lý thuyết đồ thị-bài toán tô màu

TRƯỜNG CAO ĐẲNG KỸ THUẬT LÝ TỰ TRỌNG TP. HCM KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ TÀI 5: Các kênh truyền hình từ số 1 tới số 12 được phân chia cho các đài truyền hình sao cho không có đài phát nào cách nhau không quá 240 km lại dùng cùng một kênh. Có thể chia kênh truyền hình như thế nào bằng mô hình tô màu đồ thị. Ta xây dựng đồ thị bằng cách coi mỗi đài phát là một đỉnh. Hai đỉnh được nối với nhau bằng một cạnh nếu chúng ở cách nhau không quá 240 km. Việc phân chia kênh tương ứng với việc tô màu đồ thị, trong đó mỗi màu biểu thị một kênh SV thực hiện : -Đoàn Huy Bình - Nguyễn Văn Vũ GV hướng dẫn : Vũ Thị Thái Linh TP.HCM – Tháng 04/2011 Lời mở đầu Lời đầu tiên chúng em xin cảm ơn cô Vũ Thị Thái Linh, người đã tận tình hướng dẫn chúng em trong môn học lý thuyết đồ thị, giúp cho chúng em hiểu được tầm quan trọng của môn học và các ứng dụng thực tế của nó có ích như thế nào. Bài đề tài môn học này là sự tích góp kiến thức của chúng em trong quá trình học tập và tham khảo tài liệu của khóa trước. Tuy sơ sài chưa hoàn chỉnh nhưng mong thầy/cô bỏ qua và thông cảm cho chúng em. Lý thuyết đồ thị là ngành khoa học được phát triển từ lâu có nhiều ứng dụng trong thực tế. Là một môn học không kém phần quan trọng đối với những người học công nghệ thông tin. Trong các bài toán của môn lý thuyết đồ thị có rất nhiều bài toán hay nhưng hôm nay chúng em xin giới thiệu về bài toán tô màu là một trong những bài toán rất hay và có nhiều ứng dụng Chương 1: Tổng Quan Về Bài Toán Tô Màu 1. Chi tiết nội dung bài toán: Cho đồ thị phẳng G hãy tô màu cho các đỉnh của G sao cho 2 đỉnh kề nhau không trùng màu với nhau và số màu sử dụng là thấp nhất. Các ứng dụng của bài toán tô màu: Tô màu cho bản đồ, xếp lịch làm việc , xếp thời khóa biểu , phân chia tần số phát sóng của dài phát thanh truyền hình, bố trí các con vật trong sở thú,v.v… Các thuật toán tốt hiện nay: thuật toán lập bảng mà cô Vũ Thị Thái Linh đã hướng dẫn. Trang 2 1.1 - Trước hết các bạn phải biết được đồ thị phẳng là gì và một số định lý liên quan đến chúng: Để nghiên cứu về đồ thị phẳng, ta bắt đầu bằng việc xét bài toán "Ba nhà ba giếng" như sau: Có ba nhà ở gần ba cái giếng, từ mỗi nhà có đường đi thẳng đến từng giếng, nhưng không có đường nối thẳng các nhà với nhau, cũng như không có đường nối thẳng các giếng với nhau. Có lần bất hòa với nhau, họ tìm cách làm các đường khác đến giếng sao cho các đường này đôi một không giao nhau. Họ có thực hiện được ý định đó không? Ta xây dựng đồ thị G = (V, E) mô tả đầy đủ các thông tin của bài