vào bản đồ G’ để nhận được bản đồ G Hoán chuyển màu 1 thành màu 2 và ngược lại các nước ở một phía của đường thẳng d Lúc đó bản đồ G sẽ được tô bằng hai màu Trang 14 Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng Định lý 11: Điều kiện cần và đủ để bản đồ có thể tô bằng hai màu là mọi đỉnh của đồ thị phẳng tương ứng có bậc chẵn lớn hơn hoặc bằng 2 Chứng... D, G màu 1, B, F màu 2 và E, C màu 3 Như vậy χ(G) = 3 Ví dụ 8: Tìm sắc số của đồ thị G sau: B A D C E F G Đồ thị con H với các đỉnh B, C, D, E, F có chu trình lẻ nên χ(H) ≥ 3 Không mất tính tổng quát, ta dùng 3 màu 1, 2, 3 để tô các đỉnh như sau: Tô B, F màu 1, Trang 11 Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng E, C màu 2 và D màu 3 Để tô màu được hai đỉnh A và G, ta bắt buộc phải dùng thêm ít nhất 1 màu nữa.. .Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng A B E F D C Đồ thị chứa K3 , vậy sắc số của đồ thị ≥ 3 Đồ thị chứa chu trình độ dài lẻ (A, B, C, D, E, A) nên ta phải dùng ít nhất 3 màu để tô các đỉnh A, B, C, D, E Đỉnh F kề các đỉnh đó nên ta cần thêm một màu nữa để tô F Suy ra χ(G) = 4 Ví dụ 7: Tìm sắc số của đồ thị G sau: Đồ thị có chu trình lẻ nên theo định lý χ(G) ≥ 3 Ta dùng 3 màu 1, 2, 3 để tô như sau: Tô. .. kề X tô bằng 5 màu Khi đó X kề 5 đỉnh A, B, C, D, E được tô bởi 5 màu như hình vẽ E(5) D(4) A(1) C(3) B(2) Xét tất cả các đường trong G bắt đầu từ A và đi qua các đỉnh chỉ tô màu 1 và 3 Trang 15 Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng Nếu không có đường đi nào qua C thì có thể hoán đổi màu các đỉnh trên các đường đi đó như sau: đỉnh màu 1 tô bằng màu 3, đỉnh màu 3 tô bằng màu 1 Sau đó tô đỉnh X bằng màu. .. không đồng thời lưu thông và cho phép lưu thông những tuyến không xung khắc Ta mô hình hóa bài toán bằng đồ thị và đưa về bài toán tô màu đồ thị như sau: Các đỉnh của đồ thị là các tuyến đường và hai tuyến kề nhau khi và chỉ khi chúng xung khắc Ta tô màu cho các đỉnh của đồ thị sao cho các đỉnh kề không cùng màu Và khi đó ta coi mỗi màu đại diện cho một pha điều khiển đèn báo các tuyến cùng màu đó... không quá k km không được trùng kênh và số kênh dùng là ít nhất Để giải bài toán này ta lập đồ thị có các đỉnh là các đài phát và hai đài phát kề nhau nếu khoảng cách giữa chúng không quá k km Kênh truyền hình của mỗi đài được biểu thị bằng các màu khác nhau Như vậy bài toán phân chia tần số trở thành bài toán tô màu đồ thị Trang 20 Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng Ví dụ 11: 6 đài truyền hình ở cách... định lý xác định sắc số của đồ thị G Định lý 6: Nếu đồ thị G chứa đồ thị con đẳng cấu với Kn , thì χ(G) ≥ n Chứng minh: Vì đồ thị K n có n đỉnh mà giữa hai đỉnh bất kỳ luôn kề nhau nên phải dùng n màu để tô màu cho n đỉnh của đồ thị Vậy nên χ(G) = n Mà G lại chứa đồ thị con đẳng cấu với K n nên χ(G) ≥ n Định lý 7: Một đơn đồ thị có thể tô bằng 2 màu khi và chỉ khi nó không có chu trình độ dài lẻ Chứng... G’ được tô bằng k màu, χ(G’) ≤ k ≤ ∆(G) + 1 Nếu k = ∆(G) + 1, thì ta có thể tô màu đỉnh v bằng 1 trong k màu đó (vì số đỉnh kề v trong G không vượt quá ∆(G)) Nếu k < ∆(G) + 1, thì ta có thể tô màu đỉnh v bằng một màu mới và số màu tô G là k+1 ≤ ∆(G) + 1 Từ đó suy ra χ(G) ≤ ∆(G) + 1 Trang 12 Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng Định lý 9: (Brook): Cho G là đơn đồ thị n đỉnh liên thông khác Kn và không . Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng MỤC LỤC Trang 1 Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng MỞ ĐẦU Lý thuyết đồ thị là một lĩnh vực khoa học đã có từ lâu và có nhiều ứng dụng hiện đại s Tồn tại cách tô màu để bất đẳng thức trở thành đẳng thức. Trang 17 Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng Chương 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 3.1 Ứng dụng bài toán tô màu đỉnh 3.1.1 Bài toán điều khiển. hiểu thuật toán và giới thiệu một số ứng dụng của bài toán tô màu đồ thị. Trang 2 Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng ĐỀ TÀI: BÀI TOÁN TÔ MÀU VÀ ỨNG DỤNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC NHÓM 3 STT Họ tên Công