toán: • Đỉnh: Lấy các điểm trên mặt phẳng hay trong không gian tương ứng với các gia đình và các giếng nước. Đối tượng của bài toán ở đây được chia làm hai loại là gia đình và giếng nước. Vậy, mỗi đỉnh Vv ∈ biểu diễn cho một gia đình hoặc một giếng nước. • Cạnh: Trong đồ thị G các đỉnh i v và j v được nối với nhau bằng một cạnh nếu có đường nối thẳng (trực tiếp) từ một gia đình đến một giếng nước. Vậy, mối quan hệ giữa 02 đối tượng ở đây là mối quan hệ đường đi. Mỗi cạnh Ee ∈ nối 2 đỉnh i v (đại diện cho 01 gia đình) và j v (đại diện cho một giếng nước) trong G nếu có đường đi trực tiếp từ gia đình i v đến giếng nước j v . Ta có đồ thị G như sau: A B C N M P Hình 1 Khi giải quyết bài toán trên ta cần đến khái niệm đồ thị phẳng như sau: Trang 3 1.2 - Đồ thị phẳng 1.2.1 - Định nghĩa Một đồ thị được gọi là phẳng nếu nó có thể vẽ được trên một mặt phẳng mà không có các cạnh nào cắt nhau ở điểm không phải là điểm mút của mỗi cạnh. Hình vẽ như vậy được gọi là một biểu diễn phẳng của đồ thị. 1.2.2 - Các ví dụ Ví dụ 1: K 4 là đồ thị phẳng vì có thể vẽ lại như sau: Hình 2 Ví dụ 2: Q 3 cũng là đồ thị phẳng vì: Hình 3 Ví dụ 3: Ta sẽ xét xem đồ thị lưỡng phân K 3,3 có là đồ thị phẳng không? v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 Hình 4 Trang 4 Ta sẽ chứng minh K 3,3 là đồ thị không phẳng. Thật vậy, ta thấy trong một biểu diễn phẳng bất kỳ của K 3,3 thì v 1 và v 2 đều nối với v 4 và v 5 . Bốn đỉnh này tạo thành một đường khép kín chia mặt phẳng ra làm hai miền R 1 và R 2 như sau: v 1 v 2 v 4 v 5 R 2 R 1 Hình 5 R 21 v 3 R 1 R 22 v 5 v 4 v 2 v 1 Hình 6 Tương tự ta cũng chứng minh được nếu v 3 nằm trong R 1 thì đồ thị cũng không phẳng. Vậy, K 3,3 là đồ thị không phẳng. Khi ta kết luận K 3,3 là đồ thị không phẳng, ta cũng đã giải quyết được bài toán "ba nhà ba giếng". Không có đường đi nào nối mỗi nhà với 3 giếng mà không cắt nhau. Hay nói cách khác, ba nhà ba giếng nói trên không thể nối với nhau trên một mặt phẳng mà không cắt nhau. 2. Tô màu đồ thị 2.1 - Định nghĩa Tô màu một đơn đồ thị là việc gán màu cho các đỉnh của nó sao cho hai đỉnh liền kề có màu khác nhau. Mỗi đồ thị có thể có nhiều cách tô màu khác nhau. Trang 5 Giả sử v3 nằm trong R2 .Ta còn lại đỉnh v 6 . Có 3 trường hợp đối với v 6 : - Nếu v 6 nằm trong R 1 thì cạnh nối v 3 với v 6 sẽ cắt ít nhất một cạnh khác. - Nếu v 6 nằm trong R 21 : cạnh nối v 6 với v 5 sẽ cắt ít nhất một cạnh khác. - Nếu v 6 nằm trong R 22 : cạnh nối v 6 với v 1 sẽ cắt ít nhất một cạnh khác. ⇒ v 3 không thể nằm trong R 2 . Số màu hay sắc số (Chromatic number) của một đồ thị G là số màu tối thiểu cần thiết để tô màu G. Ký hiệu: χ(G). Ví dụ 10: Xét đồ thị G: v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 Hình 14 Để tô màu đồ thị G, trước hết ta thấy v 1 có bậc cao nhất, deg(v 1 ) = 5 cho nên ta cho v 1 có màu a. deg(v 5 ) = 4 ⇒ cho v 5 có màu b. Cho v 4 màu c. Vì deg(v 4 ) = 4 và v 4 , v 5 kề nhau ⇒ v 6 có màu c. Còn v 3 có màu d. Còn lại 2 đỉnh v 2 và v 7 . Ta thấy v 2 kề với v 1 và v 5 ⇒ cho v 2 màu c; v 7 không kề với v 1 nên ta cho v 7 màu a. Vậy ta có đỉnh: v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 màu: a c d c b b a ⇒ ta sử dụng 4 màu để tô màu G. Ta thấy G có 4 đỉnh v 1 , v 3 , v 4 , v 6 đôi một kề nhau ⇒ χ(G) ≥ 4. Theo trên ta chỉ dùng 4 màu ⇒ χ(G) = 4. 2.2 - Định lý: Mọi đơn đồ thị đầy đủ n K đều có: χ(Kn) = n. - Chứng minh: Khẳng định được chứng minh bằng quy nạp theo số đỉnh của đồ thị. • Trường hợp cơ sở : Với n = 1, K 1 có 1 đỉnh nên phải dùng 1 màu để tô. Trang 6 • Giả thiết quy nạp: Giả sử khẳng định đúng với n = k. Nghĩa là mội đơn đồ thị đủ có k đỉnh đều có χ(Kk) = k. Ta cần khẳng định tính đúng đắn của định lý đối với n = k + 1. Nghĩa là χ(Kk +1 ) = k + 1. Giả sử Kk +1 là một đơn đồ thị đầy đủ với tập đỉnh: }{ 121 ,,,, + = kk vvvvV  Ta loại khỏi Kk +1 một đỉnh tuỳ ý (chẳng hạn đỉnh vk +1 ) cùng các cạnh liên thuộc với đỉnh này. Đồ thị con nhận được là một đơn đồ thị đầy đủ có k đỉnh. Theo giả thuyết quy nạp chúng ta có χ(Kk) = k. Bây giờ ta “khôi phục” lại đỉnh vk +1 cùng với các cạnh liên thuộc với nó, tức là “trở lại” đồ thị Kk +1 . Vì đỉnh vk +1 kề với tất cả các đỉnh còn lại nên để tô màu cho vk +1 ta phải sử dụng một màu mới. Do đó: χ(Kk +1 ) = k + 1. 3 - Một số định lý về tô màu đồ thị: 3.1 - Định lý 1: Mọi chu trình độ dài lẻ đều có sắc số là 3. - Chứng minh: Giả sử α là một chu trình độ dài lẻ tuỳ ý. Khi đó, tồn tại một số tự nhiên n để 12 += n α . Giả sử dãy các đỉnh của α là: }{ 12221 ,,,, + = nn vvvvV  . Ta sẽ chứng minh khẳng định trên bằng quy nạp theo n. • Trường hợp cơ sở : Với n = 1. Chu trình α gồm 3 đỉnh 321 ,, vvv . Do mỗi đỉnh ( ) 31 ≤≤ iv i đều kề với 2 đỉnh còn lại, nên ta phải dùng đúng 3 màu khác nhau để tô cho α vì 2 đỉnh kề nhau tuỳ ý đều phải có màu khác nhau. • Giả thiết quy nạp: Giả sử khẳng định đã đúng với kn ≤ , nghĩa là với một chu trình 1 α tuỳ ý với độ dài 2n + 1 ( ) kn ≤≤ 1 đều có sắc số bằng 3. Ta chỉ cần chỉ ra rằng với n = k + 1 khẳng định vẫn đúng. Nghĩa là chu trình α có độ dài 2(k + 1) + 1 cũng có sắc số bằng 3. Trang 7 Giả sử α là chu trình có độ dài lẻ tùy ý có độ dài bằng 2(k + 1) + 1 và có tập đỉnh: }{ 322212221 ,,,,,, +++ = kkkk vvvvvvV  ta mô tả chu trình α như hình vẽ sau: Hình 15 Nối đỉnh v 1 với đỉnh v 2k + 1 ta được chu trình 1 α với độ dài lẻ là 2k + 1. Theo giả thuyết quy nạp thì 1 α có sắc số là 3 và 02 đỉnh v 1 và v 2k + 1 phải có màu khác nhau. Chẳng hạn v 1 được tô bằng màu M 1 và đỉnh v 2k + 1 được tô bằng màu M 2 . Khi đó, để tô đỉnh v 2k+2 ta có thể dùng lại màu M 1 và tô đỉnh v 2k+3 ta có thể dùng lại màu M 2 . Nghĩa là không cần dùng thêm màu mới. Vậy sắc số của α là 3 và định lý đã được chứng minh. 3.2 - Định lý 2: Nếu G có chứa một đồ thị con đẳng cấu với Kn thì χ(G) ≥ n. Ví dụ 11: Tìm sắc số của đồ thị G: A B C D E F Hình 16 Ta có: G chứa K 3 nên χ(G) ≥ 3. Trang 8 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 2k v 2k+1 v 2k+2 v 2k+3 Ta lại có F có bậc lớn nhất nên ta tô F màu 1, A màu 2, B màu 3. Khi đó C phải tô màu 2 và D tô màu 3. Còn lại đỉnh E kề với A, F, D đã có đủ 3 màu 1, 2, 3. Do đó, E phải có màu 4. Ta tìm sắc số của G: Do G có chứa chu trình lẻ (ABCDEA) nên ta có các đỉnh A, B, C, D, E phải được tô bằng 3 màu. Mặt khác, đỉnh F kề với tất cả các đỉnh A, B, C, D, E nên ta phải dùng màu thứ 4 để tô cho F. Vậy: χ(G) = 4. Chú ý: • Nếu G' là một đồ thị con của G thì χ(G) ≥ χ(G'). • Nếu dùng k màu để tô màu G thì không cần quan tâm đến những đỉnh có bậc nhỏ hơn k. 3.3 - Định lý 3: Một đơn đồ thị G = (V, E) có thể tô bằng 2 màu khi và chỉ khi nó không có chu trình độ dài lẻ. - Chứng minh: • Điều kiện cần: Giả sử G là đồ thị 2 sắc (có thể tô tất cả các đỉnh của G bằng 2 màu) ngưng trong G lại có một chu trình lẻ α . Khi đó theo định lý 1, sắc số của α phải là 3. Mặt khác theo định lý 2 ta có ( ) ( ) 3 =≥ αχχ G . Do đó, sắc số của G ít nhất phải là 3. Ta suy ra điều mâu thuẫn với giả thuyết, nên G không có chu trình độ dài lẻ. • Điều kiện đủ: Giả sử đồ thị G không có chu trình độ dài lẻ. Ta cần chứng minh rằng G là đồ thị 2 sắc. Ta bắt đầu tô dần các đỉnh của G theo quy tắc sau: - Tô M 1 cho đỉnh Vw ∈ bất kỳ. - Nếu một đỉnh Vu ∈ nào đó đã được tô bằng M 1 , ta sẽ dùng màu M 2 để tô cho tất cả các đỉnh kề với u và ngược lại nếu đỉnh Vu ∈ nào đó đã được tô bằng M 2 , ta sẽ dùng màu M 1 để tô cho tất cả các đỉnh kề với u. Vì G là đồ thị hữu hạn nên đến một lúc nào đó tất cả các đỉnh của G sẽ phải được tô màu và mỗi đỉnh của G không thể cùng lúc vừa được tô bằng M 1 vừa được tô bằng M 2 . Thật Trang 9 vậy, giả sử trong G tồn tại đỉnh v mà theo nguyên tắc nó vừa được tô bằng M 1 đồng thời cũng được tô bằng M 2 . Khi đó v phải kề với đỉnh s được tô bằng M 1 và đỉnh t được tô bằng M 2 , nên khi đó các đỉnh v, s, t phải nằm trên một chu trình độ dài lẻ. Như vậy mâu thuẫn với giả thuyết nên đỉnh v không tồn tại. Ví dụ 12: Xét đồ thị vòng Cn (n ≥ 3). • Khi n chẵn, chẳng hạn n = 6. Ta có: Hình 17 • Dễ thấy khi đó χ(C 6 ) = 2 vì ta có thể tô màu như trên. Rõ ràng C 6 không có chu trình lẻ. • Khi n lẻ, chẳng hạn n = 5. Ta có: a b c d e C 5 Hình 18 C 5 có chứa chu trình lẻ ⇒ χ(C 5 ) ≥ 3. Dễ thấy χ(C 5 ) = 3. (xanh) b c ( )Đỏ d (xanh) e ( )Đỏ (xanh) f ( ) aĐỏ Trang 10 [...]... 13: Tìm số màu của đồ thị G và H trong hình 3 Trang 11 b b e a d f c f c g a g d e G H Hình 19: H3: Hai đồ thị đơn G và H Lời giải: - Số màu của đồ thị G tối thiểu là 3 do 3 đỉnh a, b, c phải đôi một khác màu nhau Giả sử G có thể tô bằng 3 màu Giả sử ta tô a màu đỏ, b màu xanh và c màu vàng Tiếp theo, d phải tô màu đỏ vì nó kề các đỉnh b, c; e phải tô màu vàng vì nó chỉ kề các đỉnh màu màu đỏ và xanh;... xanh; f phải tô màu xanh vì nó chỉ kề các đỉnh màu đỏ và vàng Cuối cùng g phải tô màu đỏ vì nó chỉ kề các đỉnh màu vàng và xanh Như vậy, ta có thể tô màu G bằng 3 màu -> c(G)=3 - Đồ thị H biến đổi từ đồ thị G thông qua việc nối 2 đỉnh a và g Lí luận tương tự như trên, ta thấy H phải tô tối thiểu bằng 3 màu Khi cố gắng tô H bằng 3 màu ta phải thông qua các lí luận tương tự như G khi tô màu tất cả các... _DinhTo[j]; } }4.2 - Sơ đồ khối: Begin End N OUT PUT A[1->n][1->n] đúng Tính bậc của dỉnh sai Số đỉnh tô >= n Tìm đỉnh A có bậc cao nhất Tìm màu m hợp lệ cho dỉnh trên Cấm không cho tô màu m với các đỉnh kề A 5 Thuật toán lập bảng - Ứng dụng lập lịch thi C# : Dùng màu m tô cho A gán bậc của A = 0 Chương 2: Ứng dụng thực tế của bài toán tôBậc các đỉnh kề A giảm 1 màu 1 Tô màu bản đồ: Định lý bốn màu (four-color... đỉnh có cả 3 màu đỏ, vàng, xanh, và ta buộc phải sử dụng thêm màu thứ 4 (màu nâu) để tô màu nó Tóm lại, c(H)=4 (Xem H4) b V X e bX Đ Đ Đg d a c V V e X f Đ Đ a c V g d N X f G Trang 12 H Đ: đỏ X: xanh V: vàng N: nâu Hình 20: H4: Tô màu các đồ thị G và H Ví dụ 14: Tìm số màu của đồ thị đầy đủ Kn? Lời giải : Ta có thể tô màu n đỉnh của K n bằng n màu riêng biệt Liệu có cách tô nào tiết kiệm màu hơn không?... chẵn (n ≥ 3) χ(Cn) = 3 nếu n lẻ (n ≥ 3) 3.4 - Định lý 4 (Định lý bốn màu) (định lý Appel-Haken, 1976) Mọi đồ thị phẳng đều có sắc số không lớn hơn 4 Định lý này là định lý đầu tiên được chứng minh với sự hỗ trợ của máy vi tính Số màu của 1 đồ thị phẳng không lớn hơn 4 Giả thuyết 4 màu được đề ra từ những năm 1850 Nó cuối cùng đã được chứng minh bởi 2 nhà toán học Mĩ là Kenneth Appel và Wolfgang Haken năm... X Đ b a N Đ b Đ c Đ c e H V d d Hình 21: H5 Tô màu K5 Đ: đỏ X: xanh X e X f X g X Hình 22: H6 Tô màu K3,4 V: vàng N: nâu H: hồng Thật vậy, không có 2 đỉnh nào có thể tô cùng màu vì mọi đỉnh đều kề nhau Vậy , ta có c(Kn) = n (Chú ý: Kn không phải đồ thị phẳng khi n ≥ 5, do đó kết quả này không vi phạm định lí 4 màu) H5 cho ta ví dụ về việc tô màu K5 4 Thuật toán 1: Kẻ bảng - hạ bậc 4.1 - Mã giả: //tính... Mặc dù định lý được phát hiện ra trong quá trình tô màu bản đồ, nhưng trên thực tế nó rất ít khi được áp dụng vào khoa học vẽ bản đồ Nhiều bản đồ phải sử dụng nhiều hơn bốn màu để thể hiện các khu vực, ngoài ra có những bản đồ sử dụng ít hơn bốn màu Hầu hết các bản đồ thực tế đều có vẽ hồ ao, mà tất cả hồ ao này phải vẽ cùng màu Do vậy làm tăng số lượng màu cần thiết để vẽ các vùng đất Nếu bỏ qua không... tế vẫn có những vùng đất của cùng một quốc gia nhưng bị tách rời nhau, do đó phải vẽ cùng màu và định lý không áp dụng được Các sách vở về môn Bản đồ học cũng không nhắc đến định lý này Những người vẽ bản đồ cho rằng họ quan tâm hơn đến việc phối màu bản đồ sao cho đẹp mắt; do vậy việc sử dụng bốn, năm hay nhiều màu hơn không phải là vấn đề đáng bận tâm Những vùng đất không liên tục Trên thực tế có nhiều... theorem - còn gọi là định lý bản đồ bốn màu) cho rằng đối với bất kỳ mặt phẳng nào được chia thành các vùng phân biệt, chẳng hạn như bản đồ hành chính của một quốc gia, chỉ cần dùng tối đa bốn màu để phân biệt các vùng lân cận với nhau Hai vùng được coi là lân cận nếu như chúng có chung nhau một đoạn đường biên, không tính chung nhau một điểm Trang 15 Hình 31: Ví dụ về bản đồ bốn màu Lịch sử Vấn đề này... Kaliningrad của Nga Nếu việc vẽ bản đồ đòi hỏi các phần lãnh thổ này phải cùng màu thì việc sử dụng bốn màu là không đủ Trong toán học, những vùng đất tách rời này được gọi là điểm cô lập của tập hợp miền quốc gia Thử xét một hình vẽ đơn giản sau Hình 32 Trang 17 Trong hình, hai khu vực được đánh dấu "A" cùng thuộc về một quốc gia, và phải được vẽ cùng màu Bản đồ này phải sử dụng năm màu Ngoài ra còn nhiều ứng . thể tô bằng 3 màu. Giả sử ta tô a màu đỏ, b màu xanh và c màu vàng. Tiếp theo, d phải tô màu đỏ vì nó kề các đỉnh b, c; e phải tô màu vàng vì nó chỉ kề các đỉnh màu màu đỏ và xanh; f phải tô màu. Sơ đồ khối: 5. Thuật toán lập bảng - Ứng dụng lập lịch thi C# : Chương 2: Ứng dụng thực tế của bài toán tô màu 1. Tô màu bản đồ: Định lý bốn màu (four-color theorem - còn gọi là định lý bản đồ. cắt nhau. 2. Tô màu đồ thị 2.1 - Định nghĩa Tô màu một đơn đồ thị là việc gán màu cho các đỉnh của nó sao cho hai đỉnh liền kề có màu khác nhau. Mỗi đồ thị có thể có nhiều cách tô màu khác nhau. Trang